RÈGLES DE LA DIVISION

Chapitre I er . — Division d’un nombre des unités par un nombre des unités, ou d’un nombre des dizaines par un nombre des dizaines , etc.

Dans la division des nombres de l'Abacus, comme les unités sont aux unités, ainsi les dizaines sont aux dizaines, les centaines aux centaines, les

mille aux mille. D’après cela , pour diviser des unités par des unités , ou des dizaines par des dizaines, ou des centaines par des centaines, ou des mille par des mille , il faut retrancher les uns des autres, en les considérant comme de simples unités, c’est-à-dire suivant leur dénomination.

Commentaire . — Dénomination s'entend de la valeur absolue d’un chiffre , comme nous l avons vu précédent ment (p. 3 i).

L'auteur dit que, pour diviser un digit par un digit, il faut retrancher celui-ci du premier , autant de fois qu’il est possible ; et que pour diviser un article par un article du même ordre, par exemple, des centaines par des centaines, il faut considérer les deux nombres comme exprimant de simples unités, et retrancher le diviseur du dividende autant de fois qu’il se peut.

Ce nombre de fois marque le quotient. L’auteur ne le dit pas , parce que ce n'est que dans le dernier chapitre qu'il parle du quotient et de la manière de le former avec les nombres obtenus dans les opérations décrites auparavant.

Ch* pma II. — Comment un nombre des unités divise des dizaines , des centaines , des mille.

Dans la division des nombres de l’Abacus , comme les unités sont aux dizaines, aux centaines et aux mille, aiusi sont les dizaines aux centaines et aux mille, et les centaines aux mille et aux dix-inille, et les mille aux dixmille et aux cent-mille. D’après cela, pour diviser des dizaines, ou des centaines , ou des mille, réunis, ou avec intermission , par des unités, on prendra la différence du diviseur à dix; on la multipliera par la dénomination entière du dividende; s’il en résulte des articles, on continuera la division en opérant sur leur propre dénomination et avec la différence déjà posée. Quant aux digits, on les ajoutera aux digits; et .s’il en provient des articles, on divisera, comme ci-dessus, jusqu'à ce qu'on arrive à n’avoir que des digits.

Si l'on a des mille (pour dividende) les articles (provenant de la multiplication de la différence par la dénomination du dividende) seront placés dans les mille, et les digits dans les centaines ; si l’on a des centaines, on placera les articles dans les centaines et les digits dans les dizaines ; si l'on a des dizaines, on placera les articles dans les dizaines , et les digits dans les unités.

Commentaire. — Cette règle , exprimée en terme# laconiques , serait très-obscure si elle ne nous était déjà connue; mais si on se reporte à la division par les différences que nous avons expliquée précédemment, on la comprendra sans difficulté.

Un exemple va encore l’éclaircir. Divisons 86 par 7. La différence Au diviseur à dix, est 3 . Le nombre à diviser , 86 , doit être considéré comme formé de deux dividendes , savoir l’article 80 et le digit 6. Une division partielle ne se fait jamais que sur le premier des dividendes. Disisons donc 80 par 10 ; le quotient est 8. Le produit de la différence 3 par ce quotient, savoir 24 , est un nouveau dividende. Ce nombre est formé de l'article 20 et du digit 4 - On

divise l’article 20 par 10; le quotient est 2. On multiplie la différence par ce quotient; le produit est 6. On ajoute ce digit 6 au digit 4 du nombre 24 , et au digit 6 du nombre propose 8t», la somme est 16. On divise l'article 10 par 10; le quotient est 1 ; et le produit de la difféence par ce quotient est 3 , qu’on ajoutera aux 6 unités du nombre 16. La somme est q. Comme ce nombre 9 est un digit , on le divisera directement par le diviseur, suivant la règle du chapitre I e '; le quotient est 1 , et il reste 2.

Ajoutons les quotients partiels obtenus successivement , ona8-4-2-hi-l-i=i2. C’est le quotientdéfinitif , et il reste 2.

Telle est l’opération suivant la règle décrite par Gerbcrt. Toutefois , il ne dit pas de prendre les dénominations successives des dividendes , pour quotients partiels , dont la somme sera le quotient cherché ; mais il le dira plus tard dans le dernier chapitre.

