Histoire de l'arithmetique explication des traites de l'abacus, et particulierement du Traite de Gerbert

Explication des Traités de l Abacus , et particulièrement du Traité de Gerbert ;

Par M CHASLES.

N. jd

; Extrait des Comptes rendus des séances de l' Académie des Sciences , séances des a3 et 3o janvier, et 6 février ■ 843.)

Préliminaires historique ».

Un des documents les plus obscurs dans l'histoire des sciences et qui ont le plus occupé les érudits, est le fameux Traité de Gerbert sur les nombres , qu’on a coutume de désigner sous le titre De numerorum divisione , ou bien Rationes numemrutn abaci , ou simplement sous le nom à’ Abacus, terme qui signifiait alors Arithmétique. Cette pièce porte dans les manuscrits la suscription: Constantino suo Gerbertus scolasticus (l), parce quelle est adressée à Constantin, moine de l'abbaye de Fleury.

Guillaume de Malmesbury , chroniqueur du xtt“ siècle , fait mention de cet écrit. Il dit que Gerbert avait rapporté de chez les Sarrasins d’Espagne, entre antres connaissances merveilleuses, celle de l'Abacus : « Abacum certe primas a Saracenis rapiens , régulas dédit quts a sudantibus Abacistis vix intelliguntur (a) » ; puis il cite le Traité même adressé à Constantin. On a

(1) Plusieurs écrivains, notamment les auteurs de l'Histoire littéraire de la France (t. VI, p. 579 ), ont cru que ces divers titres appartenaient à des ouvrages différents que Gerbert aurait composes sur le même sujet. C’est une erreur.

( 2 ) tPîlliclmi monachi Malmcsburiensis, De Gestis regum Anglorwn lib. V (Pojr. 1. U, p. 64 et suiv.',.

conclu de là que Gerbert avait puisé scs connaissances arithmétiques chez les Arabes, et que c’était leur méthode de calcul qu’il avait enseignée sous le nom à'Abacus. Cette opinion acté admise généralement, et l'est encore aujourd’hui, bien qu’on ait voulu aussi, depuis un siècle, faire honneur à Fibonacci d’avoir, le premier, enseigné l'arithmétique arabe en l'an laoa , à son retour des côtes d’Afrique. Pour tout concilier, on suppose que les règles de Gerbert étaient tellement abstruses cl inintelligibles, quelles sont restées stériles et qu’il a fallu que Fibonacci réimportât de nouveau l’arithmétique arabe chez les Chrétiens, au commencement du Xlu“ f siècle (t). Guillaume de Malmesbury, en signalant lui-méine l'obscurité de ces règles, « q iuw a sudantibus Abacistis vix inlelliguntur », a paru favoriser cette interprétation.

Cependant , plusieurs érudits ont refusé d’admettre que le texte de Gerbert pût se rapporter à notre arithmétique (a); et l’on a fait diverses autres hypothèses. Ces uns y ont vu le calcul digital (3) ; d’autres la machine à * compter des Romains, appelée Abacus , et semblable au Siuin-pan des Chinois (4). Andrès, qui s’est beaucoup occupé de cette pièce, qui lui paraissait d'un puissant intérêt historique, y est revenu à plusieurs reprises dans son ffisloiie de toutes les Littératures , et a fini , après diverses autres conjectures, par émettre l'opinion qu elle pouvait rouler sur \ Algèbre (5).

Dans cet état d'incertitude et d’hypothèses si diverses, il est un point cependant sur lequel on s’est accordé. On a cru que cette pièce, écrite en termes inintelligibles , ou même, suivant quelques-uns, en termes mystérieux,

(*) « It wm probably owing to tliis obscurity of bis rules and manner of treating the Arabian, or rather Indian arithmetic, lhat it niade $o little progrès** bcelween lus Lime and that of the Pisan. » Colebrooke , Algcbra of Brahmegupta and Bhascara ; p. LUI.

(?.) Nortli , Observations on the introduction of arabir n unie rais into En gland. Voir Archaeologia , or Mi scella neo us tracts relating to antiquity, t. X, p. 367. — Peaeock; History of the Arithmetie. Voir Entyclopedia metropolitana ; daims of Pope Sylvester the second, p. 4 * 5 , ^ i£.

( 3 ) L'abbé Lebeuf dit « On voit (par le Traité de Gerbert) que les supputations se faisaient » alors par les doigts qu’on tenait tantôt droits, tantôt pliés, selon que les nombres étaient •» simples ou composas , et cette science passait pour avoir son mérite. » Recueil de divers écrits pour servir d'éclaircissement à l’Histoire de la France , 1738, t. II, p. 85 . — D. Ceillier, Histoire générale des auteurs sacrés et ecclésiastiques, t. XIX, p. 725. — Hervas; Aritmetica délie nation i, p. 54 - — Delambre, Histoire tic l'Astronomie, ancienne , t. I, p. 322 . — Cette opinion se trouve aussi au nombre des hypothèses diverses émises par Andrès.

( 4 'i Dell’ origine , de progressa e dello stato art utile d’ogni lette ratura ; Parme, 1 782 99, 7 ▼.

. in- 4 °, t. IV, p. 83 .

( 5 ) J. Leslie; The philosophy of Arithmetic, 2* édition, p. tu.

émanait, quel qn’en fût le sujet, des doctrines arabes qncGcrbert aurait rapportées de Cordoue ou de Séville.

J’ai exprimé dans mon A perçu historique une opinion toute nouvelle et très-différente de ces hypothèses , quant à l'objet du livre de Gerbert et quant à son origine. J’ai dit que , loin d’étre d’origine arabe , il sc rapportait précisément au système de numération que j’avais trouvé dans le passage de la Géométrie de Boèce, autre pièce non moins célèbre par son obscurité et les tentatives qu’on avait faites pour en deviner le sens.

Ce système de numération décrit par Boèce est identique, quant aux principe^, à notre arithmétique actuelle, et n’en diffère en pratique qu’en ce seul point, qu’on faisait usage d’un lahlenu à colonnes pour indiquer les différents ordres d’unités décuples, ce qui permettait de marquer par une place vide, l’absence d’un nombre, que nous marquons aujourd’hui par un signe figuré; c’est-à-dire, en d’autres termes, que, dans ce système, le zéro était une place vide (i).

C’est après avoir donné cette explication du passage de Boèce (a), fondée sur la traduction littérale du texte , que j’annonçai que le Traité de Gerbert roulait sur le même système de numération (3).

