Planter des arbres en quinconce
Tracez deux droites d'équerre AB, AD (P. III, F. 15) j portex sur l'une et sur l'autre, autant de fois riniervalle de deux arbres, que vous voulez d'allées dans les deux sens perpendiculaires; achevez le rectangle ou le carré ABCD; portez le même intervalle sur les côtés BC , CD, autant de fois que les deux antres côlés le contiennent; puis joignez le.s points de division opposés; vous aurez des parallèles qui se couperont d'équerre et formeront des carrés. C'est aux intersections de toutes ces droites, sommets des carrés, que doivent être plantés les arbres: ils seront disposés en quinconce, c'est-à-dire qu'il formeront des allées dans tous les sens.
Comparaison des Quadrilatères.
258. ûeux quadrilatères quelconques sont égaux, lorsque les côtés et une diagonale de lun égalent les côtés de mênie rang et la diagonale correspondante de Vautre.
En effet, si l'on a AB = A'B' (P. III, F. IG), BC = B'C, AC = A'C', le triangle ABC == A'B'C (216); si l'on a aussi CD = CD', DA = D'A', le triangle ACD = A'C'D'. Le quadrilatère ABCD se compose donc de deux parties qui égalent celles du quadrilatère A'B'C'D' ; par conséquent , ces deux figures sont égales.
259. Construire un quadrilatère qui soit égal à un quadrilatère donne ABCD (P. III, F. 16).
Tirez une droite B'C et portez-y BC , de B' en C; marquez un point A' qui soit éloigné de B' et de C, comme A l'est de B et de C (14); marquez un point D' qui soit éloigné de A' et de C, comme D l'est de A et de C ; puis tracez les droites B'A', A'D', D'C; le quadrilatère A'B'C'D' égalera le quadrilatère donné, en vertu du principe 258.
260. Deux trapèzes quelconques sont égaux , quand les côtés de l'un égalent les côlés correspondatils de Vautre.
Plaçons le trapèze A'B'C'D' sur le trapèze ABCD (P. III, F. 17), de manière que la grande base A'B' couvre son égale AB. Les côtés concourants A'D', lî'C' se termineront nécessairement sur les arcs décrits de A, avec AD, et do B, avec BC; mais, entre leurs extrémités siiuf'os sur ces arcs, doit |)ouvoir se placer la petite base CD', parallèlement à AB; et de toutes les parallèles à AB tirées d'un arc h l'autre, il n'y en a évidemment qu'une, CD, qui puis^e égnier CD', sans faire croiser les côlés concourants. C'est donc sur CD que se placera C'D', et alors les deux trapèzes 86 couvriront dans toute leur étendue.
OOMPARAISON DES OCADRILATKRES. 93
261. Deux trapèzes sont équivalents, quand il y a égalité entre tes grandes bases , entre les petites et entre les hauteurs.
Les liaiilpui-s sont celles des triangles que forment les dingonales AC, EG (P. III, r. 18). Les deux parties du irapè/e AHCD sont donc équivalentes aux deux parties correspondantes du trapèze LFGII (iitiôi, et par consi'-quent, le premier équivaut au second.
20ti. Partager un trapèze AHCD (P. III, F. 18) en un nombre donné de trapèzes équivalents , par des droites qui coupent les bases AB, CI).
DKisez chaque base en autant de parties égales qu'on veut de perlions; puis, joignez, par des droites IK, etc., les points de division correspondants.
Les grandes bases AI, IB, etc., des petits trapèzes, ainsi formés, sont égales; il en est de même des petites bases DK, KG, etc.; toutes les hauteurs valent chacune celle du trapèze total; par conséquent, AIKD, IBCK, etc., sont des trapèzes équivalents (261).
263. Partager un trapèze ABCD (P. IIÏ, F. 10) en un nombre donné de trapèzes équivalents j par des parallèles aux bases AB, CD.
Prolongez les côtés concourants AD, BC jusqu'h leur iulerscclion F; mesurez FC, CB en mètres; formez lesquarrés numériques de FC, FB; multipliez le premier quarié par le nombre n des portions diminué de 1 ; ajoutez le second au produit; divisez la somme par «; extrayez la racine quarrée du quotient, ei portez le nombre de mètres du résultat sur EB, h partir de E. Vous marquerez ainsi le point F, du quel doit partir la première parallèle à CD. L'autre extiémité G peut être déterminée de la même manière, au moyen des longueurs de ED, DA.
La formule qui indique les calculs à faire esl x = X/i—iLjt— ,
si c, C, X représentent respectivement le côté EC du petit triangle ECD, le côté FB du grand triangle EBA , et le côté El' du triangle EFG, qu'il faut former pour avoir la pi-emière portion CDGF. Un détermine les autres portions, au moyen de la mémo formule. Pour la seconde, par exemple, il suflit de diviser le trapèze ABFG en n — 1 portions équivalentes. Alors, c = FF, G = EB, et à la place de n , on doit mettre n — 1 , ce qui change le facteur n — 1 de c' en n — 2.
Enfin, si BC^ AD ne pouvaient être prolongés, vous calculeriez la distance FC, au moyen des longueurs de AB, CD, BC (130), et quand EF serait trouvé, vous en retrancheriez EC , pour avoir CF.
Nous démontrerons la formule en remarquant d'abord que ABCD 4- ECD = EBA, que ABCD = CDGFxn et qu'il s'ensuit
d'i COMPARAISO?( DES QUADRILATÈRES.