Il ne dit pas expressément non plus que quand le dernier dividende est un digit, on cesse de faire usage de la différence , et qu’on suit alors la règle du premier chapitre , mais cela est compris implicitement dans ces expressions diminues usque ad solos digitos. Et d’ailleurs la nature de l’opération indique elle-même qu’on ne peut plus faire usage de la différence , car on ne peut diviser un digit par 10 (en nombres entiers , comme on l’entend ici). On voit bien , ce que nous avons déjà remarqué précédemment , que s’il n’avait pas été prescrit de s'arrêter aux digits, ce mode de division aurait conduit directement aux fractions décimales.

Chapitre III. — Comment on divise des centaines ou des mille par des disaines ; ou des mille par des centaines y etc.

Pour diviser des centaines ou des mille par des dizaines; des mille ou des nombres supérieurs par des centaines, ou des dix-mille et au delà par des mille, on prendra la différence à dix du diviseur considéré comme des unités ; on multipliera cette différence par la dénomination entière du dividende (1); on continueraéa division sur les articles et les digits (provenant de cette multiplication), jusqu’à ce qu’on arrive au dernier diviseur,' comme on fait dans la division par des unités.

Observation. — H est clair que la division par un article tel que 3 o ou 3 oo, etc., se fera comme la division par un digit. Ce chapitre est donc intelligible d’après ce qui précède. Seulement, il faut savoir que ce que l’auteur appelle le dernier diviseur s’entend du dernier quotient y lequel est celui qui provient d’un dividende du même ordre que le diviseur. Ce quotient ne peut se calculer par la méthode des différences : on le détermine de la manière indiquée dans le premier chapitre.

(1) Je néglige ici les mots * id est per vocabula singularis ac deceni, • qui me paraissent provenir d’une glose insérée dans le texte.

Ch * pmi IV. — Diviser des dizaines, des centaines, des mille , ensemble ou avec intermission, par des unités Jointes à des dizaines.

Pour diviser par des dizaines jointes à des unités, des dizaines seules ou réunies à des unités, voyez quelle partie (du dividende) comporte le chiffre des unités du diviseur; car a se rapporte à la moitié du dividende,

3 au tiers, 4 au quart , 5 au cinquième , et ainsi des autres ; c’est-à-dire prenez

la différence à dix du chiffre des unités du diviseur, et multipliez cette différence par la dénomination de la moitié, du tiers, du quart (du dividende); et ce qui excède cette moitié, ce tiers, ce quart, ajoutez-le (au produit ). Et si la somme est plus grande que le diviseur, on continuera la division par la même règle. On ajoutera semblablement les unités du (dividende) composé pour continuer la division. .

Ou divisera de même des centaines et des mille, si ce n’est qu'on convertira une centaine ou un mille en articles de l’ordre inférieur, ce qui n’a pas lieu pour une dizaine, et, de même qu’on convertira une centaine en dizaines, ou un mille en 'Centaines, on convertira aussi séparément les restes (de la division). Les articles provenant (de la division) d’une centaine ou d un mille seront placés à un rang inférieur, et les articles provenant (de la division) de plusieurs centaines ou mille seront placés dans la colonne des dividendes.

Commentaire. — Cette règle repose sur le meme principe que celles des deux chapitres précédents : elle consiste à diviser par un nombre plus grand que le diviseur propose; ce nombre est l'article immédiatement supérieur à ce diviseur. Ainsi, faut-il diviser par 2 $ , on divisera effectivement par 3o ou par le digit 3. Mais la manière dont Gerbert désigne ce nombre par lequel il faut diviser est fort obscure.

En effet, nous avons vu, dans le Traité précédent, que c’est le plus grand diviseur, augmenté d’une unité , qui forme le digit qui marque les parties à prendre. Dans le cas actuel , le plus grand diviseur est de l’ordre des dizaines; il semble donc qu’il eût été plus clair et plus conforme à la nature de l’opération que Gerbert dît : Voyez quelle partie ( du dividende ) prendra le diviseur des dizaines. Cependant il dit : Voyez quelle partie prendra le diviseur des unités. Voici, ce me semble, l’idée qui a porté Gerbert à s'exprimer ainsi. Nous avons vu que, pour expliquer la méthode, pour prouver, par exemple, que, quand on divise par 24 , il faut prendre le tiers du dividende, il est dit, dans le Traité précédent, que c’est parce que le diviseur des unités, c’est-à-dire 4 joint à sa difTerence G, forme une unité (de l’ordre des dizaines) qui, ajoutée au diviseur des dizaines, (ait une somme dont cette unité est le tiers. D’après cette considération, c’est donc le diviseur des unités, c’est-à-dire

4 , qui avec sa différence détermine la partie un tiers.

