AB

pourra poser •— ■ C. Cela posé, si l'on con-

*P sidère le faisceau de droites représentées par l'équation

y«(m-f nV^— l)x,

faisceau qui diverge do l'origine, et que Ton fasse dans cette équation

les valeurs finies de a, p, a', p' seront proportionnelles aux valeurs infiniment polîtes de As, Ap, A«|, Ap'. Cela signifi»' que les éléments d'un lieu formont, à partir du point de ce lieu où la dérivée de y par rapport à x est m-f ny— I, un faisceau divergent de ce point, et que, prolongés, ces éléments formeraient un faisceau identique à celui des droites représentées par l'équation

Ce faisceau, dont on peut toujours réduire l'équation à l'une des formes y a mx et y e n/!Z"|x, par une transfornmiiun convenable dos coordonnées, est géuorab'mcnt elliptique, c'est-h-diro au'il ao composu habituellement des rayons d une ellipse évanouissante ; cela arrive lorsque m est nul et n quelconque; il devient exceptionnf>llemont circulaire lorsque, m étant toujours nul, n est égal il 1. Mais si lo cooffiriont anguliiiro se trouve exooptinnnclbMnenl r*'-!, lo faisceau s'aplatit du telle sorte que tous ses éléments 80 confondent géoiiiciriquomonton un seul. Kn cff'-t, en premier lieu, une équation telle que y » mx n>* peut fournir que des droites du !tystémo C - m : mais, d'ailleurs, toutes ces droites, sur le tableau, se confondent avec la droite réelle y * mx.

Il résulte do Ik que si la dêrivéo de y par rapport à x en un point d'un lieu est réelle, tous les cléments du lieu, h partir do ce point, se confondent en un seul, dans lu représentation géométnnuo. Un pareil point ne peut être que sur une limite de lu portion du plan recouverte par IVnsemblo des points imapnaires du lieu; il appartient ji l'une des enveloppes dos conjuguées do ce Itou. Ainsi, l'enveloppe dos conjuguées d'un lieu

Ax.y) tt 0 est définie par l'enscmblo des équations

A'.y) - ^> 5i ■ réel.

TANG

Le probli'inf* de mener une tangente à une courbe f{x,y) = 0 par un point extérieur [tt, t], généi';)lisé en raison des notions expi nuées dans ce qui précède, peut être étendu de la courbe réelle à ses conjuguées et comporte, par conséquent, comme solutions les tangentes menées par le point donné à la courbe réelle et à celles de ses conjuguées pour lesquelles la condition imposée se trouve réalisable; le mêtue problème pourra d'ailleurs subir em^ore une nouvelle généralisation, si l'on suppose que le point donné le soit de position seulement, sans que la forme analytique de ses coordonnées soit déterminée. Les équatit)ns propres & déterminer les coordonnées du point du contact sont

tîe degré m ; mais l'une d'elles peut être, comme on l'a vu, remplacée par une équation de degré m — i , que nous représenterons par

Occupons-nous d'abord du cas où a et p seraient donné-* sous forme réelle. Les solutions réelles du système des deux équations /■(x.y) = 0 et ç(x,y) = o fourniront naturellement les cnOidonnées des points de contact des tangentes qui pourront être menées du point réel [a, pj îi la cotirbe réelle représentée par l'equiition /(x,y) = 0; quant aux solutions imaginaires de ces mêmes équations, elles fourniront les coordonnées de points remplissant la double condition, non-seulement que la tangente vcxQuéQ en chacun d'eux à la coujuguée qui y passe contienne de fait le point [k, P], mais encore que l'équation de cette tangente soit satisfaite par les valeurs X = o, y = p. C'e^t pourquoi le nombre des solutions restera limité.

