CP

cos p

sin a

cos f

Enfin, si l'on mène AE parallèle k CD et PH parallèle à SV, on aura

PD = AE — AH = 2AI — AH=2(isinp — AH; mais le triangle AHP donnera AH sin (o-|- 2p)

d'où

cos ^

^^ a sin (g + 2 p) eosp '

l'équation de la section sera donc, en définitive,

sin a sin p sin a sin (a 4- 2 fi)

cos p cos* p

Cette section est donc toujours une courbe du second degré. Ce sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que sin (a -i- sp)

sera positif, nul ou négatif; c'est-à-dire que la trace Ax du plan sécant coupera la géné-

ratrice SV, lui sera parallèle ou ne rencontrera que son prolongement.

Les sections faites dans le cône par des plans parallèles seraient évidemment semblables entre elles, de sorte que, pour savoir si une couri)e du second degré donnée pourrait être placée sur un cône donné, il suffira de chercher si le coet'ficient

sin « sin (a -f- 2 p) cos' p peut passer par la valeur qu'aurait le coeflîcient de x' dans l'équation aux axes de la courbe donnée, résolue par rapport a y'. Pour une parabole, il n'y aurait aucun doute, puisque le coeflicient de x' serait nul dans son équation et qu'on l'annulera dans celle de la section conique en faisant

Pour une ellipse, la réponse serait encore affirmative, parce que le rapport sin a sin (a -j- 2 p)

varie de 0, pour k 1, pour

cos* p

a+2p=lt.

Mais, pour une hyperbole, l'identification ne peut pas toujours se faire. En effet, en désignant par a et 6 les demi-axes transverse et non transverse de la courbe, il faudrait faire

sin o sin (a -f 2p) l,'

cos' p a*

ou bien

cos 2p — cos (2a + 2p) h*

2 cos' p ~ ~ n* '

c'est-k-dire

cos (2 a + 2 p) = cos 2 p -h 2 cos* p -

SECT

11 faut, pour que cette condition puisse être remplie, que

COS 2? + ï cos' p -j

ou que

Or,

2 (' + ji) "=»»■?-'

S entre — 1

iijours éviii

pour qu'el

soit compris entre — 1 et + l. Cette quantité est toujours évidemment supérieure k — 1 ; mais, pour qu'elle soit moindre que 1, il faut que

I cos» p < 1

cos p < -x- — • Va* ^ A»

est le demi-angle des asymptotes; il faut donc que le demi-angle au sommet du cône donné soit plus trrand que le demi-angle des asymptotes de l'hyperbole donnée, condition' qu'il était facile do prévoir.

On déduirait l'éouation de la 5ec/tofi cylindrique de celle de la section conique on supposant que le cône dégénérât «;n cylindre. IL faudrait pour cela faire tendre p vers 0 et d vers l'infini, en maintenant toutefois con* stante la section circulaire passant par le point A par exemple, c'est-â-dire en posant

d sin p = R, d'où

en substituant à d cette valeur dans l'équation de la section conique, elle devient

R sin a sin a sin fa + 2p)

cos p cos' p

et se réduit à

y' = 2 R sin ax — sin* ax* lorsqu'on y fait p = 0.

— Section antiparallèle du cône oblique. Les anciens noinmaient cône oblique un L-ône ayantencore pour directrice la circonférence d un cercle, mais son sointuet situé hors de l'axe de ce cercle; c'est pour nous un cône du second degré. Les sections planes d'un cône du second degré sont encore des courbes du second degré; cela résulte immédiatement des principes de la géométrie analytique. Mais, parmi ces sections, il en est de remarquables en ce qu'elles reviennent k la forme circulaire. Soit ASB le plan mené par le sommet du cône et le centre de la base perpendiculairement au plan de cette base, le cône

étant symétrique par rapport à ce plan ; on doit chercher les sections circulaires du second systi-'ine dans les sections faites par des plans qui lui soient perpendiculaires. Soient A'B' la trace sur ASB d'un pareil plan, M un point de la section, MP la perpendiculaire k A'B', A"PB" la parallèle à AB, menée par le point P, et A"MB" la section circulaire du premier système passant par le point M ; on aura, d'un côté,

MP'= A"PxPB";

mais, pour que B'MA' soit aussi un cercle, il faudra qu'on ait également

MP'= B'P X PA'; c'est-à-dire

A"Px PB" = B'P X TA' ou