ANALYTIQUE

OU

Solation par la seule analyse , de ce problème général : Tromperies intersections des cercles horaires avec une surface donnée.

La gnomonique a pour objet de tracer les intersections des cercles horaires avec une surface donnée. Divers auteurs ont traité ce sujet pins ou moins complètement : les uns n'ont presque indiqué que les moyens mécaniques; d'autres se sont appuyés de considérations géométriques, et ont enseigné des procédés graphiques; quelques-uns ont emprunté le secours delà Trigonométrie, et ont employé le calcul. Je n'en connais aucun qui n'ait fait usage pour cela que de la seule analyse (^). Cependant il m'a paru que ce moyen devait conduire à des

{*) On trouve ce même sujet traité analytiquemenl , mais d'une manière différente, dans la nouvelle édition ieV Astronomie phjrsique de M. Biot ^ laquelle est postérieure à la lecture de ce Mémoire.

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résultats plus généraux , dispenser de la considération des triangles y et fournir des formules simples, et dont l'application n'a besoin que de la connaissance et de l'usage d'une table de sinus. J'ai donc cherché par les méthodes connues de l'analyse, la solution de ce problème général : Th>ui^er les intersections des cercles horaires as^c une surface connue ^ plane ou courbe; mais j'ai cru devoir suivre une marche progressive et graduée y et commencer par les cas les plus simples, pour passer ensuite à ceux qui sont plus compliqués. Outre que cette méthode fatigue moins l'esprit , elle a encore cet avantage^ que les solutions particulières obtenues d'abord servent ensuite à vérifier la solution générale du problème, dans laquelle elles doivent se trouver renfermées. Mais avant de présenter ici le tableau des formules qui conviennent aux divers cas que j'ai examinés, je pense qu'il est à propos de &ire connaître la marche que j'ai suivie pour les obtenir.

J'ai pris pour les plans rectangulaires coor* donnés auxquels doivent se rapporter tous.jés points de l'espace, les plans de Y horizon ^ùm méridien et au premier vertical. J'ai cherché , dans ce système , l'équation générale des cercles horaires, ou plutôt de leurs plans ; et en combinant cette équation , i °. avec celle du plan de Thorizon, j'ai eu la formule qui donne la direc-

GNOMONIQUE ANALYTIQUE. jS

tioQ des lignes horaires sur le plan horizontal ; 1"*. avec celle du premier vertical, j'ai eu de même la direction des lignes horaires sur ce dernier; 3"*. avec celle du méridien, je n'ai trouvé qu'une équation où l'angle horaire n'entre plus , et qui appartient à l'axe du monde , lequel est, comme on sait, la commune intersection de tous les cercles horaires. Il n'y a donc pas d'autre ligne horaire sur le plan du méridien. Mais ces lignes peuvent être tracées sur un plan parallèle au plan du méridien; et l'on obtient la formule pour ce cas, en traitant l'équa*tion des cercles horaires avec celle de ce plan parallèle.

L'application des 'formules trouvées suppose qu'on sait tracer une ligne méridienne sur le plan donné. Les méthodes pour tracer une pareille ligne sur un plan horizontal sont assez généralement connues (^). Maintenant si, sur cette méridienne horizontale, on prend un point, que Ton considérera comme le centre de la sphère^ et qu'à ce point on fixe un style exactement diirigé vers le pôle, ce style représentera Vaxe du monde , autour duquel se fait le mouvement diurne dn soleil ; et si de ce même centre

{*) Pour la manière de tracer une méridienne horizontale , voyez V Étude du Ciel^ pag. 65 et 283.

yÔ GNOMONIQUE ANALYTIQUE^

on mène des droites qui fassent avec la méridienne les angles indiqués par la formule, ces droites seront les lignes horaires demandées. Comme ces angles sont donnés par leurs ten^ genteSj on tracera ces lignes avec plus de facilité en élewmt ime perpendiculaire au bout de la méridienne, et prenant sur cette perpen* dicidaire les valeurs des tangentes pour un rayon égal à la partie de la méridienne cornprise entre le centre et la perpendiculaire. Ce procédé est extrêmement simple, et facile à exécuter.

