I, SUR UNE SURFACE PLANE

5 Sur les plans de r horizon, du premier vertical , dui méridien, et ceux qui leur sont parallèles.

Je prends pour plans rectangulaires coordonnés, W plans du méridien , de l'horizon et du premier vertical : le méridien est le plan des jrz, le premier Tertical celui des j'js, et Thorizon est le plan des xjr. Pour éviter toute confusion dans les signes, je considérerai les coordonnées^ comme positives dans l'angle trièdre supérieur, occidental et méridional. D'après cela, l'équation d'ua cercle horaire, ou plutôt de son plan, est

X sin L +J' cot AH + z cos. L = o.

L est la latitude , et AH est Tangle horaire^ ou Tangîe que le cercle horaire fait avec le méridien. On fera tang et cot AH positifs du côté des j^ négatifs, et négatifs du côté des jr positifs; ce qui revient à considérer l'angle horaire comme positif dans la partie orientale, et comme négatif dans la partie occidentale.

I®. L'équation du plan de Thorizon étant z =r o , Tintersection du cercle horaire avec l'horizon aura pour équation ,

^ =: — j: sin L tang AH ;

GBrOMONIQUE AlfALYTfQUE. qS

c'est la formule pour un cadran solaire horizontal. Cette formule est, comme on voit, l'e'qualion d'une Ji^ gne droite passant par l'origine > et faisant avec la méridienne un angle i», dont la tangente est sin L tangÀH. Ainsi tang t^ == sin L tang AH.

2^. L'équation du premier vertical étant ar=o, l'intersection du cercle horaire avec ce plan aura pour

équation

j'=-— 2 cosL tang AH, d'où

tang c=s cos L tang AH.

C'est la formule pour un cadran solaire vertical sans déclinaison.

3®. L'équation du plan du méridien étant jsso^ l'intersection des cercles horaires avec ce plan a pour équation

X sin L -f- z cos L = o ;

c'est l'équation de Taxe du inonde ; c'est-à-dire que toutes les lignes horaires se réduisent sur ce plan au seul axe qui est la section commune de tous les cercles horaires.

4®. L'équation d'un plan parallèle au méridien étant

l'intersection des cercles horaires avec ce plan aura pour équation

, . • cot AH xzsz^^z cot L nz — z — = — :

sin L

c'est la formule pour les cadrans verticaux parallèles au méridien x<« est la distance horizontale du sty le.au plan. Si par le pied de la tringle perpendiculaire an plan qui porte le style , on trace sur ce plan une droite parallèle

g4 CROHONIQUB AVALYTIQOV.

au Si jle^ Tëquation de cette droite sera jras—^ 2 cot L ; et

si par le même point j on mène sur le plan une verticale ,

ce sera sur cette verticale qu'il faudra prendre la quanr-

-, , dz * cot kH , . . :.

tité : — = • et par les points ainsi trouves, on

sinL '^ ^

mènera les lignes horaires parallèlement à la première

droite.

Si dans la première formule on fait L^o, il vient j- = o, équation de Taxe des x. Toutes les lignes horaires se re'duisent donc a cet axe , qui est alors l'axe du monde.

S^. L'équation d'un plan parallèle à l'horizon étant

l'intersection des cercles horaires avec ce plan aura pour équation

X sin L -f- J* cot AU =b fi cos L =: o ;

et à cause de sin Lss o, et de cos L =s 1 , cette équation se réduit à

J-srrdliStangAH:

c'est la formule pour les cadrans horizontaux à Téquateur.

Si dans la deuxième formule ci- dessus on fait... L=9o*, il vientj-ssso, qui est ici l'équation de l'axe des z i c'est que cet axe coïncide alors avec l'axe du inonde , et qu'il ne peut y avoir d'autre ligne horaire sur le plan du premier vertical, pour lequel on peut prendre tout plan vertical quelconque passant par cet axe.

