ROHAN. V. ROHAN

Taucrcde, tragédie de Voltaire, en cinq actes et «n vers; représentée pour la première fois le 3 septembre I7fi0. Voltaire avait soixante - quatre ans lorsqu'il donna cette pièce, dans laquelle il s'est montré véritablement créateur. Ce n'est point une tragédie à la manière de Corneille et de Racine : c'est une œuvre toute voltairienne à laquelle l'illustre écrivain a imprimé, encore plus peut-être que dans Zaire,\e caractère de son talent tragique. Il ne possède pas en entier les grandes tiualités de ses deux célèbres devanciers, et pourtant it est en lui quelque caose qu'on ne trouve pas dans Corn.'ille et dans Racine, et qu'on pourrait y regretter.

L'aventure d Ariudant et de Genèvre, dans le pofime de l'Anoste, a fourni à l'auteur l'idée principale de sa pièce, l'idée mère qui, dans toute espèce de drame, est si décisive pour l'intérêt et le succès ; et celle-ci était une des plus heureuses dont le génie dramatique pût s'emparer. C'est un amant, un chevaiier qui combat en champ clos.pour sauver l'honneur et la vie de sa maîtresse, bien qu'il la croio coupable de la plus odieuse infidélité. C'est là tout ce que Voltaire a pris à l'Arîoste; il a invente tout le reste. Le combat d'A* riodant pour Genèvre, qui dans VOrlaudo est une conséquence des lois de la chevalerie, indiquait ii Voltaire un chevalier pour son héru.s. 0'e.~)t une obligation qu'il a de plus à i'Arioste, de lui avoir donne l'idée et 1 occasion de mettre la chevalerie sur la scène, et c'en est aussi une que nous devons à Voltaire, d'avoir exécuté cette idée avec tant de succès.

Il a donc placé son action au commencement du xic siècle, lorsque les inceurs do la chevalerie étaient en vigueur; il l'a placée à Syracuse, dans une réjiublique, dans un des Etats qui faisaient partie do la Sicile, alors partagée en différentes dominations ; et ces diverses puissances, ennemies l'une de l'autre, les factions qui les déchiraient, l'opposition de mœurs ei do croyances qui les séparait, chacun de ces objets entre pour quelque chose dans les vues qui dirigeaient les pians de l'auteur. Argire et Orbasbun sont les chefs des deux maisons les plus puissantes de Syracuse et depuis longtemps rivales. Il y a quelques années que celle d'v^rbassan a prévalu ; les troubles civils causés par cette rivalité ont forcé Argire de s'éloigner pour ub temps de sa patrie, et alors il a pris le parti d envoyerstt femme, avec sa fille Aménaide/A Byzaucc, à la cour de l'empereur grec, pour mettre en !>ùreté ce qu'il avait de plus cher, en attendant des temps meilleurs. La fortune a change ; Argire est rentré dans sa patrie et dans ses biens, dans lou^ les honneurs du premier rang; il a fait revenir près de lui sa fille, d-iiit ).i lu'tf it:iit morte à Byzance. &Iai> l't ne pouvant plus

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reurs ^roi:.t qot en rc-ciauiamnt la souveraineté, et de l'autre par les Arabes musulmans, .|ui v..ii. .cMit joindre Syracuse aux autres quils avaient en Sicile, il n un accor\l qui sonibio concilier i. ...... M^ .iii*;rétaei remplir tous les vœux des

citoyens. 11 a codé lo coinmautlement à Orba-'-'iin, qoi **vt dan-* la for ■<• <1- t'A,'-^, o t en

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TANC

mort, avait approuvé leur amour et reçu le serment qu'ils we fuisai<>nt rie se donner la foi conjufjnle. Mais il avîùt fallu obéir aux ordres d'un père qui rappelait sa fiUo, et laisser Tancrède k B>'z;»nce pour revenir près d'Argire, qui, étant fort loin de soupçonner qu'Aniénaïde eût donné son cœurà un banni, oroit pouvoir disposer de sa main en faveur d'Orbassan. Tels sont les faits exposés dans la première scène, où les chevaliers, assemblés en conseil pour délibérer sur la situation critique de Syracuse, rétablissent dans toute sa rigueur la lot qui condamne h mort, sans distinction de ranp, de sexe, ni d'âge, quiconque entretiendrait dos relations secrètes avec les ennemis de l'Elat, et renouvellent aussi en

f)articulier la proscription prononcée depuis ongtemps contre Tancrède pour avoir servi les empereurs grecs. AincnaTde, informée que son amant est revenu subitement en Sicile et qu'il a paru dans Messine, lui écrit pour le prévenir du malheur qui le menace. La lettre est interceptée : comme elle ne portait pas le nom de Tancrède, ayant été contiée k un esclave qui avait connu le chevalier de Byzance, on la croit adressée à Solumir, chef de l'armée musulmane qui assiège Syracuse ; Aménaïde reconnaît et avoue la lettre, mais en s'abstenant de tout éclaircissement qui aurait perdu Tancrède sans la sauver ellemême, et elle est condamnée à mourir sur un échafaud, si aucun chevalier ne prend sa défense. C'est à ce moment que Tancrède, qui ignore tout ce qui s'est passé, arrive à Syracuse et se présente comme un guerrier qui, sans se faire connaître, veut combattre dans les rangs des Syracusains contre les musulmans. Mais bientôt il apprend qu'Aménaïde a trahi sa patrie et son amour, et Argire, le

fière d'Aménuïde, avoue devant lui qu elle est a honte de sa vieillesse et qu'aucun chevalier ne se présente pour prendre sa défense. Tancrède Combat pour elle et triomphe d'Orbassan, mais la mort est dans son cœur; trompé par les apparences, il ne peut plus douter de la perfidie d'Aménaïde. Il a vu le fatal billet; on l'a instruit des prétentions que Solamir avait annoncées sur Aménaïde. Il ne lui reste d'autre désir, d'autre espoir que de consommer sa vengeance sur un autre rival, plus odieux que le premier; il a promis aux Syracusains d'aller combattre Solamir , il brûle d'en venir aux mains avec lui. Les chevîiliers viennent avertir Tancrède qu'il faut partir. Il est prêt à les suivre, lorscjue Aménaïde, en leur présence, vient se jeter aux pieds de son libérateur. Ainsi tout est préparé pour cette scène unique, nécessaire au plan, et qu'il fallait rendre terrible pour Aménaïde, en rendant cette rapide entrevue inutile à l'éclaircissement. Tancrède était déjà résolu à ne pas la voir; le temps presse, il faut marcher à l'ennemi ; il est entouré de témoins devant qui Aménaïde ne peut le nommer sans le perdre. Quelque savante que soit la combinaison de la scène, le génie est ici dans la réponse de Tancrède, dont chaque parole est plus cruelle pour son amante que l'èL'hafaud dont il vient de l'arracher; car Aménaïde n'avait point pensé iusque-là que son amant pût la croire coupable de i'iniamie dont on l'accuse. Elle reste anéantie ; mais à peine Tancrède est-il parti, que, dans son désespoir, elle avoue k son père toutola vérité, et veut à quelque prix que ce soit désabuser Tancrède ; il est au combat ; elle veut l'aller chercher sur le champ de bataille. L'effet final qui va résulter de cette situation est éminemment tragique ; il est fondé sur le passage de l'affliction à la joie, et le retour affreux de la joie passagère à un malheur irrémédiable. Aménaïde, qu'on a eu peine à ramener du champ de buluille, apprend que Tancrède est victorieux, qu'il a tué iïolamir, qu'il est reconnu, honoré, et di?s qu'il aura revu Aménaïde, il ne vivra que pour elle ; elle s'écrie : Je sens tout mon bonheur... Hélas! il m'est bien dû.

Oppresseurs de Tancrède, ennemis, citoyens. Soyez tous b mes pieds, il va tomber aux miens.

Mais l'écuyer de Taneréde arrive les yeux couverts de larmes ; il tient une lettre tracée avec le sang de son maître; il la remet à sa malheureuse amante.

Tancrède meurt, 6 ciel ! sans être détrompé!

Ce vers dit tout. Cependant le poète, qui voulait et qui devait adoucir la blessure cruelle que ce dénoûment fait au spectateur, a ramené Tancrède expirant, et du moins il mourra détrompé. Rien n est plus attendrissant que cette dernière scène : c'est la que le speciaole, comme dans le reste de la pièce, est une véritable action ; Aménaïde, à genoux près du héros infortuné, porté sur des drapeaux sanglants, lui demande un dernier regard.

Ah! vous m'avez trahi!

C'est là sa seule réponse aux pleurs dont elle arrose ses mains mourantes. Maïs Argire rend un témoignage éclatant et irrécusiible à l'innocence de sa fille; Tancrède apprend qu'il *est toujours aimé.

AménaWe, 6 ciel! est-il vrai? vous m'aimez?

Vous m'aimez! o bonheur plus grand que mes revers! Je sens trop qu'à ce mot je regrette la vie. J'ai m«!rilé la mort, j'ai cru la calomnie.

Argire, écoutez-moi.

Voilà le digne objet qui me donne sa foi ; Voilà de DOS soupçons ia victime innocent

TANC

A sa tremblante main joigniez ma main fanplnnte; Que j'emporte au tombeau le nom de son époux.

Il expire, et Aménaïde, après des éclats de fureur et de désespoir, tombe dans une espèce d'anéantissement qui ne permet pas de croire qu'elle survive longtemps au héros qu'elle a perdu.

Tnnerfde. opéra-s-'-ria italien, livret de Rossi. d'après la tragédie de Voltaire, musiuue de Rossini; représenté pour la premièrerois sur le théâtre de la Fenice, a Venise," pertdant le carnaval de 1813. On en avait drinné plus de deux cents représentations au ThéAtre-Itulien de Paris, lorsque Castil-Blaze en tit un arrangement et une traduction. Tancrède fut représente à l'Odéon en 1827, mais avec moins de succès, M""^ Pasta, M'ï^ Naldi, devenue depuis M™* la comtesse de Sparre, avaient par leur magnifique talent popularise les plus beaux motifs de la partition dans leur forme italienne, et la traduction française n'a pas prévalu. Cet ouvrage est un des plus remarquables de Rossini, parce que le maître y introduisit des innovations hardies. Les longs récitatifs accoutumés des opéras de l'ancien style furent remplacés par des ensembles. La mélodie y e^t abondante, gracieuse, brillante de verve et de jeunesse. Nous mentionnerons seulement le duo : Afi/^e de' mali rtiiei et la célèbre cavatine : Di tand palpili, qu'on a appelée en Italie Varia de' rizzi, parce que, dit-on, Rossini l'écrivit sur une table d auberge pendant qu'on préparait son riz. En peu de jours, cette cavatine fut chan tée pur toute 1 Kurope. Les interprètes prin-

TANC

cipaux de cet ouvrage, aux Italiens, ont été successivement Miûc» pusta, Naldi, Cinli, Pisaroni, Sontag, Malibran, Viurdot, Persiani et MM. Lovasseur et Bordogni. L'opéra de Tancrède est le dixième opéra composé par Rossini. Il avait alors vingt-deux ans I

Tancrèdo (AIR db) , musique de Rossini. Tout le monde connaît l'historiette plus ou moins apocryphe que l'on se rdalt à raconter au sujet de cet air célèbre; Rossini le composa, dit-on, en cinq minutes, sur le carré d'une table, en attendant un repas qu'on allait servir ; les uns disent que le fait se passa chez un riche particulier qui avait invité le maestro kdlner; d'autres prétendentque c'est sur la table d'un restaurant que fut écrit cet air; enfin une troisième version représente RoKsini dans une mauvaise auberge, attendant un plat de riz commandé pur lui et griffonnant un papier à musique; d'où le nom que porte cet air : Aria de' rizzi. Tres-franc est le début de cet air, qui respire en son entier cette maestria d'un génie fort et créateur. Cela porte et aune valeur réelle. Le développement do l'air est bien réussi, et la rentrée bien ramenée. Malheureusement, comme presque toujours, Rossini a encore manqué là de conviction. Rien de plus insupportable que cette coda italienne; cela se traîne et se termine par les inévitables vocalises, construites sur cette plate cadence parfaite dont l'Italie abuse tant. Quoi qu'il en soit, cet air jouit d'une célébrité, en somme très-méritée, et, qu'il ait été ou non composé et écrit en cinq minutes, il produit toujours beaucoup d'effet.

tSzor-

Moderato

^^^^m^mmMm

0 tour-mentsl

gois-ses vai

iPpi^Sli^giiêil

Dou - tes et

nés. Lais

il^i^

^&^te=i

Que je la voie I Oui, la voir!

mM^^^^^^^^^^^W^

mou - rir de

plai - sir! Tour - menls et dou-

igl^liig^=^l^lS^^

leur.

