ET EXTRACTIONS DES RACINES QUARRÉES ET CUBIQUES

On appelle en général puissance d’une quantité, cette quantité multipliée un certain nombre de fois par ellemême.

Ainsi la puissance deuxième ou le quarré d’un nombre, indique ce nombre multiplié une fois par lui-même ; comme 8 x 8 = 6i. , et 64 est le quarré ou la deuxième puissance de 8.

La puissance troisième ou simplement le cube d’une quantité, désigne qu’elle est 3 fois facteur. Comme 8x8x8 = 512; et 512 est le cube de 8.

On appelle en général racine d’un nombre, une quantité qui, prise un certain nombre de fois comme facteur, reproduit ce nombre.

Ainsi la racine quarrée ou deuxième d’un nombre indique une quantité qui , multipliée une fois par ellemême, reproduit ce nombre.

Le degré ou l’indice de la puissance est marqué par un chiffre placé à droite et un peu au-des3us du dernier chiffre.

Comme 3* qui indique que 3 doit être multiplié par 3, dont le produit donne 9.

De même 3 5 indique que 3 doit être multiplié 5 fois ou élevé à sa cinquième puissance pour, après multiplication, produire 243.

La racine se désigne par le signe V , et son degré est marqué par un chiffre que l’on place dans l’ouverture de ce Y déformé.

Comme 1/64 qui désigne racine deuxième ou quarrée de 64.

Cette racine est 8; car 8 x 8 = 64, et la racine multipliée par elle-même reproduit son quarré.

La racine cubique ou troisième d’un nombre est une quantité qui, multipliée deux fois par elle-même ou par son quarré, reproduit ce nombre.

Exemple : 1/ 512=8 et 8x8x8=512 ou 64x8=512.

Extraction des racines guarrées des nombres entiers.

liègle . — Pour extraire la racine quarrée de tout nombre entier, il faut le diviser en tranches de deux chiffres, en commençant par la droite ; la dernière tranche à gauche peut ainsi n’avoir qu’un seul chiffre.

On cherche le plus grand quarré contenu dans la dernière tranche de gauche, quarré qui, étant au-dessous de 100, ne peut donner qu’un seul chiffre à sa racine, comme l’indique le tableau suivant :

Nombres ou racines. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

quarrés correspondants. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Or, les quarrés de 1 ou 2 chiffres ne donnent, d’après ce tableau, qu’un seul chiffre à la racine.

On pose la racine trouvée à la place du diviseur, on élève cette racine au quarré, et on soustrait ce dernier de la dernière tranche de gauche qui l’a formé. Si cette tranche n’est pas un quarré parfait, on place au-dessous le reste, et on abaisse à sa droite la tranche suivante; on sépare par un point le dernier chiffre à droite de ce dividende partiel , et on divise la partie à gauche par le double de la racine trouvée précédemment; on obtient alors le deuxième chiffre de la racine, que l’on pose à la fois à la droite du premier et à la droite du double de la racine qui se place successivement au-dessous de la racine. Le produit qui résulte de ce nouveau chiffre de la racine, parle double de la racine, se soustrait du dividende partiel qui l’a formé, et s’il y a un reste , on

abaisse à sa droite la tranche suivante du nombre primitif, et on continue l’opération de la même manière, jusqu’à ce que toutes les tranches aient été successivement abaissées.

Opérons sur un exemple : Soit à extraire la racine

quarrée du nombre entier 67081.

1/6.70.81 [259racine trouvée, quarré contenu dans 6=4 45 double de la racine 2. r

1" reste 27.0 509 double de la racine25.

