Tracer un polygone semblable à un polygone donné

Opérez comme pour faire un polygone égal a un autre (319); mais en réduisant ou en étendant les longueurs prises sur le polygone donné (119).

324. Deux polygones réguliers sont semblables, s'ils portent le même nom.

Alors en effet, ils ont le même nombre d'angles, ce qui rend ceux de l'un égaux h ceux de l'autre (2!M), et les côtés corrcs pondants sont proporiionncls, puis(pie , dans cha«pie figure, tous les eôlés oui même loiiiiucui".

C01fPARAIS0!1 DES POLVCONES. 1 1 1

32.'>. Itnix polyfjoni's seinblahU'S soiil toujours tU'romposafiU's , imr des diagonales Urées de ileux sommets currespondanls , en un mnne nombre de triamjUs , tels que ceux de l'un se trouvent semblables à ceux lie même rawj dans l'autre , et pareillement placés.

l/cgaliu; des angles A, a (V. Ill, V. Ô7) et la pioporiion AB:a^:: \E:ae rcndeni semblables les irianyles ABK , abe (2.">1). Celte siniililiido donno : anj,'lo Ar.n= aeb , Xli'.ae:: VtK'.be. Mais, en vorUi (!<• relit' dos p(»iyj,'Oii('s, l'angle \\A)r^aedciX\]'.ae'.:l)\'l'.de. Doue, aiiijie \\\-A) = bed, Wlr.be ::l)l]:de , el les iriani^des lîDK, bde sont aussi seudjlables. il en résulte: angle BDE=M«, î)E:de::\il):bd. Or, la similitude des polygones donne: angle i.l)\\ = cde, l)K:de::Cl):cd. Par conséquent, angle BDC = 6dc, rA)'.bd::CD',cd, et les triangles BCD, 6c(i sont semblables. Ainsi des autres.

32G. I^s superficies de deux polygones semblables se contiennent comme les quarrés numériques de deux quelconques de leurs droites corresj)ondantes.

Tirons toutes les diagonales possibles, de deux sommets correspondant* B, b (P. III, F. 37). Nous formerons, dans le petit polygone, des triangles semblables à ceux du grand et pareillement placés; de sorte qu'on aura AB:a/; :: BE:6e :: BI):6c/ :: etc., et Ah* :âb^ ::We'' '.Te'':: Bh^lbd^:: etc.

()r (23 i) ABE '.abe:: BE' : be\ BDE :bde:: Bl)- : bd"-, BCD : bcd ::BC' :"Ac*, etc. Par consé(iuent, XBE : abe : :IjÏ)E: bde ::l\CU: bcd :: etc., ABE -{- BDE -f BCD -f etc. : abe -f bde^Jjcd -f- etc. : : ABE '^be : : BE' : be\ ej AB^E ... : abcde . . . : : BE* : èe' ou :: AB* '.Vb', ou même :: cï'* '.~f' '^ car si CF, cf sont des droites correspondantes, les triangles BCF, bcf sont semblables aussi.

527. Réduire ou étendre un polygone, de manière que le rapport de la nouvelle superficie à la superficie donnée égale le quarré d'une fraction ou d'un nombre entier.

Appliquez le problème 523, en réduisant les droites du polygone donné comme l'indique la racine quarréc de la fraction , ou en tes étendant comme l'indicpie la racine quarrée du nombre entier.

S'il s'agit, par exemple, de réduire un polygone au vingtcinquième, vous réduirez ses droites au cin(|uième; deux droites correspondantes auront alors pour rapport {: 1 , et par conséquent celui des superficies sera /.II.

Pour rendre un polygone 9 fois plus grand , il faudra en tripler les droites: deux droites correspondantes seront alors ::3:l,ctles superficies ::9:1.

328. Tout polygone P qui a pour un de ses côtés l'hypothénuse

iVun triangle rectangle EDF, vaut en mperfîcic ta somme de ses deux semblables p', p", s'ils ont pour côtés correspondants de Vhypothènuse les deux côtés de l'angle droit (P. III , F. 38).

