I. On fera l'opération précédente, non à un mo

menl quelconque de la nuit, mais à l'heure où la polaire se trouve exactement au-dessus ou audessous du pôle : cette heure est donnée tous les ans et de 10 en (O jours par V Annuaire du Bureau des Longitudes.

Vf,

Fig. 96.

Tracé de la méridienne par un aliftncracnt sur le pôle, sur l'cloile polaire, etc.

II. Si l'on veut opérer à un moment quelconque de la nuit, on rappellera que le pôle se trouve actuellement sur la ligne qui joint l'étoile polaire à l'étoile \ Grande Ourse (Mizar), et à i°8' de distance de la Polaire, c'est-à-dire un peu plus de deux fois le diamètre du Soleil ou de la pleine Lune : C'est sur ce point que l'on devra voir se projeter le fil à plomb AA' ou l'arête de maison qui le remplace.

m. On peut aussi s'aligner sur deux étoiles qui passent au méridien en même temps, et qui ne se

— lOS —

trouvent qu'à cet instant dans le mome vertical. Elles doivent être choisies : i" de manière à avoir

Fis- 9:- — Aulre dispO'itii pralique pour Ir.icor la nirridlciino p»r aliKiieraeiil sur le iiùle, de.

des ascensions droites soit égales, soit diliérentes de 180" ou 12''; 3° être visibles au méridien du même côté du zénith.

Pour augmenter la précision, et au besoin l'afifranchir d'une petite dilïérence d'ascension droite, il est bonque l'une des deux étoiles soit près d'un des pôles.

IV. Si l'on dispose d'un théodolite, on emploiera la méthode des digressions de la polaire, méthode qui est très exacte, et sur laquelle, on trouvera toutes les indications voulues dans la Connaissance des Temps.

V. Enfin citons pour mémoire seulement la méthode la plus exacte de toutes, basée sur l'emploi de la lunette méridienne.

13î. Problème V. — Détermination de la latitude du lit'ii : i" Par une carte géographique de la région. — Presque tous les grands pays d'Europe, d'Amérique et du nord de l'ACrique sont représentés par des cartes à grande échelle, analogues à celle de l'État-IMajor français. Ces cartes donneront la latitude d'un lieu quelconque avec une précision supérieure i) celle qui est nécessaire pour le tracé des cadrans solaires.

Pour ce qui regarde la France et l'Algérie, la carte d'État-Major donne la latitude en degrés sexagésimaux et en degrés centésimaux.

La carte du Ministère de l'Intérieur la donne en degrés sexagésimaux.

133. 2° Par la longueur de l'ombre solaire à midi vrai. — Revenons à la figure 94, page 161, et soit ]N le point où tombe l'omjjre de O exactement à midi vrai du lieu. Par le procédé des cordes, qui vient d'être indiqué (lîO), on pourra connaître en degrés et minutes l'angle ONP = /i ^'), hauteur mé-

(') On ne confondra pas cette hauteur h avec la hauteur de l axe-style sur le plan du cadran (43, 51, ...), désignce de même et donnée par la Table III.

ridienne du Soleil. D'autre part, la Connaissance des Temps donne pour chaque jour la Déolinaison (^0 du Soleil, c'est-à-dire sa hauteur par rapporta l'équateur. L'angle obtenu ONP = /i donnera donc la hauteur de ré(juateiir, qui est A qz()fe)(T) ; et comme cette hautenr de l'équateur est le complément de la hauteur du pôle, c'est-à-dire de la latitude, on aura cette dernière :

AqpCD0 = 9o* — 9 ou 9 = 90" — /i±(D0.

Devanî (00, exprimé en valeur absolue, on prend le signe -4- quand le Soleil est dans l'héniisphère austral et — quand il est dans l'hémisphère boréal.

3" On a imaginé nombre d'autres méthodes, mais nous ne citerons que les suivantes :

— Détermination de la hauteur du pôle par les

passages supérieur et inférieur d'une éloile circumpolaire.