Four le plan du premier vertical, toute ligne droitemenée bien d'à-plomb est une méridienne- Le point de cette ligne où Top plante le style, toujours exactement dirigé vers le pôle , est le centre de la sphère , et Forigine commune de toutes les lignes horaires, que Ton pourra en*core tracer par le moyen qu'on vient de dire. Enfin , pour le plan parallèle au plan du méridien, il ne pourrait y avoir de méridienne ni de centre : mais le style regardant toujours le pôle , et étant porté par une verge de métal perpendiculaire au plan , les lignes horaires seront toutes parallèles entre elles et à la droite menée par le pied de la verge parallèlement au style, c'est-à-dire qu'elles seront toutes diri^ gées vers le pôle. Cette dernière droite sera la ligne de six heures , et les autres ligues horaires.

GNOMONIQUE ANALYTIQUE. y<y

en seront distantes verticalement de la quantité donnée par la formule.

Après avoir trouvé les formules qui conviennent à ces trois cas » il est bon de les, discuter^ et je fais voir qu'elles conviennent li tous les pays de la terre. Seulement , lorsqu'il s agit des lieux situés sous Féquateur 9 la première formule ne donne rien, c'est que l'axe du monde est alors couché sur le plan horizontal , et que les intersections de tous les cercles horaires avec ce plan se réduisent h cette seule ligne. Il faut donc ici chercher les intersections de ces cercles avec un plan parallèle au plan horizontal, et qui en est distant d'une quantité connue. De même sous le pôle y à une latitude de go degrés, la seconde formule ne donne rien pour la même raison f et c'est seulement sur un plan parallèle an plan du premier vertical que l'on peut tracer les lignes horaires. Les formules , pour ces deux cas , nous donnent encore des lignes parallèles entre elles , et dirigées , comme le style , vers les pôles du monde. Nous observerons , pour les points qui ont une latitude de go degrés , que tout plan vertical peut être considéré comme le premier vertical.

Après avoir ainsi discuté les formules trouvéesy j e résous le problème par rapport aux plans verticaux , autres que le premier vertical. On appelle déclinaison l'angle que fait un plan

jS GliOMONlQUE ANALYTIQVEà

vertical avec ce dernier. Four trouver cette dé* clinaison , je fais usage d'une méthode extrêmement simple. Voici en quoi eUe consiste : je fixe une petite tringle de fer bien perpendicu-^ lairement au plan donné. Au moment de midi vrai (*) f je marque sur le plan rextréniité de sofi omibre, et par le point marqué je ùa& passer une verticale : je trace encore par le pied de la tringle une ligne horizontale qui va couper la verticale en un certain point , et je conçois cette portion de l'horizontale comme la base d'un triangle qui a son sommet à l'extrémité anté* rieure de la tringle. L'angle formé en cet en* droit 9 et qu'il est facile de calculer , est la ilécUnaison demandée.

Ayant enseigné à trouver la déclinaisoiik d'un plan vertical quelconque, je pirends l'équation générale de ceè sortes de plans, et en la corri'^ binant avec celle des cercles horaires, je parviens à des résultats qui convielanent aux projections des intersections cherchées. Mais ce sont ces intersections elles-mêmes qu'il nous

('^)Ce luameût du raidî viai sera donné par «ne mé^ ridienne horizontale. En général , lorsqu'on veut tracer un cadran solaire sur un plan autre que le plan horizontal , il convient d'avoir tout auprès un plan horizontal sur lequel on aura tracé une méridienne^ et qui portera un stjle ou gnomon, pour indiquer ThetuNef cke midi, "c. .

Esiut pour pouvoir les tracer facilement sur le plan donné : ceci entraine la nécessité de changer les plans coordonnés^ et de faire en sorte que l'un d'eux coïncide avec le plan donné. On arrive aisément à ce but , en faisant tourner le plan du premier vertical sur Taxe de l'horizon , jusqu'à ce qu'il ait la même déclinaison que ce plan : le plan de l'horizon demeure immobile ; mais le plan du méridien tourne en même temps que le premier vertical. Les plans auxquels tous les points de l'espace sont rapportés, étant dans cette nouvelle position , on change convenablement l'équation des cercles horaires; et en la combinant avec celle du plan , on trouve une formule très simple qui donne toutes les lignes horaires sur ce plan.