üne histoire des événements du x”® siècle, écrite par Richer, moine de Saint Rémi de Reims, ami de Gerbert, mise au jour en t83g, parM.Pcrtz (4), et comprise dans sa belle collection des Historiens d’Allemagne, contient un passage intéressant où s’est trouvée la confirmation de mon opinion.

Richer, après avoir dit que Gerbert a répandu, le premier, en France la connaissance de la musique, et qu’il excellait dans l’astronomie, ajoute qu'il s’était livré avec le même soin à la Géométrie, pour l’introduction de laquelle il fit faire par un ouvrier (un fabricant d éçus), un Abacus, c’est-à-dire , une tablette disposée pour le calcul; que cette tablette était divisée en vingt-

■ sept colonnes longitudinales dans lesquelles Gerbert plaçait les neuf chiffres

(i) J’ai trouvé depuis qu’on faisait usage parfois du zéro , sous la forme d’un rond, pour quelques opérations accessoires qu’on exécutait à côté du tableau à colonnes.

(a) Aperçu historique sur l'origine et te développement des méthodes en Géomètre ,- voir p. 414-467 et 557 - 558 .

( 3 ) « Nous persistons à le regarder (le Traité de Gerbert) comme imité du passage de Boèce , • et h penser qu’il roule sur un système de numération qui ne diffère de notre système actuel - qn’en un seul point , X emploi du zéro qui y a été introduit postérieurement et a permis de ■ supprimer les colonnes.» (Aperçu historique, p. 507.)

( 4 ) Richrri Ilistoriarum libri IIII, ex eodice seculi X autographo edidit G. H. Pertz serenissim* familise Welfue abhistoria srribenda. 1 vol. in- 8 °. Hanovre*, 1 8 3 c 1

là

qui lui servaient à exprimer tous les nombres; qu’il avait fait exécuter mille caractères en corne à l'effigie de ces chiffres, au moyen desquels il effectuait sur l’Abacus les multiplications et les divisions. « Pour prendre une entière » connaissance de cet art, ajoute Ilicher en terminant, il faut lire l'ouvrage » que Gerbert a adressé à l'écolâtre G. (i). « Il s'agit probablement ici , comme l’a pensé M. Pertz,du Traité adressé à Constantin.

Ainsi, d’après Richer, la méthode de calcul enseignée dans le Traité de Gerbert se pratiquait avec neuj caractères ou signes numériques , sur un tableau à colonnes; et ces neuf signes suffisaient pour exprimer tous les nombres (2).

Cette succincte description concorde parfaitement avec l’opinion que j’avais émise sur la doctrine de Gerbert, et peut paraître, jusqu'à un certain point, la confirmer.

On trouve de plus, dans Richer, ce fait intéressant, que Gerbert avait fait confectionner mille caractères en corne, probablement des espèces de dés, à l’effigie des neuf chiffres , et avec lesquels il faisait les opérations arithmétiques sur son tableau à colonnes. L’usage alors était d’exécuter les opérations aritlmiétiques sur le sable; il est donc à croire que le procédé mécanique employé par Gerbert avait pour but d’initier les plus jeunes enfants à la connaissance de ce mode de calcul. Aussi prouverai-je ailleurs que Ger-

(1) In geometria vero non minor in docendo labor expensus est, cujns introduction!, abacum, id est labulam dimensionibus aptam opéré scutarii effccit. Cujas longitudini, in 27 partibus diductae, novem numéro notas omnem nunicruin signifiantes disposait. Ad quarum etiam similitudinem mille 1 corneos effecit caractères qui per 27 abaci partes niutuati, cujusquc numeri multiplicationcrn sive divisionem designarent; tanto compendio numerorum multidinem dividentes vel inulliplicantes, ut pr* nimia mimerositate potins intelligi quam verbis valcrent ostendi. Quorum scientiam qui ad plénum scire desiderat, légat ejus librum quem scribit ad C. grammaticnm ; ibi enim hsec salis habundanterque tracta ta inveniet. (Monumenta Gcrmarticv historien ; scriptorum, t. III. Hannover*, i 83 o; vojr, p. 618.)

(a) Ce passage intéressant a etc remarque par M. Guérnrd , qui s’exprime ainsi dans un Rapport sur l'histoire de Richer , lu par cet académicien devant l’Académie des Inscriptions et Belles-Lettres : « Quoique de la Notice très-ample consacrée ici à Gerbert , il ne résulte pas » qu’il ait étudié les sciences chez les Arabes, néanmoins, entre les inventions qui lui sont u attribuées, il est (ait mention de neuf chiffres dont il se servait pour exprimer tous les nomm bres, novem numéro notas omnem numerum signijicantes disposuit, passage d’une grande ira- *• portance, et qui se rapporte évidemment au système numérique fondé sur la valeur décu- * pie d’un chiffre placé à la gauche d’un autre. • Cette analyse de l’ouvrage de Richer a été lue à l’Académie dans sa séance du 6 décembre i 83 q, et imprimée dans le Journal des Savants , année 1840, août et septembre. Voir p. 470-489 et 535 - 556 .

berta, en effet, contribué puissamment à rétablir dans les Gaules l’usage de cette ancienne méthode des Romains, et que c'est là seulement la part que lui faisaient ses contemporains; car ils n'ont jamais dit, comme Guillaume de Malmesbury et tant d’autres après lui, que Gerbert eût rapporté cette doctrine de chez les Sarrasins, ni même qu'il l'eût enseignée le premier en France.

Richer nous apprend encore que Gerbert considérait la méthode de YAbacus comme une introduction à la Géométrie, .l’ai trouvé cette même idée dans beaucoup d’autres ouvrages, où il est dit expressément que c'est par cette méthode que les géomètres faisaient leurs calculs : plusieurs auteurs même appellent le Tableau de l'Abacus, la Table des Géomètres. Cela explique pourquoi Boèce a enseigné ce procédé de calcul dans sa Géométrie, et à la fin de son premier livre : c'était comme introduction au second livre , qui roule sur la Géométrie pratique.

S’il ne nous est pas parvenu des exemples de l'usage pratique de cette méthode , ce fait, qu’on a cru pouvoir opposer à mes opinions , s’explique aisément. Le système de YAbacus n’était pas employé pour exprimer des nombres isolés ; la notation des sept lettres romaines I, V, X, L, C, D et M, suffisait pour cela ; il n’était considéré que comme une méthode de calcul, comparable en quelque sorte à notre Algèbre moderne ; et celte méthode se pratiquait sur la table couverte de poudres procédé qui ne pouvait laisser de traces. Je traiterai ailleurs avec les développements nécessaires ce point important de l’Histoire de notre Arithmétique.