Aht lais - Ecz

mon cœurl Tour - ments, dou - leur. Lais - sez

mon cœur, A ja - mais mon cœur!

âlÉé^^pjp=i

f — F^ i->t-M t=i|^^ \LJ-—-^ —^ — *d| — y — ^

et puis mou - rir !

Je veux la voir! Je veux la

voir, et mou - rir ! De tant de joie , Ah ! je sens mon cœur, mon cœur très-

sail - lir. Je vais re - voir, en ce beau jour,

Je vais re

i^jpiii^ii^piip^pii

voir ma bien-ai - mé ■ e; Je vais re - voir, en ce jour, ma bien-

sipssii^i^^^gPiP

ai - mée; Oui ! la

sa^f

f^m^^m^^mm

iig=S^^^^i^lsii^i^SiS

mé - r^ Elle est ren • due à mon a - mour.

mon a - mouri

TAND

Taseridr, tragédie lyrique en cinq actes, avec un prologue, paroles de Danchet, mu^ sique de Campra; représentée par l'AL-adémie royale de musique le mardi 7 novembre 1702. Afin d'utiliser lu voix presque virile do Mlio Maupin, Campra écrivit pour elle le rôle de Clorinde dans un diapason inusité jusqu'alors. C'est la première fois qu'on entendit k Paris sur la scène un contralto. Tancrède eut un succès oui égala presque celui des opéras de Lulli,qu on donnait toujours. On necomptt; pas moins de six reprises de cet ouvrage jusqu'en 1750, époque à laquelle s'arrêtent DOS renseignements. Thévenard chanta le rôle de Tancrède pendant près de trente ans) Il fut remplacé par Chassé pour tes deux dernières reprises. On dut par conséquent transposer plusieurs morceaux, quoique les airs de nasse fussent écrits assez haut. Les Clorindes furent successivement Mll£> Maupin, Journet, Antier. Cet opéra fut une occasion de triomphe pour les danseuses Camargo et Salle. Voici les morceaux dont se composait un pas de trois ou petit ballet qui eut oeaucoup de vogue a cette épouue : un prélude grave, une chaconne, un air <le trompette, une loure, un passe-pied en rondeau et un tambourin. Les chœurs de Tancrède marquent un notable progrès dans la composition musicale. Campra s'était formé au bon emploi des ressources vocales en remplissant les fonctions de maître de chapelle dans les églises de Toulun, d'Arles, de Toulouse et enfin k Notre-Dame de Paris. Nous ne craignons pas d'affirmer qu'il y a des morceaux fort intéressants et fort agréables k entendre dans la partition du vieux maître fran^-ais.

TANDAII, ville de l'Indoustan anglais (Calcutta), sur le bord de la Gogra, k 32 kilora. N.-O. de Murchidabad. Fabriques de tissuB de coton et de linge de table. Jadiis renommée pour la salubrité de sa position, elle est aujourd'hui environnée de marais oui en rendent le séjour dangereux. Les environs produisent de l'indigo et du sucre. Chah, souverain du Bengale, eo fit autrefois sa résidence.

TANDAM s. m. (tan-damm). Bàtoa à sept nœuds, qui est le signe distinctif de certains

brahnies indous.

— EDcycl. Le tandam ou bâton à sept nœuds est l'insigne caractéristique des brahmanes indous qui sont parvenus k la condition de sauniassy ; le bâton k sent nœuds du sauniassy ne doit pas le quitter d'un instant; c'est ce qui le distingue des autres brahmes, avec les toiles jaunes dont il est vêtu ; le sauniassy, cependant, ne porte pas non plus le triple cordon de sa caste ni le bouquet de cheveux que les brahmes laissent croître au sommet de leur tête; ces deux dernières partictilarités sigûirient que le sauniassy a renoncé k sa caste, ainsi qu'au monde et à ses pompes. En effet le sauniassy fait profession de pauvreté et ne vit que d'aumônes ; il ne peut posséder que trois choses, son tandam, ou bàtoa k sept nœuds, sa calebasse k eau ou ce qui lui en tient lieu et une peau de gazelle pour s'asseoir. Le tandam du sauniassy n'est point un simple ustensile destiné k l'aider dans la marche ; c'est une imitation de la verge d'Aaron ; c'est l'instrument de la rabdomaucie, divination par la baguette. Les sept nœuds du tandam ne sont pas non plus sans mystère. Qui ne connaît la perfection du nombre septénaire? On juge aisément de la haute estime dont il jouit dans l'opinion des Indous, par cette foule de hens et d'objets de leur vénération qui vont toujours par sept ; d'ailleurs sept est un nombre impair et tous les nombres impairs sont réputés heureux dans l'Inde, témoin la fameuse trimourti : Brahma, Vichnou et Siva. On sait aussi que, chez les Romains le nombre impair était sacré. Nous pourrions, à propos du bâton k sept nœuds des sauniassys, parler de celui de Moïse, d'Elisée et de tous les prophètes; du bâton augurai, du bâton pastoral des faunes et des sylvains, du bâton des cyniques ; mais nous laissons aux lecteurs éclaires le, soin de faire k cet égard les rapprochements qu'ils jugeront convenables.

TANDANE s. m. (tan-da-ne). IchthyoL Genre de poissons siluroïdes, qui se trouve dans l'est de l'Australie.

TANDEL (Charles-Antoine), écrivain belge, né k Luxembourg en 1801, mort k Arlon en 1854. Docteur en philosophie et es sciences, il devint inspecteurde l'enseignement primaire. Il a laisse divers ouvrages, dont les principaux sont : Observations sur l'enseignement dans les athénées et collèges (1826); Jdées sur l'instruction publique dans les Pays-Bas (1829), Plan d'une université pour ta Belgique (1831).

TÀNDEL (Nicolas-Emile), écrivain belge, frère du précédent, né k Luxembourg en 1804, mort k Liège en 1850. Il fut professeur de philosophie k l'université de cette ville, auteur d'une Grammaire philosophique allemande très-estimee et d un Nouvel examen d'un phénomène psychologique du somnambulisme; il a publié, en outre, de 1841 k 1850, le Cours de logique à l'usage de l'enseignement universitaire ; i'Esguisse d'un cours d'anthropologie; le Sommaire de philosophie morale; l'Analyse de la philosophie morale de De Cocle, vice-recteur de l'université catholique de Louvain et, enfin, une série d'articles dans la Correspondance mathématique de M. Quételct et

TAND

de lettres sur les Idées innées dans le Journal

historique de Kerslen.

TANbEL (Emile), écrivain belj^'e, fils de CharJes-Aiitoine, né à Bruxelles le 6 septembre 1834. Ked^icteur en chef {endaut de longues années de l'^cAo du Luxembourg, il publia de nombreuses traductions de l'iillemand : Idées de Herder sur la philosophie de l'histoire (Paris, 3 vol.); VÈistoire de la francmaçonnerie, de Fiiidel (Bruxelles, 2 vol.); A travers l'Amérique ^ de Kiœbel (Bruxelles, 3 vol.), et un certain nombre de romans de Lochokke. Il compce parmi les collaborateurs du Grand Dictionnaire universel et de l'Economisle belge.

TANDELIN S. m. ( tan-de-lain }. Techn.

Hotte de sapin à l'usage des sauniers.

TANDEM s. m. (tan-dèinm). Espèce de Cftbriolet dccouvert, à deux chevaux eu flèche : Nul ne porte mieux un habit, ne conduit un TANDEM mieux que lui. (Balz.)

TANDIS adv. (tan-di ; avec que quelques-uns prononcent tan-di-ske. — Vu f^rand nombre d'étymologistes font venir fantiiâ du latin <amdiu, qui signitie proprement aussi longtemps, de tum, si, aussi, et de diu, longtemps, et ils s'appuient sur ce que l'adverbe diu, romanisé en di et avec le s adverbial en dis, se trouve également dans jadis. Chevallet repousse cette explication et croit que /ant^/j est composé de tant et de dis, pluriel de l'ancien français di, jour, du latin dies^ jour, qu'il croit retrouver également dans jadis. Autrefois, en effet, on disait tant dis, tans dis, locution analogue à tous dis, qui se disait anciennement pour toujours. Tans dis, tant dis signitiaient pendant autant de jours, pendant aus.~ji longtemps, pendant tout ce temps. Chevallet remarque mêm': que la préposition qui était ordinairement sous-enieudue pouvait cependant être exprimée, et que I on disait quelquefois entre tans dis. L'espagnol emploie dans le même sens entre tanlo, en tanto; le portugais em quento; l'italien a frattentOy adverbe compose de la préposition fra, en, dans, entre, pendant, et de l'adjectif ïan/o, sous-entendu tempo, Scbeler croit que l'emploi de tandis dans le sens de tantos dies est le résultat d'une confusion, et il signale le provençal tandius, corrélatif de guandius, qui, selou lui, témoigne en faveur de tamdiu). Pendant ce temps, cependant :

Et tandis il m'envoie

Faire office envers vous de douleur et de joie. Corneille.

— Loc. conj. Tandis que. Pendant que, dans le temps que : Travaillons tandis qub nous avons encore du feu datis les veines. (Volt.)

Tandiê çu'& peine à t«s pieds tu peux voir, Pvnfes-tu lire au-dessus de ta tâtc 7

La FONTAIHB.

Dans ses projets un faquin réussit, Tandis que daos les siens un honnête homme échoue. LëDKUH.

— Tant que, tout le temps que :

Tntidit queyou» vivrez, te sort, qui toujours chanf*e, Ne vous a point promis un bonheur sans mélange. Racim.

— Au lieu que : // a échoué, tandis yu'i7 aurait réussi s'il avait voulu.

— Syn. Taadle que^ pcuilniil que. V. PEN- DANT.