* On pourrait ici mener encore sur le plan une verticide quelconque qu'on prendrait pour la méridienne , et planter le style sur un point de cette méridienne, qui serait l'origine commune de toutes les lignes horaires : mais il fau^ drait avoir soin que ce style fut exactement dirigé vers le pôle, ce qui exigerait la détermination d'un autre angle dépendant de la déclinaison du plan. Mais le moyen employé pour trouver cette déclinaison va encore nous servir à poser le style. La verticale déjà menée sera la méridienne, et l'on prendra sur cette ligne, et au-dessus de l'horizontale, un point tel que

8o GMOMONIQUR ANALYTIQUE.

sa distance à l'intersection des deux lignes soit la base d'un triangle ayant son sommet à Textrémité antérieure de la tringle , et fsiisant là un angle égala la latitude du Heu. A ce point, qui est facile k trouver , on plantera un style droit, qui s appuiera sur le bout de la tringle , et qui sera parce moyen pose convenablement pour indiquer parla coïncidence de son ombre avec les lignes horaires menées du même point, Farrivée du soleil à chacun des cercles horaires célestes. La formule à calculer pour le cas que nous venons de traiter est composée de deux parties , l'une constante, et l'autre dépendante de l'angle horaire. L'opération est donc presque aussi simple que pour les cas précédents ; et les lignes horaires peuvent encore se tracer par une méthode semblable à celle donnée plus haut.

Le cas dont il est ici question est celui qui se rencontre le plus fréquemment* On trace peu de cadrans solaires horizontaux, parce qu'il faut en être fort près pour y apercevoir les lignes horaires et l'ombre du style. La plupart de ces cadrans sont tracés sur des plans verticaux , parce que ces plans se rencontrent partout, et que l'on peut y apercevoir de loin l'heure indiquée par l'ombre du style. Mais il est peu de ces plans qui soient exactement tournés vers le sud : la plupart déclinent plus ou moins du côté du levant; ou du côté du cou-

GNOMOMIQUË ANALYTIQUE. 8l

chant , et par conséquent on est fréquemment dans le cas d'employer la dernière formule, dont ie calcul n'est guère plus difficile que celui des précédentes y et qui fournit une méthode également simple pour tracer les lignes horai-res sur ces sortes de plans.

Au reste^ la méridienne du plan étant tracée , et le style étant posé comme on a dit, on peut se dispenser de calculer la formule, en faisant usage d'une montre bien réglée , et traçant par son moyen les lignes horaires d'heure en heure, ou de demi-heure en demi-h.eure.

Comme j'ai considéré les plans qui passent par Yuxe de rhorizouy je considère de même ceux qui passent par Vàxe du méridien^ qui est la ligne est-ouest^ et ensuite ceux qui sont menés par Vaxe du premier vertical^ qui est la ligne nord-sud. En changeant convenablement deux des plans coordonnes, et transformant l'éqqation des cercles horaires, j'arrive à deux formules également simples, qui donnent les lignes horaires au moyen de l'angle qu'elles font avec la méridienne , et de celui que te plan fait avec l'horizon dans le premier cas, et avec le méridien dans le second. Cet angle se trouve aisément au moyen d'une verge perpendiculaire au plan, de l'extrémité de laquelle on laisse tomber un fil à-plomb : Pangle formé à ce point est égal à l'inclinaison du plan sur l'horizon, et il

passer facilement de l'un de ces angles h lautre, et calculer indifTëremment la formule pour Tun ou pour l'autre cas.

En prenant le plan donné pour un des plans coordonnés 9 et son intersection avec le plan horizontal pour un des axes, les deux auti^s plans étant pris perpendiculaires entre eux , et à celui-ci^ si l'on fait usage des transformations connues y et qu'on les introduise dans l'équation des cercles horaires^ tous les points de leurs plans se trouveront rapportés au nouveau système, et l'on parviendra ainsi à une formule qui donnera toutes les lignes horaires par les angles qu'elles font avec la trace horizontale du plan donné. On trouve même par ce moyen la méridienne du plan^ sur laquelle on prendra un point pour fixer le style dans la position convenable.

La formule que l'on obtient pour ce cas gé-»

néral est, comme de raison, plus compliquée que les précédentes, puisque outre l'angle horaire , il y entre deux autres angles variables pour chaque plan. Mais on peut encore la réduire à deux termes, dont l'un est constant pour le plan donné, et l'autre est variable , comme dépendant de l'angle horaire. Ainsi le calcul en est encore assez facile , et les lignes horaires se tracent toujours de la même manière. On peut aisément vérifier cette formule générale , et y retrouver toutes celles obtenues précédemment

«MdMOVIQUB ANALYTIQUE. 85^

ipoar les cas plus simples qu'on a examinés d'abord.