Je reviens à l’ouvrage de Gerbert. Bien qu’il roule sur la même doctrine que le passage de Boèce, et que ces deux pièces présentent autant d'obscurité l’une que l’autre, néanraoius elles ne sont pas entièrement identiques; la partie la plus obscure dans chacune n'est pas la même; de sorte quelles se préteut un mutuel secours et quelles se complètent, aux veux de celui qui veut en pénétrer le sens.

En effet , le passage de Boèce contient deux choses: une description du système de numération, puis les règles de la multiplication et de la division.

Gerbert commence tout d’abord par ces règles, sans dire un mot du système de numération, ni de la manière de le pratiquer: deux choses qu’il suppose connues.

Dans Boèce, la partie principale était la description du système de numération : c’est celle que j’ai expliquée. Cette explication admise, les règles de la multiplication se comprennent d’elles-incmes sans difficulté. Mais les règles de la division conservent toute leur obscurité, parce que les quelques

mots relatifs à chaque règle ne la décrivent pas , et indiquent simplement le nom de la méthode qui s’y applique, ou bien quelques-unes des opérations partielles qui y entrent; et, ce qui ajoute aux difficultés 'de divination, c’est que ces règles, différentes de nos méthodes actuelles, sont aujourd'hui absolument inconnues.

.le me suis donc borné à donner l’explication littérale de la partie où Boèce décrit le système de numération, laquelle était la plus importante, sans expliquer alors ce qui se rapporte aux règles de la division.

Dans Gerbert ces règles, bien que d’un style très-obscur, sont néanmoins plus détaillées que dans Boèce, de sorte quelles ne présentent pas le même degré de difficulté. Le Traité de Gerbert complète donc en quelque sorte celui de Boèce, comme je l’ai dit.

Le passage de Bicher ne fait allusion , comme nous avons vu , qu’au système de numération, et conséquemment il ne répand aucune lumière sur le texte même de Gerbert.

C’est ce texte que je me propose d’expliquer. Je me suis aidé, dans ce travail, de différentes autres pièces semblables, notamment d’une de Bernclinus , l’un des disciples de Gerbert. Cet ouvrage est un Traité complet d’Arilbmétiquc en quatre livres , comprenant l’exposition du système de numération, les règles de la multiplication et de la division, et le calcul des fractions. U ne manque pas non plus d’une certaine obscurité, à tel point que, même après que j'eusse annoncé que cet ouvrage se rapportait au même système de numération que le passage de Boèce, quelques personnes ont refusé d'admettre cette opinion, par la raison, a-t-on dit, que les nombres y sont exprimés en chiffres romains , et qu’on ne saurait y voir le principe de la valeur de position. Mais ce sont précisément ces nombres écrits en chiffres romains qui facilitent l’intelligence de cette pièce, car ces nombres se rapportent à des exemples numériques qu’il suffit de suivre pas à pas pour découvrir le mécanisme du calcul, et comprendre ensuite plus aisément la partie abstraite où les principes eux-mêmes du système de numération sont décrits ; principes dont la base est bien la valeur de position.

Le secours de ces exemples numériques manque dans la lettre de Gerbert, qui , par cette raison et surtout par son style particulier, singulièrement laconique, est restée jusqu’ici d’une obscurité impénétrable.

Pour donner l’explication complète de cette pièce et ne laisser aucun doute dans les esprits, j’ai donc jugé à propos de produire d’abord un des écrits postérieurs où l’on trouve, comme dans celui de Bernclinus, indépendamment d’un style moins laconique et moins obscur que celui de Gerbert,

la description du tableau de l'Abaciis , l'exposition du système de numération , et des exemples numériques à l'appui des règles de calcul.

Si j’ai cité l'ouvrage de Bernelinus , c’est parce qu’il est connu et qiie plusieurs auteurs en ont parlé à diverses époques, sans qu’on ait su toutefois de quelle matière il traite véritablement. Mais il existe un très-grand nombre d’autres ouvrages semblables , c'est-à-dire d’autres traités d'arithmétique dans le système de l’Abacus; et même plusieurs de ces ouvrages, restés enfouis et ignorés au fond de nos bibliothèques, sont d'un style souvent assez clair, et sont plus propres que celui de Bernelinus à faire connaître, sans beaucoup d'efforts, les principes de ce système arithmétique et les méthodes qui y étaient en usage. En effet, depuis le X e siècle, d'où date le traité de Gcrbert, ce mode de calcul, enseigné dans les écoles, s’est répandu et a fait de grands progrès. Les auteurs se sont familiarisés avec ses règles, d’abord assez abstruses, très-diverses et manquant de généralité; ils les ont généralisées et en ont rendu en même temps l’exposition plus simple et plus claire; leur style, eu un mot, est devenu plus facile et leurs ouvrages plus intelligibles. On peut assigner à chacun une date assez probable, dans l’espace d’un siècle et demi qui sépare le x' siècle du commencement du XII e .

•le fixe cette limite du XII e siècle, parce que plus tard les traités d’arithmétique, sauf quelques exceptions, ne portent plus le nom d '/Obtiens; ils prennent presque tous celui d’ Algorisme. Et ce qui distingue alors les nouveaux traités des anciens, c’est qu'ou ne fait plus usage du tableau à colonnes et qu'on lui a substitué, en quelque sorte, l’usage exclusif du zéro. C’est a cette époque aussi qu’on a commence à introduire les chiffres dans l’écriture.

Le passage d'un système à l’autre marque une ère nouvelle, et forme un point très-curieux de l’histoire de notre arithmétique.

C’est donc au commencement du XII e siècle que j’attribue les derniers traités écrits dans le système de l’Abacus proprement dit. lesquels sont les plus clairs et les plus faciles à comprendre, .l'en citerai uotammcnl trois de cette époque : l’un est de Gerland, auteur d'un Traité du compiit dout il est fait mention souvent dans les ouvrages du moyeu âge; le second est de Ha— dulphe ou ltaoul, frère du célébré Anselme de Laon, et connu lui-méme pour avoir écrit sur la musique; enfin le troisième, intitulé: Régula' Abaci, est anonyme.