Lorsque la courbe proposée est du second degré, 1 équation ç(x, y) = 0 s'abaisse au premier et, par conséquent, représente une droite oui porte, comme on le sait, le nom de corde aes contacts (v. ce mot) ; les solutions du problème sont fournies par les intersections de la courbe pro[tosêe avec cette corde des contacts. Cette droite, qui prend aussi le nom de polaire (v. ce mot) du point [o, p], est toujours réelle, quelque part que l'on place le point réel [a, pj dans le plan de la courbe, c'est-à-dire lors même que le problème est impossible. L'équation du secoua degré étant en effet représentée par

Ay« -f- 2Bxy + Cx' -j- 2Dy -I- 2Ex -f F = 0, on trouve pour équation de la polaire du point [a, pJ

y(Ap4-B«-i-D) + x(Bp -I- Ca -\- E) -i- Dp -f Dp -f E« H- P" = 0.

Il résulte de là : 1" que, lorsqu'il s'agit d'une courbe du second degré les points de contact des tangentes ima;{inaires menées d'un point de l'intérieur de cette courbe, au lieu considéré dans son ensemble, appartiennent toujours à une même conjuguée, puisqu'une équation du premier degré à coefficients réels ne comporte pas do solutions imaginai-

TANG

res dont la caractéristique diffère du coefficient angulaire de la droite qu'elle représente; 20 que cette conjuguée est celle dont les cordes réelles sont conjuguées du diamètre mené du point donné, ou qui touche la courbe réelle aux extrémités de ce diamètre.

Supposons maintenant, pour donner au problème sa plus grande généralité, que le point donné soit connu de position seulement. Ses coordonnées pourront être alors représentées par

a, p, o', p' n'étant jusque-là assujetties qu'à deux conditions

a 4- p = ff, a' -f p' = b,

a et b désignant les coordonnées du point donné géométi-iqueiuent.

Les équations

ne fourniront pas nécessairement pour chaque système de valeurs de a, p, a', p les coorffonnées de poinTs de contact de tangentes menées du point donné à des conjuguées du lieu, mais seulement les coordonnées des points de contact de tangentes appartenant à des faisceaux contenant le point donné. Pour que les tangentes obtenues passent effectivement par le point ddnnè, il faudra que a, p, a', p' remplissent une condition spéciale; cette condition étant remplie, on pourra ensuite achever de déterminer a, p. a' et p', de façon que l'une des solutions doive se rapporter à une conjuguée désignée du lieu.

Supposons, par exemple, que le lieu proposé soit une ellipse; le mode de décomposition des coordonneeS'du point géométriquement donné étant choisi, le rapport — fera

connaître la caractéristique de la conjuguée à laquelle devra s'appliquer le problème, puisque cette conjuguée devra appartenir au même svstème que le point donne. Supposons que l'on ait dirigé l'axe des y de telle manière que l'abscisse du point donné devienne réelle et qu'on ait pris pour axe des x une parallèle au diamètre conjugue des cordes parallèles à l'axe des y ; supposons enfin qu'on ait transporté les axes, parallèlement à eux-mêmes, au centre de la courbe; l'équation de cette courbe aura pris la forme

ûV H- i'j' = a'A' et les coordonnées du point donné seront

Xi = a,

a' et p' n'étant encore assujettis qu'à la condition de fournir une somme égale à l'ordonnée, dans lo nouveau système d'axes, du point géométriquement donné. Les coordonnées des points de contact fournies par le calcul seront

1 feV ^ (a'+ pV-l)V(a'a^ -I- pV-i1V b^a} - a'b*

u'U'-LpV l)'-|.6V

il ne restera plus qu'à déterminer a' et p' sous la condition que x soit réel. Or, on voit immédiatement que cette condition donne soit p' « 0, soit a' - 0. Si l'on fait p' nul, le point donné redevient réel et la solution s'uppliquo soit à l'ellipso elle-même, si le point donné est en dehors de cette courbe, soit, dans le cas contraire, à celle de ses conjuguées qui la touche aux extrémités du diamotre pussuni par le point donno. Si l'on fuit a nul, l'abscisse du point do contact devient

, b*a ± p Va'p" — 6»a» -f a*b* X * n — — '