En effet, DE, DF se correspondent alors, dans les deux petits polygones p', p". Par conséquent (526), p' .' j)" : : DE" : DF* et p^.p'-\-p^::M^:\m--{-m\ Mais, p' : P : : DE* : ËF*, et (239) Èî"- = DE- -p M'- La comparaison des deux dernières proportions suffît donc pour montrer que P = p' -i- p".

529. Tout cercle qui a rhypothénuse d'un triangle rectangle pour diamètre ou pour rayon, vaut en superficie la somme des deux cercles dont les diamètres ou les rayons sont les côtés de V angle droit.

Le cercle est un polygone régulier d'un nombre infini de côtés égaux à l'élément de la circonférence. Les trois cercles, ayant le même nombre d'éléments, comme le même nombre de degrés, sont des polygones semblables (324), et les diamètres ou les rayons sont bien des droites correspondantes, puisqu'ils forment proportion avec les circonlercnces (io) ou avec les éléments de ces courbes. Donc, le principe 328 est applicable aux cercles.

530. Tracer un polygone régulier qui, semblable à des polygones donnés, réguliers et semblables, vaille leur somme.

Tirez deux droites d'équerre (P. III, F. 58); portez sur l'une, de D en E, le côté ;lu polygone régulier A, et sur l'autre, de D on F, le côté du polygone régulier B. L'hypoiliénusc EF sera lo côté d'un polygone qui, fait semblable à A et à B, vaudra leur somme. Elevez en E une perpendiculaire sur EF, et portez-y le côté du polygone régulier C , de E en G. L'bypothénuse FG sera le côté d'un polygone qui, fait semblable à A, B, C, vaudra la somme de C et du polygone construit avec EF. Par conséquent, sa superficie égalera la somme de A, B, C, et vous n'aurez plus ((u'Ii faire l'application du problème 209 au côté FG, si les polygones réguliers donnés ne sont ni des triangles équilaiéranx, ni des carrés.

On peut ainsi doubler, tripler, (juadrupler un polygone régulier.

551 . Tracer un cercle qui vaille en superficie la somme de cercles ilonnés.

Agissez comme dans le problème précédent, mais en prenani les droites DE, DF, EG, etc., égales aux rayons ou aux diamètres des cercles donnés (P. III, F. 38). La doinière hypolhénusc sera le rayon ou le diamètre du cercle demandé.

On peut ainsi doid)ler, tripler, quadrupler un cercle.

532. Tracer un pulygom qmkonque qui soit semblable à dea polygones semblables donnés et vaille leur somme.

Agissez comme dans le problème 330, en prenant les droites

LEVER DES PLANS. I \7t

DE, DF, EG, etc. (P. III, F. 38), t'gales h dcscôlés correspondants ou 5 des diagonales corrospoiidanlcs des polyj^'ones donnés; puis, applique/ le problème ."^i."). .Mais il n'y a |)Ius ici à réduire ou à étendre les crtlés dun poly^'une soit arbitraiiement, soit dans un rap|)orl nuniéri({uc déierniiné. Pour trouver la droite qui , dans le n(iuvc'au j^lygone, doit correspondre à la droite K d'un des polygones donnés, du premier par exemple, il faut clierclier une quatrième proporlionncile X à l)K, F(i, dernière liypotliénuse, et K (117j, attendu (jue la similitude doit donner: DElFG :: K:X.

33."). Tracer un polygone qui soit semblable à deux polygones dontiés et vaille leur différence.

Tirez deux droites dVquerrc, portez sur l'une, de D en E (P. 111, F. 38), une droite du plus petit des polygones donnés, el avec la droite correspondante du plus grand, décrivez de E un arc qui coupe en un point F l'autre perpendiculaire. DF sera la droite qui, dans le polygone demandé, devra coirespondre h DE Cl îâ EF. Ainsi, vous aurez h terminer comme dans le problème précédent, si les figures données ne sont ni des polygones réguliers, ni des cercles.

Le polygone construit avec DF vaudra, en elTel, la différence des polygones auxquels appartiennent DE, EF, puisque le dernier sera la somme du premier el du second (328).

LEFER DES PLANS.