6*. L'équation d'un plan parallèle au premier vciv tical étant

GNOMOKlQtTE ANALYTIQUE. g5

rintersection des cerdes horaires avec ce plan aara pour équation

ih ^ sin L + j" cot AH + « cos L î= o ;

et à cause de sin L=:'i , et cos L= o, cette équation se réduit à

^=q:y tangAH:

c'est la formule pour les cadrans verticaux aux polies de la terre.

^. Sur un plan vertical avec déclinaison.

7^. En appelant D la déclinaison d'un plan vertical ^ c'est-à-dire l'angle qu'il fait avec le premier vertical , en allant d'occident en orient et passant par le sud , l'équation de ce plan sera :

orcosj) — j" sinD = o.

En combinant cette équation avec celle des cercles horaires f on arriverait à des équations appartenant aux projections des intersections de ces plans ; mais il faut avoir les intersections elles-mêmes sur le plan donné. Je prends donc ce plan pour celui àesyx' ; un vertical perpendiculaire à celui-là sera le plan des a/z\ et le plan de l'horizon ser^ celui des j/z'. Les formules pour la transformation des coordonnées seront ici

scssy sin D — a/ cos D, et yssix^ sin D + J^ cos D.

I/équatU>n dea cercles horaires devient, au moyen de -cette transformation,

3/ (sîn D cot AH — cos D sin L ) -J-y (sin D sin L -|- cos D cot AH ) + / cos L = o.

f)6 GSiOllOlIlQUA ANALTTIQUB.

L'équation du plan vertical donné étant alors jr'=o, rintersecùon cherchée a pour son équation

sm O skn L -f- cos D cot AH*

C'est la formule pour les plans verticaux dédinans, c*est Téquation d'une droite qui fait avec Taxe des 2', ou la méridienne verticale, un angle 1^ dont la tangente est exprimée par

cos L sin O sin L -f- cos D cot AH *

par conséquent

cos D cot AH

cot ir=sin D tang L -f-

cosL

Pour avoir la déclinaison D du plan , on plantera une verge de fer bien perpendiculairement au plan , on marquera sur ce plan l'extrémité de son ombre , au moment où le soleil est arrivé au ihéridien : on fera passer une verticale par ce point, qui rencontrera quelque part l'horizontale menée par le pied de la verge. Mesurant ensuite exactement cette portion f de la ligne horixontale, et la longueur / de la verge métallique, on dira

i:f :: I :tangD=^.

Pour trouver sur la méridienne le point où le style doit être planté, en appelant d la distance de ce poiot à l'intersection de la méridienne par riiorizonule , et d la distance de la même intersection à l'extrémité antérieure de la verge , on aura

rf'lif :: I : UngL» d'où <l=irungL.

Le point central trouvé, on y fixera le style, en Vappuyant, comme on a dit, sur le bout de la tringle perpendiculaire au plan ; et ce même point sera aussi l'origine de toutes les lignes horaires.

^ Sur un plan incliné du nord au sud, vu réciproque ^

ment.

8®. Considérons maintenant des plans passant par l'axe du méridien, et inclinés à l'horizon d'une certaine quantité , comptée en allant du sud au nord et passant par le zénith ; l'équation de ces plans sera

:r sin I — z cos I = o.

Cette équation combinée avec les cercles horaires , ne nous donnerait que les projections des intersections. On aura ces intersections elles-mêmes par une transformation semblable à la précédente. Le plan donné étant pris pour celui des 3cj\ et les x de même que les z' étant toujours situés sur le plan du méridien , on a ici pour les formules de transformation ,

a:=:j:'cosï — x'sînl, et 2=:j:'sinIrf-/cosL

L'équation des eercles horaires devient par le moyen de ces valeurs

ap' (cos 1 sin L + sin I cos L) -|-j^ cot AH + /(cosI cosL — sin IsinL)=o.

L'équation du plan incliné étant z's=o, celle de son intersection avec le cercle horaire devient

/ = --a:'8in(L + I) tangÂH.

gS GNOHONIQUE ANALYTIQUE.

C'est la formiile pour les plans inclines que nous consi* de'rons ici.