C’est ce dernier que je choisirai pour faire connaître avec facilité et évidence les principes du système de l’Abacus, ses règles de calcul, et la manière d'exécuter les opérations sur le tableau à colonnes. 11 me suffira d'en donner la traduction, eu n’y joignant que de courtes notes explicatives.

l-a connaissance préalable de ce Traité d’arithmétique facilitera ensuite lintelligence du texte de Gcrbert, qui, toutefois, exigera encore de fréquents commentaires.

Cet ouvrage de Gcrbert a joué jusqu’ici un grand rôle dans notre histoire littéraire, parce qu il a été à peu près le seul du même genre connu des érudits et sur lequel ils ont disserté. Quoique j’aie annoncé qu'il existe beaucoup d’autres ouvrages semblables dont je possède même déjà un assez grand nombre, néanmoins l’écrit de Gcrbert conserve une trèsgrande importance historique, comme étant le plus ancien de cette époque connu jusqu’à ce jour, et comme étant aussi celui qui se rapproche le plus, par le style, du passage de Boèce, et qui atteste le mieux l’origine et l’antiquité de ce système de l'Abacus. J'ai donc dû m’appliquer à pénétrer, dans toutes ses parties, le sens de ce texte singulier, depuis si longtemps énigmatique.

l/cxplication que j’en donnerai, jointe à mon explication du passage de Hoece, justifiera pleinement , j’espère, les opinions que j’ai émises dans mon Aperçu historique et que j’ai reproduites depuis devant l'Académie , au sujet île ce système de l’Abacus transmis par les Romains, cultivé au moyen âge, et qui marque la véritable origine de notre arithmétique vulgaire.

Mais de là naissent une foule de questions et un vaste champ historique tout nouveau. Car il faut suivre ce système de l’Abacus à partir du x 1, siècle, et étudier les modifications qu’il a subies dans sa forme et ses méthodes pour devenir précisément notre arithmétique actuelle; il faut rechercher notamment l’origine du zéro qu’on a substitué aux places vides, pour s'affranchir du tableau à colonnes; rechercher l’origine et le sens de quelques notions dérivées de l'arithmétique arabe, introduites au XII* siècle, et qui ont si complétèment induit en erreur les écrivains modernes qui ont cru y voir des preuves de l'origine orientale de notre arithmétique.

Après avoir suivi le système de l’Abacus dans ses propres développements et dans ses rapports avec l’arithmétique arabe, il sera intéressant de remonter nu delà du X' siècle, et de rechercher les plus anciennes traces de cette méthode chez les Chrétiens. Car si Gcrbert passe pour avoir été , à cette époque, le restaurateur des sciences, cela ne signifie pas que tout souvenir s'en était perdu; ce serait plutôt un indice que déjà, depuis longtemps, de louables efforts étaient faits pour réunir les vestiges de l'antiquité, et préparer le mouvement auquel Gerhert a donné une si lorle impulsion dans sa nombreuse et célèbre école de Reims.

Un sujet de recherches plus intéressant encore, sera de reprendre le

• système «le l'Abacus dans l'ouvrage de Boèce et d’en suivre les traces chez les Bornants eux-mêmes; de savoir s’ils l’ont réellement mis en pratique, ou si cette doctrine n’a été «[u'unc simple spéculation que Boèce aurait insérée dans sa Géométrie pour la sauver de l’oubli.

Enfin, il faudra chercher à remonter jusqu’à Pythagorc, à qui Boèce attribue l’invention de cette ingénieuse et si utile méthode.

Ces points principaux, et une foule de questions accessoires qui s'y rat- ’ tachent incessamment, forment un ensemble de recherches de nature a présenter d’autant plus d'intérêt, que les résultats y sont toujours nouveaux et contraires à toutes les id«tes admises jusqu'ici, non-seulement sur l’origine de notre système de numération, mais encore sur les méthodes arithmétiques des Itoinains et des Grecs, auxquels on s'est accordé à refuser la connaissance dit principe de la valeur de position, pour la réserver exclusivement aux Hindous et aux Arabes.

J’ai essayé de remplir ce cadre d’une Histoire nouvelle de l' Arithmétique chez les Occidentaux , dans un ouvrage à peu près terminé depuis longtemps, mais auquel diverses circonstances m'ont empêché jusqu’ici de mettre la dernière main. J’extrais aujourd'hui de cet ouvrage l’explication de la fameuse lettre de Gerbcrt. On concevra aisément ce qui peut me déterminer à cette communication partielle et en quelque sorte anticipée.

C’est sur la fin de 1 836 «pic j'ai donné l'explication du passage de Boèce. Depuis j'ai annoncé, notamment eu 1839 au sein de l’Académie, qu’un grand nombre de pièces sur cette doctrine de l'Abacus existaient encore, ignorées, dans les manuscrits du x'et du xi' siècle; que moi-même j’en avais déjà réuni un certain nombre, et qu’apres les avoir lues toutes, je pouvais assurer quelles roulaient bien réellement sur le système de numération que j’avais découvert dans Boèce (1). J’ai appelé ainsi l’attention des érùdits sur ces anciens traités, qui se trouvent dans les bibliothèques étrangères comme dans les nôtres. Il est doue a croire que plusieurs personnes auront pu les étudier et même en préparer l'explication. Quoi qu’il en soit, celte explication ne s’est point encore produitc; et si quelques érudits ont manifesté leur adhésion à mon système et ont puisé même dans des documents dune autre nature des exemples propresà le confirmer (a), d’antres ont continué de développer des systèmes contraires

( 1 ) Voir les Comptes rendus rte V Académie, t. IX , p. 4So; séance du 7 octobre t83g.

‘ (?) Je rappellerai que M. Halliwell, dans un écrit qu'il a bien voulu considérer comme un appendice au chapitre de mon Aperçu historique où j’ai donné l’explication du passage de Boèce, a cite, à l’appui de mon opinion sur ces anciennes pièces qui portent le nom il' A ha -

TjtoÇj'i*,'. An • i-, . ; , ’ a , ’ VféO/

aux résultats de mes propres recherches. Ou m'a invité à ne plus différer de produire des preuves décisives, moins encore pour ne pas perdre la priorité <pii pourrait m’appartenir, (pie pour influer dans le sens de la vérité sur les recherches des érudits qui s’occupent de cette matière , et pour faciliter à tous l'explication de ces textes si curieux et si féconds en conséquences historiques (i).

Je rappellerai , en terminant, que nos chiffres actuels sont différents des

ni. r, plusieurs manuscrits «les bibliothèques de Londres, d'Oxford et de Cambridge, qui contiennent de pareilles pièces et dans lesquelles cet érudit trouvait la valeur tic position clairement erp ri niée.