TANDON (Antoine), médecin et anatomlste français, nô it Montpellier en 1717, mort en 1806. Il prit le grade de docteur en 1741, et, comme il joignait k une grande sagacité des connaissances étendues en anatomie et en physiologie, il se livra avec un très-grand succès ù l'enseignement privé. Tandon fit de nombreuses oxpérieiict's pour vériller les faits avancés pur Hallor relativement à la sensibilité et a l'irritabdité, s'occupa avec ardeur de l'organisation des animaux et fut chargé, de 1766 il 1768, du service des épidémii-s dans les environs de Montpellier. La religion protestante, à laquelle il appartenait, I empocha de parvtMiir aux dignitus médicales. On lui doit : Mémoire sur la maladie rpidémique de Ai^yrueis et ses environs (Montpellier, 1769, in- 12); Ihssertalton sur la trachéotomie; Dissertation sur la phthisie vénérienne, etc.

TANDON (Uarth*|oni)'), astronome français, cousin du prccédoiit, ne k Monlputlier en 1720, niurt un 177:>. Il remplit graïuitmonl pendant plusieurs années les foncliiins du directeur de l'observatoire construit en grande partie par ses soins sur une tour des anciens remparts do Montpellier. Tandon donna un grand développement k cet établissement, qui acquit beaucoup do réputation et reçut les encouragements de Cassiui, de Kacaillo, do Lomoni^r lorsqu'ils s'occuperont do prolonger la méridienne de l'Observuloiro do Paris dans le midi do la Krance. C'e.st k lut qu'un doit les prï'iniores observations do latiiudo faites k l'observatoire do Montpellier. Pour élever sa nnmbreuso famille, Tandon so livra ii des opérations do banque qui furent loin de l'enrichir et passa lus dernières années de sa vio dans une maison de campagne près de su villo natale. C «tait un homme de beaucoup d'esprit, ù lu conversation agréable, piquanto et variée. Il composa quelques poésies languedociennes, noianunont une chanson k boire fort originale etdevenue populaire, qui corameuce amsi :

Rpsien altsi !

N'anen pas ^ Consiantinople; EestflQ aUsi!...

TANG

TANDON (André-AuRUSte), poète languedocien, surnommé le Troubadour de Montpellier, parent du précédent, né k Montpellier en 1759, mort dans la même ville en 1824. Tout enfant, il montra de rares dispositions pour les mathématiques, puis reçut une éducation toute littéraire de l'abbé Kavre, poSte populaire, et entra ensuite comme commis dans la maison de banque de son oncle, qui le prit plus tard pour associé. Pendant la Révolution, il remplit les fonctions de vériticateur de l'emprunt forcé, de commissaire des guerres, d'olficier municipal, etentretini|une active correspondance avec le ministre Cambon, qu'il aida à réformer l'ordre financier de la France. Vers l'âge de trente ans, Tandon s'adonna k la poésie et composa, dans l'idiome languedocien, des contes, des chansons, des fables, des poésies diverses, dont le style est simple, facile, naturel et dont la morale est douce et pure. Quelques-uns de ses contes, notamment celui des Ustanciurs, sont charmants et d'une piquante invention. Ses fables sont pour la plupart imitées de Phèdre, de La Fontaine, de Florian, de Groselier, etc., et s'élèvent souvent k la hauteur poétique du modèle. Un recueil de ses principales poésies a été publié sous le titre de Fables et contes en vers patois de Montpellier (Montpellier, an VJII, et 1813, in-80). On lui doit, en outre, plusieurs ouvrages inédits : Traité sur tes lettres, les diphthongues, les différents sons et l'orthographe du patois ; Observations grammaticales sur les patois du Lanauedoc ; Contes en vers français; Recueil d'historiettes en prose, etc.

TANDOD-BATTOO, une des petites lies Soulou, par 50 9' de latit. N. et 1170 52' de longit. E.

TANDOUR S. m. (tan-dour). Table recouverte d'un tapis qui descend jusqu'à terre, et sous laquelle les Orientaux placent un réchaud rempli de braise.

TANÉCIE s. f. fta-né-sl). Bot. Genre d'arbustes, de la famille des bignoniacées, dont l'espèce type croît aux Antilles, sur le tronc des arbres.

TANÉGA-SIHA ou TANAO-SII)f A, lie du Japon, au S. de celle de Kiousiou, dont elle est séparée par le détroit de Van-Diémen. Klle a environ 60 kilom. de longueur sur 30 de largeur. Sa surface est montueuse et bien cultivée.

TANÉSIE s. f. (ta-né-zî).Bot. Autre orthographe du mot TANAISIB.

TAISBTTE, ville de la Malaisie, dans l'Ile Célebes, entre Macassar et la baie de Sorian, ch.-l. de la petite principauté de son nom. par 40 H' de latit. S.

TANEVOT s. m. (ta-ne-vo). Archit. Moulure en quart d'ovale, avec filet et dégagement.

TANFANA ou TANFAN, déesse ou dieu du feu, adoré chez les Frisons et en Westphalie en général. Son temple principal était situé entre l'Ems et la Lippe. Il fut brûlé sous le règne de l'empereur romain Tîbere, alors que les druides furent chassés de la Gaule et durent se réfugier dans ces contrées. Tacite, dans ses Annales, liv. I^r, i, et li, en parle ainsi : • Celeberrimum illis gentibus templum quod Tanfana vocabant solo xquaiur. * On a pensé aussi que Tanfana n'était qu'une devineresse ou prophétesse, car tan veut dire destin, et fan^ puissant.

TANO s. m. (tang). Ichthyol. Un des noms du mugo commun.

TANGAGE s. m. (tan-ga-je — rad. tanguer). Mar. Mouvement de balancement du navire dans le sens de sa longueur : Les voiles du lougre étaient en toile si Irgrre qu'elles se gonflaient comme un ballon au moindre souffle de vent, quoiqu'elles vinssent de temps en ttmps battre tes mâts dans tes tanoagbs occasionnés par la houle. (Defauconpret.)

— Chem. de fer. Mouvement de bascule d'une locomotive de l'avant k l'arriére : Le TANGAOK se produit au moment où les roues d'avant de la machine passent sur les joints des rails; le rail qui se trouve sous l'injiuence de la charge t'affaisse, tandis que le suivtint reste un pru plut élevé, et il en résulte un choc qui tend à disloquer la voie et le véhicule ; c'est pour diminuer /ctangaok que l'on a imaginé de donner six roues aux locomotives et de joindre les rails par des éclisses et autres appareils. (Muigno.)

— Enoycl. Mur. Les oscillations du langage sont ordinairement fort vives; co sont colles qui fatiguent le plus les marins, lo navire et su niAture. Ce mouvement est occasionne par l'action continuelle des vagues do lu mer, qui enlèvent brusquement une extrémité du vaisseau et le luiHsent retomber ensuite, nu niom<Mit ou l'autre extrémité est sotijovéo à son tour. Lo vont détermine aussi la tangage; co mouvement est, dans co cas, soumis à dos règles.

Lorsque lo vent agit sur les voiles, le miU imlinc; mais lu pousseo verticale do l'eau sopposo k colto inclinaison, et, k la Un de chaque bouffée de vent, lo vaissoau cherche k reprendre son équilibre naturel; Il se relève et oscille ; co sont ces inclinaisons et ces relèvements successifs qui produisent le tangage, dont lo mouvemont incommode est nuisible au sill.tge du navire; au^si est-il impor-

TANG

tant de savoir le modérer. Voici comment on y parvient. On a remarqué que le mât a deux résistances k vaincre pour s'incliner : lo |a pesanteur du navire; 2o la poussée verticale de l'eau; d'où il résulte que plus le navire serait léger, plus le tangage serait puissant. D'autre part, on a ronii^rqué que le tangage est d'autant plus grand que l'inclinaison des mâts est plus consiilérable vers l'avant ; c'est pourquoi on les incline vers l'arriére pour donner moins de prise au vent. Lo tangage produit par les vagues ne peut être modère; il est dur quand les lames sont courtes et creuses et qu'elles se succèdent rapidement; il est lent et doux lorsque les lames sont longues.

Quand on s'incline principalement par la proue ou par l'avant, on dit que c'est le tangage par l'avant ou simplement le tangage; lorsque c'est par l'arrière, on lui donne le nom de tangage par l'arrière ou d'acculée. En général, l'elfut des voiles, quand elles sont pleines, accroît le tangage par l'avant, et, quand elles sont masquées, cetetfet augmente les acculées et tend, d'ailleurs, à faire sortir le gouvernail de ses ferrures ou à le démonter; les focs, par leur disposition, diminuent le tangage.

On a des exemples de coups de tangage assez forts pour briser les mâts, particulièrement quaml le navire, après avoir plongé sur l'avant, se relève avec vivacité. Il est alors prudent de soutenir le màt de misaine, qui, en raison de sa disposition, est le plus exposé. Quant aux vergues, il faut veiller avec le plus grand soin k ce que que leurs bras ne soient pas amarrés des deux bords. L'êvidement de la carène vers ses extrémités ajoute beaucoup a.M tangage, et si l'avant n'est pas épaulé, cet évidement peut tellement augmenter le tangage par l'avant, qu'au lieu de favoriser le sillage, ainsi que cela a lieu par une mer tranquille, il fait plonger le navire, au point de l'arrêter tout court, et peut même faire inonder le gaillard d'avant.

A l'ancre, un coup de tangage peut causer la rupture des câbles.*

TANGALOA, dieu des arts et métiers, cbex les insulaires deslles Tonga.

TANGANYIEA, lac situé au centre de l'Afrique intertropicale, entre le 3e et le ge degré de latit. S. Il présente une longueur totale d'environ 250 milles géographiques anglais sur une largeur qui varie de 30 à 40. li est situé par 27o de lon^it. E., au tiers oriental de la largeur de l'Alrique et au centre de sa longueur. Sa direction générale est k peu près N.-S. ; sa forme, irrégulièrement triangulaire, est un peu renflée vers le milieu. A Ta hauteur du district d'Oujiji, le lac parait avoir 30 à 35 milles de largeur. D'après le témoignage des Arabes, il aurait, eu face de Kuhouelé, dans sa partie la plus étroite, une largeur de 23 ii 24 milles. Son périmètre est d'environ 550 milles et sa superficie de 5,000 milles carrés. Il a été découvert par le capitaine Burton en février 1858.

Le bassin du lac est volcanique; il est entouré par une falaise formant une muraille k peine ebréchée d'une hauteur de 600 à 900 mètres au-dessus du niveau de l'eau. Ce niveau est lui-même k S64 mètres au-dessus de la mer et à environ $0û mètres au-dessous do la surface du lac Nyanza (Victoria), découvert par Speke. Le Tanganyika présente plusieurs lies, dont la jilus importauie et la plus étendue est l'Ile d'Oubouari, au N. d'Oujiji, entre 40 et 4» 30' de latit. S.; située dans la partie resserrée, elle est k peu près au centre du lac. C'est un rocher de 20 k 25 milles géographiques de longueur sur 4 k 5 de largeur Uans sa plus grande étendue. Cette lie e^t enveloppée u une végétation fort riche et le sol y est en plusieurs endroits fort bien cultive. Mais il serait dangereux de s'aventurer dau& les flancs boises des collines, car ils abritent une population cannibale toujours u l'atfiit d'une proie humaine. Les autres Iles sont ù peu do distance des côtes. L'Ile de Kivira, située vers 50 30', a 5 milles do longueur sur 2 et 3 de largeur ; elle est boi:tée et reiiiomie uue populutiun compacte. Lo manioc, la pa- ! taie douce, lo maI^, le iirillct et divt^rs legu- ' mes y sont cultives; on y élève nième do la ' volaille. Los natifs ont pour vêtement des peaux do singes noirs et do chats suuvuges, qu'ils ont soin do no pas dépouiller do leur queue. Non loin de cette lie a en trouve une autre, nommée Kabisia, et qui est remarquablo comme marchu aux poissons. Parmi ces puisions, il en 0!il un, appelé singa, qui o&t fort goù(6 des naturels. Ùien quo d une lai.ie apparence, il non est pas moins d'exccUeiilo qualité. Il est do grande dimension, marque Ue noir, avec le ventre blanc, sans ociiillcb et muni de polit.n nageoires. Su chair est tresgrasso, ires-delicute et goùteo des indigène:» u un toi point qu", dans un>« excursion que lit en Ciuiol le capitaine Speke, les rnineurs voulurent absolument s arrêter a Kabiz.a pour munger du famoux poisson. D.^ns la p;irtie S. du lac. par 70 30' Uo latitude, so trouve, pn s de la côte do l'Ousoua, uo groupe dlles iioniiiie<'s Iles Mirima.