Lorsque I esl le complément de L , sin ( L + 1 ) = i , et notre e'quation est alors

j^ = — ar' tang AH,

formule pour le cadran équalorial, le plan incliné coïncidant alors avec le plan de Téquateur.

Lorsque I change de signe, et devient égal à L, il vient j^:=o; le plan est alors dirigé vers le pôle , et passe par Taxe du monde. Dans cette position , il n'y a pas sur ce plan d'autre ligne horaire que cet axe ; mai» si Ton conçoit un plan parallèle à celui-là , et dont l'é" quation soit /= riz ^; l'équation de l'intersection sera

y=dI«^tangAH;

c'est la ibrmiftle pour les cadrans polaires.

I Sur un plan incliné de F est à F ouest, au réciproque:^

ment»

tf. Voyons de même ce qui a lieu pour les plans passant par l'axe du premier vertical , et appelons A l'angle qu'ils font avec le plan du méridien, positif dans la partie occidentale, négatif dans la partie orientale. Pour un angle qui va du posilif au négatif en passant par zéro, le cosinus demeure positif, et le sinus paste du positif au négatif. L'équation générale de ces plans est

j^ cos A — z sin A = o.

II faut encore ici tranformer l'équation des cercles horaires. En prenant le plan donné pour celui des xV, et comptant les y et les / sur le plan du premier verti-*

GïrOMONIQtJ'E ANAL^TÏQtJE. QQ

cal , les formules de transformation seront j -n^y cos k + z sin A et z= z' cos A — y sin A.

L'cquation des cercles horaires devient au moyen de ces valeurs

X* sin L 4-jr^ (cos A cot AH — sin A cos L) -f- z' ( sin A cot AH + cos A cos L) = o .

et l'équation du plan étant alors, j-' ^ o, celle de l'intersection des cercles horaires avec ce plan sera

, , sin L

cos A cos L -f- sin A cot AU*

'C'est la formule pour les plans abaissés que Ton a considérés ici. Cette équation est celle d'une ligne droite menée par l'origine ou le centre , et faisant avec l'axe des x\ ou la méridienne horizontale , un angle v dont

la tangente est

sin L cos A cos L + sin A cot AH '

par conséquent

. V . sin A cot AH

cot V =5 cos A cot L H : — s .

sin L

Pour trouver l'inclinaison I d'un plan sur Thorizon > \\ faut encore fixer une verge droite perpendiculairement au plan, et de son extrémité laisser tomber un €1 à plomb jusqu'à la rencontre du plan. De ce point de rencontre on mènera au pied de la verge une droite a y que l'on mesurera avec soin ; on mesurera de même la longueur / de la verge , et l'on fera

l\a\\ i \ tang l=j.

IQO GHOMOMQUE ANALYTIQUE*

On aura de même l'angle A , que font avec le plan du méridien les plans passant par l'axe du premier vertical ; mais, dans ce cas, le dernier terme de la proportion est la co tangente de l'angle d'abaissement

cot A = j«

§ Sur un plan déclinant et incUné et une manière

quelconque»

10®. Soit enfin un plan quelconque passant toujours par Torigine des coordonnées , et faisant avec le premier vertical un angle D% et avec l'horizon un angle L L'équation de ce plan sera

X cos D' + j" V^sin* ly — cos* I + z cos I ss o.

En traitant cette équation, avec celle des cercles horaires , nous n'aurions que les projections des intersections cherchées. Il faut donc encore ici faire une transformation. Je prends le plan donné pour celui des a/z\ par exemple, les axes de ces variables pouvant être situés comme on voudra sur ce plan. Pour plus de simplicité, je choisis pour axe des x\ la trace de ce plan sur le plan des xXf et j'appelle ç l'angle que cette tracé fait avec l'axe des x. I étant toujours l'indinaison d^a plan donné sur le plan de l'horizon , on a pour la trans* formation des coordonnées les formules connues

z= z' sin I + ^' cos I. . .

j-zz^x' sin p + j^ sin I cos ^ *— «' cos I cos ^

x^=x' cos(p — y sin I sin f + z' cos I sin ^.