334. Ce qu'on entend par lever le plan d'un terrain^ n'est pas autre chose, à quelques détails près, que faire, au moyen d'une échelle, la copie réduite du polygone ou des polygones dont ce terrain est entouré ou couvert.

Le plan d'un terrain peu étendu, comme celui d'une commune, par exemple, se lève au mètre, à l'équerrc d'arpenteur, h la plancJiette j, au graphomclre , ou à la boussole. Chacun de ces cinq procédés, le troisième excepté, se divise en cinq opérations: la confection du croquis , les mesurages , Vorientalion , le nivellement et la rédaction.

Lever un terrain au mètre.

Nous supposerons un village et ses alentours: des champs, des haies, des bois, des chemins, un ruisseau ou une rivière.

Cnoycis. Faites d'aboid le croiiuiSy c'est-à-dire le dessin à vue de tout le terrain (P. V, F. 8), et placcz-y les objets, aussi exactement que vous le pourrez, dans les positions (|u'ils occupent réellement les uns par rapport aux autres. (]e croiiuis doit ôlvc fait sur une page d'un grand cahier, alin (|u'on puisse l'exécuter

aisément, en tenant le papier d'une main. Tracez-y d'abord le polygone abcdefghia que forment les points remarquables situés aux limites ou près des limites du terrain , puis successivement les quadrilatères et les triangles qui remplissent l'intérieur de ce polygone, en allant toujours des plus grands aux plus petits. On éprouve d'abord quelque peine h faire, d'une manière un peh nette, un semblable dessin; mais on y parvient bientôt. D'ailleurs, il n'est pas indispensable qu'il soit bien dessiné; on ne s'en sert que pour inscrire les mesures, ce qu'on appelle coler^ et pour écrire les noms des parties du terrain.

Mesurages. Après avoir terminé le croquis , vous commencerez les mesurages horizontaux , à la chaîne (129), par celui d'un côté ai du grand polygone, ayant soin de prendre les distances du point a aux points où des alignements importants viennent rencontrer ce côté. Ainsi, vous coterez ak, pour marquer l'intersection A; de ab et de l'alignement d'une partie droite de la rivière; puis vous mesurerez et vous coterez kb. Mesurez ensuite ^7, Im, distance donnée par un autre alignement bm du bord de la rivière, puis le reste ma du chemin la. Vous aurez tout ce qu'il faut pour construire, plus tard, à l'éc'-ieHe, le triangle abl, les deux triangles qu'il renferme et la partie bl du cours de la rivière. L'arrondissement se fait h vue; mais vous pouvez aussi prendre la distance du coude au point où se coupent bm et kl.

Mesurez la largeur de la rivière, soit au point /, soit ailleurs, si elle est h peu près la même partout. Dans le cas contraire , on la mesure h tous les points où elle varie sensiblement, et il en est de même des chemins de voilure, si l'échelle permet de tenir compte de leur largeur. Quant aux sentiers, qui se représentent par deux traits fort rapprochés et quel(iuefois par un seul, il est inutile d'en prendre la largeur. Les cotes de largeur s'inscrivent comme celles que vous voyez au chemin Le, sur la grande base d'un trapèze, quand la petite n'est pas sunisammcnt longue.

Mesurez li et m, pour avoir les trois côtés du triangle ali et pouvoir placer le pointe du bois. L'embranchement des deux chemins se fait à vue, ainsi que la partie du chemin qui va de i au cadre. Pour l'ordinaii'e,' on ne détermine rigoureusement que les points situés sur le contour du grand polygone ou dans l'intérieur; voil;» pourquoi il est prescrit de prendre ce polygone de manière à renfermer tout le terrain dont on veut le plan exact.

Mesurez la largeur du pont et colez-la , comme celle du chemin J>t'; mesurez ensuite ?yy donnée par l'alignement Ip tangent h la rivièro; mesurez aussi ;)/, ph , ho, hn , on et oi. Vous pourrez faire le renfoncement du bois, quoi(iue in ne soit pas mesurable, et le triangle i(h, bien qu'on ne puisse cheminer selon Ih.

