Op. varie autogr., Marciana, bid., fo 225 verso

5. — La lettre au Procurateur Emo est, en effet, du 14 décembre 1747, par conséquent antérieure à celle que le P. Orseolo da Ponte, élève lui-même de Guido Grandi, écrivit dans le même but à Suzzi le 20 décembre ; à celle aussi que Marzaglia mandait aux mêmes fins, à Maffei le 21 décembre.

cond degré et toutes celles de degrés supérieurs (bicarrées, trinômes, réciproques, etc.) dont la résolution se ramène à celles du second degré. Il y avait là une lacune sembiant prouver une impuissance de la méthode algébrique.

L'intérêt de la question est notable, l'équation du troisième degré se rencontrant fréquemment dans les calculs algébriques. C’est à elle que conduisent naturellement de nombreux problèmes sur les volumes ; l'étude des courbes du troisième degré — ou cubiques — qu’une droite coupe en général en trois points demanderait à être complétée par la détermination exacte des coordonnées de ces points par rapport à un système de référence — détermination qui se fait surtout de nos jours de manière approximative par la méthode de Newton, entre autres.

La controverse au sujet de la formule trouvée par Cardan au milieu du xvi° siècle est née du fait que deux cas très distincts se présentent dans le calcul des racines de cette équation :

1. — Celle-ci à une racine réelle ; 2. — Celle-ci a trois racines réelles,

Dans le premier cas, la méthode purement algébrique aboutit à la formule de Cardan dont l’expression suivante donne la racine réelle :

3 ————— 3 a —— X=\/-5+ VON + V3 VE GT l'équation générale ax° + bx? + cx + d = o ayant été, par un changement d’inconnue classique mise sous la forme

plus simple : x° + px + q = 0 (1).

Les deux autres racines, dans ce cas, sont imaginaires conjuguées.

Dans le deuxième cas, la méthode qui a conduit à la formule de Cardan peut s'appliquer sans modification, et elle donne des expressions algébriques formées au moyen de radicaux pour les trois racines de l’équation (1) ; mais ces expressions sont impropres au calcul numérique de ces racines, car les radicaux cubioues portent sur des

quantités imaginaires, et l’on démontre qu’il est impossible de les calculer numériquement sans passer par la méthode trigonométrique.

Suzzi était convaincu que l’on pouvait algébriquement trouver les valeurs numériques des racines dans ce dernier cas. Induisant à tort de deux cas particuliers favorables à une formule générale, il avait cru trouver une solution originale du problème.

Ortes lui précisa de facon irréfutable les raisons pour lesquelles ce calcul est inacceptable : « La différence provient de ce que devant, pour appliquer votre formule, extraire la racine bicarrée d’une quantité, vous croyez que l’on peut arbitrairement choisir celle qui est la plus commode des quatre racines fournies par le calcul. »!, Et reprenant tout au long le calcul incriminé, il montre que le choix arbitraire par lui reproché à Suzzi conduit à des contradictions flagrantes du genre de celle-ci :

+= À, c'est-à-dire 5 = 0.

Au contraire, un choix judicieux des racines et l’utilisation desvaleurs imaginaires (i V & ) délaissées par Suzzi et imposées par la logique même du calcul, conduit à une formule acceptable qui ne diffère pas, au fond, de celle de Cardan.

Ortes a donc vu juste dans l'examen de cette question où il fait preuve d’un esprit critique véritablement, avisé.

Le problème n’a d’ailleurs pas progressé depuis qu’il écrivit la conclusion de cette dernière lettre : « A tout cela je vous supplie de bien réfléchir. Par ailleurs, chacun concède que la formule de Cardan donne les racines de l’équation même quand les trois sont réelles ; dans ce cas, l'expression qui les renferme est irréductible algébriquement, à cause précisément des imaginaires qu’elle renferme »?.

1. — Opere varie autogr,. Marciana, It. cl. II, cod. CXXXVIII, fo 224 verso.

2. — Opere varie autogr., Marciana, It. cl. II, cod. CXXXVIII, fo 225 verso.

La méthode trigonométrique à laquelle il est fait allusion utilise non pas à proprement parler la trisection de l'angle — dont parle Ortes dans une précédente lettre au Procurateur Emo! — mais la comparaison des raci-

nes de l'équation x °+ px + q = 0 à celles de l'équation Cos * Le cos 8 = Cos 0 = o qui donne Cos À en fonction de Cos 4. La méthode trigonométrique, en effet, peut seule être employée lorsque se présentent des racines imaginaires, et Ortes avait parfaitement compris l'insuffisance de la méthode exclusivement algébrique.