En substituant ces valeurs dans l'équation des cercles

GNOMONIQUB ANALYTIQUE. 10 1

horaires, ils seront rapportés aux nouveaux axes; et en faisant j*'=o, qui est l'équation de notre plan , on aura leurs intersections avec le plan donné. Ces intei-sections ont donc pour équation

, , cosAsinL+sin^cotAH

sin I cos L 4* sin f cos I sin L — cos 1 cos ^ cot Âll *

C'est la formule pour un plan quelconque ; mais ici l'axe des x' n'est pas la méridienne du plan , ni même en général l'une des lignes horaires qu'on est dans l'usage de tracer sur les cadrans solaires. Mais l'on obtiendra facilement la direction de cette méridienne, en &isantdans L'équation précédente l'angle horaire égal à zéro ; en effet , Téquation se réduit alors à

cos 1 cos 4> *

équation qui appartient à la méridienne demandée*

La formule générale qu'on vient de trouver peut se vérifier facilement : en donnant aux angles I et ^ des valeurs convenables , on y retrouve toutes les formules obtenues précédemment.

On peut y dans cette formule • à l'angle^, substituer celui qu'on a désigné par D\ On trouve facilement le rapport de ces angles, en cherchant la trace du plan donné sur le plan de l'horizon, et l'on conclut de. là que

cos D' l/sin*D'— cosM

smô=i— : — r-, et cos ^ =» ■ ç .

^ sinl siul

Eo substituant ces valeurs dans la formule , elle deryieut

i02 GJSrOHONIQUE ANÀLYTIQUB.

X ( sin h l/sin» D' — cos* I + cos D' cot AH )

Îsin' I cos L -f- C05 D^ i

— cos I cot AH v/sïîî^Û' — co8*IJ~^'

L'angle D' n'est pas la même cliose qne la déclinaisoa D ; car après avoir fait tourner un plan sur l'axe des Zr^^ ce qui lui donne une cerluine déclinaison, si l'on vient à incliner ce plan , Tangle D' qu'il fait alors avec le pre-^. niijer vertical n'est plus le même que celui qu'il faisait auparavant; mais il est facile de voir que ce nouvel^ angle dépend de la déclinaison D et de l'inclinaison I^.. On trouve que

QOS>D' c=: cos D siu I.

En substituant dans la formule, ou a x' (sin L sin D-)- cos D cot AH )

+2^(sinIcosL + cosIsinLcosD— cosIsinDcotAH)=o.. Telle est la formule pour les intersections des cercles, horaires avec un plan incliné et déclinant quelconque; mais l'axe des x' est toujours la trace de ce plan sur leplan horizontal. Au reste, on peut encore ra^sporter les lignes horaires à la méridienne dii plan , en se rappelant, que cette méridienne a pour équation

Z zzzX -^ — = ;

cos I cos ^

et faisant usage des valeurs trouvées ci-dessus; pour sin ^ et cos ^, lesquelles se réduisent à cos D et sin D, lorsqu'on substitue D à D' : on a ainsi, en prenant la, méridienne pour l'axe des ^r",

x'* ( cos I sin L + cos D sin I cos L ) „ ( sin I sin D (co^ I cos L — siu I sin L cos D) j + ^ ( —cot AH (i— sin» T sin' D) j **^'

GNOHOmQUE ANALYTIQUE. loS

Cette formule donne la direction des lignes libraires relativement à la méridienne du plan ,. «t Ton peut la vé^ rifier comme les précédentes.

