PAE P. M. N. BENOÎT , INGÉNIEUR CIVIL

Notes sur les principes Elémentaires be la mécanique.

i. Toute cause qui a pour résultat soit le changement de place, soit l'altération de forme, soit la .pression , soit enfin la traction d’une portion quelconque de îtiatière , isolée ou adhérente à un corps est désignée sous le nom de force ou puissance, quelle qu’en soit la nature intime , qui d’ailleurs nous est inconnue.. ‘ „

Le premier des effets signalés ci-dessus , pour la manifestation de l’action dés forces , est celui que Ton a coutume de considérer sous le nom de mouvement, quand on veut comparer ces forces entr’ellcs , ou en mesurer Y intensité^ d’abord parce qu’il est indépendant de la nature particulière de la matière que ces forces sollicitent , et parce que d’ailleurs les autres effets ne sont produits que lorsqu’un obstacle résiste au développement du mouvement.

a. On est convenu d’appeler vitesse le rapport delà longaeur du chemin qu’un corps parcourt pour aller d’un endroit de l’espace dans un autre , au temps employé pour le parcourir. L’expression numérique de cette vitesse dépend donc du choix de deux unités de mesure , savoir : l’unité linéaire et

l’unité de temps. On prend pour celle-ci la seconde sexagésimale et le mètre pour la première ; de sorte que la vitesse se trouve ainsi exprimée par un nombre abstrait.

3. Un corps qui n’est soumis à l’action d’aucune force est dit en repos ; il serait également en repos ou mieux eu équilibre , lorsque toutes les fftrçes qui pourraient le-solliciter auraient pour résultat de s’entre-détruire.

4- L’observation prouve qu’il est impossible à un corps inanimé ou inerte, en repos, de sortir par lui -même (le cet état, c’est là une des propriétés de ’falnerÿe de la matière.

5. On ne peut imaginer que deux.espèces différentes de forces, savoir: celles qui n’agissent qu’un seul instant sur les corps et que l’on peut npmmer pour cette raison forces instantanées; et celles dont l’action agit sur les corps sans interruption , et qui pourraient être appelées forces motrices continues. Parmi celles-ci on doit en distinguer de deux sortes, savoir : les forces dont l’intensité est toujours la même , et celles dont l’intensité varie à chaque instant. Ces dernières forces ont été surnommées accélératrices constantes et accélératrices variables , en tant qu’elles, ont pour effet l'augmentation de la vitesse des cotps ; car , si ces forces diminuent au contraire cette vitesse , on les appelle retardatrices constantes et variables.

Si ces forces, sans troubler l’équilibre des corps, ne tendent qu’à les mettre en mouvement, elles prennent le nom de pressions. m •

On les nomme simplement forces motrices , lorsqu’elles agissent sur des corps dont la quantité de matière où la ntasse est quelconque; afin de réserver la désignation de forces accélératrices ou retardatrices pour la partie de ces forces qui agit sur r unité de masse des corps.

6. La nature nous offre des exemples de ces diverses forces ; on peut effectivement regarder, jusqu’à un certain point, comme forces instantanées celles dont les effets se manifestent avec tant de rapidité dans le choc ou rencontre mutuelle des corps durs en mouvement; puisque le temps nécessaire au

développement des effets du choc de ces corps n’a qu’une durée infiniment courte. ‘ *

Les forces instantanées, ou supposées telles , sont proportionnelles aux vitesses qu'elles peuvent imprimer à un même corps. La réalité de cetté loi , la plus simple de toutes celles qpe l’on pourrait imaginer pour exprimer l’interîsité de la force au moyen de la vitesse, est prouvée par l’ observa. lion des mouvemensdes corps terrestres. C’est un fait d’expérience que , si deux corps animes de vitesses égalesct uniformes,- se meuvent sur une même droite , .en faisant a(gir ^i|r l’un d’eux et dans la direction de leur mouvement, une force instantanée quelconque, le mouvement relatif des deux corps est le même que s’ils eussent été primitivement au repos. C’est-à-dire que l’espace total décrit par le corps qui a été sollicité par la seconde force est égal à la somme algébrique des espaces que chacune des deux forces lui aurait tait parcourir séparément dans le même temps ; ce qui ne saurait avoir lieu si les forces , agissant dans une mêmedirectiôn, ne se composaient pas simplement comme les vitesses.