Burton et Speke ne purent etTectuer de sondages d«ns le lue ; on verra plus loin pourquoi If» indigènes s'y refu.screiil. Les Arabes leur BfflrmÀrenl que^ a\ec des lignes de plusieurs brasse», ib n avaient lrouv6 le tond qu'fc pou de distance du rivage. La plage s cnlonce rapidement dans l'eau, sans chute

TANG

escarpée. Les Ilots sont fréquents sur les bords du lac. D'après les renseignements des guides de Burton, le Tangan^-ifca reçoit sir tributaires vers le N., dans le pays d'Ouzigé; ce sont: k partir de l'E., le Kouryamavengé.le Molongouéje Karinvira, le K^riba, enfin le Rousizi, principal coUecteur de la région du Nord ; au S., le lac reçoit le Maroun^ou, et, sur la côte orientale do pays d'Oudpa, un grand nombre de petites rivières. L'eau du Tanganyika est assez pure. La voyageur qui arrive sur ses bords , après avoir bu 1 eau saumâtre et boueuse de la route, boit avec un véritable plaisir l'eau douce du lac. Toutefois, les riverains lui préfèrent celle des nombreuses sources qui sourdent sur le rivage.

Le lac renferme une grande variété de poissons. Nous citerons : le mvoro, poisson allongé, semblable k un grand maquereau; le snagalé, qui possède k peu près la même forme, tout en étant plus épais et en ayant une tête plus grosse; le mgégé, poisson irèspourvu d'arêtes, mais possédant une chair savoureuse; le mgouhé, d'une longueur de près de g mètres et qui, au dire de Burton, ne diffère pas essentiellement du khéri des rivières de l'Inde, et constitue le meilleur des poissons qu'on prend dans l'Oujiji; lo sniga, dont nous avons déjà parlé; de petites anguilles assez bonnes; des goujons de plusieurs espèces, qu'on envoie du côté de l'E., après les avoir sechés ou salés ; des crevettes minuscules d'un fort bon goût, qui n'atteignent pas, comme grosseur.le quart des crevettes de la Manche; un grand mollusque bivalve, appelé sinani, dont la chair est grasse, jaune et d'une fadeur repoussante. La plupart de ces poissons n'ont, toutefois, que peu de saveur, et les riverains leur en communiquent en les faisant griller k petit feu et les enfermant ensuite pendant une nuit dans des vases clos.

Les rives du lac, et surtout les plaines marécageuses, sont habitées par de nombreux buffles. BeaucouD d'hippopotames et de crocodiles rendent dangereuse, en certains endroits, la navigation du Tanganyika. Des hyènes et des chiens sauvages vivent de rapines, des troupeaux d'éléphants fréquentent les halliers de bambous qui entourent le lac. lîn fait d'oiseaux, on trouve : un bel aigle pêcheur, pas plus gros qu'un coq domestique, au plumage fonce, mais ayant la tête et les épaules d un blanc éclatant ; une mouette aux pieds rouges, qui vit en colonie; des martinï-pêcheurs, des perdrix, des cailles, des corneilles k rabat, des hirondelles de passage, des gobe-mouches, des courlis, des hoche-queues, etc. Des grenouilles habitent les grandes herbes du Tanganyika et sont remarquables par le bruit jqu elles produisent. Des termites dévastent le sol partout ou il offre peu de résistance. En somme, la faune est peu nombreuse sur les bords du lac. < Mais, dit Burton, si au dehors la vie animale est peu abondante, elle grouille k l'intérieur des cases, ou s'abritent des scorpions, des serpents, des fourmis d espèces variées, dont les cohortes chassent quelquefois le propriétaire. Les solives sont creusées par des xylophages, les murs bossues par les abeilles maçonnes, les angles voiles des toiles épaisses d'araignées hideuses ; le grillon vous assourdit, les blattes détruisent vos denrées, et les mouches, les punaises et de gros moustiques bruns voua assaillent et vous dévorent. ■ Ajoutons à cette énumération d'animaux importuns le rat gris et le rat musqu6.

La flore des rives du Tanganyika est trèsriche. Dans rOujiji, qui est une des provinces les plus fertiles do la région des lacs, les arbres et les fougères atteignent une taille colossale. Les légumes y croissent naturellement. Les indigènes river.iins cultivent le sorgho, le uugh des logions (eleusiuo coracono), l'arachide, les pois, les fèves, les haricots, le manioc, 1 aubergine, la patato «iouco, l'ignanie, le concombre et une sorte de champignon souterrain. Les fruits du bananier et da lelaïs forment la principale nourriture des indigènes. Le bananier parait être aborigène; lélaTs croit sans culture et produit un fruit dont on retire de l'huile qui a la consistance du miol et qui est lolijct d'un commerce considérable. Elle est universellemont employée dans la cuisine africaine^ malgré son odeur pou agréable. El|« sort aussi d'huile k briJlor,ainsi que d onguent et do pommade. La sevo de cet arbre, qu'on nppello tembo sur les rives ^u Tanganyika et soura sur la cote de Guinée, so vend a bas prix et est absorbée par les indigènes qu'elle enivre et démoralise. Les bateaux du 'Tangan^iku 80 font remarquer par leur Simpliciio primitive. Ils sont grossièrement creuses ttvoc une hache dans le tronc d'un grand arbre. Les riverains en sont encore a ignorer remploi du feu pour creuser une cavité dans ilu bois. Les barques plus importantes se composent de trois planches formant une quille et deux plats-bords renés par des conlages de palmier passant dans uno serio do trous. I'&a de calfatage pour rendro l'crabarcation étanche, de tcllo sorte quo l'eau entre perpétuellement dans le bateau, et qun perpétuellement aussi les rameiirii sont oliiiges lie le vider. Le en senga,'\uï voiîtdtro ■ vides l'eau, a retentit k bor 1 it le leinps d'une traversée, e ns ne portent ni mal, ni voile. 'til;on les conduit k l'aide d'une pagaie formée d'un pieu soUde

TANG

de 2 mètres de lonf;ueur» portant h l'une de ses extrémités une pelle en forme de trèfle, de ladimension de la mniii. CcX instrnmont, dont le niaiiif'ment est Irès-péniblo et exif?o un grand elT^rt pour très-pou dVlT'-t utile, est un reste du systôine de nuvii-'iilion en usage dans les siècles piit.sés,cnrios rérils des promiers Portugais qui visitérfiiU le Tangaiiylka mentionniint son ustige. ■ Si los halles sont nombreuses quund il s'a-^it des habitudes ou des caprii'es de nos hoinmes, dit Burion,il est impossible d'obtenir le moindre lemps d'arrêt lorsque c'est nous qui devons en profiter. II n'est pas d'instances qui puissent d'.-cider nos rameurs à pousser le cnnot vers la plac ou nous apercevons des pierres ow dos coquilles intéressantes. Une idée superstitieuse les empêche de répondre à nos questions; ils ne soutirent même pas qu'on leur en fasse et ne consentent pas davantage ii plonger un vase dans l'eau do peur d'êire suivis par les crocodiles. Le requin n'est pas plus redouté de nos matelots que cet amphibie ne l'est des gens qui nous accoiripagnent; de peur de l'attirer, on ne jette rien dans le lac, pas même les ordures, ([ue l'on conserve dans le canot. Aussi n'ai-je jamais pu m'assurer de la profondeur du Tanganyika... L'équipage aurait mieux aimo me voir au fond de l'eau que de s'arrêter un moment pour cette opération. »

La navigation du lac est pénible; trèssouvent des tempêtes soulèvent les vagues d'une manière inquiétante; la lame déferlante caractérise les orages du lac, et <:es orages sont trcs-nombreux pendant le temps de la mousson. Les vents réguliers qui soufflent sur lu lac sont des vents périodiques, mais non constants. Ils viennent du S.-K. et du S.-û. ; les derniers produisent la tempête. Presque aussi distinctement que sur les rives de la mer, la brise de terre et la brise de mer se font sentir sur les bor Is du lac Tangauyika. Le matin, le zépliyr vient, du nord; la brise est variable au milieu de la journée et le soir elle s'élève du lac. Durant la saison sèche, le vt- nt s'engouffre dans le lac et fait rouler avec force les vagues vers la côte. Pendant la saison pluvieuse, les vagues sont moins grosses, mais il se produit de brusques orages d'une extrême violence. De nombreux courants atmosphériques réguent sur le lac: ils produisent en se croisant un effet semblable à celui do la marée. Le flux et le reflux que divers voyageurs prétendent avoir observés sur les lacs do l'Afrique doivent être attribués, suivant Burton, à l'effet des courants atmosphériques. On sait, en effet, que la mer Caspienne, la mer Médilerranéo n'ont pas de marée sensible à cause do leurs faibles dimensions; à plus forte raison les lacs en question ne peuvent-ils en avoir. Le colonel Jackson a publié un mémoire dans lequel il attribue « le flux et le reflux des lacs de Genève, de Constance, de Zurich et d'Annecy à la pression inégale de l'acmosphère sur la surface de l'eau, c'est-à-dire à l'effet simultané de colonnes atmosphériques de pesanteur ou d'élasticité diverse, dont la différence proviendrait d'une cause mécanique ou des variations de la température. »

Les principales tribus riveranies du Tanganyikasont au nombre de seize: les Vouajiji, les Vouakaranga, les Vouaroundi, la tribu d'Ouzigé, les Vouuvira, les Vuuabembé, tes Vouaseuzé, les Vouagoma, lei Vouagouhha, les Vouat'hemboué, les Vouakatété, la tribu de Maroungou, la tribu d'Ousouvoua, d'Oufipa, d'Ouihcmboué, d'Outougoué. On remarquera dans cette éuumcrauon que les noms de lieu commencent généralement par Ou et ceux des i-ollections d'individus par Voua. Les plus importantes sont celles des Vouajiji et des Maroungou. Celle des Vouabembé est peuplée de cannibales ; elle est située au N.-O. du lac. Les riverains duTanganyika mettent tout leur orgueil à se tatouer le plus qu'ils peuvent et à s'enduire le corps d'ocre rouge mèleo d'huile fétide. La traite des esclaves, qui se pratique sur une grande échelle, menace do dépeupler entièrement ce pays, si les gouvernenienis civilisés n'interviennent pas pour empêcher cet infâme commerce.