6'a' — ay

Si elle est récllOi c'est-ù-diro si

est positif, la solution nppnrtipndrn bion offoctiyeiiicnt il In conjuguée rpio l'on vouIhii oon^iilèror, et it est romiiniunblc qiio IcK (Inux points do contact tournis par In calcul 51! trouveront tous deux sur cotte mémo conjuKuéo, ce qui n'arrlvorait pas en jouerai, c'etit-ii-diro SI l'on n'imposait pas aiix cooiilonnéos du point donno la condition de fournir un point do mémo aysténie que lo point de contact. Si n'f " — (>'•• 4 a'd' ost négatif, lo problcnio sera iinpossiblo jmur la conjuguée considérce, parce que lo point donné sera dans son iiilérieur', mai» il est ii remarquer que, d^ins ce cas, la snluli«n doublement imaginaire à Inquelle on sera parvenu fournira les pointa do contact des langcnlrt mono.'s du point donné k In conjuguée do 11 courbe proposée, qui touchera cette conjuguée Rui extrémités de celui do aes di&métres qui passe par lo point donné.

Les mtmes principes nous serviront k

compléter la solution du problème des tanyenlet parallèles à une direction donnée et il interpréter les résultats obtenus, dans tous les cas. Le problème pourra encore être étendu de la courbe recJle & ses conjuguées et comporter, par conscquent, comme .^olutions, les tangentes menées paratlelement à la droite donnée, à la courbe réelle et ik celles lie ses conjuguées pour lesquollos la condition imposée .sera réalisable ; le problème pourra ensuite subir une nouvelle généralisation, si l'un suppose qiio ta direction donnée soit fournie géométriquement, .sans que la forme analytique du coefliciont angulaire de cette direction soit détorminée k l'avance. ICn désignant par m lo coefllcient angulaire do la direction donnée, les équations propres it déterminer les coordonnées du point do contact sont

nxj/) - 0.

Occupons-nous d abord du cai où m serait donné sous forme réelle. Los solutions réelles du système des équAtions

A-r.jr) - 0 et

fourniront les cooLlnnnrns dos points de conluet des tangentes qm pourront être menées parallèlement à la direction y ■■ mx à la courbe réelle, représentée par l'équation

A'.y) - 0 i quant aux solutions imnginnires de ces mimes équation», elles fourniront les points remplissant la double condition non. seulement que la langtHtt menée en rhacun d'eux

TANO

soit do fait parallèle i± y ■■

mx, mais encore que le coefficient angulaire — — aitidenti-

'y quement la valeur m.

Le coefficient angulaire m étant réel, les points de contact trouvés appartiendront à l'enveloppe imaginaire des conjuguées du lieu. Ainsi, le problême se sera trouvé être de mener parallèlement k une direction donnée y = mx des tangentes à l'enveloppe totale desconjuguéesdu lieu.

Supposons, par exemple, que la courbe pro posée soit une hyperbole, qu'on ait pris pouE axe des x le diamètre parallèle à la direction donnée et pour axe des y le diiimetre conjugué ; l'équation de la courbe sera a'»yi b"x^ = — a"b" ou

a'»y* — i"x- = û"6", selon que l'axe des x sera transverse ou .mn traiisverse, les tangentes seront, dans le premier cas,

y-±6'v/^, et dans le second y = b' ; quant aux coordonnées des points de contact, elles seront

y = db 6' V^^i , X = 0 ou

Supposons maintenant que la direction donnée soit fournie géométriquement, le coefficient angulaire do celte direction pourra être représenté par

m -1-nV^^ m et n n'étant assujettis jusque-là qu'à la seule condition

tn + n-{ — - = «,

a désignant le coefficient angulaire réel de la droite donnée et c la caractéristique de celle des droites du faisceau