CDGFXn-f ECD = EBA. Mais, si, au liou de IXD, nous mettons ECDXw, la première partie de l'égalité vaudra EFGXh et sera augmentée de EGDX (« — !)• Il laut donc augmenter d'autant la seconde partie, ce qui donne: EFGXw=EBA-j-r^^CDx(« — i). Par conséfiueut (23i), ËF' X n = EB" + ËG' (n — 1), et EF = i Ab' + ec'(» — ^)
264. Partager un triangle EBA (P. III, F. 19) eu toi nombre donné de portions équivalentes, par des parallèles à un côté AB.
La première portion est un triangle ECD, par exemple; les autres sont des trapèzes CDGF, etc., et celles-ci se déterminent comme dans le n° 265, une fois que CD est tiré parallèlement h AB.
Reste donc à dire comment on trouve le point G. Mesurez EB en mètres; faites le quarrc numérique de cette Ijongucur; divisez le résultat par le nombre n des portions demandées; extrayez la racine quarrée du quoiient, et portez le nombre de mètres du nouveau résultat sur EB, h partir de E.
La formule est x = V/— » si a;, G représentent EC EB.
Elle donne aussi le point D, lorsqu'on y met la lonjjueur de EA h la place de G.
La démonstration est tiès-simple. D'abord, ECD:EBA :: 1 :n. Mais, ces triangles, étant semblables, donnent aussi (234):
ÉC':EB^::i:?i. Donc, EG=: V/!£!.
265. Deux parallélogrammes sont égaux, quand un angle A et ses deux côtés AP», AD, pris dans l'un (P. 111, F. 20), égalent un angle A' et ses deux côtés A'B', AD', pris dans Vautre.
Couvrons l'angle A avec l'angle A';>P.', D' tomberont sur B, D; li'G', parallèle -rA'!)', prendra la direction BG ; D'G', parallèle à A'B', prciidra la direction DC. Par conséquent. G' sera sur G, et les deux parallélogrammes se trouveront exactement superposés.
266. Partager un parallélogramme ABCD en un nombre donné déportions égales (P. 111, F. 20).
Divisez deux cAlés opposés AD, BC en au l:\nt de parties égales chacun (]u'on veut de poriions, et joignez les points de division correspondants par des droites EF, etc. Les quadrilatères ABFE , EFGD, etc., seront des parallélogrammes t'gaux.
En eiïet, les conditions du n" 26î) sont remplies, car ICF est parallèle à AB (1 1 1), ei par suite, l'angle B = EFG, AB = EF.
2(>7. Deux parallélogrammes ABCD, r.VC.U smU éguivaknts
COMPARAISON DtS Qt'ADRII.ATKRM. «Jil
(P. 111, F. il), quand il y a é(jaiité entre leurs bases AB, EF et entre leurs hauteurs I)G, Hl.
D'abord, h's deux triangles ADD, FFIl sont équivalenis (iî23). Mais IK. , III, (lisiaïu'os cotistanlos tics parallèles AH cl (il), FF et (ïH , sent aussi les hauleurs des triangles CBD, TiFII, et les bases CI), dll de ces triangles sont égales entre elles, étant respeeliv«'iiieni égales à AU, FF. Donc, les deux autres parties des patalU-lograninies sont aussi équivalentes, et par conséquent, ils sont eux-mêmes équivalents.
!2fJ8. Deux parallélo(jrammes qui ont seulement des hauteurs égales, se contiennent comme leurs bases.
Les hauteurs sont aussi celles des triangles formés par les diagonales. Donc C^ili)), AUDiFFII :: AIÎlKF (P. III, F. 22i, et BCD.-FGH :: CD:GII :: ABlFF. Il s'ensuit AIU):EFII :: BCDiFGH, ABD -\- BCD : EFIl -f- FGII :: ABD : EFII :: AB : EF, et A15CD : EFGII :: AB : EF.
209. Des jmrallcloyrammes qui ont seulement des bases égales, se contiennent comme leurs Jiauteurs.
Les hauteurs IK , GL (P. III , F. 23) sont aussi celles des triangles formL*s par les dias^onales. Donc (227), ABI):EFII :: IKiGL , et BCD : FGII :: IK : GL. Il s'ensuit ABD : EFIl :: BCD : FGH , ABD -f BCD : EFII -f FGII :: ABD : EFII :: IK : GL, et ABCDiEFGH:: IK : GL.
270. Deux losanges sont égaux , quand le côté et une diagonale de lun égalent le côté et une diagonale de l'autre.
Puisque les quatre côtés d'un losange ont même longueur, les conditions du n' 238 se trouvent remplies.
27 1 . Deux rectangles sont égaux , quand la base et la hauteur de Vun égalent la base et la hauteur de l'autre (233).
En elFet, les ([ualre côtés du premier valent ceux du second, pris dans le même ordre , et h s diagonales respectives se trouvent égales, comme hypothé-nuses de tiiaiigles rectangles égaux (217), ce qui remplit les conditions du n" 238.
272. Le rapport d'un rectangle R à un autre r égale celui du produit de la base B et de la hauteur II du premier au produit de la base b et de la hauteur h du second (P. 111, F. 24).
Comparons successivement chaque rectangle à un troisième R' (jui ail la hauteur de R et la base de r. Nous aurons (268 ei 269) :
R:R' :: ]\ : b , B': r ::II :/»,
ei si nous multiplions les termes correspondants de ces deux
