Arpenter un terrain en pente

La vraie superficie d'un terrain en pente ou d'un polygone situé sur un plan incliné, s'obtient comme celle d'une figure dont le plan est horizontal. Mais, sous le rapport des produits agricoles, on doit chv-iïrcher seulement la superficie du polygone horizontal qui se trouverait compris entre les mèuies plans verticaux que le polygone incliné; car, si d'un côlé les plantes basses peuvent s'étaler plus amplement sur ce dernier, d'un autre les plantes à tiges ou à racines pivotantes n'y viennent pas en plus grand nombre , et le sol y est toujours moins fertile que dans un champ de niveau, attendu que les grandes pluies le dépouillent peu à peu de la bonne terre.

Pour obtenir la superficie horizontale d'un terrain en pente, il suffît de mesurer horizontalement les droites dont la longueur est nécessaire au calcul des triangles et des trapèzes qui composent le polygone donné. On agit h cet effet conformément au n° 129, en suivant la marche prescrite dans les sept derniers articles.

353, Partager ii?i terrain en plusieurs quadrilatères équivalents. Soit, par exemple, le polygone quelconque ABCDE h partager

en 4 quadrilatères équivalents (P. IV, F. 11). Vous mesurerez d'abord ce polygone. Supposons que vous trouviez 067""", 87. Chaque qnadrilaièrc devra contenir le quart de ce nombre de mètres carrés, ou 16G°"",97. Divisez celle superficie par la longueur 22", 50 de AF, perpendiculaire sur CB; le quotient 7"", 42 sera la base d'un triangle égal à la moitié de 4 06™, 07, car cette base multipliée par AF donnerait lGr)"'",97 dont il faudrait prendre la moitié pour avoir la superficie du triangle (287). Portez donc 7"", 42 de B en G; le triangle BAG sera la moitié d'un des quadrilatères cherchés. Pour trouver l'autre moitié, vous diviserez 1GG'"'",97 j>ar 25™, longueur de GlI, perpendiculaire sur AE; vous porterez le quotient G^.GS de A on 1 , et vous tirerez GI. Le triangle .\GÏ , dont la superficie sera la moitié de 25'"XG'",G8, vaudra la moitié do 1()G"',97, et par conséquent, le quadrilatère ABGI sera le premier quart du polygone.

Si maintenant vous portez Aï de I en K , le triangle KiK, qui aura aussi (ill pour hauteur, vaudra AGI (223) ou la moitié de

MESURAGE DES l'ULYGO.-MKS. 135

('^■"■.OT. Pour ili'lcnniiKT uti autre iriangjWî c''(|t:i\alonI, ou pour i. li.vor \o douxirmt' ciuarl du polygone, vous diNiscrc/. 10<)"",97 par iO'jTo, loDfjueur de KL , perpeudiculaire sur B(>5 vous porterez de G en M, le «juolienl C'",:2o, et vous joindrez les points K, M. Le quadrilatère IGMK sera lu seconde <les portions demandées.

Vous [)0urriez fornier la tioisiènie de la même u.anière; mais il serait à craindre qu'elle eût o côtés et que la dernière fût triangulaire. IVmr être eerlairi d'ohleiiir encore i\eu\ (piadrilalères, vous calculerez le triangle KDK, au moyen de sa baseIvE = 6'° et de sa hauteur LVN= 12". Helranclianl de H)(j'"'",97 la superficie 3(j'"™ de KDE, vous trouverez loi»""",!)! pour celle du triangle qui, ajouté à KDE, formera le troisième quadrilatère. Si donc vous divi>ez 130""", 1)7 par 7"°, moitié de la perpendiculaire DO, le quotient 18°, 71 sera la base KP du non\eau triangle KDP; le quadrilatère KKDP donnera le 3" quait du polygone, et Je quadrilatère restant DG.MP en sera la A" portion.

11 pourrait arriver que le triangle KDE eût une superficie plus grande que le quart du polygone donné. Alors, et s'il vous était indill'érent d'avoir, pour une des parts, un triangle ou un quadrilatère, vous reiraiicliorioz i GO""", 1)7 de la superficie de KDE; le reste serait celle d'un triangle à ôter du KDE. Pour en connaître la base, vous diviseriez ce reste par la uioilié de DN; puis vous porteriez le quotient do K en R , par exemple. Le triaiigle Il DE serait la 3" portion et le pentagone KIIDCM serait la Â'. Mais, s'il fallait absolument (pj'aucune des parts ne lût tiiaiigulaire, vous feriez sur tout autre triangle KEM, KC3I , elc, ce qui a été fait en premier lieu sur KDE.

Il serait possible aussi qu'une des limites du polygone fût sinueuse. Vous la décomposeriez en petites parties qui [)usseni être regardées, sans grande erreur, comme des lignes droilps, et vous agiriez sur Itî nouveau polygone, comme dans l'exemple précédent, formant toujours des triangles dont l'ensemble [)rodtiisîi une des portions. IJieu entendu (\\\e, dansée cas, deux, trois, etc., dos petites parties de la limilc; sinueuse compteraient pour un seul cùté de quadrilatère ; de sorte que les parts de terrain sciaient censées avoir cette figure, quoi qu'elles fussent réellement des pentagones, des hexagones, etc.

