Lever wn terrain à la boussole

La boussole est une boîte carrée h douille, h pied simple, et à dessus de verre. Le fond intérieur présente un cercle gradué, au centre duquel s'élève un pivot qui porte une aiguille aimantée. L'une des pointes de cette aiguille est noire, l'autre est blanche. La première se tourne spontanément vers un point fixe, situé du côté du nord el très-éloigné , quand la boîte, ayant une position à peu près horizontale, lui permet de se mouvoir sans loucher le fond ni le verre. Sur un des côtés de celte boite se trouve une alidade ou une lunette pivotante, dont la ligne de mire parcourt un plan perpendiculaire à celui du cercle gradué et parallèle à un diamètre maniué 0 à l'une de ses extrémités et 180 à l'auiie.

Croquis. Il se fait comme celui du lever au mètre (554).

Mesurages. Plantez le pied de la boussole un peu en dehors du polygone, près du sommet A (P. IV. F. 4), de manière que la buîle se trouve sensiblement horizontale, et que la ligne de mire de la luneile soit dirigée selon le côté AB, ou selon une parallèle à ce côlé. Comptez, de droite à gauche, les degrés com|iris enl#e le diamètre 0.180 el la pointe noire; inscrivez sur le croquis ce nombre de degrés, 75 par exemple, après y avoir

LEVER DES PLAKS. 1:25

ur(^ une droiie \a qui ait une dircclion h peu près parallèle à celle de 1 aif^uillo. .Mesurez la lon^jucur de Ali, eu transporlaiil la boussole au soiniuei H, ei inscrivez celle longueur, (|ue je suppose de 1^0'".

Etablissez 1 iuslrunieul près de B, conmie vous l'avez établi près de A , mais en dirigeant la ligne de mire selon le côté BG. Comptez , de droite à gauche , les degrés compris entre le diamètre 0.1 HO et la pointe noire; inscrivez, sur le crocjuis, ce nond)ie de degivs, lOo par exemple, après y avoir lire une droite Ub sensiblement parallèle a l'aiguille, et par consétjuent, h Aa ; car, en raison de la grande distance où l'on est du point de concours des directions de l'aiguille, ces directions peuvent être regardées comme parallèles sur une petite longueur. Mesurez ensuite le côté BC et cotez-le.

On procède de la même manière h chacun des autres sommets, observant de compter toujours les degrés dans le même sens qu'aux précédents.

Si le terrain présente des courbes, telles que ^n'o'p'Q'F (P. IV, F. i), il sullit, pour les lever, d'en considérer les points principaux N, n, o', p', Q', F comme des sommets de polygone, les parties Nn', no', o'p\ p'Q', Q'F comme des côtés droits, et de dessiner à vue les faibles sinuosités de ces parties.

Orie.ntatio.i. L'aiguille aimanléo n'a pas toujours la même direeiion. .Vussi , chaque année, V Annuaire du bureau des longitudes ou le livre appelé Connaissance des Temps, indique-t-il cette direction, en donnant, sous le nom de déclinaison, l'angle qu'elle lait avec la ligne nord-sud. Mais il arrive que, pendant plusieurs années de suite, la déclinaison ne varie pas: def)us 40 ans au moins, elle est de 22' et occidentale, c'est-à-dire que la pointe noire de l'aiguille se trouve, au repos, à 22' à gauche de la ligne nord-sud.

Il suii de là que, pour orienter un plan levé à la boussole, ou doit tirer, sur le cro(iuis, une droite CS (P. IV, F. A) qui laisse à gauche la direetion Ce de l'aiguille, et inscrire 22' sur l'arc cN compris entre ces droites : INC indicjuera la direction nordsud.

(,)iian(l le lever se fait au graphoniètre (337), on marque, sur le crnipiis, l'angle BAP, de l.'iO par exemple (F. 3), que la base AI) (ail avec raignille, au moment oii l'on est en station au point A; puis, ayant tiré, h droite de AP, une ligne AN, on inscrit 22' sur l'arc d'indication de l'angle NAP. Il est clair que les cotes i.'îO et 22 donneront les moyens de placer, sur le plan au net, la ligne nord-sud NA, conmie elle esi^)lacée en réalité par rapport à la base AB du terrain.

i24 LEVER DES PLANS.

NIVELLEME^T. Lcs différences de niveau des divers points d'iu» polygone levé h la boussole se prennent comme dans les autres levers.