LEVEIl DES I'LAH^. ilo

Kcmar(|urz qu'en parcouiaul ainsi le terrain pour mesurer, vous trouvez les moyens de corriger les erreurs du croijuis. Si , par exemple, ralit;ncm«'nl Ih ne passe pas eu rëaiilé par la rcnconire q lie la rivière el de la haie f(/ , vous change/, couvcnablemenl la direclioD de celle haie.

Mesurez Ir ei rh , en prenant les distances rs , st., prenez aussi tq. Si la rivière est trop large pour (|ue th soit mesuré h la chaîne, vous emploierez le procédé du 11° 150.

Mesurez tu, i</< , uv , vx, vy, uy, ty, yz, za', a'y, at, et continuez de décomposer ainsi en liiangles, les diverses figures du terrain, observant toujours de mesurer les moindres rampes horizontalement et d'employer pour foiiner tout nouveau tiiangle, un côté de triangle déjà connu. I.a (igure montre au reste comment doit être laite la décomposition, et ipielles sont les parties d'alignement qu'il l'aul coter.

Les maisons se figurent par masses, et les angles saillants ou rentrant de ces masses sont faits droits, à moins qu'ils ne soient Irès-sensiblement aigus ou ojjlus. Dans ces derniers cas, on prolonge leurs côtés, pour former un triangle symétrique A , tout à fait égal k celui qu'il faudrait faire à l'intérieur, pour lever l'angle du bâtiment par le procédé du n° 222, et quand on met le plan au net, on copie ce triangle à l'envers. (Jbsorvez toutefois que vous pouvez vous dispenser de ces opérations, en cotant les points où les alignements des murs vont rencontrer chacun les deux haies du jardin.

Les mêmes moyens servent à lever le contour d'un bois ou d'une vigne, et en général de toute figure dont on ne peut mesurer les diagonales. Ainsi, la largeur de la route et sa direction lîG, déterminée par les tiiangles, feront connaître les points D, E, d ; le point c sera marqué sur l'alignement B6 , à la distance Bc de B; le point V de l'alignement GE sera aisément connu ; vous pourrez donc tracer les chemins droits De, EG. De même, les points II, y détermineront le senti(;r {//"; vous aurez le Vioint f, par la distance !/■; vous f)0urrez donc mai()uer le point \\ où la direction df est rencontrée par le sentier Le, et tracer ce chemin dont vous connaîtrez déjà le point L. Le point e sera fourni par la dislance Ke. Ainsi , vous serez en état de dessiner les contours et les divisions du terrain couvert de vignes, sans avoir mesuré une seule de ses diagonales.

Au reste, le lever réel d'une petite partie des alentours d'un village, achèvera de vous faire comprendre toute cette manière d'opérer, et vous trouveiez de vous-mêmes, en y jxMisant un peu, les moyens de vous tiier des cas extraordinaires qui fiourront se présenter. Mais il convient de co[>ier auparavant la ligure 8, en

HG LEVEU DES PLANS.

doublant les côtés des trianglps et procédant de proclic en proclie, à partir du côté ab, comme il a été prescrit ci-dessus. Cet exercice vous fera bien voir le but de toutes les opérations et vous rendra capables de les appliquer sur le terrain.

OniENTATiON. Orienter un plan, c'est y marquer les quatre points cardinaux: nord, sud, est, ouest. Plantez verticalement un jalon en un point M de l'alignement ah, par exemple ; marque/ sur le sol l'extrémité P de l'ombre de ce jalon, vers 10'" du matin, et avec la longueur de cette ombre, décrivez un arc d'environ 180% dont M soit le centre. De iO'' h midi, l'ombre diminuera et quittera la circonférence; mais son extrémité y reviendra après midi , vers S*". Marquez le point Q où se trouvera celte extrémité à ce moment, et divisez en deux parties égales, l'arc PQ (100). La droite de division M'S sera dirigée du sud au nord; vous pourrez la tracer sur le plan, si vous mesurez Mb, ISb , MN (120 et 205) ; une ligne droite perpendiculaire à celle-là indiquera l'est à droite et l'ouest à gauche.