334. Partager un pnlyfjonc en parties exprimées par des fractions inéfjak'S dont la somme forme l'unilê.

Supposons qu'il s'agisse d'obtenir trois portions dont la première soit '/:. tli* polygone, la seconde '/i et la troisième ''/n- L'opération revient encore au partage en poiiions ('(juivalentcs;

car les fraciions données^ réduites au même dénominateur, deviennent j^, j^, —', leur somme doit faire et fait eflectivemenl jj ou i ; et si l'on partage le polygone en 12 parties de même superficie, la réunion des quatre premières de ces parties donnera les ^ ou ^ du tout, l'onsendjle des 5 parties suivantes formera les — ou \, et le reste se trouvera composé de o parties ou de — .

o5o. Nous voici arrivés à l'étude des faces courbes. La première cliosc h faire, c'est d'apprendre h les représenter exactement sur le papier ou, ce qui c£vient au même, h dessiner les corps de manière qu'au moyen d'une échelle, on puisse en trouver les véritables dimensions.

Pour que le dessin d'un corps en donne exaclemeni les dimensions, il doit se composer de deux parties : le plan et rélévalifm.

Le plan d'un cor])s cal l'ensemble des pieds des perpendiculaires abaissées des divers points du corps, sur un plan horizontal: en général, ces points sont unis sur le plan, par des droites ou des courbes, selon qu'ils le sont dans le corps par des droites ou des courbes.

Placez votre équerre de façon que ses faces triangulaires soient hoi'izonlalcs, et placez des fils-a-plondj aux trois sommets. Ces fils marqueront trois points sur un plan horizontal situé au-dessous de l'équerre, à une distance quelconque. Unissez ces points par trois droites, vous aurez un triangle parfaitement égal aux faces triangulaires de l'équerre. En cllot, les fils-à-plomb sont parallèles, et les droites horizonlalcs qu'ils comprennent entre eux sont égales, puisqu'elles sont aussi parallèles (110); par conséquent, les côtés du triangle fait sur le plan horizontal, sont égaux aux côtés correspondants des faces triangulaires de l'équerre, et il s'ensuit que ce triangle égale chaque face (-1G). Un tel triangle est le plan de l'équerre; il en fuit connaître toutes les dimensions, l'épaisseur exceptée.

Il est clair, d'après cela, qu'une pièce de bois coupée d'éqiierre, dont les deux bouts fieraient des carrés, et qui se trouverait placée verticalement, aurait un carré pour son plan ; les côtés de ce carré donaeraient la largeui- et l'c-paisscMir de la pièce 5 la longueur serait la seule dimension que vous ne pourriez prendre sur le plan.

Si une des longues faces de la même pièce était horizontale, le plan serait un reriangle j)récis('meut égal à celle face et à la face ojijiosée; il ferait connaiire la longueur et la largeur de la pièce, mais il ne donnerait pas r(''paisscur.

DF.SSI.1 DES COKPS. 155

' Observez que les perpendiculaires qui vont des points dun corps, aux points correspondants de son pinn, donnoiit les dislances des points île ce corps au plan lioiizontal sur l('(|uel il esi dessiné.

En géométrie, le pian d'un corps en est la projeclion Iiorizontaie; les perpendiculaires qui le «b'terniinent sont appelées lujnes projetantes; mais on peut, sans inconvénient, se dispenser d'employer ces noms.

3oG. L'élévation d'un corps n'est autre chose que son plan fait sur un plan vertical.

Il faut donc, pour la déternuner, abaisser, des divers points du corps, des perpendiculaires sur un plan vertical, et généralement joindre les pieds de ces perpendiculaires par des dioitcs ou des courbes, selon (pie les points correspondants sont joints par des droites ou des courbes.

Notez bien que la position du corps pendant qu'on fait son élévation, doit être absolument la même que celle qu'il avait pendant la construction du plan : le plan et l'élévation sont deux dessins inséparables qui se ra[)poilcnt à une seule position du corps.

Lors donc qu'une équerre est horizontale et que son plan est un triangle égal à celui de ses grandes laces, son élévation est un rectangle dont les grands ciUés sont horizontaux et dont les petits côtés sont des veilicales égales h l'épaisseur.

La pièce de bois verticale que nous avons vue avoir un carré pour plan, a pour élévation un rectangle dont les grands côtés sont veiticaux et d'une longueur égale à celle de celle pièce.

Quand la même pièce, placée horizontalement, a pour plan un rectangle, son élévation est un carré, si les longues arêtes sont p(M[)eiidiculaires au plan vertical, et les côtés de ce carré donnuiit l'i'paisseur.

Vous voyez par la, que l'élévation peut faire connaître la dimension que ne fournil point le plan.

L'élévaiion d'un corps esi aussi appelée projection verticale ; les perpendiculaires <pi'on abaisse sur le plan vertical pour la déterminer, sont dites lignes projetantes, comme les verticales qui déterminent le plan. Il est visible, au reste, que ces perpendiculaires sont des horizontales, et cpie leurs longueurs égalent les distances des points du corps au plan vertical sur Icipiel l'élévation est dessinée.