Lès forces inslantanéès sont aussi proportionnelles aux quantités rie matière ou masses des corps qu 'elles peuvent animer ifun même degré de vitesse; cela est évident, car chaque molécule de matière doit épuiser la mêihe fraction de ces forces , pour acquérir un égal degré de vitesse.

7. 11 résulte de ce qui précède que, les forces instantanées sont en raison 'composée des masses des corps qu’elles sollicitent , multipliées par les vitesses développées. En effet , représentant par F et y les forces considérées, par M et m les masses respectives dç s corps qu’elles sollicitent et par V et v les vitesses imprimées à ces corps , il est facile dé concevoir une force ? capable de donner à la masse M une vitesse v et alôïs d’après ce qui précède on aura les deux proportions

F : v ~ V : v et » : f = M ; m

<(tii en les multipliant membre à membre fournissent de suite, en supprimant le facteur commun y,

F : f = MV-.mv

Les produits tels que me, d’une masse par une vitesse, ont reçu le nom de quantités de mouvement ; et l’on dit en conséquence que, les forces instantanées sont proportionnelles aux quantités de mouvement qu’elles peuvent développer.

8. L’observation des mouvemens des corps indique également cette seconde propriété de Y inertie de la matière, savoir, que quand un corps a été mis en mouvement par une force instantanée, il persévère à se mouvoir indéfiniment en ligne droite dans la direction de l’impulsion primitive, sans qu’il puisse par lui-même modifier en aucune manière le mouvement dont il a été •animé ; celte modification ne peut être opérée que par l’action d’une force étrangère,

La composition et la perpétuité des mouvemens des corps célestes- démontré sur une plus grande échelle la vérité de celte loi de l’inertie, aussi bien qucceHe delà proportionnalité de la force à la vitesse.

gi Quant aux forces dont Faction est continuelle, il n’existe aucun corps dans la nature qui ne soit sollicité sans cesse par une force de ce genre, la pesanteur ou gravitation universelle. L’observation des mouvemens des corps célestes prouvé dp la manière la plus complète que , la force attractive qui retient les planètes dans leur orbite autour du soleil et Jes satellites autour de leurs planètes , agit en proportion directe des masses de ces corps et en proportion inverse du carré de leur distance au centre d’attraction; la pesanteur universelle est donc une force accélératrice variable cri tarit qu’elle fait monvoir l’unité de masse.

Ln ne considérant l'action de la gravitation universelle que sur les corps terrestres, c’est-à-dire dans une très-petile étendue de l’espace, on lui donne le nom de gravité, et on regarde

son intensité comme n’éprouvant' pas dans cette limite, et dans le même endroit du globe, une variation sensible. La gravité présente en effet dans un même lieu tous les caractères d’une force motrice constante.

io. L’action- d’une force instantanée sur un corps, peut être considérée comme provenant de l’action d’une force motrice qui n’aurait agi sur ce corps que pendant un temps suffisant , après lequel elle l'aurait abandonné entièrement à lui-même.

Réciproquement on' peut considérer l’action d’une force motrice comme le résultat d’une succession d’actions de forces instantanées , séparées par des intervalles de temps d’une durée infiniment petite ; actions successives égales entre elles s’il s’agit d’une force accélératrice ou retardatrice constante, et inégales , s’il est question d’une force accélératrice ou retardatrice variable.

Ces manières de considérer les forces sont très-utiles, pour établir et simplifier les calculs de mécanique.

H. Lorsque durant des temps égaux un corps mobile parcourt des chemins ou espaces égaux, on dit que son mouvement est uniforme, parce que sa vitesse est alors toujours la même. Cette espèce de mouvement peut être le résultat immédiat soit de l’action d’une force instantanée, soit de l’abandon qu’une force motrice ferait d’un corps qu’elle aurait d’abord solliciCé. 11 pent aussi être produit médiatement par l’action d’une force motrice , dont l’effet accélérateur serait incessamment épuisé par une résistance étrangère que le corps éprouverait dans son mouvement; et telle est la manière dont se produisent les mouvemens uniformes. que nous offrent soit les arts, soit la nature. .•

