C. Diviser 100000 par 20 o
CM
XM
Diviseurs.
Plusgrand diviseur place à U droite du dividende.
Dividende.
Reste.
Autre expression du reste.
Produit du diviseur 20 par la dénomination 4 - Reste.
Produit du diviseur 3 par la dénomination 4 - Reste de la division .
Dénomination.
D. Diviser goo par 8.
Différence.
Diviseur.
Dividende.
Produit de la différence 2 par la dénomination 9.
Produit de la différence 2 par la dénomination 1 ♦
Somme des deux digits 8 et 2 provenus des multiplications.
Produit de la différence 2 parla 3 ° dénomination i.
Produit de la différence 2 par la 4 '' dénomination 2. Reste de la division.
Dénominations.
Somme des dénominations. Quotient total.
B. Diviser 3o par 2*
Diviseur
Diviseur transporte.
Dividende.
Reste; nouveau dividende.
Dénominations.
E. Diviser 7800 par 166.
Différences.
Diviseurs.
Dividendes.
Reste du plus giand dividende.
Produit de la différence 4 par la dénomination 3. Produit de la différence 3 par la dénomination 3.
Nouveau dividende. ff
Produit des différences par la dénomination 1.
Nouveaux dividendes.
Produit de la différence .{ par U dénomination 5.
Produit de la différence 3 par la même dénomination .
Nouveaux dividendes.
Reste du plus grand dividende.
Produits des différences par la 3 e dénomination 1 .
Nouv. divid. plus petits que les diviseurs. Reste de la divis. Dénominations.
Somme des dénominations. Quotient total.
R Diviser 8000 par 606.
9 pour tenir lieu de différence.
Différence.
Diviseur».
Dividende.
Reste du dividende.
Produit de la différence 4 par la dénomination 1 .
Produit du 9 placé avec la différence, par la dénomination.
Nouveaux dividendes.
Reste du dividende 10.
Produit de la différence 4 et de 9 par la dénomination
Nouveaux dividendes.
Reste du dividende to.
Produit de la différence 4 et de 9 par la dénomination.
Nouveaux dividendes.
Produit des diviseurs par la dénomination.
Reste de la division.
| Dénom i nations.
Somme des dénominations. Quotient total.
Recule Abaci(i).
I. Ars ista voeatur abacus : hoc nomen vero arabicum est et sonat mensa , hac affinitale
( 1 ) Ce Traite cil tiré d’un Ma. de la Bibliothèque royale, n° 533 du fond* de Saint. Victor , lequel paraît avoir etc écrit ver* Pan taoo. l)an» le même maau«erlt ae trouvent plusieurs autre» pièce* arithmétique» , la plupart sar PAbocua ; eu voici la Notice : 1 ® Trac ta tus Gerland i de Abaco. Dans ce Traité le* opérations front fluorées avec les chiffres mêmes de l'Abaeus ot dans de» tablcaur >t colonnes L’auteur donne de* valeurs de position même aux signes des fractions, a® Noms et ligures des neuf chiffres de PAbacus et de* vingt cinq fraction» romaines. 3° Notule de Arithmetica. Cette pièce roule sur l'arithmétique spéculative et le*
rerura quia ut ru nique de asseribus solet fieri. Ars ista agit de numéro, vel mulriplicatnmcin et divi&ionem. Ecce hujus materiam et niodum tractandi. Utilitas autem ejus est artificiose et eompendiose scire nuineiare multiplicando et dividende). Si quis vero quomodo liât abaci i s ignorât , liis sequentibus auditis cerlus efificiatur.
II. Disponuntitr quaedam spacia, XII vel plura lateraliter, quse spacia arcus nominantur Et in primo areu scribitur imitas; in secundo numéros ille qui decuplus est unitatis, scili* cet X; et cateri qui in aliis arcubus scribuntur, umisquisqiie suo inferiori proximo decuplus invendue. Et primus quidem arcus, quia unitatem quae singularis est continet, singularisai ritur ; sectindus vero, decenus; tertius, centenus; qiiarlus, millcmis; et nrteri qui seqmintui similiter ab introscriptis numeris nornen traxerunt. In liis arcubus ad multiplicandiini vei dividendum prseparatis, ponuntur diversi caractères numéro IX, qui ad otnnem multiplicationem divisionemque per integros sufficiunl; et illi IX proprie ad singularem arcum pertinent. Et in primo scribitur unitas, in secundo binarius, in tertio trinarius, in quarto quaternarius , in quinto quinarius, in sexto senarius , in septimo septenartiis , in octavo octonarius , in nono novenarius. Qui numeri his (i gu ris et nominihus subjectis inscribuntur et nomi- Dtntnr.
Figure karactenim cum nominibus.
Igin Andras Ortnis Arbas Quimas Calcus Zenis Themenias Olentis
His ita figurai» et nominibus désignât» , dicendum mihi videtnr quod , si ununrt in abaebo ponere volueris ponct 1 in singtdari areu ; si duo, poncs in endem areu ; et sic referas sumtnas numeri usque ad X exprimera poteris ponendo oeteros caractères in codent areu. S i vero X volueris habere, pone I in deceno ; si XX , ponc ^ in eodeni ; et ut breviter dicam, quilihet raracter positus in quolibet aren sommant illius arcus lociens notât , quntiens ille caracter unitadbus insignitur, ut, si caracter unitate inseribitur, in quocumqne areu ponatur, sumniam illius notât semel ; si binario , bis ; et sir jlc cseteris. Tunique ita sit qnod caractère» exprimunt quod minus est in arcubus et e con verso, scilicetin arcubus continealur quod minus est in caractrribus, isd IX caractères , ad onrncm miiltiplicadoncm divisionemque, conven irriter per arcus dis|Miatti , sicttl supra diximus, snffieiunt.
