trapèze = -— ^ = ^. -f- - j

2« trapèze = — ^— = (- -f -J /, ,

4« tra\>èze = =(-}__) /i.

Conséquemment, la somme de tous les trapèzes est

/h b' b' b" A" b'" b'" b'^\ /b 6IVV

Or, les bases 6', b", b'" sont comnuines chacune à deu\ trapèzes

b bi"

consécutifs; -, — sont les moitiés des bases extrêmes , c'est-àdire de Ci'lles qui terminent l'ensemble des trapè/es. Donc, le principe énoncé est vrai, car on obtiendrait, pour tout autre nombre do trapèze, un résultat analogue au précédent.

3i7. lorsque, dans une suite de trapèzes terminée par deux

ISO MESIRAGE DES POLYGONES.

triangles j les figures ont toutes même hauteur et deux à deux une base commune , la superficie totale est le produit fait avec la hauteur d'une seule figure et la somme de taules les bases.

D'abord (5 40, l'ensemble ABCD des trapèzes (P. IV, F. G)

vaut ■ 4- V -\- —h.

2 ' 2 èxA b b"

Mais le triangle ABE = = - X /t et le triangle CDF = -xh.

Donc, la somme de toutes les figures ou la superficie EADFCBE

= (--{ \-b'-{- - -}--)h=ib-\-b' -\-b")h, comme le dit

le principe.

548. Si une suite de trapèzes est terminée d\in seul côté par un triangle, et que toutes les figures agent même hauteur, la superficie totale égale le produit fait avec la hauteur d'une seule et la somme de toutes les bases communes, augmentée de la moitié de l'unique base extrême.

Ainsi (P. IV, F. 6), la superficie EADCBE = ^6 + 6'+ -)/i :

cela résulte nécessairement des deux principes qui précèdent.

549. Arpenter un terrain limité par une courbe à deux pointes , dans lequel on peul opérer.

Portez, sur la droite AB des pointes (P. IV, F. 7), autant de fois qu'il sera possible, une longueur AC, arbitraire, mais assez petite pour que les arcs de courbe qui réponchout aux divisions do AB puissent être regardas comme des droites, sans grande erreur. Elevez des perpendiculaires sur AB, à tous les points de division, et mesurez-les.

Alors, le terrain présentera une suite de trapèzes terminés par deux triangles, et tous les iiapè/es auront la liauiour du triangle ADE. Si donc il arrive que l'auire triangle BFG ait aussi même hauteur que ADE, vous tiouvcrez la superficie limitée par la courbe, en appliquant le principe 547. Dans le cas contraire, il Taudra recourir au principe 548, pour avoir la superficie ADFGEA; puis y ajouter celle du triangle BFG.

On serait sûr de rendre la hauteur du triangle BFG égale h celle des autres figures, si Ton se servait du procédé 109 pour diviser AB en parties égales, ou bien si l'on mesurait celte longueur, et qu'après avoir partagé le nombre de mètres trouvé en un certain nond)re de parties égales, on porlAl une de ces parties le nu'me nnuibre de lois de \ vers B. 3îais ces manières d'opérer seraient beaucoup plus longues que la précédente, et renfermeraient bien plus de chances d'erreur.

350. Arpenter un terrain limité par une courbe à bouU arrondis, dans lequel on peut opérer.

Marquez les oxlmnilés A , 1> d'iino des plus grandes droilcs du terrain ([•. iV, V. S), et sur celle droite, d;ins le voisinii^e de A, un point C; porioz , à partir de C, le long de CB, autant de fois qu'il sera possible, une longueur CD, arbitraire, mais assez petite pour que 1er, arcs de courbe qui répondront aux divisions égales, puissent «Hrc regardés comme des droites, sans grande erreur; élevez des perpendiculaires sur \\\, a tous les points de division; iilantez, sur la [)reniicre , deux jalons E, F qui forment, avec ses extrémités et celles de la seconde* deux triangles EGII, FKI sensiblement équivalents aux parties ACG, ACK du terrain; plantez aussi, sur la dernière perpendiculaire, deux jalons«L, M qui forment, avec ses exlrémili'S et celles de ravant-derniùrc, deux triangles LNO, 3IPQ sensiblenienl équivalents aux parties BRO, mQ du terrain ; enfin, mesurez EF, HI, , NP, iM.

Vous aurez alors une suite de trapèzes dont l'ensemble EFIPMLMIK sera équivalent h la superficie limitée par la courbe AGOBQKA. Si donc la liautcur US du dernier trapèze égale celle des autres, l'application du principe ôiG vous donnera, par une simple multiplication, la superficie cherchée. Dans le cas contraire, le même principe vous fera trouver la superficie EFiPMlE, et vous n'aurez plus qu'à y ajouter celle du dernier tra|)èze LMPN, dont vous aurez mesuré la hauteur RS.

55 1 . Arpenter un terrain quelconque dans lequel on ne peut opérer.

Pour faire, sans équerre d'arpenteur, le mesurage d'un bois, d'une vigne, d'un él;i-ng, etc., il faut prolonger trois côlés du polygone, de manière à former un triangle ABC <pii embrasse tout le terrain (P. IV, F. 9). Ce triangle doit n'avoir aucun de ses sommets sur ceux de la figure donnée , afin que ses côlés, étant moit)s longs, soient plus faciles à mesurer. Appliquant le calcul du n" 290, on diUermine la superficie de ABC, et celles des petits triangles A 1)1'., BFG , CUl; |)uis, après avoir fait la somme de ces trois dernières, on la retranche de ABC. Le reste est évidemment la superficie du terrain DEFGIII.

Avcz-vous une é(pierre d'arpenteur? marquez par des jalons, les pieds A, B (F, 10) des p(M pcndiculaires à un côlé 01, qui passent par deux sommets E, 11; marcjuez aussi le pied C de la perpendiculaire abaissée de G sur l'alignement BII (^i2); piaulez enfin un 4' jalon à la rencontre Iv des alignemenls AE, CG. Vous aurez alors un rectangle ABCK qui renfermera le polygone donné et dont vous calculerez aisément la siqjcriicic (!27-)). La muilié du produit AD:< AE vous donnera celle du triangle. DAE |iH7); la

MESURAGE DES POLYGOPCES.

nioilié du produit BI X BII sera celle de IBII; la moitié du produit CH X CG sera celle de IICG. Abaissant la perpendiculaire FL, vous formerez un 4° triangle extérieur FLG et un trapèze EKLF, que vous mesurerez aisément aussi; faisant enfin la somme des 4- triangles extérieurs et du trapèze, puis retranchant cette somme de la superficie du rectangle , vous obtiendrez évidemment pour reste celle du terrain DEFGHl.