Rédaction. Tirez une droite AB (F. 4) qui soit placée par rapport aux bords du papier ou du cadre, comme sa correspondante du terrain le serait par rapport aux côtés d'un rectangle qui renfermerait le polygone levé; faites au point A et sur AB, avec le rapporteur (357) , un angle de 75° , pour avoir la direction Aa de l'aiguille aimantée; marquez le point B, en portant, de A vers ce point, 120 mètres fictifs de l'échelle ; tracez B6 parallèlement h Aa, et avec le rapporteur, faites en B, sur B6, un angle de i05°, pour avoir la direction du côté BC; donnez à ce côté 85 mètres de l'échelle; et agissez de la même manière au sommet G.

Une parallèle à Aa, Bb, Ce, menée par le sommet D, vous donnera l.a direction du côté DE, puisque le croquis n'indique point, pour ce côté, d'angle formé avec l'aiguille. Au sommet E, il faudrait faire, à partir de DE, un arc de 2G6\ pour avoir la direction de EF; mais comme le rapporteur ne le permet pas, retranchez 2GG" de 560 , et faites un angle DEF égal à la différence 94°. Vous agirez de la même manière aux sommets F, II, où les arcs cotés surpassent aussi 180°.

On devrait , en opérant au sommet G , comme aux sommets A, B, etc., retomber sur le point A; mais il n'en est presque jamais ainsi, parce que le cercle gradué de la boussole et celui du rapporteur, n'indiquant ni les secondes, ni même les minutes, obligent d'estimer à vue les parties de degré, d'où résultent des erreurs qui, paifois, concourent avec celles des mesurages et de la réduction des côtés, pour nuiie h la similiuule du polygone tracé et du polygone levé. Si la ilirrclion du dornier côl('^ pass(^ bien par le point A et que GA surpasse sa cote 00™ ou en soit surpassé, vous répailircz la difiérence sur tous les côtés, proporlionnellement à leurs longueurs , les augmentant dans le premier cas, et les diminuant dans le second. Si GA, ayant 00 mètres de l'échelle, fait, avec la direction Gg de l'aiguille, un angle plus grand ou plus petit que l'angle coté 8 , vous rc'partirez la dill'érence sur tous les angles BAa, Cl\b, etc., proporiionnellement h leurs indications, les augmentant dans le premier cas, et les diminuant dans le second. Si enfin GA n'a ni la longueur, ni la direction que lui assigne le croquis, il faudra opérer les deux sortes de coaqiensation.

Lorsqu'cnlin le jiolygoue du plan au net se ferme et que ses côtés se trouvent proportionnels h ceux du polygone levé, il reste à dcssinrr les df'tails (55i), à former sur Ce, ou sur toute

MEStKAUE D£5 POLYGONES. Ii25

autre dircclioii de l'ait^uillc, iin •.iiif^lc c€N de 2!2 , el à tracer à l'encre , dans un coin dn |>:i|)it'r, la ligne; nord-sud, parallèlement à la «Iroiie au crayon CN, puis la droite est-ouest, perpendiculairement.

339. Nous pourrions, à la rigueur, renvoyei' pour le inosurage des polygones, h celui des triangles: puis<|u'uii polygone quelconque peut toujours èlre décomposé en pareilles ligures , il est clair qu'en mesurant ces triangles et faisant la somme de toutes leurs superficies, on aurait celle du polygone. Mais il est des cas où un mesurago plus expédilif i)eut èlre employé, et il en est d'autres où certaines circonstances rendent la décomposition impossible.

La superficie d'un polygone régulier est la moitié du produit fait avec son contour et le rayon de la circonférence inscrite (316).

Les triangles EAF, FAG, etc. (P. III, F. 30), formés chacun par un côté du polygone et deux rayons de la ciiconférence circonscrite, sont égaux, puisque les côtés d'un quelconque égalent les côiés correspondant!; do tout autre. Par conséquent, la superlicie du polygone vaut celle du triangle FAG , par exemple, répétée n fois, si n exprime le nombre de tous les triangles. Mais

FGxAll FAG = , AH étant une perpendiculaire abaissée du

2 FCXAH

centre A sur FG (287). Donc, h; polygone vaut n ou

FGXmXAH ' - ; et comme il y a autant de triangles que de côtés

dans le polygone régulier, FG X w est le contour de cette ligure, ce qui achève la démonstration.