Yoilà l'explication, je pense, de la phrase obscure et tout à fait amphibologique de Gerbert. Du reste , sa règle se rapporte évidemment à la division par les différences ; et il

indique lui-même la marche de l'operation, en ajoutant sous forme d’explication : « Id est, - différente» divisons ad decenum multiplicabitur per denominationem wcundaruro, etc.; » c’est-à-dire , « on multipliera la différence à dix du diviseur des unités par la dénomination de la partie prise. > C’est là précisément la règle de la division composée , par les différences.

Ensuite Gerbe rt dit comment on divisera des centaines et des mille par les mêmes diviseurs , c’est-à-dire par des dizaines jointes à des unités. Le texte est encore assez difficile à comprendre. Du reste , il semble faire double emploi avec le chapitre suivant. Aussi ne le trouve-t-on pas dans quelques manuscrits [ims. n“ 4 « de Chartres et n° Ô91 de Rouen). La méthode indiquée par l’auteur consiste à diviser 10 imites de l'ordre inférieur au dividende propose et à multiplier le quotie nt par la dénomination «lu dividende. Comme la division se fait par la méthode des différences, on aiira\/tiHiltiplicr ht différence du diviseur des unités par ce quotient. Les articles du produit seront placés dans la colonne de l’ordre inférieur au dividende, puisque c’est 10 unîtes de cet ordre qu’on a divisées. C’est ce que Gerbcrt exprime en ces termes : ■ Et articuli quidein ah uno centen» vel roilleno secundabuntur. • Ce produit forme le reste de la division des 10 unités de l'ordre inférieur; il faudra le multiplier par la dénomination du dividende pour avoir le véritable reste de la division du dividende proposé. Les articles du produit seront placés dans la colonne même du dividende. C’est ce que l’auteur exprime par ces mots : « A pluribus divideodorum obtinebunt ( articuli ) sedes. *

Tout cela est , comme on le voit , fort obscur et énigmatique. Il faut croire que quand Gerbert a écrit ce Traité on était déjà familiarisé avec ces procédés de calcul, qui , du reste , sont ceux décrits par Boèce , encore plus laconiquement il est vrai.

Ca*riT»E V. — Autre division des centaines ou des mille, et au delà , par les mêmes danseurs.

Pour diviser des centaines ou des mille, ou au delà, par des dizaines jointes à des unités, on divisera une centaine comme ci-dcssus, en prenant la différence du div iseur à dix; et on multipliera le reste par la dénomination du dividende proposé.

Et si aux centaines sout jointes des unités pour former un nombre composé, ou bien des dizaines et des unités, dans le premier cas , on divisera , et daus le second, on les ajoutera , comme il a été dit ci-dessus dans la division par des dizaines jointes à des unités.

Les premiers articles sont placés dans la première colonne à droite du dividende ; les autres articles sout placés dans la colonne du dividende.

Commentaire. — Complétons d’abord les dernières phrases de l'auteur, qui, dan, leur laconisme actuel, ne peuvent présenter de sens. >ous dirons : > Si aux centaines sont join- > tes des unités pour former un nombre composé, ou bien des dizaines et des unités , dans » le premier cas , on divisera le produit , et , dans le second , on ajoutera S ce produit les • unités et les dizaines du dividende composé , et on divisera la somme.

> Les premiers articles, c’est-à-dire ceux qui proviennent de la multiplication de la difle- . rence par le quotient de la centaine , sont placés dan, la première colonne à droite du di-

» vidende. Les autres articles, qui proviennent de la multiplication des premiers par la » dénomination du dividende proposé , sont placés dans la colonne du dividende. »

Le principe de cette règle est de faire la division d’une centaine par le diviseur proposé, en se servant des différences par la règle du chapitre IV ; puis de multiplier le quotient et le reste par la dénomination des centaines proposées.