U. SUR UNE SURFACE œURBE.

^ Sur la surface de la sphère,

1 1^. Passons maintenant à la recherche des intersections des cercles horaires avec nue surface courbe donnée , et commençons par la surface sphérique. Si le rayon est donné, et que l'origine soit placée au centre de la sphère 9 l'équation de cette surface est dans ce ca^

En combinant cette équation avec celle des cercles horaires , on trouve des équations qui appartiennent aux projections de ces intersections , projections que Ton reconnaît facilement pour être en général des ellipses. Quant aux intersections elles-mêmes, il est facile de voir qu'elles sont des circonférences de grands cercles y. distribués autour de la sphère , de la même manière que les cercles horaires le sont dans le ciel. C'est là tout ce que l'on peut dire au sujet de la surface sphérique située, comme on a dit; nous n'examinerons aucune autre position de cette surface, et nous allons passer de suite à la considération de la «urface cylindrique. '-'^

5 Sur la surface du cylindre droit géométrique .

12*. Le rayon de la surface cylindrique élant r, et Vkxe de cette surface passant par l'origine , son équa-

I04 &NOMONIQUE AlfàLYTIQUE.

lion est^ comme on sait ,

Supposons d'abord que l'axe du cylindre coïncide avec Taxe des z; dans ce cas, â = o et ^.= o, et Te'quation préce'dente devient

£n combinant cette équation avec celle des cercles horaires , on ne trouve que les projections des inter« sections , projections qui sont en général des ellipses. On peut déterminer ces mêmes intersections dans leur plan , et Ton trouve encore qu'elles sont généralement des courbes de la même espèce ; mais il s'agit de tracer ces courbes sur la surface du cylindre, et il faut pour cela chercher difierens points de leur cours.

Si l'on conçoit qu'on ait fait passer au travers du cylindre et par son axe , un style dirigé vers les pôles, il est facile de voir que toutes les lignes horaires devront passer parles deux points où le style pénètre dans là surface cylindrique. De plus , si l'on fait passer par l'àxe du cylindre une suite de plans verticaux , ayant tonales degrés possibles de décUnaison , tous ces plans couperont la surface cylindrique suivant des droites verti«> cales, parallèles à l'axe des z, et dont les équations seront

j: = rsin D. . • .j-ssrcos D.

La rencontre de ces droites avec les plans des cercles horaires se trouve eu substituant ces valeurs. dan& les équations de ceux-ci , et il vient ainsi.

6NOMOKIQUE ANALYTIQUE. ïo5

rsïn D sin L -f- r cos D cot AH -(- ^ cos L =o , d'où Ton' tire

8ÎD D ftîn L + cos D cot AH

cosL

On a donc ainsi les trois coordonnées des points de rencontre de l'intersection du plan vertical avec celle du cercle horaire; mais comme ces points se trouvent sur une surface donnée , et sur des droites dont la position est connue, c'est la valeur seule de z qui doit ici nous intéresser. Cette valeur doit se compter depuis une section horizontale faite sur la surface cylindrique à la hauteur où le style rencontre l'axe, cette section étant le véritable plan des xj-. Les valeurs positives de z se comptent au-dessus, et les valeurs négatives audessous. Ayant trouvé par ce moyen difierens points de la trace du plan horaire sur la surface donnée , on fera passer par tous ces points une courbe , qui sera la liglie horaire demandée, sur laquelle se projettera tou- - jours l'ombre du style , lorsque le soleil sera dans le cercle correspondant. On voit qu'il faudra tracer autant de courbes qu'il y a des cercles horaires dont on voudra avoir la trace sur la surface donnée , et que ces eoailli|l étant décrites , il suffira d'orienter le cylindre , c'est-à-dire de le placer de manière que le style soit dans le plan du méridien.

i3^. Disposons l'axe du cylindre de manière qu'il coïncide avec l'axe du monde. Dans ce cas , & = o et 41=: cot L , et l'équation de la surface devient

x» -f-j-* (a« 4- i) -f. flV— aûzr = r* (a* + i) , eu (X— azy+y (a*+ i) = r* (a» -f. i).

I06 GNOMOKIQUE ANALYTrQUE.

£n cherchant l'intersection de cette surface par les plans des cercles horaires, on trouve pour résultai, toute réduction faîte ,

jr=:z±r sïn AH.

