AD.G/.FB » DG./F.BA

1 d'un autre côté, le même triangle coupé par la transversale ÀBD donne

DG.F/ir.BA = AD.GA.FB; multipliant ces deux égalités membre à membre et i-erraiii'hanl les facteurs communs DG, AD, FB, BA, il vient

Gl.Pk = Ff.GA

ou

IF kF

/G ~ kG' ce qu'il fallait démontrer.

Théorème V. Si une droite BD est coupée en punies proportionnelles aux points 6 et d.

de telle sorte que l'on ait 6B dB 6D ~ dD'

Fig. 6.

et

Fig. 2.

ou sur leurs prolongements, 8m segments tels I cune extrémité commune est égal au proaun que "ta produit deTd'entr'e eux n'ayant au- 1 des m autres. Il suffit, pour le démontrer

que le prod

qu'on joigne les points B, D, 6, d à un même point A pris à volonté, les s»gmi'iits compris sur une transversale quelconque B d entre ces quatre droites seront aussi proportionnels, de manière qu'on aura '" 6JÎ' £&

Cela tient à ce que la proportion supposée entraîne la proportionnalité des sinus des angles BA6, 6AD, BAd, DAd, d'où peut se déduire inversement la proportion

En elfet, les triangles 6AB 'et dAB donnent respectivement

6B sin BA6

AB = sin A6B

et

dB sin BAd

il ~ sin AdB'

et de même les triangles 6AD et dAD donnent

6D sin iAJj)

ÏD = sin A6B

et

dD sin DAd

ÂT> Œ sin AdB'

Ce théorème V s'étend sans peine k quatre plans passant par une même droite et tels qu'ils partagent une même transversale en parties proportionnelles; les segments qu'ils' déterminent sur toute autre transversale sont aussi proportionnels.

Théorème VI. Si l'on coupe un quadrilatère simple par une transversale, la portion de Cftie transversale comprise entre les diux. diagonules sera coupée fn segments proportionnels par lesdeux droites menées du point d'intersection de ces deux diagonales aux deux points de concours des côtés opposés du quadrilatère. Ainsi, so.ent AliCD un quadrilatère simple, dont les diagonales se coupent en K; FK et GK les droites qui joignent 1»

TRAN

point K aux points de concours F et G des côtés opposés, et mpnq une transversale quelconque; il faut démontrer que mn est divisée en parties proportionnelles par les points p et q, c'est-à-dire que

TRAN

En effet, d'après le théorème IV, la diagonale AB du quadrilatère GAKBG est divisée, aux

fioints F et o,en parties proportionnelles par as deux autres diagonales DC et GH du même quadrilatère, c'est-à-dire que

FB oB

FA~oA' .

Fig. 6.

alors les quatre droites KF, KB, Ko et KA forment un faisceau rentrant dans les conditions du théorème V; les parties qu'elles déterminent sur la transversale mpnq sont donc aussi proportionnelles.

Théorème VIL Si l'on mène à travers le système de deux droites tant de transversales que l'on voudra, issue3 d'un même point, les points de concours des diagonales des uadrilatères formés des deux droites et de eux transversales quelconques seront sur une seule ec même droite. Ce théorème s'étend aisément à deux plans coupés par des transversales, issues d'un même point pris en dehors d'eux. Le lieu des points.de concours des diagonales des quadrilatères compris entre deux transversales quelconques et les intersections des deux plans donnés avec le plan de ces deux transversales est un plan passant par l'intersection des deux plans donnés. Ce théorème VII et son analogue dans l'espace ne sont que des cas particuliers de théorèmes bien connus relatifs aux polaires et aux plans polaires des courbes et des surfaces du second ordre.

Telles sont les principales propositions qui composent la théorie élémentaire des transversales; nous allons maintenant suivre Carnot dans les spéculations plus élevées qu'il a ajoutées à cette théorie et qui sont développées dans sa Géométrie de position.

Après avoir établi le théorème de Newton, que le rapport des produits des segments interceptés par une courbe géométrique sur deux droites de directions fixes, à partir de leur point de rencontre, est indépendant de la position de ce point de rencontre, proposition qui, comme nous l'avons déjà dit, résulte immédiatement de ce que le produit des racines d'une équation algébrique est le quotient de son dernier terme par le coefficient du premier, Caniot étend d'abord le même théorème à une surface géométrique quelconque, puis il en déduit le théorème qui lui est propre et qui porte son nom. Voici ce théorème.

— Théorème de Carnot. Si l'on imagine dans le plau d'une courbe géométrique un triangle quelconque ABC, et que l'on forme les six produits des segments interceptés par la courue sur les droites AB et AC à partir du point A, BC et BA à partir du point B, CA et CB à partir du point C, ces produits, désignés respectivement par (AB), (aC), (BC), (BA), (CA), (CB), satisferont à la condition