Par exemple, divisons 89$ par 43 . On divisera 100 par 43 , et on multipliera le quotient et le reste par 8 ; ce qui donnera le quotient cherché, et un nouveau dividende sur lequel on opérera de même.

La division devant se faire par la méthode des différences, comme dans le chapitre précédent, on prendra la différence du diviseur 3 , laquelle est 7 ; et on divisera par 5 , nombre égal au plus grand diviseur 4 plus • •

too, c'est-à-dire 10 dizaines, divisés par 5 donnent 2 pour quotient; le produit de la différence 7 parce quotient est 14 ; l’article 10 doit être placé dans la colonne voisine de celle du dividende. Ce sera donc dans la colonne des dizaines. Le produit de ce nombre 14 par la dénomination 8 du dividende est 1 12; le nouvel article 100 doit être placé dans la colonne du dividende.

Ainsi l'on a à diviser 112; il faut y ajouter les 95 du dividende primitif, il vient 207. C’est le nouveau nombre à diviser.

Si l’on eut eu seulement à diviser 8 o 5 , au lieu de 895, il eût été inutile d’ajouter 5 à 1 12, parce qu’on n’eût pas augmenté par-là le dividende 100. On aurait divisé tout de suite ce dividende 100. C’est là ce que Gerbert exprime en disant diminues , vel aggrrgabis.

Autre exemple. Divisons 874 par 35 . La différence est 5 . On divisera 100, c’est-à-dire 10 dizaines par 4 * Le quotient est 2. Le reste 20. On multipliera la différence par 2. Le produit est 10, qu’çn ajoutera à 20. De sorte que 100, divises par 35 , donnent 2 pour quotient et 3 o pour reste. On multipliera ce quotient et ce reste par 8. On aura 16 et 240 ; à ces 240 on ajoutera 74 ; ce qui fait 3 î 4 » qu’on divisera de nouveau. Divisant 100, on a, comme cidessus, 2 pour quotient et 3 o pour reste. Multipliant ces deux nombres par 3 , on a 6 et 90 ; ajoutant i4 à 90 , on a ro4 pour nouveau dividende ; le quotient est 2 , et il reste 34 *

Le quotient total est donc 16 + 6 -4- 2 = 24 , et le reste 34 -

Chapitre VI. — Comment des dizaines jointes à des centaines , ou des centaines jointes à des mille , divisent des centaines , ou des mille , ou au delà .

Pour diviser des centaines ou des raille par des centaines réunies à des dizaines, ou par des mille réunis à des centaines, on verra quelle partie comporte le chiffre des dizaines, ou des centaines, ou des raille du diviseur ; on multipliera la différence du diviseur par la dénomination de ces parties , comme on fait dans le cas des dizaines jointes à des unités.

Observation. — Cette régie est tout à fait la même que celle du chapitre IV.

CüAPiTfir Vil. — Autre division , de centaines ou de mi Ue ou au delà , par les mêmes diviseurs,

composes ou simples.

Pour diviser des centaines ou des mille par des dizaiues, ou des mille par des centaines, prenez la différence à dix du diviseur, comme s’il exprimait d< s unités: multipliez cette différence par la dénomination entière du dividende, si le diviseur est simple, ou par la moitié, le tiers, le quart, etc., si le diviseur est composé, d’après la règle qui indique quelle partie (du dividende) comportent les dizaines ou lesçentaiucs du diviseur composé.

Commentaire. — L’auteur suppose deux ras : i" que le diviseur est simple, soit des dizaines, soit des (entames ; 2" que le diviseur est compose, soit des dizaines avec des ceo tailles, soit des centaines avec des mille.

Dans le premier cas , la règle est la même qu'au chapitre II , où l’on divise par des unités simples ; et dans le second, elle est la même qu’au chapitre IV, où l’on divise par des unités jointes à des dizaines.

Dans 1 <- premier cas , où le diviseur est simple, comme 20, par exemple , ou deux dizaines, c’est sa différence à dix, savoir 8 . qu’on prend et qu'on multiplie par la dénomination du dividende; c’est alors comme si l'on divisait par 100.

Et dans le second ras , où le diviseur est composé , comme 520 , ce n’est plus parla dénomination entière du dis idende qu'on multiplie la différence 8, c’est par sa sixième partie , per serttts dividrndi ; alors on divise réellement par 600.