TANGARA s. m. (tan-ga-ra). Orniih. Genre de passereaux, type du la famille des tanagridées, comprenant un grand nombre d'espèces, qui habitent l'Amérique tropicale:

Les TANGARA5,p(i7- Ic'urs kabitudeSyrappeUent celles des fvinyilles et un peu celles des fauvettes. (Z. Gerbe.) Les tangauas ne se /loui" rissent que de petits fruits ou baies et d'insectes, quelquefois de grains, (ftlauduyt.)

— Encycl. Les tanyuras oui le bec presque de la longueur du la tête, un peu trigone à la base, caréné en dessus, à bords courbés eu dedans, cchancré, rétréci et incliné vers le haut; la mandibule supérieure couvrant les bords de l'inférieure, seulement à la base. Les narines sont basales et nues; les ailes allongées, subobtuses; les tarses trapus, do la longueur du doigt médian; l'ongle du pouce très-fort et crochu. Les tanijaras ont l'éclat le plus brillant et les plus "tielles couleurs. D'après les observations d'Azara , les tangaras sont vifs, remuants, étourdis ; ils approchent des habitations et entrenc même dans les conrs et les jardins; on les découvre assez aisément, parce qu'ils sautillent sur les buissons et les arbres touffus; ils se montrent quelquefois à la cime. Ce sont <les oiseaux uui-sitdes, qui mangent les choux, les laitues et les bourgeons de la vigne, quoiqu'ils ne se

TANa

posent jamais & terre; s'ils se voient forcés de s'y abattre, ils y avancent par sauts.

Leur cri n'est qu'un son aigu; ils sont riches et magniflques dans leur parure, élégants dans leurs forniesct leurs proportions, et d'un inîflinct assez sociable; car, quoiqu'on ne les trouve pas en bandes nombreuses, sauf le tayaca , qu'on voit quelquefois en troupes du vingt ou trente, ils se réunis^cilt plusieurs do la même espèce et quelquefois avec des espèces étrangères. Us ne se nourrissent pas ne graines ni de petites semences, et ils ne mangent que des insectes, des fl'îurs, des fruits, des coeurs de laitue et do la viande. Enfin, quoiqu'ils pénètrent assez souvent dans les bois pour y ch-^rcher les fl'Mirs et les fruits dont ils se nourrissent, ils fréquentent pour l'ordinaire les lieux couverts et ombragés, et on les trouve presque tovijours sur les bords des forêts qui sont garnies de grands halliers.

Leur nid, placé sur de prands buissons ou sur des arbres, est travaillé avec assez de solidité, et des débris d'écorco, des filaments de plantes, de feuilles, des racines très-menues sont les matériaux employés à sa construction; en dedans est une couche épaisse do crins artistement arranges. «J'achetai, dit Azara,un nid de tan^'ara, dans lequel étaient deux petits qui n'avaient pas encore de plumes, et je les élevai en leur donnant de petits morceaux du chair crue, jusqu'à ce qu'ils fussent en état de voler. Us étaient extrêmement affamés et glnuions. Quand ils eurent complètement leur livrée, je reconnus qu'il n'existe point, dans cette espèce, d'autre dissemblance entre le mâle et la femelle ou'un ton plus vif de couleurs sur le plumage au mâle. ■

Le tangara de Dubus a le dessus de la této couleur orangé; le dos, les épaules et la poitrine d'un bleu d'azur ; la régior: anale rousse; le reste du corps noir. 11 habite la Colombie.

TANGAROU S. m. (lan-ga-rou — contract.

de tangara et de roux). Ornith. Espèce de tangara, qui habite la Guyane, et qui, d'après quelques auteurs, ne serait fondée que sur la femelle du tangara noir, prise à lort pour une espèce diflerente.

TANGAVIO S. m. (tan-ga-vio — contract.

do tangara et de violet). Ornith. Espèce de tangara, qui vit à Buenos-Ayres.

TANGEDOR s. m. (tan-jé-dor).Erpôt. Syn.

de BOiciNiNOUA, espèce de crotale de l'Amérique du Sud.

TANGCNCB S. f. (tan-jau-se — rand. tangent). Geoni. Contact de ce qui est tangent. Il Point de tangence. Point unique où deux li;.ines, deux surfaces se touchent : Le poînt DB TANGENCE de deux cevcles, de deux sphères. i\ Ligne de tangence y Lï-^iiG unique suivant laquelle deux surfaces se touchent ; Ligne DE TANGENCE rffi deux Cylindres.

TANGENT, ENTE adj. (taii-jan, aii-te — du iat. tangens, qui touche). Géom. Ciui touche une ligne ou une surface en un seul point: Droite tangente à un cercle. Plan tangent à une surface. Il Droite tangente à une courbe. Limite des positions d'une droite mobile, sur laquelle sont venus se confondre deux des points en lesquels elle coupait la courbe. Il Courbes tangentes entre eUss, Courbes qui ont en un point une droite tangente commune. || Plan tangent à une surface en un point. Pian qui contient les droites tangentes à toutes les courbes qu'on peut tracer Bur la surface par ce point. Il Pla7i tayigent à une surface suivant une ligne. Plan qui contient les droites tangentes à toutes les courbes qu'on peut mener sur cette surface par tous les points de cette ligne.

— Zncycl. Plan tangent, ho plan tangent k une surface en un de ses points est le plan qui coupe la surface suivant une ligue dont ce point soit un point double, au moins. Tout(;s les droites menées dans le plan d'une courbe jiar un de ses [»oints multiples suntia'(jcji/tfi ii cette courbe; le plan tangent à une surface en un point peut donc aussi être défini par cette propriété que toutes les droites qui y sont menées par le point de contact se trouvent être des tangentes k l'intersection et, par suite, à la surface elle-même, car toute droite tangente à une courbe tracée sur une surface est tangente à cette surface ; c'est pourquoi l'on dit habituellement «[ue le plan tangente, une surface en un point est le lieu des tangentes k celte surface au point considéré. Mais cette propriété ne doit pas être prise pour dêlinitiôn du plan tangent, rien ne prouvant à l'avance que toutes les tangentes à uue surface en un point doiver.t être contenues dans un même plan.

L'intersection du plan tangent à une surface, en un point, avec la surface, est ce qu'on nonime l'indioatrice ,en ce point. Quand c'est une elli|)se, le plan tangent n'a qu'un point commun avec la surface, du moins aux environs du i>oint de conta<'t, le point de contact est un point isole de la section totale. Quand l'indicatrice est une hyperbole, le plan tangent coupe effectivement la surface suivant une courbe dont deux branches se croisent sous un an.^le quelconque au point de contact ; enfln, quand l'indicatrice est une parabole, le plan tangent coupe la surface suivant une courbe dont les branches se touchent au point de contact. Le premier cas est celui ou toutes les sections noruialcs fai-

TANG

les dans la surface par le point considéré 1 ont leurs courbures tournées dans le même I sons ; le second est celui où la courbure | cliango deux fois de sens, tandis que 1*^ plan normal achève une révolution entière autour de la normale ; dans le troisième, la courbure devient nulle dans une direction déterminée, mais sans changer de sons, lorsque la trace du plan normal sur le plan tangent a ûéyaiisô CQite iWre.cùon ; \>ar exemple, un plan tangent à un eilipsuldo, k un hyperboloîde a deux nappes ou â un paraboloîdc elliptique coupe la surface suivant un point isolé; un pian tangent k un hyperbolnïde à une nappe ou il un paraboloîde hyperbolique coupe la surface suivant deux droites inclinées l'une sur l'autre ; un plan tangent â un cône ou à un cylindre coupe la surface suivant deux droites confondues en une seule.

Le plan tangent à une surface en un point de l'intersection de deux nappes de cette surface n'est pas indéterminé, quoiqu'il en existe plusieurs; toutefois, les coefficients de l'équation de ce plan se présentent d'abord sous la forme -, parce que toute droite

passant par un pareil point peut être considérée comme tangente à la surface ; mais une analyse plus approfondie permet généralement d'obtenir des limites déterminées pour les coefficients.

En un point où deux nappes d'une surface s'évanouissent, c'est-à-dire tel que tout plan qui y passe donne une section évanouissante, le plan tangent est véritablement indéterminé.

Soit [x, y, z] un point quelconque d'une surface f(X, Y, Z) = 0; l'équation d'un plan quelconque passant par ce point sera

A(X-x) + B(Y-y) + C{Z-z) = 0; si le point [x, y, z] est un point double de la section des deux surfaces, le. point [x, y] sera un point double de la projection de cette section sur le plan des xy; or, un point double d'une courbe f{x, y) = 0 doit remplir les deux conditions

do do

dx dy

par conséquent, si le plan

A(X - xj -t- B(Y - y) -!- C(Z - i) = 0 est tangent à la surface /"(X, Y, Z) = 0 au point [x,y,;], les dérivées par rapport à X et à Y de la fonction /{X, Y, Z), dans laquelle on aurait remplacé Z par sa valeur, tirée de l'équation

A(X-x)-i-B(Y-â^)-f C(Z-z)=0, devront être annulées par la substitution de X et î/ à la place de X et Y.

Il n'est pas nécessaire, pour exprimer ces condiiions, d'effectuer réellement l'élimination de Z; il vaut mieux fyrmer les dérivées de /(X, Y, Z) en y considérant Z comme une fonction de X et de Y, déterminée par l'équation du plan, qui donne, d'ailleurs, dZ A dZ B

dX'~ ^ ^* (/Y " C Ces dérivées sont

' à£A.df ^'^ il

dX Cd'i ^ dY C dZ' Il faudrait, avant de les égaler à zéro, y remplacer Z par sa valeur tirée de l'équation du pian, et ensuite X et Y par x et y, mais ces substitutions reviennent à remplacer tout de suite X, Y et Z par x, y et z.

Les conditions à remplir par les coefficients A, B, C sont donc

A 'If

B df

' Cdz

<iy

~Cdz"

qui

donnent

<ir

'If dz

par suite, l'équation du plan tangent devient dt df

-(Xdz

On donne souvent à l'équaiioii du plan tiniaent uue autre forme, eu y introduisaut les

. „ dz dz

dérivées partielles -— = p m — = q de s

par rapport à x et à y au point de coutact. Les valeurs de ■•"•^ dérivées sont

df df

dx du

dz dz

Cl, par suite, l'équation du plan tangent peut cire écrite bOUS la forme

Z-z = pCX.-x) + g(Y->j).

tano

On arrive au même résultat en cherchant le lieu des tanqi'ntet à la surface au point [x, y, z]. Les équations d'une quelconque de ces tangentes sont

X — X « o(Z — s) et Y — y o p(Z — x), a et ^ devant satisfaire à la condition

•rfi + Prfï + d^^ le lieu de ces tangentes est donc représent6 par l'équation du premier degré

C'est donc un plan.

Si l'une des dérivées partielles —, —, — dx dy dz est nulle au point [x,y,z], le plan tangent en ce point est parallèle à l'axe correspondant; si deux des trois dérivées sont nulles, le plan tangent est parallèle au plan des deux axes correspondants; mais si les trois dérivées s'annulent eu même temps, le plan tangent devient en apparence indéterminé; le fait tient, en général, à ce que la surface a plusieurs plans tangents au poinr considéré. Pour les obtenir séparément, il n'y aura évidemment qu'à distinguer les deux, trois, etc., séries de tangentes en ce point aux sections faites dans la surface par des plans qui le contiennent et à prendre ensuite séparément les lieux de ces tangentes dans chaque série. Les plans sécants pouvant être dirigés arbitrairement, nous les supposerons, pour plus de simplicité, parallèles à l'axe des z ; ils auront alors pour équation générale

L'équation de la projection sur le plan des xs de la section fait*" par l'un d'eux résulterait de l'émiMation de Y entre les éijuatioiis AX, Y, Z) = ûet Y-y = »i(X-x).