III. His breviter dictis , dtrendum primo mihi vidrtur de numéro , quia abus digitus, alius articulus.
Higiti snnt omnes usque ad X; decem vero articulus est , et quicumque drnario vel pluribus denariis additis numeri surgunt. Ceteri vero , sieut XI , XII , et reliqui usque ad XX ,
propriétés des nombre». 4° Duo sunl «eicnlie, Ionien et mathemalica... Dissertation sur l'arithmétique, et particulièrement »nr le* princii*** du système de l'Abatus. 5° Régulé Abaci C'est le Traité que je publie ici. fi* Dit vers, dont neuf sur le* neuf chiffres- /ÿjin, andras , etc., et un dixième sur Ig tèro nommé upos Régulé Abaci. Traité de l'Abacus «ans nom d'auteur, mais qui appartient è Adélard, le traducteur des Éléments d’Euclide, ainsi que je l'ai reconnu d'après un manuscrit delà bibliothèque de Le j du, où le mi ni ’ ouvrage se trouve sous le nom <T Adélard.
ex digito el articule corapositi sunt , et , ut breviter dirain , oeteri omnes qui non ex denario vej denariis denario additif consurgunt. Et notandum est quod sicnt omnes usquc ad decem ,
digiti ad ipsum X sont, sic X et ceteri articuli usque ad sont; Centura vero et eeteri
usque ad mille sunt digiti ad ipsum mille; et sic de qualihet infcriori unitate usque ad proximam siiperiorem unitatem.
• Numcri vero de unitate usque ad X digiti vocantur, en quod numeri illi per Bexuras vel exlrrisîoncs digitorum notentur.
IV. Verbi gratia, quando unum innuere volumus, flectimus minimum digitum levas in mediam paiinam ; quando duo eumdem et medicum; quando III prædictos et medium; quando IIII, medico el medio flexis supradicto modo , minimus erigitur; quando V medicus mm minimo erigitur, solo medio flexo supradicto modo; quando VI médius et minimus eriguntur flexo medico supradicto modo; quando VII minimus ad radicem palime llectitur; quando VIII minimus et medicus eodem modo flectuntur; quando IX médius quoque cnni supradictis inflectitur. Et quia toti digiti ad hos numéros notandos flectuntur vel eriguntur, ut dictumest, ideo numeri per eos denotati , digiti vocantur. Decem vero et quicumque denario vel denariis additis numeri surgu Ut, artimli vocantur» eo quod digitorum articulis soient notari sic : si X fcotare velimus, ungulam pollicis in summo articulo indicis inflgimus; si XX , summum artirulum indicis super ungulam pollicis ponimus; si XXX , ungulam pollicis atque indicis quasi ldando OSCulo lateraliter copulamus; si XL, sub medio areu indicis polliccm ponimus ut unguis ultra apparent ; si L, polliccm in inodum gamma flectimus, indice par uni inclinato ; si LX, pollicem in moduni gamma plicatum indice cingimus ; si LXX , aura mitatem pollicis inter inferiorem partein indicis atque niedii exponimus; si LXXX , ungulam' pollida in medio areu indicis figimus; si XC, summitatem indicis ad radicem polbeis in flectimus StC, a sinistra in dextram transiinus, et quod est in siniatra X, est C in dextra ; quod autem est XX in sinistra, sunt CC in dextra; quod est XXX in sinistra , sunt CCC in dextra; quod est XL' in sinistra, sunt CCCC in dextra; quod est L in sinistra, sunt D in dextra; quod LX in sinistra, sunt DC in dextra; quod est LXX in sinistra , sunt DCC in dextra ; quod «*st LXXX in sinistra, jtiint DCCC in dextra ; quod est XC in sinistra , sunt DCCCC in dextra ; quod est C in sinistra , est I in dextra ; quod autem est CC in sinistra, est duo millia in dextra ; et , ut breviter dicam , eodem modo crescunt millenarii in dextra quo imitâtes in sinistra. Srtl hoc hactcmis.
V. Nunc ad multiplicationem divisionemque tractandam redeamus ; et prius de multipli cationc dicâmus.
MulLiplicatio igitur alia simplex , alia composita. Simplex est quando unum «rat multipiirans, quotquot sint multiplicandi : composita quando plura multiplicanl, etsi muUiplirundum sit unum. Multiplicatio composita alia continua , alia intermissa. Continua est quando multiplicatores continue ponuntur in sedibus suis, veluti si primus in singulari, secundus ponatur in deceno, et tertius in centeno, quarliis in milleno, si lot fuerint; si ctiam plures ita disponantur quod nullus arcus intermittntur. Intermissa multiplicatio est quando positis multiplicatoribiis , unus arcus vel plures intermittuntur. Sed quia nulla major difficultas est in composita quam in simplici, aut intermissa quam in continua, redeuntes ad ipsum totum, ad multiplicationem scilicet, diversitatem regulanim illins , a singulari arc n inripientes ostendamus , aliquos multiplicatores summamque multiplicandam ponentes.
VI. Ponamus igitur trinarinm in singulari et binarium in deceno, multiplicafores , et senarium in ceriteno , et quaternarium in milleno, niultiplicandos; itaquod multipliratores in inferioribus sedibus, multiplicandi in sitperioribus, su mina qu* indeexcrescet in raediiscampis ponatur; et positis multiplicatoribus et multiplirandis, incipientes a singulari, dicamus: Ter sex , XVIII sunt; régula h*c est : singularis arrus qiiemeumqiie multiplicat , in eodem pone digitum , in ulteriore articulum ; ponamus igitur VIII qui digitus est in centeno, et X qui articulus est in milleno in raediis rampis, et quia nullus caracter X scilicet isto numéro inscribitur, ne dubites quod pro eo X débets ponere , pone numerum ilium qui solus positns in deceno areu facit, X scilicet unitatem ; et similiter faciès iibicumque X amis «rit poneudus. F.t ne deinceps de ceteris articulis ponendis du biles , semper |)one pro XX binarium , pro XXX trinarium , pro XL quaternarium, pro I, quinarium , pro LX senarium , pro LXX septena rium , pro LXXX oc tonarium , pro XC noveotrium. Sed ne nosler ex cursus rnodum excedat , ad predictam mullipluationein mita mus. Uis summis scilicet VIII et denario sic positis, restât ut quaternarium qui est in milleno, per ternarium qui est in singulari , multiplicemus sic : ter IIII , XII. Régula supradicta non niutattir Positis igitur illis summis in mediis ranipis sccundmn regulam, scilicet posito binario in milleno, et denario in deceno milleno, restât ut per binarimn duos multiplicandos multiplicemus; sic : bis VI, XII. Régula h*c est : Dccenus arcus quernrnmque multiplicat , in secundo ab eo multiplicato pone digitum, in ulteriore •irticuîum. Positis igitur summulis scrundum regulam , restât ut per binarium deceni arcus inultiplicetiir quaternarius milleni sic,; bis quatuor VIII ; régula non mutatur. Posito igitur VIH in secundo area a milleno, nicliil est multiplicanduin.