Cm i-i tsf Villa — Comment on divise par lieux diviseurs séparés par tute piper wdr.

Pour diviser des centaines ou des mille par des centaines ou des mille composés , une place intermédiaire étant vide, on prendra une unité de l'ordre du dividende ttd minuta componenda , et ou comparera le phts grand diviseur au dividende diminué de cette unité. S’il y a un reste, ou l’écrira comme étant un des restes de la division. On multipliera I e mirmtian par la dénomiualiou du nombre qui égale le diviseur au dividende (c’est-à-dire le quotient).

On posera dans la colonne du digit la différence entière (du digit du produit), et devant l'article sa différence moins un, comme se rapportant aux deux nombres juxtaposés, quand ils sont des digits et des articles. Car un article seul demande la différenee entière ; un digit seul demande aussi la différence entière. Et alors qu’il n’y a qu’un digit, on prend aussi \a différence entière du nombre réservé ad minuta componenda , et on la place a un rang après lui (c'est-à-dire qu'un écrira un 9 à la gauche de la différence du digit).

Ces différences et ce qui reste apres qu'on a enlevé (du dividende) le plus grand diviseur, formeront ce qui reste des dividendes.

Commentaire. — Jusqu'à présent les règles exposées par Gerbert ont toujours roule sur la méthode des différences , qui consiste principalement à diviser par un nombre plus grand que le diviseur. La méthode exposée ici est tout autre, quoiqu'il y soit encore question de différences , et elle rentre dans notre méthode actuelle.

Pour l'expliquer prenons un exemple : 900 à diviser par 3 « 4 * Ce nombre 3 o 4 est compose de deux diviseurs séparés par une place vide, cc qui est le cas de la question. 3 ooe$t le plus grand diviseur, et 4 le plus petit. C’est cc second diviseur que l'auteur appelle minutum. On partage le dividende 900 en deux parties, 100 et 800. On divise les 800 comme s'ils étaient le véritable dividende , parle plus grand diviseur 3 , et Ton réserve 100 pour en soustraire le produit du minutum, c’est-à-dire du diviseur 4 » par le quotient. Appliquons ces principes de calcul.

v 800 divises par 3 donnent 1 pour quotient et 200 pour reste. Le produit du diviseur 4 par ce quotient est 8; il faut retrancher 8 du dividende 100 réservé. On fait cette soustraction en écrivant le complément de 8 à 100, lequel est 92. Le reste de la division se compose donc de ’7oo et de 92, = 29?..

Telle est la marche «le l’auteur. Sa manière de s'exprimer pour dire qu’on retranchera 8 du dividende 100 réserve, mérite d’étre remarquée; il dit : On pose la différence entière du digit , laquelle est 2 ; puis on prend la différence entière du nombre réserve ad minuta componenda , lequel est 1, c’est-à-dire une centaine; cette différence est 9; onia recule d’une place, c’està-dire qu’on l’écrit dans Ja colonne des dizaines. On a ainsi 92.

Dans le chapitre suivant, nous donnerons un second exemple de cette méthode, en di - visant 1000 par 4°6-

(Iiuvtie IX. — Comment des centaines jnintt s a des unités divisent des mille et au delà, et comment des mille joints à des dizaines divisent des dix -mille et au delà.

Pour diviser des mille ou au delà , par des centaines jointes à des unités, on prendra un dos mille pour eu faire des centaines, et une de ces centaines ad minuta componcnda. On divisera l'excédant (c’est-à-dire neuf centaines) par le plus grand diviseur; et s'il y a un reste, ou le réservera. On multipliera le minutum comme dans le chapitre précédent. On rangera (on placera dans les colonnes convenables) ce qui a été réservé ( c'est-à-dire le reste des neuf centaines), et les différences (du produit). On multipliera ces différences et ce reste par la dénomination du dividende proposé. lût I on continuera ainsi jusqu'aux dernières différences.

On appliquera la même règle quand on voudra diviser des dix-mille ou au delà, par des mille joints à des dixaines.

Commentaire. — Cette règle repose , comme la précédente , sur notre méthode actuelle, mats celle-ci se trouve appliquée d’une manière particulière. Au lieu de faire directement la

division du divide.-le proposé , on divise seulement une unité de son ordre; on a un quotient et un reste. On multiplie ensuite ces deux nombres par la dénomination du dividende , c’esl-à dire par le digit qui exprime ce dividende. On a ainsi le quotient lu dividende propose , et un reste que l’on divise encore s'il est plus grand que le diviseur.