— Méthodes des hauteurs circumméridiennes du

Soleil, des étoiles.

— Méthode par la polaire, au moyen des Tables

données par la Connaissance des Temps.

Déclinaison nzimutale. — Amplitude. -- Azimut.

Ces trois quantités ont entre elles une relalioii très simple, de sorte que lorsque l'une d'elles est connue, pour un astre par exemple, les deux autres en résultent immédiatement ; mais en gnomoniquc on considère. surtout la déclinaison.

Wi. Déclinaison azimutale. — lin gnomoniquc on définit ordinairement l'orientation d'un mur, d'un plan vertical quelconque, par ce qu'on appelle sa

LIGNES D'ÉGALE DEGL!

|au 1" Janvier 1911.

déclinaison, qui est l'angle de ce plan avec 1& premier -vertical ou vertical Est-Ouest.

Ce terme a l'inconvénieut de prêter à confusion^

Fig. gg. — Déliiiilioii de la déclinaison azimulale.

c;u' le mot déclinaison désigne ordinairement la distance angulaire d'un astre à l'équateur.

Afin d'éviter toute ambiguïté, nous avons dit déclinaison aziniutale pour désigner l'orientation d'un mur, d'un vertical quelconque. Ainsi, la déclinaison azimittale d'un mur vertical est Vansle de

ce mur m'rc le premier vertical WE (/if. 99). Elle a été précédemment désignée par D„.

Nous compterons cette déclinaison azimiitale il la manière ancienne, où un plan est dit sans déclinaison quand il a une des directions Nord-Sud ou Est-Ouesl; ce qu'on exprimait en disant qu'il « ne peut èire vu que de l'un des quatre points cardinaux de l'Horizon ». Ainsi, les deux faces Est et Ouest du méridien sont sans déclinaison: et de même pour les deux faces Nord et Sud du premier

vertical.

Toute autre orientation est désignée par les deux points cardinaux qui peuvent l'apercevoir. Ainsi soient ( /iff. 9.) ) un mur ARDC et NS, EW, les directions Nord-Sud et Est-Ouesl : On dit que la lace AB décline au Sud-Ouest et la face CD au Nord-Est.

De même, pour le mur FGLK on dit que sa face FG décline au Sud-Est et la face KL au Nord-Ouest.

135. Jmplltude. — Cette quantité, dont I'usa[;e était fréquent autrefois, surtout dans la navigation, est peu employée aujourd'hui sous ce nom. On appelle ampliludc d'un astre l'arc de l'horizon compté depuis le point Est ou Ouest .jusqu'au point où cet astre se lève ou se couche Elle dépend de la latitude géographique 9 du lieu et de la déclinaison (D de l'astre; en raison de son usage fréquent il en a été dressé des Tables dépendant de ces deux quantités o et (0 comme arguments. On en trouve une, par exemple, dans divers volumes anciens de la Connaissance des Temps.

13G. Azimut. — L'azimut est l'angle dièdre compris entre le méridien et un vertical quelconque. Considérons i/ii,'. 100) l'observateur dont l'œil est en G, et soit \ le point quelconque, terrestre ou céleste, dont on veut déterminer l'orientation.

IVlenons la verticale OZ du point O et imaginons une sphère de centre O décrite avec un rayon arbitraire OZ ; elle est coupée par l'horizon de l'observateur suivant le cercle SEBNW.

Le plan vertical du point A coupe la sphère suivant ZA,B.

Soit SZl\ un autre plan vertical choisi arbitraire-" ment comme origine : l'anglc'dièdre NZOB formé

Fis. ion. — Dciinilion de l'uzimut.

par ces deux verticaux est dit Vazlmnt du point A ; on voit qu'il est mesuré par l'angle plan NOB.

Pour achever de définir cet azimut il reste à fixer :

I" Le plan origine SZN arbitrairement choisi;

2° Le sens dans lequel on veut compter cet angle dièdre, ou. ce qui revient au même, l'angle plan NOB.