Sed restât ut a multititdinc caracterum arcus nostros ptirgemus , et tune demum summam multiplicationis colligamus.
VII. Purgare arcus est quando, pro multa caraeteribus, unus solus caracter ponitur
secunduin su m mu las mumerorura qui in eis cai*acleribus scribuntur. Ponitur alitera unus caracter pro mollis quandoque in eodem areu, quandoque iu diverso. Unus pro tnultis in eodem areu, quando tota somma qu* in mulffs continetur digitum non excedit; unus pro inultis in diverso areu, quando de stimma raultonim crescit articulus solus, ut X, vel XX, vol aliquis ali us. Et semper illc articulus ponitur in proximo sibi diverso. Si vero et sumina multorum crescit digitus et articulus, digitus manet et articulus transfeirtur. Et ita ponuntur iiiulti pro multis. Hanc purgationem semper et in multiplicalione et în divisione , ab inferioribus tendendo ad superiora, incipere debefnus. A *
Istum igitur ordinem sequentes ptirgemus eos; etqnia in centcno nirhil est purgandum , # ram unus solus caracter in eo sit, qui octooario inscribitur, transcamus ad ràülenum in quo sunt duo binarii et unitas, et pro illis quinarium ponamus. In XM est octnnarius et ducunitates; unde cfBcitur articulus, X scilicet, et idcirco illis remotis, scilicet VUT et duabus unitalibus, transfertur unitas, ea ratione qua supra diximus debere transferri unitatem pro denario , binarium pro XX , et carteris eosdem caractères qui in multiplicatione pro articulis ponuntur. In talibus purgationibus quoque et , ut genenliter dicatur, quotiescumquc articulis ponendis opus fuerit, pones ordinc supradicto scilicet ut pro X, ponatur unitas ad alium arcum translata; pro XX, binaritis; et caetera. His ita translata, ecce haberaus unitatem in CM ; quinarium , in M ; octonanum , in C. Potes igitur secure dicere quod si IIII milia et sexcen ta per XXIII roultiplicentur, surget h*c summa: centum quinque milia et octingenta.
VIII. Ecce baberaus régulas siogularis et deceni arcus; hacc autem est ccnteni : Contenus
qucincumque multiplical , 111 II 1 C, ° ab eo pone digiium , in ulteriore articulum. Millemis, in quarto ; decies millenus, in quinto, et, ut plane et breviter dicatur, qnoto loco quilibet arcus distat a singulari, loto loco reraovetur digitus ab eo quem multiplient , et semper in ulteriore ponitur articulus.
IX. Hactenus de inultiplicatiouc ; nunc «le divisione dira mu h.
Divisio alia sine differentiis , alia cuni different iis. Divisio sine differentiis est cum nulla difTerentia divisoribus supraposita ; cum differentiis vero est divisio, cum divisoribus difierentia siiperponiitir , una uni vel plures pluribiis, ut postea diretur. Scd prius de division** sine differentiis dira mus. Qu*, alia simplex, alia composi ta Simplex est cum divisor est omis, &ive dividrndum sit unum, sive multa sinl dividenda Hic quoque mult* divers* tra~ duntur régula?, ut postea diretur; scd prius quatmlam omnibus divisoribus generalem ponamus , sic : Divisor cujuscumqtie sit arcus , si minor vel equnlis fuerit summ* dividend* , susuprajHHiitur , si non, secundatur. IJav in omni divisinne servanda est. Nunc de diversis regulis dicamus qu*dam ; prius aliquam simplicem divisionem faciendam disponamus.
X. Poiumus igitur binarium divisoreni in singulari areu et ternarium dividendum in X. His ita positis, juxta régulant supradictam divisorem dividende) supra appones , scilicet binarium trinario , et dices : quociens est binarius in trinario? Semel, et remanet unus. Sente! est denominario, et pro ilia denominarione pones unitatem in inferioriaede abaclii sub codent divisorc, juxta regtilam <ju* dicit : singularis divisor quocumque translatus fuerit, sub rodent pone denominarioneni. Unitas vero que remanet sub eodetn divisor* in iDcdîo c amp*» ponetur, juxta haut* régulant : si digitus de digito remanet, non mutât locum sed manet ; si aitintlus de articulo, manet; si digitus et articulus de articulo, articulus ntanet, digitus transfert ur. Sed quod digitus et articulus de articulo romançant , si deinde dividende proeessi’rls , nimquain insimpliri divi&ione reperies, sed tantum in composita. Posita denominarione in inferiori sede et unitate rémanente in campo medio ,-ut dictum est , restât ut divisorem , scilicet binarium, *piia majores! dividende, un» areu inferius ponaimis. Quo facto, queritur itenwi : Quoties divisor , scilicet binarius, in dividendo sit, scilicet in denario? et respondc- •ur : quinquies , et nihil remanet. Ponatnr igitur quinarius ut denominario , juxta rcgulaiu predictam ; caque posita , habemus unitatem in X et quinarium in singulari areu ut denominarioncs, et nichil restât dividendum Possumus itaque dirvrequod, si XXX duobus dividentur, imicuiquc pertinet XV, et nichil remanet : et hoc |>otest probari per multiplicationem.
