N MN = AA' — PA

En nous reportant à la signification de chacune des lignes qui entrent dans cette égalité, on voit que

Cela veut dire que S appartient à une progression arithmétique dont le premier terme estT, et la raison T— r. Donc, si l'on prend pour point de départ la face la plus chaude du mur, les températures des couches successives décroissent en progression arithmétique, quand les distances au point de départ croissent aussi en progression arithmétique.

Proposons-nous de chercher si les quantités de chaleur qui, dans le mur que nous considérons, traversent plusieurs tranches de même épaisseur, dépendent de la position de ces tranches. Pour cela, soient seulement deux tranches AB et BC (lig. 2) , successives

et de même épaisseur; désignons par », , 9,, 9, les températures des plans qui les limitent, et par d,, <i,, d, les distances respectives de ces mêmes plans à lu face La plus chaude. Pour le reste, nous conservons les notations employées dans la relation ( I ). D'après la deuxième hypothèse de Newton, si Les tranches sont très-petite >, la quantité Q

.1,- h. il. 'in -j t i i\,.tim-" il- I:i "ii ,.. \

ver! lu couche B, est proportionnelle i ls différence 9, — 9,; pareillement, La qus

ni traverse la seconde tranche, est proportionnelle a 9,-9,. lin B donc

Après la relation (l), 0, = T— (T— f)

1,-T-tT-t) j, d,

»»-*.-= [t-(t-o j](«V-tfa)i

COND

en substituant ces valeurs dans l'équation (2), elle devient

mais les tranches étant supposées d'égale épaissseur, d, — d, = dI — d„ et, par suite, Q = Q', c'est-à-dire que les quantités de chaleur qui traversent des tranches d'égale épaisseur sont égales, quelle que soit la position de ces tranches dans le mur.

Si l'on suppose un mur solide homogène, dont l'épaisseur soit égale à 1, et dont les deux faces extrêmes soient maintenues à des températures constantes qui ne diffèrent que de l degré, la quantité de chaleur qui traverse l'unité de surface de ce mur pendant l'unité de temps s'appelle coefficient de conductibilité.

Fourier a distingué la conductibilité intérieure et la conductibilité extérieure. La première est celle que nous venons d'examiner, et qui n'agit que dans la masse des corps. La seconde comprend le passage de la chaleur à travers la surface des corps, au moment où elle en sort pour gagner la surface contiguë du milieu ambiant. On appelle donc coefficient de conductibilité extérieure la quantité de chaleur qui traverse l'unité de surface d'un corps, pendant l'unité de temps, quand la différence de température avec la surface contiguë du milieu ambiant est égale à l». Cette quantité dépend du pouvoir émissif de la substance échauffée ; mais, en outre, elle dépend de sa conductibilité intérieure ou de la rapidité avec laquelle la chaleur arrive de l'intérieur à la surface.

Pour la mesure des coefficients de conductibilité, nous nous bornerons à mentionner les expériences de Péclet, les seules dont les résultats aient fourni une approximation acceptable de la mesure numérique de ces coefficients. Péclet prenait uu vase cylindrique en fer-blanc, rempli d'un poids P d'eau maintenue à une température de t°. Le fond de ce cylindre était formé de la substance dont on voulait connaître la conductibilité, de plomb, par exemple. Ce cylindre était introduit dans un second cylindre rempli d'eau àT°. L'intervalle qui séparait latéralement les deux cylindres était bourré de coton cardé, de sorte que l'excès de chaleur du cylindre extérieur ne pouvait passer dans l'autre qu'à travers la plaque de plomb, dont nous désignerons l'épaisseur par e. L'eau était vivement agitée dans les deux vases, par des roues à palettes.

Cela posé, si l'eau du cylindre intérieur, au bout d'un certain temps t, se trouvait à une température t', elle avait gagné dans l'unité de temps une quantité de chaleur égale à

On peut maintenant raisonner comme si l'eau du cylindre intérieur avait conservé pendant la durée de l'expérience une température moyenne de

le disque de plomb aurait donc eu une face à T degrés, et Vautre à

Admettons, en outre, que les quantités de chaleur qui traversent la plaque soient proportionnelles aux différences de température des faces. Si, pour une différence de

la chaleur, qui, dans l'unité de temps, a

traversé l'unité d'épaisseur de la plaque, est

pour une différence de 1° elle sera P(f'-Q

et îP(t' — t)

