Cuber un prisme quelconque

Supposons qu'il s'agisse d'une pièce de charpente pareille au prisme triangulaire oblique de la figure 51 (P. lY). Vous calculerez la superficie de la base ADC en mètres carrés, par exemple (287), et vous la multiplierez par la longueur de E'H prise en mèlres, au moyen du fil-h-plomb. Le produit sera le volume de la pièce en mètres cubes ; mais vous le convertirez aisément en décisières (424).

S'il fallait déterminer la capacité d'un grenier h. fourrage dont la forme fût celle d'un prisme triangulaire et droit, vous mesureriez la superficie d'un des pignons triangulaires, et vous la multiplieriez par la dislance horizontale de ces pignons, laquelle serait la hauteur du prisme.

427. Le volume d'un tronc de prisme triangulaire ABCDEF (P. IV, F. 32) égale le produit fait avec la superficie de la base ABC et la moyenne des dislances de cette base aux trois sommets de la troncature DEF (396).

Faisons passer un plan par les sommets A, C, E; il détachera une pyramide qui aura même base ABC que le tronc et son sommet au sommet E de la troncature (Voyez l'article 430 des Pyramides). Le reste formera une pyramide quadrangulaire dont le quadrilatère ACDF sera la base et le point E le sommet.

Faisons passer un second plan par les points G, E, F; il partagera la pyramide quadrangulaire en deux pyramides triangulaires qui auront E pour sommet commun ; If triangle AGF sera la base de l'une, et le triangle CDF, celle de l'autre.

Mais, puisque BE est parallèle a la face latérale ACDF du tronc, une pyramide dont ACF serait la base et B le sommet, aurait même base et même hauteur que la pyramide EACF , et la vaudrait en volume, comme il sera démontré plusloin (437). D'ailleurs, la pyramide BACF peut recevoir pour base sa face ABC, pourvu qu'on lui donne F pour sommet. Par conséquent, la pyramide EACF équivaut h une pyramide FABC qui a même base ABC que le tronc et son sommet au sommet F de la troncature.

Quanta la troisième pyiamidc ECDF, elle peut prendre pour base sa face CDI'> et pour sommet son j)oint F. On voit alors qu'elle équivaut h la pyramide de même hauteur ACDE. Cette dernière peut recevoir pour base sa face ACD et pour sommet le point E, ce qui montre qu'elle équivaut à la pyramide BACD, de mêm;; hauteur. I^nfin , celle ci, renversée, prend sa face ABC pour base cl son point D pour sommet. Par conséquent, la iroi-

HESURAGE DES PRISMES. iG3

sième parlie du tronc, c'est-ii-dirc la pyramide ECDF, équivaut h une pyramide DABC qui a même base que le tronc et son sommet au troisième soniniPt de la troncature.

Le tronc df prisnio irianf,'iilairc vaut donc la somme des trois pyramides KAIU!, DABC, rVBC. Or, nous démontrerons (438) que le volume de chacune égale le tiers du produit fait avec sa base et sa hauteur, c'est-à-dire la distance de cette base au sommet. Si donc les distances du plan ABC aux trois sommets D, E, F de la troncature soûl respectivement d, d'y d", et que le triangle

by<d b-xd' ABC soit représenté par b, nous aurons T.P.T= (

Axf/" d-^-d'-hd' 3 3

-j =6X , formule conforme h l'énoncé du principe.