XL Haetriius de simpliri divisinne, et quia régula singularis divisons de ponenda clenominacione patet , nunc de ceteris regulis reliquorum divisorum breviter dirainus. Decenus divisor quocumque translatus fuerit, denominacioncm sccundabit; ccntenus terriabit; millenns quarlabit, et, ut plauius dicatur, quoto loco arcus quilibet a singulari discesserit, toto loco rétro ponetur denominario sui divisons , quocumque translatus fuerit.
His expeditis restât ut de composita divisione dicamus. *
Tfîomposita divisio est cum plures pnnunlur divîsores , quolqitot sint div idendi, et si maxinufs d ix’isor minor vel eqnalis fuerit , supraponitui; si non, secundatur, ut dictum est superins; et facta qtii'stione : quotiens divisor in dividendo continetur ? et posita dénomination* 1 , juxta regulam pnrdictam ponendarum dennminaeionum , restât ut minores divisores, per position denoiuinacionem multiplicati, a dividendis auferanliir, positis residuis, ut docuimus, pro ratioue articulorum et digitorum. lu bac vero divisione sepe rémanent digili et articuli , et sernper in nx'diis campis ponunter, ut dividend). Et hic ordo division is servabitur «juousque #
divisores ad proprias sedes referantur. Quibiis relatis, si su mm a dividcnda major vel cq lia iis divisoribus fuerit , tuoc qnoque «livide quoiisqnc divisores majores sint dividende.
His breviter dictis , direndum mihi videlur de composita divisiono, quod alia continua , aiia intermissa. Continua est, quando divisores continue ponuntur, positis quolibet modo dividendis; intermis&a est, quando divisores , intcrmisso uno areu vel pluribus , ponuntur, positis ubicumqae dividende.
XIII. Ut autem quod dicitur magis apparcat ponarnus quamdam intermissam sic : Po-
nantur igitur divisores in singulari teruarius, in X binarius , et in X.M . alius binarius , in-
tennissis duobus arcubus, C scilicet et M . Positis itaqne divisoribus, ponatur imitas dividenda in CM ; et ita centuni milia sunt dividenda XX milibus et XX tribus. Modo binarius , quia major est unitate, juxta supradictam régula m , secundatur. Nunc restât qmerere quociens est binarius in X. Possédais dicere quinquics ; sed quianicliil de somma rcmaneret quod inferiores divisores pussent capere, dicemus q lia ter, et rémanent 11°; et ilia Il v , quia rémanent de articulo et sunt digitus, transferemus, et denominacionem quintabiinus , sicut régula exigit. Hoc facto dicamus : quater duo, VIII sunt , modo possemus VIII auferre a XX milibus; «piilibetemm quartus amis superior ruilibet quarto inferiori millenus est; et positis residuis, bene procederemus ad finem divisionis; sed faciamus compendiosius, et ponamus siogulos novenarios in vacuis campis, et denipta unitate ab illo binario qui superiusremansit, superponanjus eam novenario inferiori, et lune illud VIII, qui de binario multiplicato per denominaçîonem supra sumptain cxcrevit, a denario aoferanms , et remanebunt II , et transterentur, et unitas supraposita novenario abicietur. Modo sequitur ut per denmuiriacionem suprapositam , scilicet per I1II , ternariurh multiplicemus sic : quater très, XII : modo restât ut XII a XX atiferamus ; XX enim propior est ei , et constat quod de propiore sibi drbet auferri et etiam de sibi subposito , si subpositus major est eo. Dicamus igitur : si XII auferatitur a XX, quot remancrent? VIII, et transferuntur. Ecce facta est divisio compendiosius per novenarios in vacuis campis positos , et perunitatem inferiori novenario superpositam. Et, qnotiens opus fuerit, tali' ponte sic facito : Deme unitatem somme a qua debes auferre inferiorem divisorem , quecumque sil somma ilia , et si su la unitas ibt fuerit , illarn solam stime , et positis novenariis in vacuis campis, superpone eam unitatem inferiori novenario. Et mémento auferre illud quod aufertur, et in hac divisione et in omnibus aliis, a superion numéro sibi proxirao. Ecce habeinus quaternariuin denominacionem , et X et IX milia et nongenta octo rémanent dividenda : qua» «mima divisoribus minor est ; palet igitur quod de CM piris pertineantXX milibus militibus et XXITT, unicuique III I pira, supradirtis remanentibus. Et quod ita sit multiplicatione probant poterie.
XIV. His t^cpeditis, de divisione cum dîfFerentiis (•> restât dicerc.
Divisio cum differentiis alia simplex , alia composita. Simplex quando unus soins divisor; composita quando plures divisores ponuntur, sivedividendum unum, sive plura sint. Simplex autem hoc modo fit : Ponitur quilibet numerus divisor in areu quolibet , et illi divisori posito
l*) Il y a dans !«• M*. au lieu de cum. C* mot sine a été ««rit par une main étrangère qui a rétabli quelques n.ma illisible*. Car la pièce que je pabtio ici est, en général, très-difficile à lire IVncre s'étant altérée et ayant blanchi.
superpouilur differentia Unix quantitatif qtmd sumina divisons et dilTticnliæ sit dcnarilisg atqiH* ponitur quolibet summa dividenda , et divisor non suniit partent de smnma dividende ad denominacioneni , sed ipsum totum ut denoniinationcm sumit , et per ipsam sumptani multiplicatur difterentia , et summe qu* inde excrcscunt , ponuntur sicut régula multiplicalionis exigit ; et quociens inde articulus excrescit , redit ad priorem donominationc m , et per ipsum iteruni multiplicatur; et quoties ex multiplicatione digitus excreverit, unoarru inferius ipsa denominacione ponetur.
Et notandum quod in t.ilibus divisionibus , scilicet in divisionibus eum difierentiis , sem- |»er divisores ponuntur in digitis, dividendi verd in articulis; et quoliens dividtndi iisquc sub divisoribus referuntur, nuitatur divisin, et de ferrea redit ad au rca m , scilicet de ista cum difierentiis ad illani quæ csl sine difterentiis.
