Tracer tm pentédécagone régulier

Décrivez un cercle arbitrairement; cherchez la corde de 36 degrés (297) et portez-la sur la circonférence, d'un point quelcomiue A en un point B (P. III, F. 34); rapportez ensuite le rayon AC, de A en D. L'arc AI) sera de 60'; l'arc BD, qui vaut AD — AB, aura donc 24°, excès de 60° sur 36°. Or, 24' est précisément la quinziènie partie de 560°. Vous pourrez donc porter la corde BD exactement 15 fois sur la circonférence. Joign:.mi chaque point de division au point voisin, vous aurez enlin le pentédécagone demandé.

3(^9. Tracer un polygone régulier dun nombre de côtés marque par un terme de la suite nx2, nX4, nx8, nXl6, etc. , 71 étant un des nombres l) , 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12, 15.

POLYGONES RÉGLLIEnS. 107

Tracez (l'al)or(l un polyf,'OiiP régulier (jui ait ncôit's; divisez ensuite chacun tles arcs soulendus par ces côtés, en deux parties égaies (100), et lirez les cortles de ces parties , vous auiez le polygone régulier de 2« (ôlés; divisez en deux parties «'gales les arcs de celuici, vous obtieiulre/ le polygone régulier de An côtés; ainsi des autres.

310. Un polygone est dit inscrit, quand il a, comme le pentagone IHIIKI., tous ses sommets sur une circonférence (P. III, F. 28), et cette circonférence est dite circon<>crHe au polygone.

Inscrire un polygoue régulier à une circonférence , c'est tracer dans le cercle des cordes égales et conligués, qui forment un polygone inscrit d'autant de côtés que l'indique le nom.

Inscrire un polygone régulier à une circonférence donnée.

.Vgissez relativement ii cette courbe , comme il a été prescrit d'agir relativement à une circonférence arbitraire, pour tracer le même polygone.

5H. Diviser utie circonférence en 5G0°.

Inscrivez-y un pentédécagone, ou plutôt marquez-en seulement les sommets, pour diviser la circonférence en 15 arcs égaux. Divisez chaque arc en trois parties égaies, par tâtonnement; vous aurez 45 arcs égaux. Divisez chacun de ces nouveaux arcs en deux parties égales; il en résultera 90 arcs égaux. Une seconde division par 2, vous donnera IHO arcs égaux, et une troisième division par 2 produira ÔOO arcs égaux ou les 3G0 degrés demandés.

512. Une circonférence peut être circonscrite à tout polygone régulier.

D'abord, elle passera par trois sommets consécutifs G, F, E (P. III, F. 30), si l'on détermine son centre A par les droites Ail, AI, perpendiculaires au milieu de FG, EF (103). Il reste donc h démontrer qu'une circonférence qui passe par trois sommets consécutifs G, F, E, passe aussi par le suivant D.

Faisons .tourner le quadrilatère AGFI autour de AI , pour le rabattre sur ADEI. La demi-corde IF s'appli(jucra sur la demicorde lE, à cause de l'égalité des angles droits, et le point F tombera sur E; le côté FG s'appliquera sur son égal ED, h cause de l'égalité des angles inl(Mieuis F, E, et le point G tombera sur 1). Donc AD = AG, relation sullisantc pour que la circonférence GFE passe aussi ))ar D.

On verra de même que la courbe, passant par F, E, D, piendra aussi le sommet C, et ainsi des autres.

315. Circonscrire une circonférence à un polygone régulier donné.

Ap|)liquez le tracé du n° 103, après avoir choisi trois sommets du polygone.

i08 POLYGONES RÉGULIERS.

314. Le cetUrc d'un poIyij[one régulier est le point qui se trouve à la même distance de tous les sommets et à la même dislance de tous les côtés.

Le centre d'un polygone régulier ne confond avec k centre A de la circonférence circonscrite (P. III, F. 50).

D'abord, le centre A est h la même distance de tous les sommets (310). Il reste donc à démontrer que les perpendiculaires AH , Al, etc., abaissées de A sur les côtés, sont de même longueur. Or, les triangles FAG , EAF, etc., sont égaux, puisque les côtés de l'un égalent les côtés de tout autre; ils ont donc même superficie, et comme Jours bases FG, EF, etc., sont égales^ il en est de même des hauteurs Ail, AI, etc. (287).

315. L'angle au centre d'un polygone régulier est formé par deux droites, GB, CL, tirées du centre de ce polygone a deux sommets voisins (P. III, F. 28).

L'angle au centre d'un polygone régulier égale ianglc extérieur (29G).

Les arcs d'indication BL, LK, etc., des angles au centre font en somme la circonférence circonscrite ou 3G0% et ces angles sont tous égaux , parce que leurs arcs d'indication le sont euxmêmes, ayant des cordes égales. En conséquence, l'indication de chacun vaut 300 divisés par leur nombre; or ce nombre est évidemment celui des côtés du polygone, ou celui des angles soit intérieurs, soit extérieurs. Donc, un de ces derniers a la même indication que l'angle au centre.

On pourrait dire aussi : l'angle extérieur KLN forme deux angles droits avec l'angle intérieur KLB. La somme de leurs indications est donc 180\ moitié d'une circonférence. Or, l'indication de KLlî est la moitié de l'arc KIB. Par consjîquent, celle de KLN doit être la moitié du reste BLK de la circonférence, c'est-à-dire l'arc BL, indication de l'angle au centre BCL.

Cette démonstration établit aussi le principe suivant':

L'angle KLiN , formé par une corde KL et le prolongement d'une autre BL , a pour indication la demi-somme des arcs soutendus par ces cordes.