L’équation du mouvement uniforme est V = c®ns,*Dte*

E désignant l’espace parepuru durant un temps T, et Fia vitesse correspondante.

i a. On arrive à la mesure des forces accélératrices constantes en considérant que, si l’unité de masse est soumiseàleur action

pendant un certain intervalle de temps, les vitesses qu'elle aura acquises à la fin de ce temps se composeront de la somme des vitesses élémentaires produites par la série non-interrompue de petites impulsions instantanées qu’on peut supposer avoir été reçues par cette masse pendantce temps. Ces vitesses finales, seront donc proportionnelles aux vitesses élémentaires , et par conséquent aux forces accélératrices constantes elles-mêmes, dont elles fournissent ainsi la mesure, en ne laissant agir celles-ci que pendant l’unité de temps.

Or on sait par expérience que la vitesse imprimée aux corps terrestres par la gravité est après une seconde d’action de cette force gm,8o88, de sorte qu’en désignant cette vitésse par g comme on est dans l’usage de le faire et en prenant la gravité pour unité de mesure des forces accélératrices, on aura

pour l’expression de l’intensité d’une force accélératrice constante F capable d’animer l’unité de masse d’une vitesse G, après wne seconde d’action.

En général , si V, V , représentent les vitesses acquises par deux masses M,M', soumises pendant des temps T,V, à l’action des forces motrices constantes F, F1, on aura

* • * •— ji »

c’est-à-dire que les forces motrices constantes sont en raison directe des quantités de mouvement qu'elles impriment, et en raison inverse des temps employés pour les communiquer.

i3. L’espèce de mouvement qu’une force motrice constante imprime à un corps soumis à sa seule influence est désignée sous le nom de mouvement uniformément accéléré; tel est celui des corps qui tombent dans le vide à la surface de la terre. Noos venons de voir que la vitesse acquise par un corps

soumis à une force motrice constante est proportionnelle à lu durée du temps écoulé depuis l’origine du mouvement ; c’est-à-dire que, si V et V représentent les vitesses acquises à la fin des temps T et V , on a V : V = T : T'.

On peut déduire de celte relation celle qui existe entre les espaces E,E', parcourus durant les temps T, T'. Il faut remar quer pour cela que , pendant une très-petite fraction t de ces temps , le mouvement du corps peut être considéré comme uniforme, de sorte que sic représente l’espace parcouru, ona, en

désignant par « la vitesse correspondante, o = - , d’où e — vt.

Si donc on imagine une droite divisée en petites portions égales entre elles et représentant les élémens du temps T , en menantpar tous les points de -division des lignes droites dont les longueurs représentent les vitesses qui animent le corps aux divers instans considérés , les extrémités de ces lignes seront situées sur une ligne droite , et l’on aura formé de cette manière un triangle rectangle divisé en petites bandes élémentaires qui , ayant chacune pour mesure le produit de 'l’élément de temps multiplié par la vitesse à l’iustant- correspondant, représenteront les élémens de l’espace que la force accélératrice constante fait décrire. Ainsi cet espace relatif au temps T aura pour expression la surface entière du triangle ; mais celle-ci est égale à la moilié du produit de sa base par sa hauteur , produit qui n’est que celui des temps par les vitesses

VT

finales, c’est-à-dire que E — — —

On a de même, à 'une autre époque du mouvement

E' == et par conséquent E : E' ~ VT : VT ;

mais VT =. VT dm eo combinant ces deux équations , il vient :

Ainsi., dans le mouvement uniformément accéléré , les espaces

décrits par le corps mobile, à partir de l’origine dumouvement, sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir , ou encore aux carrés des vitesses acquises à la fin de ces temps ^ i4. En désignant par e'1 l’espace parcouru pendant la première seconde de temps , et par e" la vitesse acquise à la fin de cette seconde , ou a

Fi" = d'T E = - VT et e" = - J'-

Ces trois équations renferment cinq quantités, et sont telles qu'il faut en connaître trois , pour §ù déduire par le calcul les valeurs des deux autres.

Si on connaît e", o" et T on a .

Si on donne e" , p" et V

Si enfin e'1 , p" et E sont connus

Si au lieu d’introduire p" on

voulait partir de é' ,

p, VT. i"