XV. Gratin aiitem exempli ponatur quædam simplex divisio cum diPferenciis, sic :
■ Ponatur VIII divisor in singulari areu, et superponatur ci dilTerentia qo* cum co raldatX, scilicet binarius , et ponatur novenarius dividendus in Carre, et tune restât dicerc: simplex divisor cum difTercntia si primatus fuerit, denominaciom m sunipUin a loto secundabit. Hcc est prima régula. Sume denominacioneni, hoc est ipsum totum ; et ne deineeps de aliis inveniondis dubites , scias quod , sicut’ primatus secundabit, sic srcundatus terciabit, terriatus quartabit , quartatus qtiintabit, etc. Data superiori régula, sume denominacioneni, hoc est ipsum totum ut denominationem , et pone in secundo areu, scilicet novcnariutn pone in deceno areu in inferiori sede ; mulliplicata difTercntia per denominacionem, dites banc regulam : decenus arcus 9 . m. in secundo a. r. p. ri. i. «. a Pone ergo Vlil in X , et iinitatcm in C, et ita habes quod ex multiplicatione excrevit , digitus et articules. Refer igitur articulura super priorem denominacionem , juxla regulam qux dicit: si artimlus inde excreverit , ad eakndem denominacionem» redit ; et 'multiplies per ipsum articulum, scilicet per m.itatem, difTerenliam , scilicet binariuiu, sic : semel duo, II sont. Modo die regulam deceni amis, et pone summam quæ iode excreverit, scilicet binarium injdcccno, et ita habes VIII et H in deceno, onde surgit X. Remoto igitur V1III, transfertur imitas in C, et iteruni supra cèleras denomirtadones refertur lege articuli ; et per illani unitatem multiplica supradiclam diflerentiam , scilicet binarium , sic : semel II , II sunt. Data régula deceni arcus ; ccce restât ut binarius qui e\ multiplicatione crevil in X ponatur ; et quia digitus est, ultra di nominaciones supradictas in proximo areu, ut denominacio ponitur : et tune restât diccre * bis II quatuor, et juxta regulam singularis arcus ponitur ipsum 1111 in eodem singulari areu, et ablata diflVn m ia qua VIII ille divisor regebatur, manifestum est divisorein qui majores!, nichil in quatemario possecapere per intégras. Einem igitur hnbet divisio, et restât ut, secunduni pu rga lionis regulam , unam de unitatilms quæ sunt in X transferas , alia ibidem reliclaet remoto IX ; et ccce habes II imitâtes, unam in C, aliarn in X, et binas in singulari; et ita palet quod VIII militibus pertinent de nogentis piris unicuique C et XII , rcmanrntibus II1I in communi. Quod utrutn verum sit, multiplicatione poteritprobaii. Et notandum i^t quod isia nuiStipliratio non 1 nMnfîerentiani multiplicando , sed summam qrae dilfenntisr subirai, snlicel VIH; et sic de pi céleris»
XVI. Restât ut de composila divisione cuni difTercntia dicamus Composila div'sio, alia
t’î DeccniM nreu» qunmcumque multiplient r in icruivlo tbco pono digilum, in tillcriori articulum.
continua, alia intermissa. Continua est, quando divisorcs continue ponuntur; intermissa «|unndo unus a rcus, vel duo, vol pl tires intermittuntur positis di\isoribus, quoquo online dividendi ponantur. Ut autem quod dicitur clarius liquescat sub exemplo ostendatur continua, deinde intermissa.
Ponantur igitur divisorcs hii : VI in singulari ami, VI quoquo in deceno , unitas in C. Régula autem superponendariuu differentiarinn h*c est : Inferiori divisori superponetur integra differentia , scilicet senario superponetur quatemarius; medio vero su per point ur differentia minus uno integra , scilicet senario ternarius, et quotiens plures medios posueris , quotquot fuerint, semper differentias minus uno intégras cis superpi mes : major vero divisor milia gaudet differentia. liis ila positis, ponantur dividenda , scilicet VIII in C; VII in inilieno. Hoc facto, natura divisionis exigit ut major divisor qui est imitas, sumat médian* partent de dividenda sumiiia , scilicet de VII, et unitas quae remanebit, sumpta medietate VII , scilicet siiinplis tribus, ibidem maneat, et sumpta pars, scilicet III, in inferiori parte deceni an-us ponatur, juxta regulam tpiain dieam : Composons divisor mm differentia tcrciatus , jwirtem sumptam a dividendo ut denominacionem terciabit, si ipsa pars inde sumitur ut a digito; si inde sumitur ut ab articulo, quartabit; et nedeinrepsde talibus denoniiiiacionibus ponendis dubites , scito quod , sicut tereiatus ten iat, similiter seciindatus secundat , quartatus quurtat, et sic de celeris, semper parte que ut ab articulo sumitur uno areu inferiorata.