Quant à la division d’une unité de l’ordre du dividende, on la fait par la régi; précédente, en réservant une unité de l'ordre inferieur ad minuta campant rata . Par exempt- si l’on a des mille pour dividende, nn divise simplement t mille par le diviseur propose ; et pour faire «-ttc division on considère 1 mille comme i o centaines , et l’on ne divise - r tj centaines . piirre qu'on réserve une tvntainenr/ minuta eomponenda.

Prenons pour exemple 3 ooo à diviser par jo- . On divisera 1000 par q° 7 * Pour cela , on considérera tono pomme faisant 10 centaines; on réservera une centaine U '1 minuta cdmpnnenda ; on ne divisera donc que 900 ; le quotient est 2 , et il reste 1 00. Il faut multiplier le minutiim, c’est-à-dire le diviseur 7, par a, ce qui donne 1 ; , puis prendre les différences de te produit , savoir 86 , qu'on ajoute au reste 100 , ee qui fait 1 86. C’est le reste de la division du nombre 1000 par (07 Maintenant ii faut multiplier le quotient 2 , et le reste 186 par 3 , dix nnmiriation du dividende proposé. Les produits sont 6 et 558 . Ce vint les résultats de la divi von de 3 ooo par $07 ; 6 est le quorient et 558 le reste. Ce nombre est plus grand que le diviseur et le eonticnl une fois, avec t 5 i pour reste. On a donc enfin 7 pour quotient de 3 ooo diviv-s par {07, et i 5 i pour reste. «

Ch sim ru c X. — Combien de fois on dividende quelconque contient les diviseurs

1°. l'our connaître combien de fois un dividende contient les diviseurs , *

on reculera d'un rang vers les digits , les articles qui forment les dénominations de la multiplication (c'est-à-dire les dénominations par lesquelles ou multiplie les différences'! ; et si de la somme de ces dénominations il provient des articles, on les reportera an rang des itrticles.

Et si dans la colonne des unités il y a plusieurs dividendes égaux au diviseur, on ajoutera aux collections (des dénominations) autant d unités.

Cela concerne les dénominations par le tout (c'est-à-dirc les cas ou l'on prend les dénominations entières des dividendes).

2". Dans les divisions par les parties (a pttrtLhus, cest-à-diro où Von , prend les parties de lu dénomination du dividende), qui sunt la moitié, 011 litière, ou le quart, etc., on suit la môme règle, et au plus grand diviseur ou ajoute l’unité. > ,

3 °. Comme dans les centaines et les mille, ce qui reste (de la division) d'une centaine ou d’un mille, est multiplié par la dénomination de toute la somme (la dénomination entière du dividende); «le même les diviseurs (c’està-dire le nombre de fois que le diviseur esl contenu dans le dividende, ou , en . d’autres termes, le quotient), seront multipliés par la dénomination du ‘dividende entier, mais seulement dans les centaines et les mille.

4°. Quand des dizaines seules divisent des centaines , ou des mille ou au delà, on place les dénominations à la troisième colonne, c’est-à-dire au troisième ranfj à partir du dividende, pour former les diviseurs ^les quotients ).

5°. Quand des centaines ou des mille, composés avec intermission (une colonne vide), divisent des nombres semblables (des centaines ou des initie), on place les dénominations clans les derniers di{]its(dans la colonne des unités).

Commentaire. — Ce chapitre a pour objet d’indiquer quel est le quotient dans chacune des divisions enseignées d ois les chapitres précédents. Il est très-obscur, parce que les pliras* s qui sc succèdent n’ont pas de liaison entre elles, et se rapportent à des opérations différentes % que l’auteur n’indique pas, et qu'il suppose que l’on connaît parfaitement.

, i°. Le premier paragraphe s’applique à la règle II, relative à la division d’un nombre

par un digit. Nous avons vu qu'on divise par dix ; il faut donc placer la dénomination du dividende à un rang après lui. On fait ensuite la somme de toutes ces dénominations pour former le quotient définitif.

