C =DC

aii Bc' d'où

aC = Bc = DC x aB.

En multipliant ces deux égalités membre h membre et enlevant le facteur commun DC, il vient

A6.aC.Bc = cA.6C.aB.

Théorème II. Une transversale détermine sur les côtés d'un polygone plan de m côtés,

TRAN

d'une manière générale, de faire voir que l'on peut adjoindre un nouveau triangle à un polygone sur lequel le fuit a déjà été constaté, et d'éiablir que le théorème reste vrai. Soit ABC... H un polygone quelconque coupé par la transversi'le àbCd... A, et joignons-lui le triangle AHK, dont les côtés HK et KA sont coupés par la même transversale en h' et A; soient P et Q les produits égaux îles segments Aa,6B,Cc...HA d une part et aB,6C,cD...A.\ de l'autre; le triangle AHK donnera d'autre part

AA.Kft.A'H = À&.KA'HA,

d'où, en multipliant,

P.AA.K/r.A'H = Q.Aft.KA'.HA; en enlevant de part et d'autre les facteurs HA et AA, qui ne doivent pas riister, puisque le côté AH, qui terminait le polygone primitif, n'est plus qu'une diagonale du nouveau, on aura l'égalité qu'on vouluit établir.

Ce théorème II s'étend immédiatement a un polygone gauche coupé par un plan transversal; en effet, si l'on projette le polygone sur un plan perpendiculaire au plan sécant, les deux serments déterminés sur un même côté sont raccourcis dans le même rapport; et comme d'ailleurs ils entrent l'un dans un membre, l'autre dans l'autre membre de l'équation, on peut conclure de l'équation entre les produits des segments projetés à l'équation entre les produits des segments duos l'espace.

Théorème III. Si l'on joint les trois sommets d'un triangle à un point quelconque pris dans son plan et qu'on prolonge les droites ainsi menées jusqu à leur rencontre avec les cô-

TRAN

tés, on détermine sur ces cotés six segments tels, que le produit de trois d'entre eux n'ayant aucune extrémité commune est égal au produit des trois autres. .

Pig. 3.

Soit D un point choisi à volonté dans le triangle ABC ; considérons les deux triangles AB« et AaC coupés par les deux transversales CDc et RD6, il? donneront respectivement

Ac.BC.DA = cB.aC.aD et

oD.C6.flB = DA.BC.6A

d'où, en multipliant membre k membre et enlevant les facteurs communs,

Ac.Bn.C6 = 6A.cB.aC, ce qu'il fallait démontrer.

Théorème IV.. Duns tout quadrilatère complet, chueune des trois diagonales est coupée par les deux autres en segments proportionnels. Soient ABCD un quadrilatère quelcon-

que complété par les prolongements de ses côtés opposés poussés jusqu'à leurs points de rencontre P et G, et AC, RD, FG ses trois diagonales, qui se coupent ruspei-tivement en A, k et /; il s'agit de démontrer par exemple <lue