PROPORTIONS GÉOMÉTRIQUES

Lorsque l’on compare deux quantités pour connaître combien de fois l’une contient l’autre ou y est contenue, le quotient de la division s’appelle le rapport géométrique des deux quantités.

Ainsi le rapport géométrique de 15 à 5 est 3. Par suite de cette comparaison, la première quantité ou ISs’appelle antécédent , la deuxième quantité ou 5 prend le nom de conséquent, et toutes deux sont dites les termes du rapport.

Les deux quantités dont on cherche le rapport géométrique se séparent par deux points et l’on écrit 15 : 5.

Les termes d’un rapport peuvent être multipliés ou divisés par une môme quantité sans que la valeur soit changée.

En effet, si on multiplie par 2 les termes 12:4 dont le rapport est 3, les nouveaux termes 24; 8 auront encore pour rapport 5. Ces mômes termes 12:4, étantdivisés par 4, deviennent 3:1 dont le rapport est aussi 3.

On appelle proportion géométrique la réunion de quatre quantités dont le rapport des deux premières égale celui des deux dernières.

Les quantités 12,4, 21 ,7 forment une proportion géométrique parce que le rapport de 12 à 4 est 3 , et que celui de 21 à 7 est aussi 3.

Pour marquer l’indice de la proportion, on sépare ces quatre quantités ainsi, 12:4: :21 :7, et l’on énonce 12 est à 4, comme 21 est à 7.

Le premier et le quatrième terme de la proportion ou 12 et 7 se nomment les extrêmes, et le deuxième et troisième ou 4 et 21 s’appellent les moyens.

Le principe d’une proportion géométrique est que le produit des extrêmes est toujours égal au produit des moyens; il suit de cette propriété que l’on peut toujours déterminer un terme quelconque inconnu d’une proportion quand on connaît les trois autres.

l°Si c’est un terme extrême que l’on cherche, on multiplie ensemble les moyens, et le quotient de ce produit, divisé par le terme extrême connu , exprime l’extrême inconnu.

Exemple : Quel est le terme extrême inconnu de la proportion 20 : 5 : : 32 : x.

x = — ^ = 8 terme extrême inconnu.

Zv

2° Si c’est un terme moyen qui est inconnu, on multiplie ensemble les extrêmes , puis on divise ce produit par le moyen connu pour avoir celui que l’on cherche.

Exemple : Quel est le terme moyen de la proportion 20:5: :*:8.

— Quand quatre quantités forment une proportion géométrique, leurs puissances et leurs racines semblables sont aussi en proportion.

Soit la proportion 4:16: '.25:100 dans laquelle 4x 100 =16x25. Les quarrés de ces termes ou 16:256'. :625:

10000 sont aussi en proportion, car 16x 10000 =256 x

De môme , les racines quarrées de ces termes ou 2 : 4 : 5 10 §ontaussi en proportion, en effet2 x 10=4 x5.

— Deux proportions multipliées l’une par l’autre, terme à terme , donnent quatre produits qui forment aussi proportion.

Règles de trois. Les règles de trois ont pour objet de déterminer un terme quelconque d’une proportion dont on en connaît trois.

On distingue les règles de trois simples et les règles de trois composées.

La règle de trois simple se subdivise aussi en deux parties; la règle de trois simple dite directe , et la règle de trois simple dite indirecte ou inverse.

Dans la règle de trois simple directe, la relation de la première quantité à la deuxième est dans le rapport proportionnel de la troisième à la quatrième, c’est-à-direque si la première contrent ou est contenue deux fois dans la deuxième, de même la troisième contient ou est contenue deux fois dans la quatrième. Ainsi une quantité et sa relative peuvent toujours être toutes deux ou antécédents ou conséquents, ce qui ne peut avoir lieu dans la règle de trois simple inverse. C’est la nature du problème à résoudre qui détermine si la règle est directe ou inverse.

Premier exemple: 15 hommes produisent sur un balancier un effort de 1000 kil. , combien faudrait-il employer d’hommes , dans les mômes circonstances , pour produire un effort de 3000 kilogrammes ?

On reconnaît d’après cet énoncé que le nombre d’hommes doit augmenter à proportion de la charge , c’est-à-dire que si la charge double» triple ou quadruple, le nombre d’hommes doit aussi doubler, tripler, quadrupler, etc. La règle de trois est alors directe, et on écrit :

QAAA VI e *

1000 : 3000 : : 15 : x , d'où X = — — = 45 hommes.

1 uuu

Deuxième exemple : Une roue animée d’une vitesse de 50 tours par minute, parcourt un espace de 150 mètres, quel sera l’espace parcouru par une roue de même grandeur, douée d’une vitesse de 80 révolutions ?

QA v/ \ CIA