Le plan horizontal qui contient le |)lan d'un objet, et lo plan vertical qui eu renferme l'élévation , sont souvent appelés plans de projection.

557. Afin de pouvoir faire , sur une même feuille de papier, le plan et réiévaiion d'un corps, on y trace parallèlement au bord inférieur ou supérieur, une droite un peu forte, comme les lignes de résultat. Celte droite, nommée ligne de terre, est censée l'intersection d'un plan horizontal et d'un plan vertical ; on suppose que la partie du papier située au-dessous, est le plan horizontal du terrain, et que la partie située au-dessus, est un plan vertical, celui d'un mur par exemple. 11 faut s'habituer h considérer la feuille comme si elle était pliée selon la ligne de terre, de manière que la partie inférieure fût horizontale, et la partie supérieure , verticale,

358. Construire h plan et V élévation d'une cquerrc dont les grandes faces sont horizontales et dont l'un des petits côtés est parallèle au plan vertical.

On suppose que ce petit côté est éloigné de O",! du plan vertical , que la face inférieure de l'équerre se trouve h 0'",2 du plan horizontal, que l'épaisseur est de 0"°,02, que le côté parallèle au plan vertical a 0°',4, que l'autre petit côté a O",^ et que l'échelle est au dixième.

Élevez, en un point quelconque A de la ligne de terre YZ (P. IV, F. 12) , une perpendiculaire AB; portez 0",04 de A en C, et par le point G, menez une parallèle h AB; prenez AD et CE de O^'jOl, puis lirez DE; prenez DF de O^jOS, puis tirez FE. Le triangle EDF sera le plan de l'équerre , car le côté DE de ce plan doil être parallèle h la ligne de terre, comme le côté correspondant de l'équerre (194) , et autant éloigne de celte droite, que le côté l'est du plan vertical.

Maintenant, portez O^jOâ de A en G et de C en II, puis 0'",002 de G en ï et de ïl en K. Les droites GII, IK achèveront le rectangle qui doit former l'élévation de l'équerre (ôoH) ; car il faut évidemment que le côté GII de ce rectangle soit éloigné de la ligne de terre, autant que la face inférieure du corps est éloignée du plan horizontal. j

Vous voyez par là que, sur le dessin complet d'un corps, les distances au plan vertical sont les perpendiculaires à la ligne de terre, tracées dans le plan horizontal, comme AF, CE, et que les dislances au plan horizontal doivent être mesurées sur les perpendiculaires à la ligne de terre, tracées dans le plan vertical, comme AI , Cil.

Ainsi, non seulement le dessin coniplct d'un corps fournit toutes les dimensions dont ou peul avoir besoin , pour construire ce corps, mais en outre il donne les moyens de le placer comme il élait placé ou comme il doit l'être. Elleclivement, il suflira't de

SURFACES COl'RDES. \o7

faire, sur le terrain ou sur un plancher, un irian^'lc semblable h EDV , en décuplant les côtés de ce dernier, et de planter verticalement, aux soninif'is du nouveau tiiangle , trois liges décuples de AG, pour poser l'éipieric horizonlalcmenl et h une distance de ()°',t2 du |)l;iu liori/ontal.

359. C'est parfois uniquement pour donner les vraies dimensions d'un ror[)s ei indiipier les positions exactes de ses parties, les unes par rapport auv autres, (pion lait un plan et une élévation. Dans ce cas , on ne tient aucun compte des distances de ces parties au plan vertical ou au plan liori/onial; ces deux plans n'existant pas, et ne devant servir qu'à l'intelligence du dessin , sont |)lacés arbitrairement par rappoit au corps. Quelquefois même on y substitue deux faces de ce corps, s'il en a deux qui soient perpendicidaires entre elles, afin de simplifier le tracé.

La figure 13 (P. IV), par exemple, présente aussi bien que la figure 12, les dimensions et la forme de l'objet dont elle contient le plan et l'élévation , quoique ce soit la grande face inférieure de l'équerre qui serve de plan horizontal , et une des petites faces qui serve de plan vertical.

ÔGO. Construire le plan et l'élévation d'une pièce de bois longue de G"", large de U™,5, épaisse de 0^,2.

Puisqu'on peut prendre arbitrairement les pians de projection, nous supposerons le plan horizontal parallèle aux larges faces et le plan vertical parallèle aux faces élioiles. H s'ensuivra que les longues arêtes seront parallèles h la ligue de terre YZ (P. IV, F. It). Faites donc un rectangle ABCD, dont les grands côtés aient G° ou G parties de l'échelle , et soient parallèles h YZ ; donnez 0",5 aux petits côtés AD , BG, et prolongez-les sur le plan vertical; tracez FF parallèlement à Y'Zj prenez EG et Fil de 0'°,2, puis tirez GII. Le rectangle ABCD sera le plan de la pièce de bois, et le rectangle EFHG en sera l'élévation.