Cette équation , qui appartient à la projection de ces intersections sur le plan des jrz^ nous apprend queoes inrersectiona sont, comme on pouvait le prévoir, des droites parallèles à Taxe du cylindre^ et qu'il est fa* ci le de tracer sur sa surface.

i4*** L'axe du cylindre étant toujours dans le plan da méridien , concevons qu'il soit de plus couché dans le plan de l'équateur ; l'équation de la surface sera la même que tout-à-l'faeure, a étant ici égala tang L:. mais les intersections par les plans des cercles horaires seront en général des ellipses. Pour pouvoir les tracer sur la surface donnée , il faudra , comme dans la première position examinée , concevoir une série de plans, passant par Taxe du cylindre , et faisant avec le méri-^ dien tous les angles possibles , angles que je désigne par D'. Ces plans couperont la surface cylindrique suivant des droites, qui ont pour équations

arcosL = sinL + '*cosD'. •. .j^ = rsinD'.

£n traitant ces équations avec celle des cercles horaires , on aura pour les points où ceux-ci sont rencon^ très par ces droites ,

X = r (sin D' cot AH — cos D' sin L ) , a: = r (sin D' cot AH sin L -f- cos D' cos L) , j^ = r sin D'.

Pour trouver ces points avec plus de facilité , on fera encore passer un style au travers du cylindre >. et

par son ax«; et Ton concevra un plan passant par le style , perpendicutairement à l^axe. Sa section avec la surface cylindrique sera une circonférence de cercle. L'axe du cylindre e'tant pris pour Taxe des z% la ligne des pôles sera Taxe des x\ et l'axe des j*' sera le même que celui desj'. En employant les formules connues pour cette transformation ^ les valeurs ci-dessus deviennent

/=rsiniycotAH, x'=rcosD', y=rsinD'.

On aurait obtenu les mêmes résultats , en faisant davis les formules précédentes L = o.

La valeur de z' est ici la seule qui nous intéresse, parce que les points cherchés sont sur une surface donnée, et sur des lignes connues. Les valeurs de d doivent se compter sur ces lignes, au-dessus et au-dessous, à partir de la section circuilaire £adte dans la surface cylindrique. Il y a encore ici autant de courbes différentes que de cercles horaires. La méridienne seule est une ligne droite > et la ligne horaire de six heures est une circonférence decercle , qui se confond avec ,1a section perpendiculairequi passe par le style.

\ Sur la surface du cône droit géométrique.

1 5^. Je passe à une autre surface courbe , la surfacedu cône circulaire. Ici il est visible que le style ne peut guère être placé qu'au sommet du cône , qui est ea même temps le centre de la surface conique. €e point doit donc être l'origine des coordonnées, et alors l'équa^ tion de la surface est

M est le cosinus de l'angle a que la génératrice fait avec

I08 GNOMONIQUR ANALYTIQITE.

l'axe du cône ; a et b déterminent la position- de cet axe. Plaçons-le d'abord de aianière qu'il coïncide avec Taxe des z ; dans ce cas l'équation devient

z^tang** — j*— z^sso.

Si Ton traite cette équation avec celle des cercles horaires, pour avoir leurs intersections , on trouvera pour résultats des équations dusecopd degré , mais qui n'appartiendront néanmoins qu'à des lignes droites, parce qu'en effet tous les plans coupans passant par le sommet du cône , leurs intersections avec la surface ne peuvent être que des lignes droites. Pour tracer ces lignes avec plus de facilité , ce qui se présente de plus simple , c'esfr de chercher un seul point de leur cours , celui , par exemple, où elles rencontrent la circonférence de la base du cône. En appelant h la hauteur verticale du cène ,. le plan de sa base a pour équation , dans le cas présent,

L'équation de la section de la surface conique par ceplan est donc

^* + J"* = ^' tang* m ;

la trace des plans horaires sur ce même plan est aussi

X sin L +jr cot AH — cos L = o.