Ut autem quotani partem dividendi major divisor capere délicat intelligas , scias quod si imitas fuerit major divisor, smnit diinidittm ; si binarius , sumit terciarn partem; si ternarius, quartam ; si quatemarius, quintam, et ita creseente quantitate denotninaeionis divisoris, quantitas sumpta; partis semper minuitur. Unde autem hoc contingit quod , si est unitas , sumit diinidiain partem, si binarius, terciarn partem et sic de celeris; et quur in simplici division** cum iliflferentia Iota major su mrua dividenda ad dcnominacionem capiatur, posterius dicemus. S**d prius predictam divisionem exeqiiainur. Positis igitur supradictis summis dicamus. Quota est medietas septenarii ? III et rcmanct 1. Hoc dicto, ponatur ilia medielas, scilicet III, in inferiori parte X*areus, relicta dividenda uintate in milleno , et lune restât ut per illam partem , scilicet per ternarium differentias divisonun miiliiplicemus sic : ter 1III, XII; et secundum regulam multiplicationis deceni arcus, ponitur binarius in deccno , unitas in centeno, et jiostea diriiiius; tertres, IX. Hoc^qtioque posito in centeno areu, secundiim regulam, ercebabemus binariiim in deceno, novenarimn et octonariiim et unitatem in centeno, et unitatem in milleno. Modo restât ut reuioto novenario et manente oclonario, unitas transferatur in millenum. Kl tune iterum qusrritur : quota medietas binarii J unitas ; et ea unitate posita super priorem par tem, scilicet super ternarium , et alia unitate remota a milleno areu, |H*r unitatem super ternarinm positam'multiplica difTerentiasdiv isoru m. Hoc facto et pcaiüsexcrescenlibussuniim», secundum regulam multiplicationis, ecre babel 1111 et II in X, et VIII et III in C. Ptirgalis* igitur ami bus , remanel VI in deceno, uniras in centeno et imitas, in milleno. Modo quia medietas unitatis per intègres non potest sumi , nei aliquis digitus |>«r iinilateni notatur, restât ut inedietatcm X sumamus; et nota quoties poteris sumere ut de digito parient suinen J». nunqtiatn sûmes ut de articulo; si vero ut Je digito non pote ris, suine de articulo : quare stiriieiidam partent eontinentetn inferius per ilium numeruin notation inveneris , qiiotomtnqtie ami • listel a divisore. Et sumpta pars de articulo semper uno areu a sumpta parte a digito inferiorabilur, secundum regulam supradictam. Dicamus igitur : quota est medietas denarii? V; posito i faq ne quinario secundum regulam, in areu singulari, multiplira differentias divisor ion
per V. Hoc facto et purgatift arcubus , rémanent duo ternarii, unus in X areu, alius in centeno; et tune dicemus : quota est medietas III ? Cnitas, et remanet untim. Retenta igitur sola unitate in renteno , alia superponitur quinario, secnndtim regulam supradictam , et per eam unitatem multiplicatis difTerentiis divisortim , et positis summis excrescentibos in mediis campis» et purgatis arcubus , remanet quatemarius in singulari , senarius in deceno , imitas in centeno et nichil restât dividendum; quod palet remotis difTerentiis a divisoribus. Pertinent igitur de VII milibus et octingentis piris, CLXVI miltibus unicuique XL VI , remanentibus CLXHII mmmunibus ; qnod multiplicatione probari potest.
Ita fit romposita divisio cuni difTerentiis et conjuncta.
XVII, Nunc autem de intermissa cuin difTerentiis dicamus, inde exemplum ponendo, sic : ponantur duo senarii divisores, unus in singulari et alter in centeno , et inferiori super- |K>natur integra differentia, majori nulla, et ponatur octonarius dividendus et dicamus: quota est septima pars octonarii? imitas; et ponitur imitas in deceno areu ut denominacio, et unilas que remanet non transferatur, sed nianeat juxta regulam qute dicit : quod de digito remanet, manet; quod vero de articulo, transfertur, nisi arliculus de articulo remanserit, quia tune quoqiie manet artirtilus. Hoc facto restât ut per illam partent, sciliret unitatem, differentiam multipliceraus sic : semel quatuor, quatuor sunt; et posito ilfo digito, scilicet 1111, in X, secundum regulam multiplication», restât ut in superiori parte deceni arcus ponatur novenarius inultiplicandtis et dicemus: sernel IX , novem sunt; et posito IX in centeno, $eruiidum regulam, ecce liabemus 1111 in X , IX in C, unitatem in milleno in mediis cainpis. Et notandum est quod sicut ille novenarius in X multiplicandiis ponitur, similiter multi novenarii pnnerentur multiplicandi , si multi vacui campi iotermissione paterent; qui novenarii semper cuin difTerentiis renioventuç; et hoc interest inter continuant et interinissam divisionem. Modç quia uni tas septima parte caret , quærelur quota sit VU pars denarii, et respondebitur imitas, et poftetur uno areu inferius quasi de digito remaneret, et ternarius qui remanet de X transferetur juxta regulam, et tune per partent positam, sciliret per unitatem uiultiplieabitur differentia et novenarius; et po&itis suinmis excrescentibus in varuis campis, juxta regulam, ecce babemus HH in singulari areu, IX et 1111 in deceno, novenarium et ter- 4 narium in milleno. Quibus pur gatis , remanet quatemarius in singulari , et ternarius in deceno, et alius in centeno , et imitas in milleno ; et tune quoque qnseretur quota sit VU pars denarii , et respon débit u r : imitas, et rémanent III. Et posita unitate,^» translata temario, et multi pl ica ta differentia et IX per unitatem , et purgatis arcubus, ecce habenms VIII in singulari, hinarium in deceno, sçptenarium in centeno; et remota differentia et novenario, qui sola multiplication» causa in deceno areu posttus fuit, ad aureain divisionem venitur; sunnna enim dividenda divisoribus habundat. Cetera salis patent.
XVIII. Notandum autem est quod si in inferiori aren aliquem numerum cum integra differentia posueris, et in milleno unitatem , et inter cos in singulis arcubus singulos novenarios, si istosj inqitaiti, ut divisoro* posueris, supra dicto modo quæcimique volueris di vides, nisi quod nb'venarios quorum unus est in deceno areu, alius in centeno, nunquam in surnma re- . ' colligenda mnltiplicabis : atque hoc soluni interest.
XIX. His pcrtractatis , restât dicere quur in simplici divisione cum differentia , totum ad denominacionem capiatur; deinde quur in composita division? cum differentia unitas metliam parteni, binarius teriiam, ternarius quarlam capial; et ita singulis in ordine po-
sitis, singnlis luiitatibus tlenominacin pallium smnenilariuii crvscal. In simplici divisiont- l um differentia, diviser cum differentia faeit X, ci in divisionc sine differentia nun<|nam ponitur X diviser; scd qtiolies in aliquo areu invenitur X in caracteribus, reinolo novenario transfrrtur imitas, el, sirut lege liujus divisiouis cum difTerentia tota sumiua major ad denominacioneui semel suniitur, similiter eadem somma, vel tota simul, vel per partes, lege divisiouis sine differentia, ad denoininacionem sumilur; quoi! satis patebit diligeuti expérimente investiganli. In divisione autem composita cum differentia , rum inferior diviser cum integra differentia ponatur, et medii divisores habeant differentiam minus tino intégrant , major autem diviser millam habeat , imitas de inferiori divisore ad stiperiorum ilium mediis interposais , non sensibiliter sed intelligibiliter transit ; quare si ilia unitas juncta illi ntajori divisori medietas illius conjuncti fuerit, quatritur quota ait medietas dividendi , et ponitur denominacio supradicto modo; si vero translata unitas fuerit III pars conjuncti, quatritur quota ait terria pars dividendi ; si quarta, quseritur deqtiarta; si qtiinta, quæritur dequinta; et sic de ester». Quia vero hatc supradicta de integra divisionc sufficere existimo, deinceps de divisionihus pet tuinucias dicamus. Finite régulé Abaci.