COND

perdra le reste par son contour; et, ainsi <i suite, une partie de la chaleur émanée de l'extrémité passera de tranche en tranche, mais toujours en s'affaiblissant. Eu appliquant l'analyse à ce mode de propagation de la chaleur, Fourier a trouvé une formule générale qui exprime la différence existant entre la température d'une tranche quelconque de ls barre et celle de l'air extérieur. Soient T la température de la tranche, x sa distance à l'extrémité chauffée, p son périmètre, s l'aire de sa section, k le coefficient de conductibilité intérieure de la barre, h son coefficient de conductibilité extérieure, t la température de l'air, e la base des logarithmes népériens, M et N des constantes qui dépendent de la nature de la barre. La formule de Fourier s'écrit

V «fc + Ne V ,k

C'est ainsi que Péclet a trouvé que le coefficient df conductibilité du plomb est 3,82. Kn opérant sur des disques métalliques de même substance, mais d'épaisseurs différentes, Péclet s vérifié que les quantités de chaleur ïses sont en raison inverse des épaisseurs du disque.

Le coefficient de conductibilité extérieure pourrait se déduire du coefficient de conductibilité intérieure et de la vitesse du refroidissement. Sa mesure repose ainsi sur deux

évaluations complexes dont il a été jusqu'à

présent fcrès-bÙfncile d'approcher. C'est dire qu'elle n'a été l'objet d'aucune tentative qui mérite d'être relatée.

Considérons maintenant une barre prismutique très-longue, assez mince pour que la température soit uniforme dans tous les points d'une même section normale, et ayant une de s<-s extrémités chauffée à une température constante. La tranche composant cette extrémité communiquera une parti.* de sa chaleur à ta tranche suivante, et perdra le reste par k rayonnement et par la conductibilité extérieure de son contour. 1>«' même, la seconde tranche cédera a la troisième uno partie de la chaleur qu'elle aura reçue, et

(1) T — t = Me

pour abréger, on pose

et alors il vient

(2) Y = Me + Ne

On détermine les constantes M et N dans la relation (2) en y attribuant successivement à x deux valeurs différentes, exactement mesurées. On a ainsi deux équations à deux inconnues.

Si l'on peut faire x = eo , ce qui revient à supposer la barre assez longue pour qu'une tranche ne puisse recevoir aucune chaleur de l'extrémité échauffée, il n'y aura plus de différence entre la température de cette tranche et celle de l'enceinte, le second membre de l'équation devra s'évanouir. Mais l'hypothèse x = » annule le second terme, et, pour que le

Premier terme soit nul, il faut que M=0; équation ne doit donc renfermer que la constante N, et elle prend la forme

— rx Y= Ne

ou, en rendant à r sa valeur,

(3) Y = Ne V sfc- ••• Cette dernière manière d'écrire la formule de Fourier, née de l'hypothèse où x peut être infini, convient également à tous les cas où la barre est suffisamment longue pour que la tranche située à l'extrémité ne reçoive plus aucune chaleur du point échauffé. Par conséquent, dans une autre barre de même substance, à section s1, semblable mais non égale, et exposée à la même source de chaleur, on aurait, pour une tranche située à une distance x' différente de x,

Y' = Ne

uées doive

Si les deux tranches situées aux distances x et x' du point échauffé doivent posséder la même température,

jr'ph ~~sk~~

d'où

d'où encore

(5) x'ps' = x"p's. . . .

Mais , puisque les sections sont semhlable s, on a

Pl__ï

P" «* ' d'où pV = /i"s. Divisant l'égalité (5) par cette dernière, il vient enfin

ce qui prouve que, dans les barres prismatiques ae même substance et semblables, les carrés des distances à la source, pour i tions qui ont même température, sont proportionnels aux dimensions homologues.

— rx

Si, dans la formule Y = Ne , on donne a x les valeurs successives 1, 2, 3, 4, . .., on obtient une seconde loi : Les excès des températures tirs tranches sur la température de l'air décroissent en progression géométrique quand les distances, au point échauffe.

sent en progression arithmétique.

Enfin, considérons plusieurs valeurs consécutives de Y. et, pour cela, prenons sur la barre plusieurs points consécutifs à des distances de l'origine x, x + d, x + t d, . . • La formule générale (2) donne, pour x , rx — rx

Y = Me + Ne ;

pour x -+- d, Y. =

pour x -f 2d,

rx + rrf

Me + Ne

- rx — rd.

rx -f 2 rd Y, = Me + Ne

, ctC.

Donc

rx-frd/ rd — ra\ Y t Y, = Me (e +e ;

— rx — rtlf ar — ra \