I-t-i I * -3P— ta t-6 + ') P l r' "*" r" r r'" ~ S ~~ S~r

d'ailleurs

rrVV" =

p{p—a){p — b)(p—c) Le triangle rectangle jouit de propriétés remarquables, dont la principale est que le carré construit sur l'hypoténuse est équivalent en surface à la somme des carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit. Ces deux derniers carrés' sont entre eux comme les segments déterminés sur l'hypoténuse par la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit; chacun d'eux est équivalent au rectangle qui aurait pour dimensions l'hypoténuse entière et le segment adjacent au côté considéré ; ce dernier énoncé équivaut à dire que dans un triangle rectangle chaque côté de l'angle droit est moyen proportionnel entre l'hypoténuse et la segment adjacent.

Dans un triangle quelconque, le carré d'un côté opposé h un angle aigu ou obtus est égal à la somme des carrés des deux autres moins ou plus le double du reetangle qui aurait pour dimensions l'un de ces autres côtés et la projection du second- sur le premier.

Dans un triangle quelconque, la somme des carrés de deux côtés est égale à deux fois le carré de la médiane correspondante plus deux fois le carré de la moitié du troisième côté. V. MÉDIAN.

La bissectrice d'un angle d'un triangle divise le côtéopposé en parties proportionnelles aux côtés adjacents. V. bisshcthick.

Une parallèle àla base d'un triangle divise les côtés en parties proportionnelles et sépare un autre triangle semblable au proposé.

Deux triangles ainsi formés l'un par rapport à l'autre sont équiangles et ont les côtés proportionnels ; mais pour qu'on puisse dire que deux triangles sont semblables , il suffit que l'on sache qu'ils sont équiangles ou qu'ils ont un angle égal compris entre côtés proportionnels. Cela tient à ce qu'un triangle est déterminé par trois conditions.

Deux triangles qui ont un angle égal sont entre eux comme les rectangles des côtés qui comprennent l'angle égal, et par conséquent deux triangles semblables sont entre eux comme les carrés des côtés homologues.

Le triangle équilatéral est le polygone régulier de trois côtés. Le côté du triangle équilatéral est au rayon du cercle circonscrit comme y3 est k l.

— Des triangles imaginaires définis par des données réelles. La manière la plus générale de délinir un triangle quelconque , réel ou imaginaire, est de donner les coordonnées de ses trois sommets, l&'.y'], [x'',y"], {x'",y">] désignant les coordonnées des trois sommets d'un triangle rapporté a des axes quelconques, faisant entre eux un angle 8, les mesures des côtés de ce triangle seront, par définition :

et

t/(x' — œ'')' + {y' — y")' + 2(X' — x")(y' — y") cos t , VV — *"'j' + <y — y'")' + 2(x' - x"'Hy' - y'") cos*,

VV' — *'")* + bt" — y'")1 + *(*" - x'")(y" - y'") cos »

TRIA

Les angles de ce triangle pourront être fournis, par exemple, par les formules

a1 = b' -\- c' — ibc cos A,

A" = a1--!- c1 — 2ac cos B,

c1 = a* + b' — 2ab cos C,

qu'on pourrait remplacer, en tout ou en partie et à volonté, par

a ' * e sin A sin B sin C et

ou tcmtesautres formules qui s'en déduiraient. La surface sera

TRTA

un côté -et les deux angles adjacents, soit deux cdtés et l'angle compris, ne peuvent pas fournir de valeurs imaginaires pour les autres éléments du triangle. Supposons que l'on ait donné deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux ; soient CAD l'angle donné, AC = b celui des côtés donnés qui doit être adjacent à l'angle A, CD la perpendiculaire abaissée

Vp (P — «J (P — b)(p — c); et de même tous les éléments constitutifs du triangle, tels que hauteurs, bissectrices, .médianes, etc., seront fournis par les mêmes équations qui les donneraient dans un triangle réel.