Depuis, M. Vinrent a découvert dans un passage obscur de Julius l'AfricAin une manière d’exprimer les nombres par des signaux avec valeur de position.

Enfin M. Boeekh , dans une dissertation au sujet d’une pierre trouvée à Athènes par M. Miiller, sur laquelle sont des nombres exprimes dans le système alphabétique des Grecs, avec un certain signe pour marquer l’absence des unités quand le nombre ne comprend que des dizaines; M. Boeekh, disons-nous, a considéré ce fait, intéressant comme tendant à prouver que les Grecs avaient connu , à une époque reculée , le principe de la valeur de position des rhifTres; et , à ce sujet , il a donné son assentiment à inon explication du passage de Bncee, qu’il adopte entièrement.

Cette explication repose , comme on sait , sur l’idée que ce n’est pas la table fie multiplication que Boéce décrit sous le nom A'Jbacns tea Mcnsa Pythagorica , ainsi qu’on l'avait cru, mais bien un tableau à colonnes préparé pour la pratique de l'arithmétique avec neuf chiffres prenant des valeurs de position. Voici en quels tenues M. Boeekh approuve cette partie de mon travail : - Bocthianns ubacus dtiodccim ordines complectitur. Ejus loco in editis Boethii libris tabula vu 1g a ris multiplications conspicitur, quam ejiciendam esse CgtQpe evicit Chasles, abacum restituons ex codire Carnutcnsi Boethii saec. XI scripto. * (Voir Index Içctionum tfuœ in unfversitatc litteraria Frid ♦ Guilelma per semestre tvstïvum A. i8.fi instituentur. Itcrolini , p. ii-xii.)

(i) Plusieurs personnes s’occupent dans ce moment d'un catalogue général des bibliothèques des départements, sous les auspices de M. le Ministre de l'Instruction publique. Je ne doute pas qu’on ne découvre beaucoup de pièces sur le système de l’Abacus. Il sera intéressant surtout de rechercher dans ces pièces les quelques notions historiques qui s'y trouvent parfois. O travail d’un catalogue général pourra procurer aussi la connaissance de quelques traités d'algorisme du xu 4 siècle. Car c’est bien de celte époque, et même du premier tiers de ce tiède, et non du xm r siècle seulement, comme on l'a cru jusqu’ici, que datent nos plus anciens traités d'algomnir. O terme nlgoHsme est le nom qu’on a donné à l’arithmétique de position, quand on n ivssé de M' servir du tableau à colonnes appelé Abacus. La transition a eu lieu dans le premier tiers du xn* siècle. C’est à celle époque aussi que se sont introduites les premières notions sur l'arithmetique arabe. On peut les trouver non -seulement dans 'es traités d'algorisme , mais aussi dans des traités de l'Abaeus; et dans ceux-ci, elles seront d’un grand intérêt, puisqu'elles pourront prouver la différence d'origine des deux méthodes. Je possède déjà un traite de l’ A bac us qui contient de pareilles notions : de sorte que ce n’est pas sur une simple con-

chiffres arabes, nonobstant leur dénomination vulgaire, et qu'ils ont uue ressemblance non douteuse avec les apiccs de lioèce , lesquels ont été aussi les chiffres eu usage an moyen âge dans les nombreux traités de l'Abacus. Ce fait n'a pu être méconnu, mais ou la expliqué en considérant ces apiccs comme d'anciennes notes tironicnncs servant à exprimer les grands nombres et que les Chrétiens auraient introduites dans l’arithmétique arabe. Aujourd'hui cette explication n'est plus possible. Il faut reconnaitrequc nos chiffres avaient dans Boéce la même signification qu’à présent. La vérité de l histotre, et l’esprit de justice euvers le moyeu âge qui a reuouveléde l'antiquité et nous a transmis cette ingénieuse méthode de calcul, detnaudent donc que nous renoncions à ces expressions fausses de chiffres arabes , arithmétique arabe reproduites journellement daus nos ouvrages. Assurément on dirait chiffres rie lioèce , où peut-être même de Pjthagore, ce qui est un point que j’examinerai plus tard (i), si la vérité n était parfois sacrifiée à l'usage.

Analyse d'an Traite de l’Abarni.

.le fais précéder d'une analyse le traité del'Abacnsqae je traduirai en-

jeclurv, seulement probable, cjue je me fonde |xmr recommander à toute l'attention des personnes qui explorent les manuscrits de nos départements, les anciennes pièces arithmétiques et tomes les traces subsistantes du système de l'Abacus.

(i) L’objection principale qu'on m'a opposée à ce sujet, c'est-à-dire contre l'idée que le système de l'Abacus ait été cunnu des Grecs , a été basée sur le traité d' Archimède De numern arrnar, désigné généralement sous le nom A'Jrcnaire. On a cm que ce livre avait pour objet de simplifier la numération des Grecs, et que l'auteur oc l'aurait pas écrit s'il avait connu le système de l'Abacus. J’ai combattu cette objection en présentant une analyse rigoureuse de cet ouvrage, analyse dont voici la conclusion : ’

. t* *. ("est une erreur de penser que le livre De numéro a renie n'a d'autre but que de simplifier la numération des Créés, parce que, en réalité, il a un but spécial tout différent ;

• a". 11 n'y a pas lieu de dire que si Archimède avait connu le système de l’Abacus, il n'aurait pas composé son livre nu qu'il l'aurait fait différemment;

.3”. Et enfin , ce qui est plus concluant encore , aucune des considérations arithmétiques cpii se trouvent dans cet ouvrage n'autorise à penser qu' Archimède n’a pas connu le système de l'Abacus. » (Voiries Comptes rendus des séances de t' Academie des Sciences; t-XIV, p. 547*559» séance du ■ i avril 1842 .)

l'ajouterai que, pour induire du livre d'Archimède que fauteur n'a pas eu connaissance du système tlel'Ahacus, il faudrait montrer f/ur! parti il eût tin 1 de ce système; — dans quels passages de son hure il en eût fait usage ; — quels avantages, quelles simplifications en seraient résultés. — Faute de répondre à ces questions, on ne peut être admis à m’opposer le livre dlArchiuiède.

suite littéralement. Cette analyse donnera une idée de la forme et du contenu de ces anciens traités d Arithmétique, en même temps quelle préparera à l’intelligence de l'ouvrage lui-méme.