Si cette élimination avait été effectuée et qu'elle eût donné pour résultat

les équations des tangentes à la section au point xz, en supposant que ce point fût simplement douille, seraient

Z — z= ïi(X — x); n étant l'une des racines de l'équation

^"' + ^dIZ-" +

dx''

l'équation du système de ces tangentes serait

donc

enfin, le système des tangentes à la section dans son plan serait représenté par l'ensemble de cette dernière équation et de

L'équation du système des deux plans tangents résulterait donc de l'élimination de m entre ces dernières. Telle est évidemment la marche qu'il y aurait à suivre dans chaque cas particulier. Pour arriver à une formule générale, nous n'effectuerons pas l'élimination de Y entre

/{X,Y,ZJ = 0 et Y-y = m(X-x); mais nous exprimerons les coefficients dif- •férentiels

dx*' dxdz dz* ' en formant les dérivées de /■(X,Y,Z), où Y sera considéré comme une fonction de X, ayant d'ailleurs pour dérivée

riY

JX='"'

dX'

' dz

Y étant supposé remplacé par sa valeur. De même,

dX* = lX*-^'"'dXdY-^"''dY*' d*o d*f , rfY

dXdZ dXdZ ^ '" dYdZ

dZ' dZ'* Y étant de même supposé remplacé pur sa valeur.

L'équation

dv z-zy ^ d'? /z- j\ d»,

dz* x-x) "^ " dxdz\X-x) "*' dx' ~ ° rL'vient doue à

diAx^^x) -^'(d^z-^^'diid.iyx^.)

^'£l + z,nJil+nylLr = o-

^ dx*^ dxdy^ ^ dy* ^' il ne reste plus qu'à éliminer m, c'est-à-dire

à le remplacer par

Cette élimination

donne, en chassant le dénominateur (X — x)', d'f

TANG

On trouverait tout aussi aisément l'équation du système des trois plans tangents en un point où trois nappes lî'une mèirifi surface viendraient se coupai-. Un pareil point serait d'ailleurs caractérise par les cuniliûons :

"' dl' =

d'/ dz'

d'f dyttz

ixdy

dxdx

On peut donner à l'équation générale des plans tangents à une surface une forme nouvelle en y introduisant comme variables les deux coefficients angulaires, au lieu de l'abscisse et de l'ordonnée du point de contact. Pour qu'un plan

z ~ mx + «y +■ A soit tangent à une surface

il faut que l'équation

f{x,y^ mx -f »y + '')—'> représente une courbe ayant un point double; c'est-à-dire qu'il f:uit que les quatre équations

f{x,y,z) = 0, r = mx 4- "î/ -H A,

Tx^'^Tz-'

dy dz

aient une solution commune. Cette condition déterminera h en fonction de m et de n. Si l'on peut en tirer

l'équation générale des plans tangents à la surface sera

r = wix + ny + ?("*»")• Si l'on veut faire application de cette méthode k l'ellipsoïde

on aura à exprimer que les équations 1 = 0, = mx + ny -f A, -; + m - = 0

ont une solution eoinmune. Cette condition s'exprimera on éliminant x, y et, z entre les quatre équation». Or les trois dernières donnent

ma'h

a'm' + b'n' + c* iih'h

y = ::nr.-n

+l/'n' + c'' la ounitition cherchée est donc

A'(m'a' + n'4' + c*) = {m'a' -f n'4' + e')', d'où

A = ± V'n'a' -t- m'4' -t- c", ot, par conséquent, réijuution générale des plans taii(/enls à l'ellipsoïde

* = mx + ny ± ^m'o' 4- n*(i" + c'.

Soit proposé de mener pur un point extérieur x- c^ a, y e^ p, z <= Y, un plan tangent ii une surface

nx.y.z) = 0,

on unrn, pour déterminer les coordonnées du point do contact, les équations

Ou pourra abaisser lo degré do la prenn<'ro d'uno unité lorsque lu nurfaco ttern algi'bnquo. L'intorseotii)n des surfaces ropruseiitt'i's par les deux équations restrtnluf^ sera lu Cdurbu do contact, avec lu surface propo-s<M% du cono qui lui Herait oircuusorit du poiot donné comme sommul.

Si l'on vuuluit ini!iiui' îi uno surfuco f[r,y,z) » 0 un plan ffiNj/(7'if parullolo ii uno droito donnée

X = mZ^ y ea llJj

les équations qui dûtorininnrnicnt lo point de contact seraient

df ^ df, df

dx dy ds

0 et A-^.Vi») ■ ";

TANG

face proposée, du cylindre qui lui serait circonscrit parallèlement à la droite donnée.

Si l'on voulait mener un plan tangent k une surface

parallèlement k un plan

z = mn + ny les équations du point de contact seraient

dx dz

dr , 'ff dy dz

l'intorsection des surfaces qu'elles représentent serait Itt courbu de contact, avec lu sur-

nx,y,z) = 0.

Pour mener un plan tangent commun k trois surfaces

après avoir obtenu les équations générales z = mx r ny 4- ?(»i,ïi), r = njx -f ny -f- ç,(m,n), s = mx + ny -f (p,(m,n)

des plana tangents k ces trois surfaces, il ne resterait qu'k exprimer les conditions pour qu'ils se confondissent; c'est-k-dire k résoudre le système des deux équations ç(m,rj) = f^{m,n) = <?,(«!,«)■ — Plans tangents aux surfaces imaginaires. Si X, y Qt z prennent des valeurs imaginaires

x = a-r pcV'^^1,

satisfaisant k l'équation d'une surface f{x,y,z) = 0,

l'équation du plan tangent se réduit arithinétiquement k la forme

Cette équation représente un faisceau de plans contenant tous la droite

Z = niX-f JiY + A,

Celui de ces plans qui appartient au système 0, C pusse au point

X = « + pcV^~i, y = u'-l- pcV~i,

et il est facile de voir qu'il est tangent en ce point à la conjuguée c^c' de la surface

fix,y,z) = 0.

En effetf les dérivées partielles do £, par rapport à x et k y, gardant les mêmes valeurs au ]ioint x, y, z, soit qu'on tes tire de l'équation de la surface ou de l'équation du plan tangent , il en résulte que l'une et l'autre donnent la même valeur de dz pour un niétne système de valeurs de dx ei de dy\ dz est, dans les deux cas, représenté par

c/s = (m -f m' /^) dx + (« + n' \/'^i ) dy ;

d'un autre côté, si l'on veut que le point X -{■ dx, y + dy^ z -{• dz appartienne k la conjuguée c,c\ soît de la surface

nx,y,5) = 0, soit du lieu représenté pur l'équation de son plan tangenty il faudra que dx^dy oidz aient respectivement les formes

(/« -i- d$c /^ , da' -f- (/?c' ^^,

da" -\- dpV'^^i i il n'y aura donc d'arbitraires quo da et da'^ par exemple^ puisque l'équation

a«B(ni + m'V'^)daî+ (n-\-n'/^ï)dy

se décompose on deux ; da ot da' recevant donc les mémos valeurs dans les doux cas, (/x, dy ot dz prendront aussi les mêmes vuleurs; cela signilio quo les deux surfaces ont uno inllnité d'uleiuunls lineuires cominutis autour du point x,]/t s; elles sont donc tangentes on co point.

Ce qui vient d'être dit so rapporte à des conjuguées désignées; mais deux lieux compleli, tangents en un point, ont elfoctivenicnt un volume tntlnilesimul commun s'etenduni tout autour du point do contact, puisque sur l'une oiraniro dz conserve la même valeur, quelques valeurs qu'on donne à dx ut k dy. Ce volume n'aplatit en un disque plan lorsipio les coofllcionta angulaires du plan tangent deviennent réels ; on elTot, les rayons vecteurs m<>nes du point de contact à lu >urfaoo qui limite ce volume inllniinent petit sont piirallole.H aux droitfn menées du l'origine sur la surface cunipluto que roprésvulo ruquutiou

t e= (r?i -{■ m')/ — \)x 4- (m -f nW — Oy*

Or, lorsque m' ot n' s'évanouissent, tous les plans inmginairca roprésontea par cotte équation se confondent géoinutriquemcul avec le plan réel qu'elle reprenonto.

Il résulto de là que les points d'un lieu où ioll

les dérivées parliolloa

dx dy

TANG

veloppe des conjuguées de ce lieu. Cette enveloppe est définie par les trois équations

dx . ,

^=reel,

TANG

ont des vaUurs réelles appartiennent à l'cu-

|=rée..

représentent les coordonnées d'un point de cette envelopppe, l'équation

A^.y.s) = 0 fournira deux conditions entre a, (l, a', %\ a" et ?", et chacune des autres en donnera un ; il ne restera donc d'arbitraires que deux des six variables o, p, o', p', a" et p" ; par conséquent, l'enveloppe sera généralement une surface. Il en résulte que chaque conjuguée ne touchera habituellement la portion imaginaire de cette enveloppe qu'en un nombre limité de points.

L'interprétation des résultats fournis par l'analyse, appliquée aux différents problèmes que peut comporter la détermination des plans tangents k une surface dans des conditions diverses, cette interprétation se ferait tout aussi aisément que dans le cas du problème des tangentes ; nous n'y insisterons pas. On étendrait de même et par les méthodes déjk développées la solution k intervenir k toutes ou k chacune des conjuguées de la surface proposée.

TANGENTE s. f. (tan-jan-te — fera, de tangent pris substantiv.}. Géom. Droite tangente : Mener une tangente à une courbe, à une surface. Newton nous montra la mnin qui lança les planètes sur la tangi-ntk de leurs orhites. (J,-J. Rouss.) \i Problème des tangentes^ Détermination de toutes les tangentes k une courbe donnée, il Problème inverse des tangentes. Détermination d'une courbe dont les tangentes sont dounées.

— Trigon. Tangente d'un angle, Perpendiculaire abaissée d'un point queIcon(|ue d'un côté d'un anf^^le sur l'autre côté; rapport de cette perpendiculaire h la distance de son pied au sommet de l'angle.

— Loc. fam. S'échapper par la tangente. Se tirer d'affaire par quelque moyen détourne.

— Encycl. Géom. La (fln^en^ek une courbe définie géométriquement ou donnée graphiquement est la limite des positions d'une droite mobile, suivant une loi quelconque, sur laquelle sont venus se confondre deux des points suivant lesquels elle coupait la courbe; c'est le prolongement d'une corde de la courbe unissant deux points infiniment voisins de cette courbe, ou encore le prolongement d'un élément de la courbe. Une tangente k une courbe peut couper celte courbe en un nombre quelconque de points séparés dn point de contact par des distances linies.

Il peut arriverquo trois, quatre, etc., points do rencontre d'une droite mobile avec une courbe viennent en même temns se confondre en un seul, sur cette droite, aans sa position limite; la position limite est toujours celle d'une tangente, mais alors la tangente a exceptionnellement avec la courbe un contact plus intime quo celui d'une tangente quelconque; l'ordre do ce contact s'indique par l'excès sur 2 du nombre des points qui sont venus se confondre en un seul.