En combinant ensemble ces deux équations , on trouve^ les coordonnées des points où ces traces se rencontrent, et où doivent aboutir les lignes horaires ; on a d'abord'

r* (cot* AH + sin* L) — a^ cot AH cos L

= h* ( tang' m sin» L cos* L ), et ensuite

• GNOMOKfQtK ANALYTIQUÏ.' 109

^ ( cotA.HcosLdb sînL t/tang»a(cot «AH-+-6in«L)— cog»L ] ^"" ^ \ ' cot>AH-fsin*L ^ J

puis

f — sinLco8L=fccotAHV^taiig««(cot«A H-Min»L)— cos«L I

* -" * I cot»AH-Nin*L j .

yetx sont les coordonnées des points de la base par où doivent passer les lignes horaires; et comme elles doi-' vent d'ailleurs passer aussi par le sommet, on a donc tout ce qu'il faut pour les tracer. Mais on n'aura pas même besoin de calculer ces formules , si l'on a soin de mener sur le plan donné la trace du plan horaire. Le point où cette trace rencontrera la circonférence de la base du cône sera le point cherché.

16®. Plaçons l'axe du cône dans le plan de l'équateur, sans le faire sortir du plan du méridien ; changeons en même temps les axes des coordonnées. Soit Paxe du cône celui des z\ l'axe du monde celui des x\ et l'intersection du cercle horaire de six heures avec l'équateur, l'axe desj^ ; les choses seront alors dans les mêmes circonstances que tout-à-l'heure. L'équation de la surface

,4era encore

/» tang' A —y* — or'* = o ;

celle de sa base parallèle au plan des x'y sera aussi

y* + ar'* = ^*tang*«;

l'équation des cercles horaires rapportés aux nouveaux

plans est

. y=i'tangAH,

et leur trace sur le plan de la base a pour équation

ytang= — ItangAH; leurs rencontres avec la circonférence de la base ont pour équations

y=— AtangAH ar'=±:AV^tang»«— tang'ÀH.

110 GNOMON1QI1E ANALYtlQtB.

Au moyen de ces valeurs , il sera facile de tracer les lignes horaires sur la surface conique donnée.

Si Taxe du cône étant toujours dans la même situation ) l'on supposait que le cône reposât sur un plan horizontal , alors reprenant l'équation première de la surface conique , et observant que 6 = o et a = tang L, on aurait pour l'équation de cette surface

X* (sin* L — cos' m ) — j* cos* m+z*( cos* L — coà* «)

+ ^Lx sin L cos L = o ;

sa trace sur un plan horizontal dont l'éqnation est.... B= — A', est

X* ( sin* L — cos' m) — j* cos* «e — ^h'x sin L cos L

= ^'•(COSV — cos* L) ;

la trace des cercles horaires sur ce même plan étant toujours

X sin L + j' cot AH — h' cos L == o ,

ces deux équations combinées donneront d'abord

jr* {col' AH ( sin* I. ~ cosV — sin= L cos* « } — 3 Kx s^ix L cos L ^coi* AH — cos* m]

= h • (col* AH (cos« — cos'L ) + cos' L cos* a } ,

d*où Ton lir<ra ensuite par les rùigles ordinaires ,

ft awal U W« coMdonnèe» de:» poin;5 ou doÎTenc arriver Im HliM liM«k«$s Muùs c<Mttm< oa a ia . en ^xut se

GKOllOMQtE ANALtTIQbÈ; t I t

dispenser de les calculer, si l'on trace sur le plan horizontal qui sert de base au cône^ les intersections des cercles horaires avec ce plan.

1^^ Enfiuy la surface conique pourrait être située de manière que son axe coïncidât avec l'axe du mondcé Alors en employant une transformation semblable à celle que l'on a faite pour le cas pre'ce'dent, l'axe du cône étant l'axe des z' et le plan de Téquateur étant le plan des x'jr\ on trouverait pour les points de rencontre

des lignes horaires avec la base du cône,

x'zisdtih tang m cos AH, et y= dz h tang a sin AH.