I. L’auteur dit que l’art appelé Abacus traite de la multiplication et de la division des nombres.

C’est là le but que tous les autres traités de l’Abacus assignent aussi à cette méthode.

II. I /auteur explique la forme du tableau auquel s'applique proprement le terme Abacus , et qu’il appelle lui-même, dans la suite, Abacus. Ce tableau se compose de colonnes consécutives , au liant desquelles sont figurés les nombres i, X, C, M, XM, etc. I/autenr dit qu’on se sert sur ce tableau de neuf caractères représentant les nombres un, deux, trois, qiuUre, -, neuf lesquels suffisent pour faire toutes les multiplications et les divisions en nombres entiers, quand on les place dans les colonnes du tableau. A cet effet , les caractères placés dans In première colonne y représentent des unités simples, dans la deuxième colonne, des nombres décuples de ces unités; dans la troisième colonne, des nombres centuples; etc.

C'est , comme on voit , le principe de la valeur de position des chiffres ; comme dans notre arithmétique vulgaire.

L’auteur décrit les neuf caractères qui soûl, sauf quelques légères altérations produites par le temps , les apices de Boècc. Il donne aussi les noms igm, andins , ormis, arbas , ipiimas, calcus, zenis, temenias et celentis de ces caractères, mais il ne s’en sert pas.

Au contraire, quelques auteurs du même temps, notamment Gerland cl iiadulpbe de Laon, dénommaient par ces termes les neuf chiffres dans le texte même de leurs ouvrages, en décrivant les régies et les détails des opérations arithmétiques. Mais beaucoup d’autres ne font nullement mention de ces noms; ce qui nous porte à croire que ces noms igin, arulras, etc., quoique, dans plusieurs manuscrits, ils se trouvent au haut du tableau qui fait partie du passage de IJoèce, ont été introduits assez tard dans l’Abacus. .le reviendrai sur cette question qui serait ici prématurée et hors de propos.

L’auteur appelle les colonnes arcs ( arcus ). Il ne dit pas la raison de ce terme. Je la trouve dans beaucoup d’autres ouvrages : c'est que ces colonnes étaient surmontées d’arcs de cercle dans lesquels on plaçait les nombres i. X, C, M, etc. Plusieurs auteurs, Uernelinus notamment, parlent de ces arcs; en outre, on les voit dans des tableaux de l'Abacus, figurés soit isolément dans quelques manuscrits, soit dnns le passage de Boècc, ou bien fai-

sont partie de traités dans lesquels les calculs sont figurés eu chiffres dans des colonnes.

Quelques auteurs disent aussi qu'on décrit de plus grands arcs de cercle embrassant les colonnes trois à trois. Cela avait pour but principalement de faciliter lenonciation des nombres. C'est l’origine de la division des nombre-, en tranches de trois chiffres, par des points ou des virgules, qui a été en usage jusqu'à ces derniers temps.

III. I l’auteur sc sert des expressions digit, article ( digitus , articulas ). Il appelle digits les neuf premiers nombres naturels un, deux, trois,..., neuf, et articles les multiples de ces nombres par dix, cent, etc. Tous les autres nombres, tels que Xi , XII , etç., composés d’un digit et d’un on plusieurs articles , s'appellent nombres composés.

Ces expressions digits, articles, existent dans le passage de Boéce, et elles se trouvent dans tous les autres traités de l’Abacus du moyen âge. Elles paraissent avoir été inhérentes à ce système de numération. Elles ont passé dans les traités A'algorismc , où on les trouve sans interruption jusque dans ie cours du xvn’ siècle, avec la même signification. Ce n’est que dans les ouvrages plus modernes qu'on a cessé d’en faire usage; et insensiblement on a perdu le souvenir de la valeur de ces termes. De là l'erreur de plusieurs écrivains, qui ont cm qu’ils se rapportaient au calcul par les doigts, et qui eu ont conclu que le livre de Gerbert, notamment, roulait sur ce procédé.

IV. Toutefois l’auteur dit que ces expressions digits, articles, proviennent de la manière d’exprimer les nombres par les doigts; et, à ce sujet, il décrit cette manière tout au. long, telle qu’on la trouve enseignée par Bède, par llaban Manr, etc. On sait qu'une foule d'auteurs latins, de tous les âges, présentent des traces de cet ancien procédé.

Quant à savoir si les expressions digits, articles, en usage dans le système de l’Abacus, proviennent du calcul digital , la question est douteuse, car quelques auteurs, daus leurs traités de l'Abacus , donnent une autre explication de ces expressions.

V. I .'auteur passe à la multiplication et à la division. Il commence par la multiplication, dont il distingue quatre cas : la multiplication simple ou composée s continue ou avec intennission. Ces distinctions ne se rapportent qu'à la manière dont le multiplicateur est formé.

La multiplication est simple, quand le multiplicateur est exprimé par un seul caractère, étant par conséquent un digit ou un article; elle est composée , quand le multiplicateur est exprimé par plusieurs caractères. L’auteur dit alors qu'il y a plusieurs multiplicateurs , autant que de caractères. Ainsi , si

l<; nombre par lequel on doit multiplier est 34o5 , l'auteur dit que les multiplicateurs sont 3ooo, t\oo, et 5. U dit pareillement les multiplicandes, quand le nombre qu'on multiplie est exprimé par plusieurs chiffres.

La multiplication est continue quand les multiplicateurs se suivent sans interruption, c’est-à-dire sans qu'il y ait de colonnes vides entre eux. Elle est avec intermission quand il y a une ou plusieurs colonnes vides entre les caractères (pii expriment les multiplicateurs.

Du reste , l'auteur dit que la multiplication se fait dans tous les cas de la même manière.

Yl. Pour eu donner un exemple, il multiple 4 6oo par a3. On pose les multiplicandes 4 ooo et (ioo au haut des colonnes , les multiplicateurs ao et 3 au bas, et les produits au milieu du tableau

Ou commence l'opération parla droite; de sorte qu’on multiplie 6oo, puis 4 ooo , d’abord par 3, et ensuite par ao.

Les règles que l’auteur donne dans le cours de l'opération ont pour objet de faire conuaitre dans quelles colonnes on doit placer les deux chiffres dont se compose, en général, chaque produit partiel, et qui expriment, l’un un digit, et l’autre un article. Par exemple, la règle relative à la multiplication par un nombre de l'ordre des dizaines s’énonce ainsi : « Quand a un nombre de la colonne des dizaines multiplie un nombre d’une autre co- » louuc quelconque, placez le digit dans la deuxième colonne, a partir de » celle du multiplicande , et l’article dans la colonne suivante, a Ainsi, qu’on multiplie 6oo par ao , le produit est ta. Dans ce nombre, deux est le digit, et une dizaine l’article. On placera donc deux dans la colonne des mille, et l'unité daus la colonne de dix mille; de sorte que le produit véritable est i aooo.