2* reste 458.1

3* reste 000

Après avoir divisé ce nombre en tranches de 2 chiffres à partir de la droite, on cherche le plus grand carré contenu dans 6 ; ce quarré est 4 et sa racine est 2, le carré 4 se place au-dessous de 6, et la racine 2 se pose à la place du diviseur. On retranche 4 de 6, on pose au-dessous le reste 2 , et on abaisse à sa droite la tranche suivante 70 ,' dont on sépare le dernier chiffre à droite 0 par un point. Puis on double la racine 2, et on pose cette racine doublée ou 4 à la place du quotient ; on divise alors le premier dividende partiel 27 par 4 , et le nouveau chiffre 5 de la racine se place en même temps à la droite du premier chiffre de la racine 2, et à la droite du double de la racine représenté par le chiffre 4. On multiplie ensuite le nombre 45 par 5 , on retranche ce produit du dividende partiel 270, et on place au-dessous le reste qui est 45, on abaisse à la droite de ce reste la dernière tranche 81, dont on sépare par un point le dernier chiffre à

droite 1 ; on double toute la racine 25, on pose 50 audessous du premier quotient, et on divise 458 par 50, le nouveau chiffre 9 se place à la droite du dernier chiffre de la racine et du nombre 50, et le produit de 9 par 509 se retranche du deuxième dividende partiel 4581. et ainsi de suite.

Pour vérifier si la racine trouvée 259 est exacte , on la multiplie par elle-même , et elle doit , s’il n’y a pas de reste, reproduire le nombre 67081. S’il y avait un reste, on devrait l’ajouter au quarré de la racine pour retrouver le nombre donné.

On reconnaît qu’un chiffre porté à la racine est bien, toutes les fois que le reste est moindre que le double de la racine plus 1; • : ■ ’

Mais un chiffre porté à la racine est trop faible, quand le reste surpasse le double de la racine plus 1.

Extraction de la racine quarrèe des nombres décimaux.

Pour extraire la racine quarrée d’un nombre décimal, il faut, avant d’effectuer l’opération, rendre pair le nombre de décimales, s’il ne l’était pas ; ce que l’on fait en ajoutant ou retranchant un zéro à la droite de la partie décimale, ce qui ne change rien à sa valeur, puis on partage le nombre décimal entranches de deux chiffres, en commençant par la droite comme pour les nombres entiers ; la dernière tranche à gauche de la partie entière peut n’avoir qu’un seul chiffre. On opère alors l’extraction sans s’occuper de la virgule que l’on restitue à la racine après l’opération.

Exemple : Soit à extraire la racine quarrée du nombre' décimal 5677,62250.

La racine est 75.35.

D’après cette règle, on peut toujours obtenir l’extraction de la racine quarrée d’un nombre qui n’est pas un quarré parfait, à une approximation décimale près, c’està-dire, à 1/10, 1/100 ou 1/1000 près; il suffît d’ajouter à la droite du nombre entier autant de fois deux zéros que l’on veut obtenir de chiffres décimaux à la racine , et si c’est un nombre décimal, il faut compléter les déci- . males de manière à avoir autant de tranches que l’on veut obtenir de chiffres décimaux à la racine.

1 er exemple : Quelle est la racine quarrée du nombre entier 67 à 1/000 près.

|/67 à 1/000 près = J/ 67.00.00.00 = 8,185.

2 e exemple : Quelle est la racine quarrée de la fraction décimale 0,755 à un dix-millième près.

I/O, 755 à 1/10000 près = V^0. 75 . 50.00, 00 = 0,8689.

Extraction de la racine quarrée des fractions ordinaires. Pour extraire la racine quarrée d’une fraction ordinaire, on la réduit en fraction décimale, en divisant le numérateur par le dénominateur, puis on obtient au quotient autant de fois deux décimales que l’on veut avoir de chiffres à la racine.

Exemple : Quelle est la racine quarrée de la fraction 5/6 à 1/100 près. i ‘ :

jp= 0,8333 et V 0,8333 = 0,91 , racine quarrée de 5/6 à 1/100 près. *'

Extraction des racines cubiques.

Extraction de la racine cubique d’un nombre entier. Règle: On divise d'abord ce nombre en tranches de trois chiffres en commençant par la droite ; la dernière tranche à gauche peut avoir trois , deux ou un seul chiffre ; on cherche le plus grand cube contenu dans la tranche de gauche; on en extrait la racine cubique qui ne peut être que d’un seul chiffre, comme l’indique le tableau suivant :

Nombres ou racines cubiques 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