Si le cône étant toujours dans la même position, sa surface se prolongeait jusqu'à un certain plan horizon^ tal ayant pour équation z=-^cot&'; alors en observant que 6 = G et que ^ = — cot L , l'équation de la surface -conique devient

a^ (cos* L — cos* ce) — j^'cos* ce + z* ( sin* L — cos' «) — 2ZX sin L cos L =: o.

Celle de sa trace sur le plan horizontal est alors

x'^ (cos' L — cos* «e) — j^' cos' a + nh'x sin L cos L = A'*(cos*ce — sin' L)5

cette équation combinée avec la trace des cercles horaires sur le même plan horizontal , donne d'abord

ar* { cot* AH (cos* L — cos* «) — sin* L €0S*« } —a S'a: sin L cos L (cot* AH + cos' a) =,h'* [ cot' AH (cos' ce«— sin*L) -fcos' L cos»ct ) j

de celle-ci on tire par les procédés ordinaire»

lia GNOMONfQUE ANALYTIQUE»

^j^r f MnLcoeL(cof AH-f-co8*<K)=*:cotAHiinaeco8ae j/c of AHH-i \ ' ^ 1 coc>Aa(co6*D--co8>oe; — 8in*Lcos«ic J ' *

u, \ cot AH cos L sin* « =ir lin L «in it coi « l/cot» tiA -f- 1 i —

J col» AU (COS • L — coi* «>— sin* L cos* a J

Nous ferons sur ces valeurs les mêmes observations^ que sur les précédentes , c*est-Â-dire qu'on peat aisé— ment , sans les calculer, trouver sur la base horisontale du cf^ne, les points où doivent arriver les lignes horaires.

§ Sur les surfaces de V ellipsoïde , de îhyperboloide et du paraboloïde de révolution,

18**. Cherchons encore les intersections des cercles horaires avec Tellipsoïde de révolution j et supposons que Taxe de la surface coïncide avec Taxe desz, et que son centre soi t placé à l'origine des coordonnées. L'équa-> tion de la surface est

sa section par un plan horizontal dont Téqualion est z=— -Asera

Cette équation combinée avec la trace des cercles ho-^ ' raires sur le même plan , donne pour les coordonnées des points de rencontre ,

AcotAHcosLdrsinLy (b* — ^^\ (cot» AH-Hin*L)— A«cos"L y^^ coi*AH-f-8in«L

et 1

-?' . GNOMONIQUE ANALYTIQUE* ï 1 3

-XcofUioLiîZcoi AHy/ ^^. ^') (cof AH+Mn»L)- A.co.«L

ig*'. Pour rhyperboloïde de révolution autour d'un axe vertical, l'origine étant au centre, on a d'abord i'éqikation de la surface

la trace de cette surface sur le plan horizontal 2= — ft, est aussi

et cette équation traitée avec celle que donne la trace des cercles horaires sur le même plan , conduit aux ré* sultats suivans :

Aco8LcotAH:±8inLy/ ^~^'— ^•\cot«AH+iin»L)-^.-co»«L y^^ . côi«AH-f-sin«L '

— A»îiiLco«L=fccoiAH y/ f^llH^L — 5> \cof AH+sin-L)— A«cos'L

cotîAH-Hin'L

ao®. Enfin , pour le parabololde de révolution autour d'un axe vertical, l'origine étant au sommet, on a d'abord pour équation de sa surface

'>. • sa trace sur le plan horizontal z = — ^ a pour équation

x'4-j^»^/;A = o, ^•( ■ et cette équation combinée avec la trace des cercles ho»

A . ■ ■ Se- *. < '

Il4 GNOMONIQUE ANALYTIQUE.

raires sur le même plan , donne pour résultats les valeurs suivantes :

h cot AH C08 L d= sin L^ph (cot* AH-I^sin* L) — h* cos» L

y ^ ^^^^ ^^ -f- sin* L •

— AainLcosLdbcotAH ^pA(cot* AH-f-sin'L) — h»coê*L *~" cot* AH + sin* L