Le problème des lignes horaires sur une surhce plane ayant été résolu complètement, je passe à celui qui a pour objet de tracer ces lignes sur une surface courbe ; et comme ici il^ fiiut nécessairement se borner^ j'ai choisi lessurfaces courbes les plus connues, et dont la génération.est plus facile à concevoir : elles sont^ toutes prises, parmi les surfacesdu second ordre. Je commence donc par la surface sphérique, dont l'équation est fort simple lorsque le centre* est à l'origine des coordonnées. Toutes les sections de cette surface parles plans horaires sont évidemment de grands. cercles disposés autour de l'équateur de cette sphère , comme les œrdes horaires autour de l'équateur céleste. Pour que le style, que nous supposons passer par le centre ^e la sphère , puisse indiquer l'heure par sot» ombre, il est nécessaire que la sphère soit transparente, ou qu^elle soit réduite à une demi* sphère, la moitié superflue étant détachée par un plan perpendiculaire au méridien et passant par F-âxe : les lignes horaires doivent alors être tracées sur la concavité de rhémisphère restant*

Après la surface sphérique , je considère la surface eylindrique y dont la base est une circonférence de cercle. Je suppose que l'axe du cylindre passe par l'origine , et je le place d'abord.

86 GNOMOKlQUfi AllALYTiQO£.

dans une situatiôa verticale; et combinant Vé^ quation de cette surface avec celle des cercles horaires^ je trouve cfue leurs intersections sont en général des ellipses* Pour pouvoir tracer ces courbes sur la surface donnée^ je traverse le cylindre d'un style qui coupe son axe , et qui , sortant des deux côtés ^ se dirige vers les pôles. Je conçois un plan horizontal qui coupe le cylindie à la hauteur du point où son axe est rencontré par le style; et imaginant le cylindre coupé par une suite de plans verticaux passant tous par son axe, j'observe que ces plans coupent la surface cylindrique suivant des droites verticales , dont la position sur cette surface dépend de la déclinaison des plans coupans. Maintenant si Ton cherche les points de rencontre de ces droites avec la section faite par un cercle horaire donné,, on aura sur la surface cylindrique une suite de points, par lesquels faisant passer une ligne tourbe, ce sera la ligne horaire correspondante. La section horizontale faite dans la surface cylindrique est la limite de laquelle on doit comp* ter, soit au-dessus, soit au-dessous, les distances verticales qui doivent donner les points de ren<^ contre cherchés.

Outre cette position verticale de l'axe du cylindre, j'en ai examiné encore deux autres. J'ai supposé cet axe coïncidant d abord avec Taxe du monde , et ensuite avec l'intersection de l'é:*

GNOIIfONIQUE ANALYTIQUE., 87"

^pateur et du méridien. Dans cette dernière position ^ les sections faites dans la surface cylin-' driqiie sont encore en général des ellipses; et Ton trouve les différens points de leurs cours . par la même méthode que tout à l'heure. Dans l'autre cas, les intersections horaires sont toutes des lignes droites, parallèles à Taxe ; le cylindre doit être transparent, ou bien réduit à un demicylindre par un plan mené par son axe perpendiculairement au méridiea, et alors les lignes horaires sont tracées sur sa concavité, et l'axe du cylindre sert de style. La surface cylindrique pourrait se trouver dans d'autres positions, et l'on aurait de mêmeles lignes horaires. Je n'ai pas cm devoir résoudre le problème dans toute sa généralité : itiais l'on voit aisément quelle est la marche qu'il faut suivre pour cela. La surface du cône gjéométrique ou circulaire a donné lieu à des considérations semblables ; mais pour celle-ci, le style devant passer par le sommetda cône, qui est le centre de la surface conique , et tous les plans horaires passant par conséquent par le même point, il suit que leurs intersections avec cette surface, sont des lignes droites menées du sommet à quelque point de la base. En plaçant le cône dans une position verticale, on trouve les points oùdoivent aboutir les lignes horaires , en cherchant la trace de la surface conique sur , un plan parallèle au plan

de rhorizoh, lequel est ceosé passer par le sommet du cône; et eusuite la tmce de» cercles horaires sur le même plan : les points communs à ces deux traces sont les points

cherchés.