Nivellement. On a besoin, dans certains cas, de connaître les hauteurs relatives de dilTérenis points d'un terrain dont on lève le plan. 11 peut être utile, par exemple, de savoir combien le point h de la rivière (P. V, F. 8) s'élève au-dessus du point b, ou quelle est la pente totale de h en b. C'est au moyen d'un niveau d'eau que vous la trouverez (6i). Placez cet instrument en un point quelconque d'où vous puissiez voir b et // ; plantez verticalement un jalon en 6, et mesurez la distance de b au point b' oh le jalon est rencontré par l'horizontale du niveau A (P. III, F. 39) ; vous aurez l'élévation bb' de Thorizoniale au-dessus de b. Faites la même opération pour le point h; vous aurez l'élévation hh' de la même horizontale au-dessus de ce point, si le \)\od do l'insirumcnt n'a pas varié. Retranchant donc la plus petite hauteur hli de la grande bb', vous connaîtrez, pnr la différence bb" ou hh", de cond)ien de mètres le point h est élevé au-dessus de b. Ce nombre de mètres est ce qu'on appelle !a cote verticale (\\ï point /(, celle de b étant zéro.

Si vous opérez de la même manière entre h et g (P. V, F. 8), entre g et f, entre /"et f/, etc., vous trouverez les hauieurs relatives de tous ces points. Puis, pour avoir, j)ar rapport \\ b, la cote verticale bb' de f/ (P. III, F. Ai)), point plus élevé que h, vous ajouterez à la cote bb" de h, la quantité hh' dont g est au-dessus de ce point; pour avoir la cote verticale bb'" de f, point moins élevé que g , vous retrancherez de la cote bb' de g, la quantité ff dont /" est au-dessous de C(^ point, etc.

Toute cote verticale indicpie donc de cond)i(Mi son ))oinl esi plcvé au-dessus du point b le plus bas de tous les points du plan >

LbVEA DES CLANS. 1 17

et il suffît, dvidcfunionl, «le relranclicr iiiio cote vcrticaJc d'udc autre, pour savoii tic conibion le point do la 4" cote est moins élevé «]U(' celui de la 2*.

Chercher ainsi les cotes verticales de plusieurs points, par rapport à un autre, choisi pour [)oinl de comparaison, c'est faire un nivellenient.

Les cotes verticales s'inscrivent, sur le croquis, h côté des points auxquelles elles apf)arliennent , et entre parenthèses; sur le plan au net, on les écrit de la même manière, h l'encre rouge.

Il serait possible qu'on rencontrra un point (/ (|ui fût au-dessous du précédent f (P. V, F. 8) d'une quantité plus grande que la cote de ce dernier; qu'il y eût, par exemple, 0" de dillérence entre f et d , tandis que la cote de f serait de 4", Dans ce cas, on retrancherait la cote 4"° de la diflérence d'élévation G"; le résultat 2"" serait la quantité dont d se trouverait au-dessous de b ou dont b se trouverait au-dessus de d. Ce serait d qui deviendrait le point de comparaison : 2™ serait la cote de b, et toutes les cotes verticales déjà trouvées devraient être augmentées de 2*".

Il est possible aussi qu'entre deux points d, c, on ne puisse pas placer le niveau dans une station d'où d et c soient visibles. H faut alors comparer d h un point quelconque G ou E , puis com- [»arer G ou K à c. Un point qu'on prend ainsi pour intermédiaire, sans avoir besoin de sa cote, est dit point de repère.

Il est possible enfin que de deux points comparés, l'un A (P. I!I , F. il) soit au-dessous de l'Iiorizontale et l'autre B audessus. On doit alors, au lieu de reiranriier, ajouter les dislances AA', BIV des points h l'horizontale A'Ii', pour avoir la dilFérence d'élévation BB". Si les deux points se tiouvaient h la fois audessus de l'horizontale, il faudrait retrancher, comme dans le cas où ils sont tous deux au-dessous.