Analyse et explication du traite de Gnbert.
Je vais d’abord présenter une analyse succincte de cet ouvrage et ensuite je l'expliquerai textuellement.
Dans une courte préface, qui forme la lettre d envoi à Constantin. Gcrbert annonce que les règles de l'Abacus sont un sujet très-ardu qui pécessitc l’étude des auteurs anciens. Car, sans cela, dît-il, comment saura-t-on ce qu’on entend par digilus , articulas, minutum? comment saura-t-on quand un même nombre devient simple ou composé , tantôt digit , tantôt article? Il ajoute qu’il exposera brièvement en paroles, mais longuement en préceptes» cet art qui sert à mesurer 'sûrement le ciel et la terre.
Apres celte courte préface, fauteur expose lé» réglés de la ftmltipliration, puis celles de la divisfe», sans parler des principes du système île numération, ni du tableau à colonnes sur lequel les calculs s'exécutaient. Il suppose tout cela connu. On ne voit donc pas tout d’abord à quel système de numération se rapportent les règles qu il décrirai par quels procédés matériels on les exécutait. Mais le sens dans lequel j’ai interprété ce text^pour le rendre intelligible, prouve qnc c’est bien sur un tableau à colonnes et avec des caractères numériques prenant des valeurs de port/ton queGcibefèexécittr ses calculs. Je 11 'aurai pas même besoin d'invoquer pour cela l'analogie de ses régies el défont son texte soit avec Je passage de Boéce, soit avec le traité de l Abarus que j'ai fait connaître précédemment. Il n'v aura donc aucun doute
a ce sujet, je I espère du moins, quand j’aurai expliqué et éclairci le texte de Gerbert.
Régir s tic la mullipliratinn .
L’auteur énonce, l'une après l'antre, les règles de la multiplication d'un nombre exprimant des unités, des dizaines ou des centaines, etc., par un nombre exprimant des unités, des dizaines ou des centaines, etc. Ces règles senties mêmes que celles que nous avons trouvées dans le traité précédent; mais elles ont ici une expression plus laconique, cor Gerbert ne donne pas un nom propre, tel que ai eus, aux colonnes, il les désigne simplement par les termes singularis, deeem, centum , mille , etc., c'est-à-dire par les nombres l, X, C, M,etc., écrits au baut des colonnes. Ainsi, pour la multiplication d’un nombre des unités par un nombre des unités, il dit : « Si multiplicaveris singularcm numerutn per singularem , dabisunicuique digito singularem et omni articulo „ decem. > Et pour la multiplication d’un nombre des unités par un nombre des dizaines : « Si singularem per decenum, dabis unicuiquc digito deeem et articulo centum; - c’est-à-dire, « -à l'on multiplie un nombre des unités par un nombre des unités, on donnera au diyit la colonne des unités et à 1 article la colonne des ' dizaines. Si l’on multiplie un nombre des unités par un nombre des dizaines, on donnera au digit la colonuedes dizaines et à l’article la colonne des centaines. « •
C’est probablement pour plus de brièveté que Gerbert désigne les colonnes simplement parles mots singulttris, deeem, etc.; car la plupart des auteurs avaient un terme spécial qu’ils joignaient à ces mots. Boèce appelait les colonnes pagina , paginula ; Bernelinus et d'autres les désignaient par le terme tinta. Ainsi linea singularis, linca deceni, etc., signifiaient colonne des unités, colonne, des dizaines , etc. Le terme le plus usité «lans tout le cours du xi* siècle a été arcus . Mais on s'est servi aussi de beaucoup d’antres expressions, qui toutefois, navaient pas un sens aussi particulier, telles que terminus, spatium, inlervaUum, sedes, locus, regio, ordo, etc. Je reviendrai sur cette partie de l’histoire du système de l'Abacusqni n’est pas sans intérêt , t où l’omretrouve le fij décidées par lesquelles lesCbrétiens, au moyen âge, ont passé pour donner à leur arithmétique sa forme actuelle.
Gerbert éfiénce l\inc après l’autre, et toujours dans les mêmes termes, vingt-et-un^ règles de la multiplication. I.a dernière est celle d’un nombre îles cent-mille par un nombre des cent-mille. Ccst aussi ce que Boèce avait fait, plus tard, on ^itfiplifié la classification de ces règles, et on est même
parvenu à les comprendre toutes sous un même énoncé, comme nous l'avons vu dans le traité précédent (i).
Règles de la division .
Si les règles de la multiplication sont faciles à comprendre, il en est tout différemment des règles de la division : celles-ci sont d’une parfaite obscurité; elles semblent ne rien présenter qui ait rapport soit à nos procédés actuels de calcul, soit même à notre système de numération. Cependant, c’est bien dans ce système qu’elles s’exécutaient ; mais elles diffèrent de nos règles actuelles , et elles ne nous sont plus connues, probablement depuis six siècles. F.lles ont aujourd’hui cela d’intéressant, qu’elles nous donnent une idée de la nature des spéculations arithmétiques qui ont occupé l'esprit des anciens géomètres , probablement dans l’école de Pytbagore ; car ces règles sont celles de Pytbagore même, s'il faut en croire Boèce, qui attribue cette doctrine à ce philosophe.
Les règles données par Gerbert , comme par Boèce , ne sont pas présentées dans toute la généralité qu’elles comportent. L’un et l’autre ne les appliquent qu’à des cas particuliers qui forment autant de chapitres. Elles se rattachent à deux méthodes distinctes. La première est celle où l’on opère par les différences , comme on l'a vu dans le traité précédent. La deuxième se rattache à notre méthode actuelle; mais Gerbert ne l’applique qu’à deux cas particuliers, où elle est compliquée d’opérations qui en obscurcissent le principe.