Mais sur ces deux points il n'y pas de convention universellement adoptée. Tout le monde cependant prend le méridien comme plan origine des azimuts, mais tandis que les uns placent le zéro au Nord, d'autres le placent au Sud.

Le désaccord est encore plus accentué pour le sens dans lequel on compte l'azimut. En raison de CCS discordances, toutes les fols que l'on parle d'azimuts il faut avoir soin d'indiquer l'orijiine de cet angle et le sens dans lequel on le fait croître.

137. D'après ce qui précède, pour connaître l'orientation de la Table d'un cadran solaii'e vertical il suffit de déterminer l'une des trois quantités dont nous venons de parler : déclinaison azimutalc, amplitude, azimut. Voici, à cet effet, i)hisieurs moyens assez faciles.

Première mét/tode. — Soit à déterminer la déclinaison azimutalc d'un mur vertical VXYV

Fis. i"i. -

Dctermiiiatioii de la déclinaison aziniulale d'un iniir VXYV .

(/î^. ioi).Nous avons vu (1"^(>) comment on détermine la direction de la méridienne horizontale J\S. En

outre on sait (120) évaluer en degrés l'angle YNS par exemple. Or la direction NS est à angle droit avec la ligne Est-Ouest ou du premier vertical : on conclura donc immédiatement la déclinaison azimutale du mur. Par exemple, on a trouvé que l'angle SNY est de ^a" ; la ligne X.Y l'ait donc un angle de ()0° — 7 !° avec la ligne Est-Ouest et en avant dans la partie ^Y.

On conclura que le mur VXY\" décline de 18° au Sud-Ouest. Sa face postérieure, supposée parallèle à la première, décline au ]\ord-Est de la même quantité (18°).

Remarque. — Souvent il est impossible d'apercevoir la polaire quand on se trouve devant le mur qui doit porter le cadran. Alors on peut tracer, au voisinage, la méridienne IN'S' (fg- ioi),puis mener NS parallèle à NS'.

138. Autres méthodes pour la déterrmnation de l'azimut. — Un moyen l'acilc pour déterminer l'azimut d'un mur tel que VXYV {Jig. 10 1) c'est de noter, au moment où un astre connu passe par le vertical de ce mur, soit l'heure t, soit la hauteur h de cet astre au-dessus de l'horizon.

En appelant a l'azimut cherché, le problème posé rentre dans un autre plus général que l'on peut énoncer ainsi :

Connaissant deux des quantisés a, h, t. trouver la //•o/s/è;ne; mais pour le moment occupons-nous seulement de la détermination de «, connaissant h.

\° Solution graphique par le juoyc/i d'une hauteur d'un astre connu.

Considérons {Jig- 102) la sphère céleste de centre O (œil de l'observateur) et de rayon arbi-

Fig. IU2. — Construction graphique <le l'azimut a, connaissant la hnuleiir /t.

diculaire à OP. Ainsi P est le pôle et OK Téquateur.

Appelons 09, comme à l'ordinaire, la déclinaison, supposée connue aussi, de l'astro considéré, qni a été observé à la hauteur mesurée h.

Portons (jO, à partir de E, sur SEZ, vers P si la déclinaison (f> est positive, vers S si elle est né{;ative : nous obtenons ainsi le point H où se trouve l'astre quand il est au méridien ; el HIV, mené perpendiculairement à OP, est le diamètre du parallèle

parcouru par l'astre. A partir de S, prenons SC égal h A, hauteur mesurée, et menons CC parallèle à SN : ce est le diamètre de l'alraicantarat ou cercle horizontal qui renferme tous les points de hauteur /i, de sorte (jue l'astre, au moment de l'observation, se projetait sur BB' et sur CC, donc au point de rencontre A. Projetons cet ahnicantarat sur l'horizon : nous obtenons le cercle cA^Fc' : la rencontre de ce cercle avec la verticale AAj du point A donne la position de l'astre; et son azimut compte vers l'Est est donc l'angle SOA3.