V= {m-\-nV—l)x qui devra être parallèle à cette droite donnée. Les équations

Ax,y) = 0 (m -î- n V^^l/^y + r, = 0

ne fourniront pas nécessairement, pour chaoue système de valeurs de m et n, les coordonnées de points de contact de tangentes effectivement parallèles à la direction don- 1 née, mais seulement les coordonnées des points de contact de tangentes appartenant à des faisceaux dont les droites do caractéristique c soientparallèlesàla direction donnée. pour que les tangentes obtenues soient parallèles à la direction donnée, il faudra que les points de contact appartiennent au système c. Cette condition, jointe à

m + nH = «,

déterminera m et n en fonction de e; on pourra ensuite faire varier e de manière à obtenir successivement toutes les tangentes parallèlesà la direction donnée, que l'on pourrait mener à toutes les conjuguées du lieu proposé.

Supposons, par exemple, que le lieu proposé soit une ellipse et donnons-nous d'avance la conjuguée à laquelle devra s'appliquer la solution. Si nous prenons pour axes les diamètres conjugués communs à la courbe réelle et k cette conjuguée, la caractéristique c sera infinie et lu première équation de condition entre m et n se réduira à

«' désignant la nouvelle valeur du coefficient angulaire de la droite donnée. Les coordonna" i- -'^ de contact seront

/'(m-f ni'— i)

ya''{m + n\f-\)' -)-&'•

pour que X soit réel, il fatidri que n • 0 ou "I - 0 ; dans la première hypothèse, les tnngeiiles auront été menées à l'ellipse ellemême ; dans la seconde, elles appartiendront k la conjuguée c -^ « si

est négatif, car, dans le cas contraire, on aurait obtenu les points do contact des tangln- '<■' "'■ ' •lemcntàladroitedonuce

il la . 0.

'-" I • craie des langnlet paral-

lèles a une direction donnée, k une courbe

ou k ses conjuguées, peut cire traitée d'une autre manière. Si l'on exprime la condition pour que la droite

y-cx + d rencontre la courbe

/I-r.y) - 0 en deux points confondus en un seul, on trouve une condition

t(c,rf) - 0, qui détermine rf, lorsque c est donne. Sup-

TANO

posons que relie ôqn:ition puisse se résoudre par rapport à d et (pi'on en tiro

d = +(<:), ) équation

y = rx + 4.(<)

représentera une Itwfjente ù )ft courbe

ou à l'une de ses conjuguées, quel que soit e. Si on remplace c pur

on aura sous lu forme générale

l'équiilion générale do toutes les langntes imiiginîibles il la courbe pro[iosée et k tontes ses coMJnguées. Si l'on veut que la solution se rapporte ii l'une <le.^ conjuguées en particulier, on aura k exprimer, par une condition à remplir par m et ii.quo le point do contact appartient effectivement k la conjuguée désignée.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d une ellipse

aV + *'^' = "'*'.

l'équution générale des tamjenles sera ■.{m + n \/^\)x

TANG

pourra être pris dans le système auquel appartient le point [x, y, z].

Si l'on propose do mémo une langenlc k une surface

par un point extérieur [a, 6, c], les équations propres à déterminer les coordonnées du point de contact seront

-.\Ja'

Pour que l'abscisse du point de contact soit réelle, il faut, comme on l'a déjit vu, que n ou m soit nul ; si n = 0, on retrouve l'équation générnle des tangentes à l'ellipse ellemême; si m = 0, on a l'équation générale des tangentes k sa conjuguée c = «> :

y = nï/^la;±V' — «'"' + '''■

— Tangpntes aux courbes à double courbure. Les équations d'une droite assujettie à passer par deux points sont

pourvu toutefois que ces deux points appartiennent unalytiquement h un même système délini par ses deux caractéristiques, car autrement ces équations le plus souvent ne fourniraient qu'une suite de points isolés. Pour que cette droite devienne tangente à une courte

enunpointx',^',:', réel on imaginaire ,il suftïra nue l'on remplace dans ses équations x'\y'',z" par les coordonnées d'un point infiniment voisin du point x',y',z', c'est-à-dire

par

— Tangentes aux surfaces courbes. Une tangente a une surface passe par deux points intinlment voisins de cette surface ; c'est une sécante dont deux points de rencontre sont venus se confondre en un seul. Une tangente à une courbe tracée sur une surface est tangente à cette surface, et réciproquement une tangente à une surface est tangente à toutes les courbes suivant lesquelles cette surface serait coupée par des plans passant par sa direction.