(t) L'auteur s’exprime ainsi : « Quoto loco quilibet arcus distat a singulari, toto loco rc- > movetur digitus ab eo quem multiplicat, et semper in uUeriore ponitur articulas. ■
Plusieurs autres traités contiennent des énoncés également généraux et qui prouvent que les auteurs s'étaient familiarisés avec ces régies de calcul. On y lit : • Quoto loco multiplicator in • Abaco positus fuerit , toto loco ab eo quem mq|ti plient ordinet digitos , in niteriore arti- » culos. — Quoto loco multiplicator steterit, toto loco a mulüplicando ponat digitos, et ul- - teriorc articules. > (Liber Radulfi Laiidunensis de Abaco; Ms. de la Bibliothèque royale, fonds de Saint-Victor, n” 534-) — «Quodcunque multiplieatorum adhibeantur, quisque eorum » quoto ioco a singulari distare cemitur, toto loco ab illo quem multiplicat digitum ponit, » alteri vero ab ipso articulum. » (Ms. 591 de la Bibliothèque de Rouen.) — « Quoto loco » multiplicator quisque distabit a primo areu Abaci , toto loco digitum seponet ab eu quem » multiplie abit, et articulum in ulteriori. • ( Ms. G. LXXIU de l'abbaye de Saint-Emmeran de Ratisbonne. Pièce commençant par ces mots : « Doctori et patri theosopho I. G. lilius » ejus... »)
Voici les divers cas de la divisiou sur lesquels roule le Traité de Gerbert :
i°. Diviser des unités par des unités. — On retranche simplement le diviseur du dividende , autant de fois qu'il se peut.
a°. Diviser des dizaines ou des centaines, etc., par des unités. — Méthode des différences.
3®. Diviser des centaines , ou des mille, etc., par des dizaines. — Méthode des différences.
4°. Diviser des dizaines, des centaines et des mille, simples ou réunis, par des unités jointes à des dizaines. — Méthode des différences.
5®. Autre manière de diviser des centaines, ou des mille, etc., par les mêmes diviseurs (des unités jointes à des dizaines). — Méthode des différences, qu’on applique de la manière suivante : On réduit le dividende à une seule unité de son ordre, puis on multiplie le quotient et le reste par la dénomination du dividende, c’est-à-dire par le nombre des unités qu'il contient.
6 *. Diviser des centaines par des dizaines jointes à des centaines, ou des mille par des centaines jointes à des mille, etc. — Méthode des différences, comme dans le quatrième cas.
<j°. Autre manière de diviser des centaines ou des mille par les mêmes diviseurs, simples ou composés. — Méthode des différences. C’est le même procédé qu'au deuxieme et au quatrième chapitre.
8 ®. Diviser des centaines par des centaines jointes à des unités, avec une place vide au milieu (uno medio numerorum intermisso), ou des mille par des mille joints à des dizaines, uno medio intermisso. — Procédé actuel, si ce n’est qu’on diminue le dividende d’une unité de son ordre, et qu’on conserve cette unité pour en retrancher le produit du diviseur inférieur par le quotient obtenu.
9 °. Diviser des mille par des centaines jointes à des unités, ou des dix mille par des mille joints à des dizaines. — Procédé analogue au précédent, mais plus compliqué. On divise seulement une unité de l’ordre du dividende, et on multiplie ensuite le quotient et le reste par la dénomination de ce dividende. Pour diviser l’unité en question, on la considère comme formant dix imités de l’ordre immédiatement inférieur; on divise ces dix unités par la rèfjlc précédente, c’est-à-dire qu’on divise en réalité neuf de ces unités, et qu'on en retient une de laquelle on retranche le produit du diviseur inférieur par le quotient.
io°. Combien de fois un dividende contient les diviseurs. — Dans ce dernier chapitre, Gerbert explique comment on forme les quotients : car il
n'cn a rien dit auparavant; il s’est borné à indiquer des calculs, sans en dire le résultat ni ce que ce résultat exprimera.
On voit par cette analyse que, bien que les deux méthodes auxquelles se rattachent les règles de Gerbert soient générales, il n’en a enseigné que des cas particuliers. Et si l’on recherche les causes qui ont pu déterminer le choix de la méthode à appliquer à chaque cas, on voit que l’auteur a eu en vue d’éviter le tâtonnement qui a lieu dans notre procédé actuel, et de déterminer à priori un quotient admissible. C’est à quoi convient toujours la méthode des différences ; mais aussi elle a le grave inconvénient de donner, à chaque opération, un quotient généralement trop faible, et d’exiger une deuxième opération ou même plusieurs, pour le compléter.
Il est essentiel de remarquer que ces règles «appartiennent point à Gerbert; ce sont celles que décrit Boèce, à peu près dans les mêmes termes. Gerbert n’a fait autre chose que de les présenter d’une manière un peu moins laconique.
On conçoit qu avec un tel système de méthodes différentes dans chaque cas particulier, l'arithmétique pratique était une science compliquée et subtile qui pouvait servir à exercer la sagacité des plus habiles mathématiciens. Ces méthodes ont formé probablement, au X* siècle, et peut-être chez les Romains , au temps de Boèce , les plus savantes spéculations des géomètres.
Traduction et commentaire du Traite de Gerbert,
J’ai expliqué ci-dessus, dans l'analyse de f ouvrage de Gerbert, les premières règles de la multiplication. Les autres sont absolument les mêmes , sauf la différence dans l’énoncé des ordres d’unités ; il est donc inutile ici de les reproduire. Je passe tout de suite aux règles de la division qui forment la partie obscure de l'ouvrage ; d'autant plus que la plupart de ces règles qui ne s'appliquent qua des cas particuliers dans la composition du diviseur, s'écartent des règles générales que nous avons trouvées dans le traité précédent. Après avoir traduit littéralement chaque paragraphe, je l'éclaircirai par un commentaire et des exemples numériques.