De là résulte la construction do cet azimut, sans qu'il soit utile d'insister.

2° Solution graphique par le jiioycn de l'heure.

]39. Considérons la figure io3 analogue à la précédente, où encore SZN est le plan du méridien, SGN l'horizon rabattu autour de XY sur le plan de la ligure (qui est celui du méridien), etc.

L'heure vraie t étant connue, on en déduira le temps sidéral correspondant, avec les données des Ephémérides, telles que la Connaissance des Temps, et l'on formera l'angle horaire A^ de l'astre, dontla valeur est temps sid. — ^. Or dans la figure cet angle est B/>Ai ^^^ Von j)ourra donc construire en vraie grandeur, ce qui donnera Aj. La perpendiculaire A(A menée de A, sur BB' donnera le point A, par suite ce, et l'on pourra tracer le cercle cAjFf' avec 0 comme centre et zG comme rayon. La verticale abaissée du point A sur SN et prolongée jusqu'à cette circonférence donnera le point A^ et en tirant OAj on aura en SOA3 l'azimut cherché.

Remarque I. — La même construction donnerait l'azimut SOL, correspondant au point de lever de l'astre, c'est-à-dire l'amplitude GOL,, car OG perpendiculaire à SN est la direction du premier vertical.

Remarque II. — Les constructions précédentes font partie de V .-inaleinine des anciens, et leur connaissance est peut-être antérieure même à Hipparque. On donnait ce nom aux constructions graphiques par les-

Fig:. ici3. — Coiislruclion f.'raplii(|iie de l'azimul a, foniiai*sanl l'heure I .

quelles on résolvait les triangles spiiériqucs au moyen do la règle et du compas. Cl. Ftolémée avait écrit un traité de V AiKtlenime (\\\\ nous est parvenu en partie. Les modernes emploient le nom de projection ortliogrnphùfue, dans laquelle on suppose l'œil à l'infini, mais les {i;nomoiii5.li's ont conservé le nom ancien. On fait venir ce mot du grec ava/>î[i;jLa, (jui signifie hauteur, parce que cette construction servait ii troi;ver [;raplii(|uenient la hauteur du Soleil à une heure donnée.

luc.oi nnAN

3° Solutions numériques.

140. I. Par une hauteur d'u/i astre connu. — Considérons Ibi sphère {/'g. io4) où les lettres désignent les mêmes quantités que dans la ligure précédente.

Dans le triangle PZA. ( Pôle — Zénith — Astre ) que

Fig. 104.

Calcul (le l'azimut.

nous avons considéré souvent, nous connaissons les trois côtés :

PZ = 90» — 9, PA = 9o'' — (B, ZA = 9o"' — k.

Les formules habituelles de la trigonométrie spliérique donneront donc l'angle en Z ou a qui est l'azimut compté du point Nord N (').

("') On emploie la l'ormule bien connue

tan

2 ^ /siiii/, — b) siii(^-

DÙ l'angle cherché A est opposé au côté a, et où p désigne la demi-somme des trois côtés. Il esta peine besoin de dire que dans celte formule générale les lettres A et a ne désignent pas les mêmes quantités que dans notre texte et dans la figure.

141. Remarque. — Dans la navigation et dans l'hydroffraphie on fait un usage très fréquent de l'azimut: aussi a-t-on dressé diverses Tables qui en évitent le calcul. Nous citerons les suivantes :

Connaissance des Temps de 176-!, p. i32-i38. Table de l'azimut vrai des astres pour la hauteur du pôle de Paris, suivant leurs déclinaisons et leurs distances au méridien. La déclinaison varie de -i-3o°o' à — 27° 3o' et l'angle horaire de 0° à i3o». L'accroissement de ces arguments se fait de 2°3o' en 2°3o'.