. Si Taxe du cône est couché dans le plan de l'équateur et du méridien y et que le plan de sa base soit toujours perpendiculaire à cet axe , en prenant le plan de Féquateur et celui du cercle horaire de six heures pour deux des plans coordonnés, et ne conservant que le méridien , on transformera convenablement Téquation des cercles horaires , et Ton obtiendra , comme cidessus, la détermination des points par lesquels doivent passer les lignes horaires demandées.

Dans le cas où le cône étant toujours dans la position qu'on vient de dire, sa surface se prolongerait jusqu'à la rencontre d'un plan horizontal : alors en partant de l'équation primitive de cette surface , on chercherait encore sa trace sur un plan parallèle au plan horizontal passant par le sommet , et la trace des cercles horaires sur le même plan : les rencontres de ces traces seront les points où doivent arriver les lignes horaires menées du sommet.

Enfin, Taxe du cône peut coïncider avec l'axe du monde , et les lignes horaires se trouvent dans cette position comme dans la précédente : mais il faut encore ici , ou que le cône soit

gnomohique; analytique. 89

transparent ou qu'il soit réduit à la moitié par un plan perpendiculaire au méridien, et passant par Taxe : les ligoes horaires sont alors tracées sur la concavité de là partie restante. On trouverait ces lignes de la même manière pour toute autre position de la surface conique.

Enfio , j'ai cherché les intersections des cercles horaires avec V ellipsoïde , V hjrperboloïde et le paraboloïde de révolution. Les deux premières surfaces ayant un centre , c'est là que je place l'origine des coordonnées, et c'est aussi là que doit être fixé le style. Si l'axe de la révolution est vertical , l'équation de la surface sera plus simple, et en cherchant sa trace sur un plan horizontal parallèle à celui qui passe par le centre , et celle des cercles horaires sur le même plan I on trouvera des points par lesquels doi^ vent passer les lignes horaires demandées. S'il s'agit de Tellipsoide, ces lignes devant aussi passer par les points où le style rencontre la surface de l'ellipsoïde, on aura tout ce qu'il faut pour les tracer. Mais le moyen de description le plus simple consiste à attacher un fil à l'intersection du style dans la surface ^ et à le tendre si^r cette surface en le faisant passer successivement par les points trouvés sur le plan borizontal : les lignes tracées le long du fil seront les lignes horaires. Dans le cas où l'axe de l'ellipsoïde serait dans toute autre position , il

ga GlfOMONIQUE AlfALYTIQfJB. -

serait facile de les avoir encore en faisant usagé de ce qui a ëtë dit ci-dessus.

Pour rhyperbolcndé d<Hit l'aie est vertical , on trouvera de même sur un plan donné horizontal formant la base de cette surface, les points par lesquels doivent passer tes différentes lignes horaires, et pour les tracer plus facile^ ment, comme elles doivent avoir la forme d*une hjperbole, on cherchera le sommet de cette hyperbole , en déterminant la position du plai^ horizontal où les deux points donnés par chaque cercle horaire se réduisent à un seul; alors faisant passer un fil par ces trois points, ce fil tracera sur la surface courbe l'hyperbole qui est la ligne horaire cherchée. On ferait de même pour toute autre position de l'axe de l'hyperboloide*

Dans le paraboloïde p il n'y a pas de centre* C'est donc par le sommet que doit passer le style ; et si Taxe du paraboloïde est vertical ^ le style pénétrera dans l'intérieur, et viendr^ sortir quelque part à la surface* Toutes les lignes horaires partiront donc de ce point; et, après avoir trouvé comme ci»devant les points où ces lignes rencontrent le plan horizontal de la base du paraboloïde, on tendra un fil entre ces deux points, qui marquera la direction de la ligne horaire. Telle est la méthode que l'on peut suivre pour tracer ces sortes de lignes sur la surface du paraboloïde de révolution.

GVOMOIHIQUE ANALYTIQUE. 91

Cest ici que mon travail s'est terminé : ce sont la les divers cas du problème général énoncé au commencement^ dont j'ai cherché la solution* Jy ai seulement ajouté , par forme S^ Appendice , le moyen de marquer sur la méri' dienne le jour de l'entrée du soleil dans chaque signe de Técliptique , et les formules pour tracer y sur les plans de l'horizon et du premier vertical , la route journalière du rayon solaire qui passe par l'extrémité du style , ou par Fouverture du gnomon.