Inversement une droite peut exceptionnellement contenir deux, trois, etc., points d'une courbe confondus on un seul, sans être à proprement parler tangente à cette courbe. Ce eus est celui où, plusieurs branches de lu courbe passant en un même point, soit d'ailleurs qu'elles s'y coupent ou s'y touchent, lu droite mobile est amenée à passer par co même point. Quelle que suit lu direction sous laquelle elle arrive k sa position liniito, il vient toujours so confondre en un seul un nombre do points de rencontre nu moins égal au nombre des branches qui pussent au point multiplu considéré ; pour quo la droite soit olfectivomcnt tangente, il faut quo lo nombre do points, confondus en un soûl, suivunt lesquels elle coupe la courbe dépasse au moins d'uno unité le nombre des branches dont il s'agit. Un cas unaloguo, mais qui 90 résout cepondnnt d'une muntcre différente, so présonle lorsque lu courbe, pourvue habituellement «l'un unneuu ferme, .s'e.st moinentanéinoni ti unsformée do fuçon que l'unncHU so réduÎHlt on un seul point : toute droite pa:i!«ant par ce point pourrait être regardée coiumo COU] ant la courbe en doux points confondus on iiti seul. Le» deux cas différent on co que, dans le précédent, on pouvait concevoir nettement la tani/enle a l'une quelconque des branches qui so coupaient au point multiple, tandis que. dans te cas nctucî, lu courbe ne fout iiissani pas d'arc issu du point isolé où 1 unneuu est venu se concentr>'r, on no peut arrivpr k concevoir k tu courbe une ou plusieurs ra'i^rn/rf détinir.s m ce iM.int, «lue p,ar rintermodirtiro do conceptions abstmilcs dont il fauilru rendre compto ; le» tangr7\ie% sont, au rostn, toi^ttiirs imaginaires dans ce cas. Quoi qu'il en soit, il est l'a. ile de véririerquo le calcul donne pour les copftbients angulaires des tniii/rutfs en un i>oini isole des valeurs aussi bien dctcrmineos que pour les

coefficients angulaires des tangentes en un point simplement multiple. Par exemple, si le cercle x' -f- y2 = R' s amoindrit jusqu'à se réduire k son centre, son équation se réduit k X* + y* = 0 et les coefficients angulaires des tangentes en ce point sont alors ±V — !•

Lorsque le point de contact s'éloigne à l'infini sur une branche d'une courbe, la tangente devient une asymptote.

La théorie des tangentes est l'une des plus importantes de la géométrie ; elle a exigé les plus grands efforts et donne lieu aux plus grandes découvertes, non-seulement dans le champ de la géométrie pratique, mais encore en analyse.

Les anciens, ne faisant jamais intervenir l'algèbre dans leurs recherches concrètes de géométrie, n'avaient qu'une définition fort imparfaite des tangentes et ne pouvaient, en conséquence, se servir que de moyens indirects pour les déterminer. C'était par lu condition négative de ne rencontrer la courbe, ou du moins une de ses branches, q^u'en un seul point, que les Grecs caractérisaient une tangente. Cette condition, évidemment suffisante dans le cas du cercle, en raison de la symétrie de cette courbe, pouvait encore servir k la détermination des tangentes k l'ellipse, k l'hyperbole, k la parabole et k quelques courbes particulières. D''autres principes simples pouvaient être invoqués dans des cas spéciaux; le principal d'entre eux, que l'on a encore souvent l'occasion d'appliquer, consiste en ce que la projection ou la perspective d'une courbe a pour tangentes les projections ou les perspectives des tangentes k la courbe elle-même.

La méthode générale des tangentes a été fondée par Descartes; elle dérive presque immédiatement des principes mêmes de la géométrie analytique : dés que les lignes, droites ou courbes, furent représentées par des équations entre les coordonnées variables d'un quelconque do leurs points, la détermination des points de rencontre de deux lieux se trouva ramenée k la résolution du système des équations de ces lieux et la condition de contact fut que l'algèbre donnât, entre autres couples de valeurs des deux coordonnées, deux couples identiques ou, en d'autres termes, que l'élimination de 1 une des coordonnées, entre les deux équations, fournit une équation avant deux racines égales. La méthode, que bescartes n'avait mise en pratique que pour les courbes du second degré, prises pourexemple, fut bientôt étendue par ses successeurs immédiats. Fermât. Pascal, Roberval, Huyghens, etc., k toutes les courbes algébriques; ce qui donna lieu de fonder, avec toute la clarté et l'élej-'ance qu'elle comportait, la théorie algébrique des racines égales. Les mêmes géomètres résolurent encore la question pour quelques courbes transcendantes, la cycloïde et plus généralement les épicycloïdes, les spirales sini|^es, etc.; mais les méthodes manquaient pour effectuer les calculs nécessaires dans tous les cas ; le besoin d'en lever les difficultés, d'un genre tout nouveau alors, qui se présenluienl toujours tes mêmes, duns toutes les questions de /fl«7<*n- /C5, et auxquelles Huyghens venait encore d'à jouter en introduisant la notion de courbure, ce besoin donna naissance au calcul infinitésimal.

Soient x et y les coordonnées rectilignes d'un point quelconque d'une courbe, x~^ dx, y -j-oy celles d'un point infiniment voisin, pris sur lu mémo courbe, l'équution de la sécunte passant pur ces deux points sera

Le coefficient angulaire de la tangente k uno courbe en un de ses points est doue la dérivée de l'ordutinée par rapport k l'abscisse. Si l'ordonnée est fournie explicitement en fonction do l'abscisse, le calcul du coefficient angulaire so réduit ù une simple dérivation du la fonction, et si l'ordonnée e!»t définie implicitement en fonclioit de l'abscisse par une équution f{x^y) e q, ulgébriquo ou traosceuduntc, lu deriveo l'est par lu formule

rAxji)

de sorte que l'équation de la faitgente 6si alors

La question n'est pus plus difficile k trail<T I ou courduunécs polaire» ; boient O le pôle, Ox

ï'nxe polaire, M un point quelconque d'unft couibo AU, rcprc:>pnteo par une équation «(f^w) sO; la tangente MT &cra compleu*

TANG

ment déterminée si l'on obtient l'anjïle OMT qu'elle fuit avec le rayon polaire. Or, cet aufjle est la limite de l'an/^lo vuriubie ONM forme avec un rayon ON inliniment voisin de OM par une sécante NMS iiifliiim<-nt voisine de la tangente. Soient ^ -\- d ^ ai *a + d*a les coordonnées du point N, la tivnjente de 1 an^Me ONM sera

MP PN ou encore

f sin Ju

Lu formule

tang OMT ;

\du)

fournit dans tous les cas l'arif^le du rftyon vecteur avec la portion de la tangente dirigée du côté où les w décroissent. En effet, d'une part, cette tangente change de signe avec

rfp

comme cela doit être, puis(]ue l'angle OMT, l'oiniilé toujours dans le même sens, est aigu ou obtu^ suivant que

est positif ou négatif, et elle change aussi de signe avec p, de .sorte que si la même brnnche de courbe est donnée par des valeurs négatives de p, au lieu de valeurs positives, comme p et rfp changent en même temps de signes, la tangente reste la même.

La formule du coefficient angulaire do la tangente

tombe dans un cas illusoire, lorsque le point x, g est tel que les deux dérivées par rapport à ar et à y du premier membre de l'équation do la courbe se trouvent en même temps nulles. Cela arrive lorsque le point de contact tfSt un point multiple, ou un point isolé, et riudéterniination lient dans ce cas, comme nous l'avons déjà, indiqué, à ce que toute droite passant par un pareil point rencontre effectivement la courbe en deux points qui s'y confondent en un seul, et que la conditiou analytique dont oa s'est servi pour déterminer le coefticient angulaire de la tangente traduit simplement cetle condition concrète que deux points se soient réunis en un seul. Mais une analyse plus approfondie fournit aisément les coefticients an^^ulaires des diverses tangentes que l'on peut mener à lu courbe du point considéré, lorsque ce point est sim-

f dément multiple, et donne encore des vueurs déterminées pour les coel'ficients angulaires des /fl'(f/e/iïe5, alors imaginaires, lorsque le point eonsiiif're esi un point isolé.

L'équation f(x,y) = 0, lorsqu'on y remplace X par X 4" /i et y par y -\- A:, donne

quand on néglige les termes infiniment petits d'ordres supérieurs au premier; mais si l'on va jusqu'aux infiniment petits du second ordre, on obtient

Les termes du second degré, habituellement, disparaissent devant ceux du premier; mais ce seront ceux, au contraire, qui serviront k déterminer la limite du rapport

k dy

h dx

lorsque les termes du premier degré s'en iront d'eux-mêmes; on aura dans ce cas, pour déterminer les coefficients angulaires de la tangente, l'équation

Cette équation fournira en général deux valeurs distinctes pour

dx'

si ces valeurs sont réelles, en génénil, le point xy sera un point simplement multiple ; dans le cas contraire, ce sera un point isolé. :>i les deux valeurs de

sont égales, ie point considéré sera, en général, un point de rebroussement (v. rkbrousttEMjSNT). Si les trois dérivées secondes étaient

TANG

nulles en même temps que les premières, il faudrait pousser le développement de

jusqu'aux termes da troisième ordre, et dy dx

serait alors donné par une équation du troisième degré, etc.

On peut donner à l'équation générale des tangentes à une courbe une forme nouvelle en y introduisant comme variable le coefficient angulaire au lieu de l'abscisse du point de contact. Pour qu'une droite y = mx-|-n soit tangente à une courbe f{x,y) = 0, il faut que l'équation

f(x, mx -f ») = 0

ait deux racines égales ; cette condition fournit une relation entre m et n, et si cette relation, résolue par rapport il n, donne n =ç(m), l'équation générale des tangentes à la courbe sera

y = mx -i- <p(m).

On emploie l'une ou l'autre forme selon que l'on se propose plus spécialement de déterminer le point de contact de la tangente h meuer,^ sous une condition définie, ou l'équation même de cette tangente.

Soit proposé de mener par un point

une tangente k une courbe /"(x,y) = o, on aura, pour déterminer les coordonnées du point de contact, les deux équations

■ia-x)

Lorsque l'équation /'(x,y) = o sera algébrique, on pourra simplifier le système des deux équations à résoudre, parce que dans le second membre, x/'^ -|- y/* , l'ensemble des termes du plus haut degré reproduira, à un facteur constant près, égal au degré de la courbe, l'ensemble des termes du plus haut degré de l'équation f{x,y) ; de sorte qu'au lieu de deux équations du degré m de la courbe on n'aura à résoudre qu'un système de deux équations, l'une de degré m et l'autre de degré m — l. Le nombre des solutions, dont quelques-unes pourront se confondre ou disparaître, sera ■m{m — l) ; d'où résulte oue d'un point extérieur à une courbe de aegré m on peut, en général, mener in{m — l) tangentes. Si l'on s'éiait proposé de déterminer le coefficient angulaire de la tangente cherchée, on aurait eu à résoudre l'équation

p =ma -^ ?(w).