Pour abréger les mesurages du nivellement, on emploie, au liiHi du jalon ordinaire, un instrument nommé voyant. Il présente iirn- planchette CI), mi-partie blanche, mi-partie noii-e (P. III, 1'. 42), qui, portant une douille en arrière, peut glisser le long d'une règle FF, divisée, sur sa face opposée, en mètres, déciinèlrcs, centimètres et millimètres. Lorsque la règle est sensiblement verticale, on fait monter ou descendre la planchette, jusqu'h ce que l'horizontale du niveau d'eau rencontre la ligne de sépalation (]I), et alors un indicateur, quia cheminé comme cette ligne, donne la distance verticale comprise entre l'horizontale et le pied F de l'instrument. Ce pied, dans le cas de la figure 41 , doit être placé en B, et la ligne CI) en B'; de sorte que le voyant se

trouve renversé. Ainsi, c'est quand le voyant est renversé pour un seul point B , que la cote de ce point doit être ajoutée à celle de l'autre point A, pour former la dilYérence de niveau BB", Si le voyant est renversé aux deux points, leurs cotes s'additionnent, comme dans le cas où il n'est renversé pour aucun des deux.

Bédaction. Bédiger un plan , c'est tracer exactement, au moyen d'une échelle, les polygones cotés sur le croquis, Ct représenter, par des signes conventionnels, les diilérentes parties du terrain, ainsi que les édifices qu'il porte.

U faut d'abord déterminer l'unité, le mètre de l'échelle. Mesurez eu millimètres la largeur du papier, entre les deux marges qu'on doit laisser, ou entre les deux bords du cadre qui renfermera le plan. Cherchez ensuite, au moyen des cotes du croquis, la longueur réelle qu'offre le terrain dans le même sens : additionnez, par exemple, la cote de bl (P. V, F. 8), la largeur du cimetière qui entoure l'église, la longueur du chemin II' et celle du sentier qui de f se dirige à droite. Partagez aloi'S, entre tous les mètres du total, les millimètres du papier. Le quotient, cherché en nombre entier^ indiquera combien vous pourrez prendre de millimètres pour l" réel, et ce nombre de millimètres donnera, pour le mètre fictif de l'échelle, une longueur telle que le papier sufïira à la représcntalion de tout le terrain levé.

Quand l'échelle estconstruite (121), on applique le problème 205 au tracé exact des polygones dont l'ensemble doit constituer le plan; puis, on s'occupe du dessin des détails, en observant ce qui suit.

Les champs restent en blanc. La figure 43 (P. III) montre comment se fait une prairie. La ligure 44 représente une vigne; la figure 45, un petit jardin, ou un carreau de grand jardin , car lorsque les jardins sont grands, on doit en tracer les allées.

La figure 4G indique un éiang. Une rivière un peu large est couverte aussi de lignes courbes qui suivent les contours des bords, celles du milieu étant plus écartées que les autres : la direction du courant est indi(iuéc par une llèclie. Les ruisseaux se font comme les sentiers courbes, mais une flèche, placée en dehors, près d'un bord, les distingue sullisamment. La figure 47 montre un marais.

On dessine les bois comme vous le voyez en 0 (P. V, F. 8). De petits ronds dentelés représentent des arbres isolés : il eu existe de tels sur le bord de la rivière, vers le point b; mais on peut aussi se contenter de l'ensemble de trois chinVcs 3: deux en

regard, inclinés en sens inverse, l'autre couché ^J* . Une ligne droite dentelée par de petits zéros, ou une suite de très-petit^ arbres, figure une haie tu.

I.es masses des maisons sonl couvertes de traits fins, tracés à la [iliimc, sans ri'glc , h peu ])vi'S parallèlonjeiit 5 011 a|>pf!lle ces traits des hachures. Lue l'ijlisc a sis hachures parallùlos à ses longs côtés; tout autre Mtiinent public se couvre de hachures croisées, coninie h^ rectangle situ('' à gauche de l'église: il contient, par «'xcinpic, le presbytère, la maison commune, l'école et le logis (lu pâtre. I.es murs de ch*iinre sonl figurés par de simples traits, plus gros que ceux des chemins. Une borne se représente par un tout petit rectangle D ; une croix isolée, par ce signe -f-; un moulin h vent, par le même signe accolé à un petit cercle -|-0 on à un petit rcriangle -{-D; un moulin à eau, par une ('toile ^, placée à cAlé du bâtiment, ou bien on (•crit le mot moulin pr('s de ce bâtiment.