Soit

/•(x, y, i) - 0 l'équation d'une surface; les différentielles des coordonnées x, y, z d'un point de cette surface sont liées entre elles par l'équation

les coefficients angulaires

' dz'

qui donnent simplement

tt — x d£ b — y dj

c — z dx c — z dy

les points de contact formeront donc l'intersection des deux surfaces représentées par les équations

^' df . df df 'If df d!

'dy

- et -J dz *' dz

de la droite passant par les deux points X, y,ï etx-hrfx, y^-dy, z + dz sont donc lies entre eux parla condition

dldx dj di dl^ dxdz^dydz'^ dz

par suite, les équations d'une tangente quelconque à la surface au point [x, y, s] seront

X— x = m(Z— J) et

m et p devant satisfaire à la seule condition df df , df

dx dy dz

Si le point x, y, s appartient k une conjuguée c e' de la surface, la droite représentée par lès mêmes équations dans le système c, c' sera tangente à cette conjuguée au point x, y, z. Les coefficients de ces équations rempliront d'eux-mêmes la condition nécessaire pour qu'elles représentent effectivement des suites continues de points appartenant à un même système, parce que le point

[i-l-rfx, y-f dy, ï-t-rfî]

Ces deux équations seraient de même degré, m par exemple ; mais on pourra remplacer l'une d'elles par une autre de degré M — 1, parce que les termes de plus haut degré de /(x, y, î) seront reproduits dans

df , df ^ df Tx^ny + 'Tz

avec le multiplicateur m. Nous désignerons dans ce qui va suivre par =(x, y, :) l'équation de degré m — 1 qu'il faudrait joindre à

/(x, y, î) = 0 pour représenter le lieu des points de contact des tangentes menées du point [a, b, c] k la surface

L'intersection de deux surfaces, en y comprenant les points représentés par les solutions imaginaires communes k leurs deux équations, forme une surface dont, en général, les points de mêmes caractéristiques sont en nombre limité. La solution analytique ne fournira donc pas, comme on aurait pu le penser, les courbes de contact des cônes, ayant pour sommet le point donné, qu'on pourrait circonscrire tant k la surface proposée qu'k ses différentes conjuguées. Elle ne donnera de chaque conjuguée de la surface proposée que les quelques points remplissant la double condition que les plans tangents menés en ces points passent effectivement au point donné et que les coordonnées de ce point vérifient les équations de ces plans tangents.

Lorsque la surface proposée sera du second degré, l'équation

î(x,y,î) = 0 sera du premier degré

I Mx -1- Ny -1- P; -f Q = 0.

Une pareille équation n'admet que des solutions où les rapports c et c' des parties imaginaires de X et de « et de y et de * satisfassent k la condition

Me -1- Ne' -l- P = 0.

Les points de contact des tangentes imaginaires menées du point donné se trouveront donc exclusivement sur les conjuguées de la surface proposée dont les caractéristiques rempliront cette condition. Mais, par compensation, les points de contact appartenant k un même système c,c' seront en nombre infini et formeront une courbe qui ne sera autre que l'intersection du même plan

Mx -I- Ny -1- Pï -I- Q = 0 avec la conjuguée c,c' de la surface. Toutes ces courbes de contact des cônes circonscrits aux conjuguées dont les caractéristiques rempliront la condition

Me -f Ne' -f P = 0 seront d'ailleurs les conjuguées, dans son plan

Mx + Ny-t-Pi-f Q = 0,

de la courbe de contact du cône circonscrit k la surface réelle elle-même. En effet, si l'on prenait pour plan des xy, par exemple, le plan de la courbe de contact avec la surface réelle, les points imaginaires formant les courbes de contact avec les conjuguées c,c' ne seraient plus déterminés que par la même équation qui représenterait la première courbe.