Soit, en second lieu, proposé de mener à une courbe /"{x,y) = 0 une tangente parallèle à une droite donnée y = mx^ on aura, pour déterminer les coordonnées du point de contact, les deux équations

Si l'on veut seulement l'équation de la tangente, ou n'aura à calculer que la valeur Ûk: o{m).

Pour mener à deux courbes f(x,y) = o et fii^^y) = 0 une tangente commune , après avoir obtenu les équations générales

y = mx-\~ 9(m) et

y = mx-J- Oj(7«)

des tangentes k ces deux courbes,- il ne resterait qu'à exprimer la condition pour que ces tangentes se confondissent, c'est-k-dire à résoudre l'équation ç(»i) = ç,(m).

L'intronisation définitive des méthodes analytiques est toujours, en chaque genre de recherches, le but absolu vers lequel on doit tendre d'abord. La possibilité de s'en servir donne k l'esprit une satisfaction qu'il réclame avant toute autre. Il semble, en effet, que, des que ces méthodes sont régulièrement instituées, il n'y ait plus aucune question, ressortissant au sujet, qui ne puisse être abordée et résolue. Mais outre que l'emploi de ces méthodes, soumis à des règles toujours les mêmes, ramené toujours les mêmes transformations de calcul, faisables dans les cas simples. Impossibles à effectuer dans les cas plus compliqués, ces méthodes deviennent radicalement impuissantes, ou plutôt disparaissent tout à fuit lorsque les données, au lieu d'être hypothétiques, c'est-a-dire définies plutôt qu'eti'eclivement données, sont, au contraire, fournies en nature, sans, d'ailleurs, qu'on en connaisse la provenance. Les applications pratiques des sciences aux questions d'art et d'industrie présentent une toule d'exemples où se rencontrent les circonstances indiquées dans ce qui vient d'être dit. Ain^i, d'une courbe donnée en nature résultent, théoriquement définies, ses projections

TANG

sur des plans quelconques, ses perspectives sur des surfaces quelconques, des transformées en nombre infini, dont on a, k chaque instant, à rechercher la figure, les propriétés, etc. L'analyse algébrique ne peut rien pour la solution des questions do toutes sortes que peut comporter une pareille étude ; de nouvelles méthodes y sont indispensables. A côté de la Bcience abstraite, qui a seule rempli les préoccupations de nos prédécesseurs jusquà ces dernières années, il devait donc naître une science nouvelle dont, au reste, les rudiments se trouvent déjà formés dans divers sens. La question des tangentes fournit dans ce nouvel ordre d'idées un exemple intéressant que nous ne devons pas passer sous silence. Il s'agit de la méthode do Roberval, dont le principe, mal énoncé par son auteur et mal compris par les géomètres qui vinrent immédiatement après lui, a été récemment remis en lumière et heureuse-

TANG

ment appliqué dons des circonstances remarquables. La méthode de Roberval repose sur cette remarque que, si le mouvement du point qui engendt e une courbe peut être considéré comme composé de deux mouvements plus simples, dont les vitesses soient connues en direction et, sinon en gr:indeur absolue, da moins quant & leur proportion, la direction de la tangente k la courbe considérée s'obtiendra en composant, par la règle du parallélogramme, les vitesses des mouvements composants, vitesses dont il suffira de connaître le rapport pour avoir la direction d© la diagonale du parallélogramme dont elles foriiieraieut les cotés.

Supposons, par exemple, que d'une courbe AB, donnée en nature et assez bien dessinée pour qu'on lui puisse mener une tangente en un point quelconque, avec une exactitude suffisante, on construise une transformée A'B en prolongeant d'une longueur constante

arbitraire d'ailleurs, MM, tous les rayons vecteurs menés d'un point O quelconque à cette courbe. Pour «:ontinuer la tangente en M' à la courbe A'B', on pourra considérer le mouvement du point qui l'engendrerait comme composé d'un nmuvement de rotation autour du point O et d'un mouvement relatif le long du rayon vecteur; le mouvement du point qui engendre AB étant décomposé de la même manière, la direction de la tangente, que l'on suppose savoir mener à cette courbe, fera connaître le rapport des vitesses dues aux deux mouvements composant celui de ce second point; mais les vitesses de c<?s mouvements étant connues, il sera facile d'en conclure celles des mouvements dont résultera le mouvement du point générateur de A'B' et, par suite, la direction de la tangente k cette courbe A'B'. En effet, soit MT la longueur arbitrairement prise sur la tangente en AB pour représenter la vitesse absolue du point M; en formant le rectangle UMVT, on aura en MV et MU les longueurs représentatives des vitesses des deux mouvements de rotation et de translation se rapportant au point M ; mais les vitesses des différents points d'une droite, dans le mouvement de rotation de cette droite autour d'un point fixe, étant proportionnelles aux distances de ces points au centre de rotation, si la vitesse du mouvement de rotation de M estMV, celle du mouvement de rotation de M' sera M'V, le point V étant déterminé par l'intersection de OV prolongé, avec la parallèle menée de M' à MV; quant k la vitesse de translation de M' sur le rayon vecteur, elle ne peut être qu'égale k celle de M et de même sens qu'elle, puisque la même longueur MM' se transporte d'une seule pièce le long du rayon ; en prenant donc M'V'= MU et achevant le rectangle U'M'V'T', il ne restera qu'à joindre MU pour avoir la tangente.

La solution précédente s'appliquerait identiquement la même si le rayon vecteur, au lieu de tourner autour d'un point fixe, était assujetti seulement k rester tangente k une seconde courbe CD donnée comme la première; parce que ce rayon, assujetti k rouler sur CD, pourrait être considéré comme tournant autour du point de contact.

Il serait aisé de citer un grand nombre d'autres exemples où la même méthode s'ap- [iliquerait également bien.

Une autre méthode remplissant le même but, dont le principe a été donné d'abord par Descartes, est fondée sur la théorie du centre instantané de rotation (v. centre). Tout déplacement élémentaire d'une figure plane dans son plan résulte d'un mouvement de rotation de cette figure autour d'un certain point de ce plan, point qui prend le nom de centre instantané de rotation de la figure; dans ce mouvement, les vitesses de tous les points de la figure sont représentées, en direction, par des perpendiculaires aux rayons qui les joignent au centre, et, en grandeur, par des droites proportionnelles k ces mêmes rayons. Il en résulte : lo qu'il suffit de connaître les direciions des vitesses de deux points de la figure pour en déduire la position du centre instantané de rotation, qui doit se trouver au point de rencontre des normales aux trajectoires des deux points en question, et 20 que les mêmes données déterminent le rapport des vitesses de deux nouveaux points quelconques de la figure. Quant aux directions des vitesses de^tous les points, elles seront connues comme devant être perpendiculaires k celles des rayons menés du centre k ces mêmes points.

Cette théorie fournit, dans UB grand nom-

bre d'exemptes, une construction simple de la tangente k la courbe décrite par un point mobile suivant des conditions géométriques données. Le cas le plus remarquable est celui des courbes épicycloïdales ou engendrées par le mouvement d un point lié à une courbe roulant sur une autre courbe. Le centre instantané de rotation est alors, comme l'avait remarqué Descartes, le point de contact des deux courbes.

— Tangentes aux courbes imaginaires planés. L'équation générale des tangentes à une courbe f{x,y) = 0 est

ryi^^y) '

dans laquelle y et x sont les coordonnées du point de contact et Y, X les coordonnées courantes. Si x et y prennent les valeurs

imaginaires

x = A-i-?/^^ et

y = a' + ?C/^=l satisfaisant, bien entendu, à l'équation du lieu, l'équation de la tangente, tout calcul fait, se réduit arilhmétiquement à la formule

cette équation représente an faisceau de droites partant du point

Y = mX -\-p,

0 = xX-l- 9; celle des droites qui appartient au System C passe au point

X = a + p V^ — 1 y = a' -}- pc V^ — 1 ,

et il est facile de voir qu'elle est tangente en ce point k la conjuguée C de la courbe /•{x,y) = 0.

Pour le démontrer, nous remarquerons d'abord que la notion de la dérivée d'une fonction doit être étendue; la dérivée d'une fonction, pour une valeur particulière de la variable, représente le rapport des accroissements infiniment petits de la fonction et de la variable, quel que soit l'accroissement de la variable, c est-k-dire qu'il soit réel ou imaginaire, et, s'il est imaginaire, quelle que soit la relation que l'on établisse arbitrairement entre les parties réelle et imaginaire de cet accroissement; si la dérivée de y par rapport k x en un point d'un lieu f{x,y) =. o est

cela signifie que l'accroissement infiniment petit de X étant

4x = Ao -f Ap V — 1 ,

l'accroissement correspondant de y sera fourni par l'équation

4y = Aa' -j- ApV — 1 = {m-\-n v'— i)(aii -I- A? ^ — i), équation qui se décompose en Aa' = mAa — nAp et

4p' = 7nAp-l- nAa.

Cela posé, supposons que deux lieux /■(x,y) = 0 et ç(x,y) = 0

aient un point commun, réel ou ininginuire fx',y'], et qu'en ce point les dérivées de y par rapport à x soient les mêmes, quelque accroissement infiniment petit qu'on donne kx, k partir de sa valeur x', l'accroissement correspondant de y sera le même sur les deux

TANG

lieux; ces deux lieux auront dooc une infinité du points communs, infiniment voisins du point fx',y']; les deux porlions du plan, recouvertes par les points imaginair**s fournis par les équations aes deux lieux, auront un petit disque commun. Or, les deux c^uations rxy) = 0

où a? et y forment une solution de f(x,y) = 0, sont précisément dans ce cas : elles u'Jmettent 1 une et l'autre la solution X = x, Y = y, et la dérivée de Y par rapport à X est la même, soit qu'on la déduise de l'une ou l'autre équation. Les lieux, que représentent ces équations, ont donc une infinité de points communs infiniment voisins du i.'-i(it a:, y. Si donc, ta caractéristique du point [xy] étant C, ou voulait s'étendre sur l'un ou l'autre lieu^ h partir du point [xy], sans quitter les conju^^uées C de ces lieux, il faudrait aux équations

Aœ' = mia — nàp

û^' = mip + nio , qui assujettissent déjà les variations des coordonnées, joindre la condition

mais alors des quatre variables &i, &p, Aa', 4?', il n'y en aurait plus qu'une s^ile d'arbitraire ; par conséquent, si l'on cli"isit pour &a, pur exemple, la même valeur dans les deux cas, toutes les autres parties des deux différentielles serout les méities de part et d'autre; les deux conjugii'--es C des deux lieux ont donc un élément commun partant du point X, y; le théorème qu'on avait en vue est, par suite, complètement établi.

I>e di.-sque élémentaire de contact entre deux lieux tangents change de forme avec la valeur de la dérivée commune de y par rapport à x. Si la dérivée de y \ ar rapport à X, en un point [x, y], est m ■+■ n\ — I , les éléments du lieu, à partir du point considéré, sont Tournis par l'équation

iy = (m -f- n\l— l)4x ; en donnant à Ax, dans cette équation, une valeur infiniment petite quelconque, on en tirera ta valeur correspondante de Ay et l'on aura tes coordonnées d'un point du lieu infiniment voisin du point [x, y]. Si l'on fait

âx = Ao + 43\/-^ et

Ay = 4o' + A? V— 1 , on aura deux équations entre les quatre variations Aœ, a?, Aa', A'|j. Si l'on veut achever de déterminer la direction de l'élément, on