VII. Due multiplication se compose de produits partiels dont il faut faire la somme : à ce sujet, l’auteur donne la règle de {'addition , tpi 'il appelle pui'gation (purgatio). Il dit qu’on purge les colonnes des divers caractères qui s y trouvent , en les remplaçant par un moindre nombre de caractères. La règle est ainsi: quand on ajoute plusieurs caractères placés dans la même colonne, s'il en résulte un digit. ce digit reste daus la colonne; s'il eu résulte un article, il passe dans la colonne suivante. Enfin, s’il provient un article et un digit, le digit demeure dans la colonne, et l'article passe dans la colonue suivante.

t VIII. L’auteur a énoncé, dans le Jj VI, les réglés pour la multiplication par un nombre de l’ordre des unités, puis par un nombre de l'ordre des dizaines. Maintenant il donne les règles pour la multiplication par un

nombre des centaines, puis des mille, etc.; et enfin, il exprime toutes ces régies sous ce seul énoncé général : « Autant la colonne qui multiplie est » éloignée de celle des unités, autant le digit sera éloigné de la colonne " du multiplicande : et l’article sera toujours placé dans In colonne ullé- » Heure. »

IX. De la division. Cette opération se fait de deux manières : sans différences et avec différences.

Le nombre à diviser s’appelle le dividende quand il s’exprime par un seul caractère, et les dividendes quand il s'exprime par plusieurs caractères. Il en est de même du nombre par lequel on divise: on l’appelle le diviseur ou les diviseurs. Ainsi, si l’on a à diviser 3 oa 5 par 407, on dit que les dividendes sont 3 ooo, ao et 5 , et les diviseurs 4 oo et 7. Le diviseur de l’ordre le plas élevé s’appelle le plus grand diviseur, et les autres, les diviseurs inférieurs. Il en est de mente des dividendes.

On distingue quatre sortes de divisions, de même que quatre sortes de multiplications : la division simple ou composée; continue ou avec intermission. La division est simple quand il n’y a qu’un diviseur, quel que soit le nombre des dividendes; comjioséc quand il y a plusieurs diviseurs; continue quand les diviseurs se suivent continûment sans interposition de colonnes vides ; et avec intermission quand il y a des colonnes vides entre les diviseurs.

La méthode sans différences est la même que notre méthode actuelle: seulement, A chaque division partielle, on déplace le diviseur (nous parlons de la division simple), pour le transporter sur le plus grand dividende, ou bien à un rang à sa droite, si ce diviseur est plus grand que le dividende. Ainsi, a-t-on A diviser *>46 par 3 , on transporte 3 sur le dividende 5 oo, datas la colonne des centaines, et l'on divise 5 par 3 ; le quotient est 1 , et il reste a qui demeure dans la colonne des centaines. Le diviseur étant plus grand que a, on le transporte dans la colonne à droite du dividende, c’est-à-dire dans la colonne des dizaines, et l'on regarde a comme exprimant l'article ao; 011 divise donc ao par 3 , et ainsi de suite. Notez que l'on divise ao et 11011 pas u 4 , ainsi que nous ferions aujourd'hui. Ou n’opérait alors que sur un di* videndc simple et non sur un dividende composé, ou, comme on aurait dit alors, sur deux dividendes à la fois. Il en résulte que l'opération était plus longue qu'à présent ; ù part cela elle était la même.

On trouve encore dans des traités d’Arithmétiquc du XVI e siècle, ce procédé pur le déplacement du diviseur. Dans quelques traités de l'Abacus on enseignait aussi à faire la division sans déplacement de diviseur, comme nous faisons actuellement.

I . auteur appelle dénomination chaque quotient partiel. En général, dans les traités de l'Abacus, le terme dénomination s'entend de la valeur absolue du caractère qui exprime un article. Ainsi, 3 est la dénomination de l'article 3 o ou 3 oo, etc. L’auteur emploie aussi le terme dénomination dans cette acception générale.

X. l’our donner un exemple de la division simple, sans différence, l'auteur divise 3 o par a; il place les diviseurs dans la partie supérieure du tableau, le dividende au-dessous, les dénominations dans la partie inférieure du tableau, et les restes au milieu. Il donne, dans le cours de l'opération, la règle de la soustraction ; car il faut soustraire du dividende le produit du diviseur par la dénomination. Cette règle de la soustraction consiste à prescrire dans quelles colonnes se placent les restes; elle s'énonce ainsi : u Si

d'un digit il reste un digit, il ne change fias de colonne; si d'un article il » reste un article, il ne change pas de colonne; si d’un article il reste un digit » et un article, l’article ne change pas de colonne, le digit en change. >■

XI. Du placement île la dénomination. Quand le diviseur est un digit, c’est-à-dire un nombre de l'ordre des unités, on place toujours la dénomination dans la colonne même où ce diviseur a été transporté, soit au-dessus, soit à la droite du dividende. Quand le diviseur est un article, dizaines ou centaines, etc., la dénomination se place à un ou à deux rangs, etc., apres le diviseur transporté. L’auteur énonce à ce sujet cette règle générale : « A

quelque rang, au delà de la colonne des unités, que soit primitivement le diviseur, ou place la dénomination a un pareil rang après le diviseur ■ . transporté. »

XII. De la division composée. Elle est continue ou avec irucrmission. La réglé est la même dans les deux cas. On transporte le plus grand diviseur (le diviseur de l'ordre le plus élevéj sur le plus grand dividend s'il est moindre que ce dividende , ou s’il lui est égal; ou bien a un rang avant lui (vers la droite), s'il est plus grand, de même que dans la division simple; et pour le placement de la dénomination, on suit la règle énoncée pour le cas-d'un diviseur simple appartenant .1 une colonne quelconque.

XIII. Exemple de la division composée, avec intermission. L auteur divise 100000 par aooa 3 . Ou transporte le plus grand diviseur a dans la colonne immédiatement inférieure a celle du dividende cent mille, c'est-à-dire dans la colonne des dix-mille, parce que a est plus grand que 1 . Ensuite on dit : eu 10 combien de fois a:' Il v est 5 fois; mais il ne faut pas prendre 5 pour dénomination, parce qu’on ne pourrait retrancher du dividende le produit des diviseurs inférieurs ao et 3 par la dénomination. Il faut prendre l\ . etc.