On pourrait généraliser le problème en attribuant des coordonnées imaginaires

au point [a,6,c] supposé donné de position seulement; o, f, a, p', a" et f" ne seraient assujettis par là qu'aux trois conditions

.-f{i = a, a' + ^' = b, a"-l-r = c; les équations du problème seraient" comme plus haut

f{z, y, :) = 0 et 5(x, y, z), cette dernière contenant

.-t-jH/IT",, .'^p'vCTi et a" -I- rv'-^ au lieu de a. b et c. Si l'on voulait que le

TANG

point de contact appartint k une conjuguée e,c' de la surface, et qu'en niéeno teiujs la tangente menée en ce point passât effectivement au point donné, il faudrait u'abord faire

f, = c et L^C

et exprimer, en outre, la condition pour que le point de contact appartint au système c^<^. Les deux équations propres à exprimer la dernière condition se réduiraient k uue îseulc, parce que, les équations de la tangente ctani déjà satisfaites par les coordonnées d'un point appartenant au système c,c'y celles d'un autre point, ayant sa première caractéristique éf^ale à c, ne pourrait^nt pas les vérifier sans que la seconde caractéristique de cet autre point fût c'; on n'aurait donc à exprimer entre «, p, u', p\ a." et p" que trois nouvelles conditions qui achèveraient de les déterminer ; cela fait, on aurait obtenu les équations propres à représenter la courbe de contact au cône circonscrit à la cnnju^fuéo c, c' et ayant son sommet au point donné.

Soit proposé, par exemple, do déterminer le cône ayant son sommet en un point [o,^,y] qui serait circonscrit k la conjuguée à abscisses et ordonnées réelles do l'ellipsoïde

L'abscisse et l'ordonnée du sommet donné ne devront être introduites quo sous forme réelle; ce seront donc « et p; quant k l'ordonnée parallèle aux s, elle sera provisoirement représentée par y -\-t"v — I, t' ^^ t" devant donner pour somme 7. Les équations propres k déterminer les coordonnées de l'un des points de contact seront X* y' ;'

nais la seconde pourrra être remplacée par

a: et y devant être réels et z imaginaire sans partie réelle, cette seconde équation se décomposera en

ce qui montre que / devra être nul. Le sommet du cône devra donc avoir pour coordonnées

«, % et tV'"le plan de la courbe de contact sera alors

La projection de cette courbe sur le plan des xy aura pour équation

TANG

continue. Toutes les courbes de contact iv-

cylindres circonscrits aux conjuguées di.ni

les caractéristiques rempliront la condition

Me -h Ne' -i- P = 0

seront d'ailleurs les conjuguées de la courbe de contact du cylindre circonscrit k la surface réelle.

On pourrait généraliser le problème en attribuant des coefficients imaginaires

m-l-nv'— 1 et p -f ?/— '

k la direction donnée. Les équations du problème seraient, comme plus haut,

/■(x,y,ï) = 0 et

m, n, p et 9 seraient déjk assujettis li deux conditions; on achèverait de les déterminer en exprimant que le point de contact dût appartenir à une conju;;uée désignée.

Enfin, si l'on avait détermine les équations générales des tangentes k une surface

mises sous la forme

x^ mz + o(m,7))

les équations générales des tangentes aux conjuguées de la même surface seraient

+ ç(m + n /:ri,p -I- j /ri)

Deux conditions particulières entre m^ n, p et q pourraient être adjointes k ces équations pour exprimer que les points de contact appartinssent k une conjuguée désignée. — Trigonom. La tangente d'un angle A est le rapport de la perpendiculaire abaissée

d'un point de l'un des côtés de cet nngl**, sur l'autre, k ta distance du sommet au pied de la perpendiculaire

tangA=— .

Le sinus et le cosinus de l'angle A SbOt BC AC