Suzzi finit d’ailleurs par reconnaître son erreur, mais

plus tard ?.

Autre problème. — En 1751, un certain archiprêtre, Basilopoulos, avait donné une solution du problème de géo-

1. — Opere varie autografe, Marciana, ibid., f° 221 recto in fine.

2. — Dans une lettre à l’abbé Conti, en 1748 : « Nell’ozio delle presente vacanze ripassati i miei dubbi, trovo della mia sincerità l’affermare che la mia espressione è imaginaria. » (Rapportée par MENEGHELLI, Opere scelte, t. III, p. 120, note). On trouve aux manuscrits d’Ortes (Opere varie autografe, Marciana, It., class. II, cod. CXXXVIII, f°* 222, 223 recto et verso ; 224 recto) copie de la Lettre à Angelo Quirini où Suzzi exposait la formule qu’Ortes réfuta.

métrie suivant ! : « Etant donné deux longueurs, en construire deux autres formant avec les deux premières une proportion dont les longueurs cherchées sont les termes moyens ».

Si l’on désigne par «a et b les longueurs données et par x et y les longueurs cherchées, celles-ci doivent satisfaire

à 1a condition = OU Zy = ab, ce que l’auteur appelle

medias continuo proportionales.

Le problème en lui-même est irdéterminé puisque les deux longueurs inconnues x et y ne sont liées que par une seule relation xy = ab. Il a par suite une infinité de solutions. Il ne peut être déterminé que si l’on impose aux inconnues une condition supplémentaire (par exemple somme, différence, somme des carrés, etc. égale à une quantité donnée). La construction proposée par Basilopoulos, même si elle était exacte, demanderait à être complétée par la détermination de la deuxième condition qui lie les longueurs trouvées en tenant compte de la construction effectuée,

Ortes, à qui n’avait certainement pas échappé cette insuffisance, prouva que la construction proposée contenait une pétition de principe nullement justifiée par la suite. L'auteur, en effet, avait besoin, pour que la construction réussit, qu’un certain point fût le centre d’un rectangle. Ii commençait par l’admettre annonçant qu’il le démontrerait après coup. C’est précisément. cette dernière démonstration qui est entachée d'erreur et qu’'Ortes réfuta de facon péremptoire.

IV. — DE L’ELECTRICITÉ. — Nous ne terminerons pas cet exposé rapide de l’œuvre scientifique d’Ortes, sans signaler un chapitre relatif à l’Electricité, extrait de son traité de la Physique pour les Gentilshommes ©.

1. — Opere varie autografe, Marciana, It, class. II, cod. CXXXVIII, fo 227 recto.

2. — Estratto dalla Fisica per li Cavalieri, chap. IX. Dell’ Elettricità (Studi varii autografi, Marciana, It, class. XI, cod. CXXXV, f” 58 à 64 recto et verso).

Ortes définit l'électricité « une certaine propriété qui se révèle dans les corps lorsqu'on les frotte d’une main sèche, ou lorsqu'on les lustre avec des peaux d’animaux, du gros papier ou d'autre matière rude et sèche »1. Il note que les corps ainsi électrisés ont la faculté d'attirer et de repousser alternativement les corps plus légers ; que de leurs « angles ou de leurs pointes si on approche le doigt ou un autre corps on voit sortir un plumet bleuté »?, et que la direction de l’effluve est droite et non circulaire *.

Tous les corps sont plus ou moins susceptibles d’être électrisés ‘, et la possibilité de cette transmission permet la propagation de l'électricité à quelque distance que ce Soit, avec une rapidité qui rappelle celle de la lumière .

Il n’est pas nécessaire que le corps à électriser par communication soit en contact immédiat avec le tube électrique : un voisinage convenable suffit 7. Et si, entre un corps électrisé et un autre non électrisé, on met à distance appropriée un troisième ccrps également non électrisé mais très apte à l'être par communication, il absorbera toute l'électricité ; par contre, si ce troisième corps était peu électrisable par communication, tout le fluide

1. — « ..L'Elettricità. è une certa virtù che si eccita nei corpi collo stropicciarli con mano adusta e secca, o collo stroffinarli con pelli d’animale, carta grigia, o altra materia pur ruvida ed asciutta ». Dell’Elettricità (Studi varii autogr., Marciana, tbid., fo 58 recto).