On voit que c’est notre procédé actuel , sauf le déplacement du diviseur, déplacement qui, comme nous l’avons dit, se trouvait encore dans les ouvrages du xvT siècle.

XIV. De la division avec différences. Cette méthode, qui n'est plus en usage, et qui même n’est plus connue de nos jours, paraît dans sa forme différer complétcmcut de notre procédé actuel , quoiqu au foud elle dérive du même principe et des mêmes considérations. L’auteur en expose les procédés , mais sans démonstration , et sans paraître en connaître le principe. 11 en est de meme dans tous les autres traités de l’Abacus que nous avons consultés. Voici comment on peut se rendre compte de cette méthode. Elle paraît avoir eu pour but d’éviter les incertitudes et les tâtonnements de la première méthode, et d’obtenir toujours un quotient admissible. Elle consiste à diviser le nombre proposé par un diviseur fictif, plas grand que le diviseur réel. Si celui-ci est un digit ou un article, on prend 10 pour diviseur fictif. De cette manière, la dénomination est simplement le dividende tout entier, c’est-à-dire le plus grand dividende; car on ne divise jamais, dans chaque opération partielle, qu’un nombre simple. Après cela, il faudrait multiplier le diviseur par la dénomination pour soustraire le produit du dividende. Au lieu de celte opération, on opère par les compléments arithmétiques; on multiplie par la dénomination le complément du diviseur, qu’on appelle sa différence à dix, et on regarde le produit comme un nouveau dividende. Ainsi, divisons 43 par 7; la différence du diviseur est 3 ; la dénomination répondant au diviseur fictif 10 est 4; le produit de la différence par cette dénomination est ta: on ajoute ce produit au dividende inférieur , et l'on a pour nouveau dividende 3 + ta = i 5 . C'est comme si l’on avait multiplié le diviseur réel 7 par la dénomination 4 1 et retranché le produit a8 du dividende 43 . Divisant de même i 5 par 10, on a 1 pour dénomination, 3 pour le produit de la différence par cette dénomination, et 5 -t- 3 = 8 pour nouveau dividende. Ici l ou 11e peut plus opérer par la même méthode , puisqu’il faudrait diviser par 10; alors on revient à la première méthode, c'est-àdire qu’on divise 8 directement par 7. La dénomination est 1 , et il reste 1. Les dénominations partielles sont doue 4 , t et 1 ; de sorte que le quotient total est 6 , et le reste est 1 .

On peut encore se rendre compte de cette manière de procéder, en remplaçant le diviseur par le binôme (10 — 3 ). On aura à diviser 4 ° par

(10 — 3 ); le quotient est = 4 > ct 1 ® reste x 3 = ta. Mais on peut douter que ce soit cette considération de la division par un biuome, qui ait

conduit les Anciens à cette méthode. Je dis les Anciens, car cette méthode se trouve dans le passage de Boècc.

On remarquera que ce procédé de calcul, qui consiste, au fond, à diviser par 10, conduisait immédiatement aux fractions décimales. Mais les auteurs n'ont pas eu l'idée de ces fractions. On ne trouve, dans tous les traités de l'Abacus, que la théorie et l’usage des fractions romaines.

XV. L’auteur donne un exemple de la division simple avec différence. 11 divise 900 par 8.

XVI. De la division composée, par les différences. Si l’on a à diviser par plusieurs diviseurs, par exemple par 35 a , on prend pour diviseur fictif l’article immédiatement supérieur au plus grand diviseur. Ici ce sera 4 °o. On divisera donc, dans chaque opération partielle, par 4 ; et, au lieu de retrancher du dividende le produit des diviseurs inférieurs, 5 o et 2, par la dénomination, on ajoutera le produit du complément arithmétique de ces diviseurs, savoir, 48 , par cette dénomination. Cela revient à remplacer le diviseur 35 a par le binôme ( 4 oo — 48 ).

Ce complément arithmétique 48 s’appelle les différences des diviseurs.

1 On dit que 8 est la différence entière ( differentia integra ) du diviseur 2 , et 4 la différence moins un ( differentia uno minus) du diviseur 5 o.

L’auteur applique cette méthode à la division de 7 800 par 166.

XVII. Quand, dans l’expression des diviseurs, il y a des colonnes vides, auquel cas on dit que la division est avec intermission , la méthode demeure la même : ainsi, a-t-on à diviser par 60402, on divisera par 7, et ou multipliera par la dénomination le complément arithmétique des diviseurs inférieurs, savoir, 9598. La manière dont l’auteur s’exprime pour former ce nombre g 5 g 8 mérite d'être remarquée : il dit que sur le dernier diviseur 2 on place sa différence entière, sur le diviseur 4 la différence moins un, et dans les colonnes vides des neuf, pour servir de multiplicateurs en même temps que les différences.

Pour donner un exemple de cette règle, l’auteur divise 8000 par 606.

XVIII. L'auteur observe que si l'on divise par un nombre qui contient des neuf (tel que 1994), on n'a à multiplier par la dénomination que la différence du dernier diviseur, et l’on se garde bien de multiplier les 9 comme ou le faisait dans l’opération précédente.

XIX. Enfin l’auteur cherche à expliquer pourquoi on prend , dans la division simple, le plus grand dividende tout entier pour dénomination, et dans la division composée, une partie seulement du dividende, laquelle partie est £ si le plus grand diviseur est 1 ; -J, s’il est a; -J-, s’il est 3 , etc. Voiei la singulière raison qu’il donne: Dans la division simple, c'est parce

que le diviseur, joint à sa différence , donne dix ; dans la division composée, c'est parce que les diviseurs inférieurs, joints à leurs différences et aux neuf placés comme multiplicateurs dans les colonnes vides, donnent une unité qui s'ajoute au plus grand diviseur, et forme une somme dont cette unité est la moitié quand le plus grand diviseur est i; le tiers quand il est a; le quart quand il est 3, etc. D’où il suit qu’on doit prendre la moitié du dividende quand le plus grand diviseur est i; le tiers quand il est a, etc.

J'ai cherché en vain une autre explication dans d'autres traités de l'Abacus : c’est toujours à peu près la même qu’on y trouve.

Traduction littérale du Traité de F Abacus dont F analyse précède.

« Jltr.LES di l’abaccs.