La théorie des triangles imaginaires ne saurait donc consister dans la détermination des éléments inconnus d'un triangle suffisamment défini, ou dans la résolution analytique de ce triangle, puisqu'elle se bornerait dès lors à la répétition de calculs déjà faits dans l'hypothèse des triangles réels ; elle aura pour objet de donner à chacune des équations qui devraient entrer dans le calcul un sens précis et intelligible , qui fournisse l'expression de la condition graphique correspondante, à laquelle devraient satisfaire les inconnues, de manière qu'il suffise ensuite de rapprocher les trois conditions propres à chaque groupe de données pour en déduire la règle à suivre dans la construction effective du triangle inconnu.

Mais cette question supposant la démonstration préalable de l'identité permanente du triangle fit de ses. éléments, il faut commencer par établir cette identité. Or, en premier lieu, si les axes viennent à changer d'une manière quelconque, les coordonnées nouvelles des trois sommets du triangle, tirées des formules vulgaires de transformation , fourniront toujours les trois mêmes pointa du pian, ce qui suffit pour établir l'identité graphique du triangle même imaginaire. D'un autre côté, aucune transformation de coordonnées ne pourra jamais altérer les expressions algébriques ni des côtés, ni des angles, ni de la surface, ni de tous autres éléments du triangle, quelles que soient les données qui le déterminent. En effet, l'identité dé la chose, qui va de soi quand cette chose est réelle, entraîne nécessairement l'identité analytique de la formule qui la représente, dans un mode quelconque, et il suffit de sa-, voir que cette identité analytique subsiste pour toutes les valeurs réelles de3 variables contenues dans la formule, pour pouvoir affirmer qu'elle ne serait pas troublée par l'attribution à ces variables de valeurs imaginaires.

Les deux premiers cas, où l'on donne soit

xC ' s i

de C sur AB, enfin CE = a celui des côtés donnés qui doit être opposé à l'angle A, ce côté étant moindre que la perpendiculaire CD; le triangle sera impossible. Les formules a1 = 6' -j- c* — 2bc cos A .

et

sin C sin A

donnent

et

sin

c — b cos A ± /a* — b' sin" A

C = - sin A cos A ± sin A V / 1 ; sin* A ;

sin C étant composé d'une partie réelle et d'une partie imaginaire, il en sera de même de C. Nous commencerons par déterminer la partie réelle de C. Pour cela, nous retrancherons de cet angle un angle réel a tel que sin (0 — <j) n'ait plus de partie réelle :

sin (C — o) = sin C cos ? — cos C sin ?; on a déjà sin C ; quant à cos C, on peut l'exprimer par la formule

cos C = r j

Sab

qui, en remplaçant c par sa valeur, donne

cos C = - sin1 A ± cos A V/ 1 ; sin' A.

En substituant les valeurs de sin C et de cas C,

on trouve

sin (C — «) = - sin A cos A cos <p sin' A sin <p

± /ï (sin A cos <p + cos A sin <f) Kf — sin* A — I ;

la condition qui détermine <f est donc

- sin A (cos A cos <? — sin A sin o) = 0 , a

qui donne

Ainsi, la partie réelle de C est

- — A ou ACD:

quant à sa partie imaginaire, que nous désignerons par

elle sera donnée par l'équation

sin 4» V — 1 = sin(C — <?)

= ±/^y/£sin-A-l. .

L'interprétation de ces résultats est facile à former : la circonférence décrite du point C comme centre, avec a pour rayon, ne coupant pas la droite AB, elle a été suppléée par celle des hyperboles équilatères, de même centre et de même rayon, qui pouvait couper AB en deux points symétriquement placés par rapport à l), c'est-à-dire par l'hyperbole ayant son sommet en E ; de telle sorte que, cette hyperbole coupant AB en B et B , le troisième sommet du triangle est B ou B', le troisième côté est

AD±DB(/^i,

l'angle C est