Lalande. Abrégé de navigation, 1793.

Labrosse. Table des azimuts pour les déclinaisons comprises entre 3o" sud et 30° nord.

A. Décante. Table d'azimut pour tous les points situés entre les cercles polaires et les astres dont la déclinaison est comprise entre 0° et 48°. Paris, 1889-1892, 7 vol. in-8°.

Ch. Kcrtin. Carnet azimutal. Table de poche. Paris, Gauthier-Villars, 1920.

142. II. Par l'heure. — Quand on connaît l'heure, on peut à un instant quelconque connaître l'azimut d'un astre dont les coordonnées sont connues, par e.xemple le .Soleil, une étoile, etc. Alors, en effet, dans le triangle PZA {Jig. io4) on connaît deux côtés et l'angle compris, savoir : PZ, PA et l'angle ZPA qui est langle horaire de l'astre au moment de l'observation.

On pourrait le résoudre par les analogies de Neper ; mais il sera préférable d'employer les formules générales suivantes, où a, b et C seront les données :

tang'i/ = tangacosC,

sin'LtangC; tangA= -, — :- il—;

la première donne l'angle auxiliaire 'h, puis la seconde fait connaître l'angle A.

Re/narque I. — Ces formules sont applicables quel que soit l'astre considéré. Pour déterminer l'orientation d'un mur il est commode d'employer le Soleil ; aiors on notera l'heure vraie au moment où le Soleil est dans le plan du mur, ce que l'on reconnaît facilement puisque c'est le moment où il ne porte pas d'ombre latérale, et où les extrémités de ses rugosités sont seules éclairées.

Remarque II. — On peut aussi avoir à résoudre ce problème : Connaissant l'heure, trouver In haiileur d'un astre. Alors, dans le même triangle PZA {Jïg. io4) on connaît encore deux côlés et l'angle compris, et il s'agit «le calculer l'autre côté ZA = 90°— /*.

C'est ce qu'on fera encore par les analogies de Neper ou par les formules :

tang 'h =: tang b cos C,

cosècos( a — 'J/)

cosc = j >

\ cos 'h

où les données sont n, b et C.

La Connaissance des Temps de [762 donne, p. i24-i3i, une Table de la hauteur vraie des astres pour la latitude de Paris, avec A\{ et (0 comme arguments, qui varient de 2'' 3o' en 2°3o'.

143. Tables. — Nous donnons ci-après des Tables déjà mentionnées, qui permettront d'éviter la résolution de certains triangles sphér'iqucs rencontrés précédemment.

Les Tables II et III, dépendent de deux données ou arguments, la latitude » et la déclinaison azimutale

du mur; aussi dit-oii qu'elles sont à double entrée. Voici deux exemples de l'emploi do l'une d'elles ( II ).

Premier exemple. — Calcul de l'angle S, pour 'l 4°3'3o" de latitude et 32° o' de dévialioii aziniutale.

La Table II donne pour celte déviation azimutale :

Pour9=|4'o'S.= 2S°^y ^.^ , 3^,

Ainsi pour un accroissement de i" de latitude, S, diminue de 5o'.

Pour un accroissement de 3' 3o" = 3', 5 il diminue

de 5o' X -^ ou 2', 02. soit 3' en nombre rond, bo -^

Le S, cherche est donc 28'>4j' — 3' = 28» 42'.

Deliième exemple. — Calcul de l'angle S, pour 44°3'3o'' de la latitude et une déclinaison azlniutale de 32045'.

Le calcul du premier exemple donne, pour la latitude de 4','>3'3o" :

Pour 32°o' de déclin, azim.. S, = 28''42' ,

Ainsi, pour un accroissement de 2" de déclinaison azimutale, S. croit de 1° 19' ou 79'. Pour l'accroisse-

ment de !\b' , il croîtra donc de 79X = 29 ,b.

La valeur cherchée est donc 28<'42' + 3o' = 29° 12'.