Théorème de Cuimnnn p
I (Applications de la statique
MOUVEMENTS d'uN POINT LIÉ A UNE RETOMBÉE SUPPOSÉE LIBRE
Déplacement
de J (X.Y) 80U9 une I force 1
suivant I JY'
I ■ ^ (X — ï) />(, if = (X — {)distaDce dera (antipàle, centre de rota-
tion) à ia direction JY' du déplacement Xp If. moment statique des f par rapport à P, lequel est la rotation autour de Ts.
= tf (sommu des poids élastiques) X p^ (distance  P du centre de gravité des f) X (X — J) distance à la direction JY' de l'an li pôle ro.
= Moment centrifuge des f par rapport à P et JY'
~= — (Y — b)p^ j f = — (Y — ») distance de ^ (an tipAle, centre de rotation) à la direction JX' du déplacement xp^ff moment statique deSf par rapport à P, lequel est la rotation autour ^ des.
= i f (somme des poids élastiques) Xp^ (dislance à P du centre de gravité des f) X (Y — q) dislance à la direction JX' de l'anlipâle ts.
\ \ = Moment centrifuge des f par rapport à P et JX'.
Ainsi une force P produit sur l'extrémité libre B et sur tout point J qui lui est invariablement lié, une rotation Pp^ f f autour de son antip61e par rapport à l'ellip&e centrale des
poids élastiques f,, f, entre l'appui fixe et P ( Kp de f,). Appelons-la l'ellipse « élastique » * de
cette partie d'arc.
L'ellipse centrale & (Q de toutes les masses f jusqu'à l'appui de droite est l'ellipse V élastique o' de l'arc: son centre (^ est le centre élastique; c'est le centre de gravité des s f concentrées aux centres des ellipses des tranches.
- Cuimann a, le premier, indiqué cette ellipse* : il t'appelait • ellipse centrale des-^:T- >.Son8ucce»>
a fort développé l'application", soub le nom d'ellipse d'élasticité. autre ellipse, on peut appeler celle-ci • ellipse élastique ■. •■ cette ellipse, mais A l'aide de théorèmes qui ne sont pas couramment ïnseignés dans nos cours. Sur ce sujet, on lira très utilement : de Rilter, ui*-appendice à la 3" Partie de les « Applications de la Statique graphique •'" \ de M. le Professeur Guidi : • l'Ellisse di Elaalîcîlû nella .cienia délie costruiioni . Turin 190*.
J'ai suivi une méthode moins élégante, qui ne suppose que des connaissances élémentaires usuelles. * Cuimann « Die graphieche Statik • — p. 122 renvoi 3 — Traduction française p. 530. •* Ritler « Anioendungen der graphiscken Statik naeh Profesêor Cuimann. (2" Partie p. 117, 169 Zurich, 890 "-3' Partie p. 259 Zurich. i900 — 4* Partie p. 197 Zurich, 1906).
s COMMENT ON CALCULE UNE VOÛTE
Le8 roletioDs Pp,f, , Pp,?, , - ■ ■ - s'effectuent autour de t'antipôle de P par rapport aux
s des tranches T, T,, (f,) Elles se composent comme des forces parallèles' en une
rotation résultante autour de cr anlipôle de P par rapport à l'ellipse élastique de l'ensemble des
tranches à gauche de P, antipôle qui est ainsi le centre de gravité des rotations Pp,f, , Pp,f,
appliquées aux antipéles de P par rapport aux ellipses de chaque tranche.
Art. 3. — Pour le Considérons le centre élastique <^, de l'arc entier comme invariablement lié à l'appui
oentre élastique de libre B (f,) ; prenons-le comme origine des coordonnées et calculons ses déplacomenis. Les formules de l'art. 1, avec X =
tW
= 0, deviennent :
= p If moment statique des ip par rapport à P.
Dépla-
Suivant a>Y
cements
du
centre
élastique
sous une
Suivant (0%
force 1
"Pg^?
' = Moment statique des f par rapport à Px distance à gY. direction du déplacement, de l'an-
I tipùle sr de P par rapporta l'ellipse E^.
F ^ Moment centrifuge des f par rapport é P et à§Y.
' := Moment statique des y par rapporta Px distance , à gX de l'antipôle sr de P
I = Moment centrifuge des f par rapport à P et à§X.
<u, autour lie O, — qui l'amène en A, As A, = O, As x », u, autour de O, — qui l'aniene en A, A, A, = O, A, x «, Prenons, pour axe des ■>:. O, 0„ pour axe dea y, la perpendiculaire à O, 0( passant par Ag ij X îx^ - A„ A, cos s = 0, A» ces a x ■, - ^. m,
Sy« ~ A, A, sin > = O, A. sin » x «, = X, ,«,
ta., = A. A. C09 ^ = O. A, cos ^ x «. - y .. = <ij. + iy,) .. - y.o., ^ „^ ,, j . ^^
iy.^A. A. sin ,3 = 0, A, sin fi x u, = (X.-ÔJp) u, = X,«,i » « • >"• •
lJ!o - ir. + ix, = y. («, + ^,)
itfo = ôy» + iyi - X, u, + X, «,
Appliquons e rapport à 0) :
c pointa 0„ O, des poids
. Soit O, leur c
e de gravité. On a, (moment par
X, (»>, + ^)= X,», + X,»,, a tourner A» de », + «, autour de 0, — Les coordonnées du déplacement s< 4'a\, = y„ (w, + w,) = iic, n'y, = X, (.., + «,) - X,», + X,--, - ay.
tte rotation, As vient directement en A,.