31G. Une circonférence tangente à tous les côtés d'un polygone est dite »j.sc/j<c à ce polygone, et le polygone, qui a ses côtés tangents à cette courbe, est dit circonscritii la circonférence.

Inscrire une circonférence à un polygone régulier donné.

Des perpendiculaires DA, EA, élevées au milieu de dc\i\ côtés (P. m, F. 33) , donnent, par leurs concours A, le ccntn^ du polygone (31i), et si de ce point, avec AD pour rayiMK

COMPARAISON DES nOLTCO.NES. 101)

VOUS tltk^rivcz une cir(onf«'itM)ce, vWv. passera par les pieds de toutes les aulrcs iMipendiculairos abaissées de A sur («seules (02). D'ailleurs, ces cùU'S seront des langcnlcs, étant d'équerre chacun h rexlrérnilé d'un layon (79), cl d(; f)lns, (-lia(|ue cuiiiacl se fera au milieu d'un cùlé, attendu cpie AB = AC (95).

3i 7 . Circonscrire un polygone régulier à une circonférence donnée.

Décrivez une circonlérence coneenlri(pie à celle (|ui se trouve déjà tracée; inscrivez , dans la picniièrc, un polygone AUCDFA de uiênie nom «jue le polygone à circonscrire (P. lll , F. 50); menez des rayons OA , Ul>, etc., à tous les sommets, et tracez, parallèlement aux côtés, des tangentes à la circonférence donuéc, terminées à deux rayons voisins. Ces langeulos formeront un polygone abcdefa circonscrit h la circonlérence donnée; ce polygone sera n'gulier et aura le nombre de côtés voulu.

Il aura le nombre de côtés voulu , parce qu'il en aura <':videm ment autant i\uc le polygone inscrit. Quant à sa régularité, elle provient du parallélisme de ses cùl(''s cl des autres. Abaissons de O des perpendicidaires AG , AU, etc., sur les côtés du polygone inscrit; elles seront d'équerre aussi sur ceux du polygone circonscrit, passeront consé(piemmont par les points de contact, et donneront : Alî :ab:: OG : 0^; , BC :bc :: OU : Oh. Or, 0G=0I1 (314-), Oy = ()h. Par conséquent, AB : a6 :: DC : 6c, ce qui montre que bc^=ab.

De là résulte que les tangentes se rencontrent sur les ravons; car AB :ab :: OB : Ob , BC : 6c :: OB : 06', et par suite OB : 06 :: OB : 06', proportion qur ne peut avoir lieu sans que 06 = 06'.

COMPARJISON DES POL YGOM^S.

318. Deux polygones quelconques sont égaux, s'ils se trouvent composés d'un nu'nic nombre de triangles, tels que ceux de Vun soient égaux à ceux de même rang dans l'autre, et pareillement placés. ^

Pareillement placés signifie, pour les triangles, que leurs angle.*; de même sonjnul, dans un fiolygone, doivent avoir des égaux de même sommet aussi, dans l'autre polvgone.

Si, par exemple (P. Ili, V. 37), ABI': = A'B IV, BKD=B'r;DV DCI)=:B'C'D', le polygone A'B'C'O'E'À' peut couvrir exaclemenl le polygone ABCDK.V.

Il en est de. même encore, lorsque ABE = A'B'E, BCr= B'C'F', GDF = CD'F', I)KF = DE'F.

31 î). Tracer un polygone qui soit égal à un polygone donné.

Opérez comme dans le n" 2.')9 , sans tirer aucune diagonale.

520. Deux polygones réguliers sonl égaux ^ s'ils portent le même nom cl que le côté de l'un égale le côté de Vautre.

Alors en cflct, tous les angles et tous les côtés du premier égalent les angles (291) et les côtés du second; d'où il suit que les deux ligures peuvent se couvrir exactement.

321 . Tracer un polygone régulier qui soit égal à un polygone régulier donné.

Construisez un polygone régulier de môme nom, qui ait pour côté celui du polygone donné (299).

322. Deux polygones sont semblables , s'ils se trouvent composés d'un même nombre de triangles , tels que ceux de l'un soient semblables à ceux de même rang dans l'autre, et pareillement placés.

Supposons semblables et pareillement placés les triangles ABE et abe, BDE et bde , BCD et bcd (P. 111, F. 37). L'angle X — a; l'angle C=:c; l'angle B = &, parce que l'un est composé d'angles égaux à ceux de l'autre ; l'angle D=d et l'angle E=<?, pour la même raison. Ainsi, tous les angles du grand polygone sont égaux aux angles de même rang du petit.

Mais, la similitude des triangles ABE, abe fait que AB : ab :: AE :ac :: TiEibe}, celle des triangles BDE, bde donne : BE'.bei: DE :de :: BD : bd, et de celle des deux autres résulte : BD '.bd :: CD :cd :: BG :bc. Donc, AB'.ab:: XE:ae::DE:de::CD:cd::BC:bc, et toutes les conditions de similitude se trouvent remplies (200).

On démontrerait comme tout à l'heure l'égalité des angles, si le grand polygone était composé du triangle ABE, et des trois triangles qui ont le sommet F en commun, pourvu que le petit fût composé de triangles semblables et pareillement placés. Quant à la proportionnalité des côtés correspondants, on aurait d'abord : Aïj'.ab:: \K:ae::VAi:be. On aurait ensuite EV:ef::DV:df::CV :cf::BF:bf; la proportion EV'.efiiVA'lbf fournirait EF -]-BF:<>/' -j- bf:: EF : ef ou Bl'2 : be '. EF : cf, cl l'on achèverait comme précédemment.