3iO. Mesurer un polygone régulier quelconque.

Cherchez le centre (314); mesurez une des perpendiculaires tracées, depuis le centre A jusqu'à riiilerseclinn II du côté correspondant (P. m, F. 30); mesurez aussi ce côtéFG; conq)tc/ les côtés du polygone, et applicjuez la formule

rX«Xr

dans laquelle c est le nombre de mètres de FG , n le nombre des côtés <lu polygone, et p le nombic de mètres de Ail. Le résultat indiquera le nondire des mètres carri'-s conleruis dans la supeificieP

341. La mperfidc cVun cercle égale le produit fait avec le quarré numérique durayon et le rapport de la circonférence au diamètre (29).

Le cercle esl un polygone régulier d'un nombre infini de côtés (329), et son contour égale évidemment sa circonférence. Comme cette circonférence est aussi celle qu'on pourrait inscrire au polygone régulier, la superficie d'un cercle (340) vaut la moitié du produit fait avec la circonférence et le rayon r. Mais la circonférence égale le diamètre multiplié par le nombre 3,1416. En

conséquence , le cercle C = . Remplaçant d par sa

3,1416 X^rX?-

valeur 2r, on a C = =3,1416r*, formule conforme

à l'énoncé du principe.

Pour un cercle dont le rayon serait de 3", on aurait , par la formule, C = 9°"" X 3,1416 = 28"'", 2744. Ce résultat n'est pas exact; il se trouve un peu trop grand; mais le produit 9""° X 3,1413 = 28""°, 2735 serait trop petit; de sorte que la véritable superficie d'un cercle de Z"^ de ravon, est comprise entre 28™'°,2733 et 28'""',2744. Au reste, elle diffère beaucoup moins du dernier de ces nombres que du premier, et en la supposant égale h 28'°°',2744, on ne fait pas une erreur d'un centimètre carré.

Il n'est pas rare de rencontrer des hommes qui cherchent les moyens d'obtenir exactement la superficie d'un cercle; chaque année même , plusieurs prétendent avoir trouvé ces moyens. Mais, malgré leurs eflbrts et ce qu'ils appellent leurs succès, le problème est encore h résoudre. N'essayez pas d'être plus heureux ; vous perdriez votre temps et vos peines; car en supposant qu'on pût trouver la quadrature du cercle, c'est-à-dire la mesure exacte de la superficie , ce qui est bien loin d'être certain , la découverte serait fort peu utile, puisque nous possédons le moyen d'approcher de la vraie valeur de celte superficie, autant que nous pouvons le désirer.

Vous avez dc'ja vu effectivement qu'en muliipliani le quarré 9 du rayon par 3,1410, vous ne faites pas erreur d'un centimètre carré; eh bien! si vous preniez pour multiplicateur le nombre 3,141 593, vous n'auriez pas 4 niilliuièlres car-rés de trop, et si vous multij)lii(v. le quaiK'; du rayon par 3,1 H 592 653 59 vous ne vous tromperiez pas de 30 trilliouièmcs de mètie carré. Le résultat n'é(|uivaudrait-il pas à la vérité? l*ouvons-nous mesurer un rectangle plus exactement, aussi exactement même? non, sans douie : riui|)erfection de nos instruments et de nos sons s'y oppose el s'y opposei'a toujours. Laissons donc la (juadrature du cercle

MESCRACE DES POLYGONES. 427

parmi cos piiériliiés dont ne doit jamais s'occuper l'homme qui connaît le prix du lenips.

342. On appelle secteur de cercle, une partie ABKC du cercle, comprise enirc deux ravons AB, AC et l'arc BKC qui les sépare (P. III, F. ôi)).

La superficie d'un secteur de cercle est la moitié du produit fait avec son arc et son rayon.

Kll'cciivenienl, le secteur ABKC est contenu dans le cercle autant de fois que l'arc BKC dans la circonférence A. Soit n ce nombre de fois; ABKC sera la n'*"" partie du cercle A. Or (341),

cir. X r cir. X r cir. r

le cercle vaut ; donc Sect. = = — X -• Rempla-

cir. 2 2;. n 2 ^ „y^^

çanl — par la louL'ueurade l'arcBKC, onaSect. = a X - = ,

formule conforme à l'énoncé du principe.