On porte le chiffre de la racine à la place du diviseur, on cube cette racine , et on soustrait ce cube de la dernière tranche à gauche qui l’a formé. S’il y a un reste, on le pose au-dessous, et on abaisse à sa droite la tranche suivante , dont on sépare les deux derniers chiffres à droite par un point. On divise la partie à gauche de ce point par le triple quarré de la racine, ce qui donne le 2* chiffre de la racine ; puis on cube la racine et on soustrait ce cube des deux tranches de gauche du nombre primitif, et, s’il y a un reste, on le place au-dessous du premier dividende partiel, à la droite duquel on abaisse

la 3 e tranche du nombre donné, dont on sépare par un point les deux derniers chiffres à droite. On divise la partie à gauche du point, par le triple quarré de la racine obtenue, ce qui donne le 3« chiffre de la racine, et on continue comme pour le chiffre précédent , jusqu’à ce qu’on ait successivement épuisé toutes les tranches du nombre donné.

Suivons cette règle sur un exemple : Soit à extraire la racine cubique du nombre entier 3.723.875.

Cube renfermé dans 3 = 1 3 triple quarré de 1

1 er reste = 27.23 675 triplequarré de 15

Cube de 15 = 3375

2 e reste. . . 3i88.75 Cube de 155 = 3723875

3 e reste 0.000.000 *■ » '

Opération : Après avoir divisé ce nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite, on cherche le plus grand cube contenu dans la dernière tranche de gauche représentée par le nombre ou chiffre 3, ce cube est 1 , sa racine est aussi 1 ; on pose 1 à la place du diviseur, et on retranche le cube 1 de 3, ce qui donne pour reste 2, que l’on pose au-dessous, et à côté de ce reste on abaisse la tranche 723 dont on sépare les deux derniers chiffres à droite par un point. On forme le triple quarré de la racine 1, on obtient 3, et l’on divise le 1 er reste 27 par ce triple quarré 3 ; le chiffre que l’on trouve pour quotient ou 5 se place à la droite du 1” chiffre de la racine. On cube alors toute la racine 15, on retranche ce cube ou

3375 des deux tranches de gauche du nombre donné ou de 3723 ; le reste 34-8 se place au-dessous de 3375, et à côté on abaisse la tranche suivante 875 dont on sépare les deux derniers chiffres de droite par un point ; on forme le triple quarré de la racine 15, ce qui donne 675 et on divise lapartie 3488, du deuxième reste parce triple quarré, ce qui donne le troisième chiffre 5 de la racine. On forme alors le cube de 155, on le retranche du nombre donné, et si le reste est 0, la racine trouvée 155 provient d’un cube parfait ; mais, s’il y a un reste , on doit l’ajouter au cube de la racine pour reproduire le nombre proposé.

On reconnaît qu’un chiffre porté à la racine est trop fort quand le cube de la racine ne peut se soustraire des tranches correspondantes dans le nombre donné. Mais le chiffre est trop faible, lorsque le reste de la soustraction n’est pas moindre que le triple quarré de cette ra~ cine augmenté du triple de cette racine plus 1.

Extraction de la racine cubique d'un nombre décimal à une unité décimale près, c’est-à-dire, à 1/10, 1/100, 1/1000 près, etc. Règle: Il faut disposer les décimales de manière à ce que le nombre contienne le triple des décimales demandées : cela fait, on partage le nombre en tranches de trois chiffres en commençant par la droite, sans s’inquiéter de la virgule que l’on restitue ensuite à la racine, puis on opère comme pour les nombres entiers.

1" exemple : Quelle est la racine cubique du nombre décimal 12,5 à 1/100 près.

2 e exemple : Quelle est la racine cubique de la décimale 0,45 à 1/1000 près.

V' 0,45 à 1/1000 près = ^450.000.000 = 0,768.

Extraction de la racine cubique d’une fraction ordinaire. Règle : Pour extraire la racine cubique d’une fraction ordinaire, on la réduit en fraction décimale.

Exemple : Extraire la racine cubique de - — à 1/100

près.

=0,506756 et K 0,506.756 = 0,79.

TABLE B des nombres , de leurs quarrés et racines quarrées, des cubes et racines cubiques , ainsi que des circonférences et surfaces de cercle des mêmes nombres considérés comme diamètres.

te <3

Quarrés.

Racines quarrées.

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