Toutefois, quand l’opération conduit à de simples digils pour dividendes, on n’opère , plus par la méthode des différentes , parce qu’on ne pourrait plus diviser par dis; alors on • suit la règle du premier chapitre : on soustrait le diviseur du dividende; et autant de fois !«• diviseur se trouve dans le dividende, autant d’unités il faudra ajouter au quotient. C’est ce que rauteur exprime par oes mots : Et si in singulari bus pares dimoribus provencrint , totidem un dates calfcctinnibus aggregabis.

Le § 7 . se rapporte aux chapitres IV et V, où l’on a à diviser par des dizaines jointes a des unités, la» dénominations se prennent a parti bus , puisqu’on divise par , ou par 3 o, ou par 4o f etc., et Se placent au second rang, c’est-à-dire après le 'dividende, comme dans la division par undigit.

L’auteur ajoute que pour le dernier diviseur on prend l'unité pour Quotient.

Un exemple va faire comprendre cette réglç. Divisons 8t> par I r . La différence du plus petit diviseur est 3 , et l'on divisera par a, c’est-à-dire par ao. Le quotient de 8 par a est Le produit delà différence par 4 est ia. A ce nombre il faut ajouter les six unités du dividende; on a i8. On ne peut pas se servir de la melliode des différences pourdièiscr 18 par 17; cependant ou peut retrancher 1 7 une fois de 1 8, et il reste 1 . Le quotient total est donc 4 * 4 - 1 = 5 . Les 17 qu’on retranche de 18 sont ce que Gerbert appelle le dernier diviseur, lequel donne une unité pour quotient.

Il est clair qup quand on ne peut plusse servir de la méthode des différences, le diviseur ne peut pas être contenu plus d’une fois dans le dividende. Gir s’ü y éUÎt deux fois, le dividende serait plus grand que l’article immédiatement supérieur au diviseur, et alors on se servirait de la méthode des différences. Ainsi , quand la division est arrivée au point où la méthode des différences n’est plus applicable, on ne peut obtenir tout au plus que l’unité pour quotient. De sorte que la règle est exacte.

3 °. 1.0 § 3 sc rapporte aux chapitres V et IX , où l’on a à diviser des centaines par des dizaines jointes à des unités, ou des mille par des centaines jointes à des imités. Dans le premier

<as, on divise une centaine, et dans le second un mille; il faut donc multiplier le quotient obtenu par la dénomination du dividende, c’est-à-dire par le digit qui exprime combien on avait de centaines ou de mille à diviser. C’est ce que dit Gerbert en ces termes : Divisons prr denaminationrm latins dbidendi multiplicabuntur. Ici le mot divisons doit s’entendre du qw>tient , et non pas des diviseurs. L’auteur a voulu entendre par cette expression les diviseurs . le nombre de fois que les diviseurs sont compris dans le dividende.

4 °. Le §4 rapporte au chapitre III et à la première partie du chapitre VII. L’auteur dit que quand on divise par un diviseur des dizaines, il faut placer la dénomination du divi dende dans la troisième colonne à partir de celle où se trouve le dividende. Cela est juste , puisque l’on divise dans le fait par ioo. L’auteur ajoute * pour faire la somme des diviseurs ; ici diviseur signifie quotient.

Par exemple , si l’on a à diviser üoo par 3 o , Gerbert aurait dit que tioo contient so diviseurs (vingt fois le diviseur .

5 °. La règle du § 5 est évidente. Car si des centaines, par exemple, divisent «les centaines , il est clair que le quotient exprimera des unités. Ce paragraphe se rapporte aux ,

chapitres VI et VIII , et à la deuxième partie du chapitre VIL

Texte du Truite de Gerbert .

Constantin» suo Gcrbertm scolasticus (i).

Vis amicitiæ jpene impossibilia redigit ad possihilia. Nam quomodo rationes numéro runi Atari explicare contendereimis , nisi te adhortantc, n mi dulce solamen î I laque cuni aliquot lustra jam transierint , ex quo nec librum liée exercitium liaruni reruni liabucrimus, qtuvdam repetita mémorisé eisdem verbîs proferimus, qusrdam eisdem sententiis. Nec putet phi losophu» sine literis h*c alicui arti vcl sibi esse contraria. Quid enim dicct esse digitos, articulos, minuta, qui auditor inajorum dedignatur fore? Vult tainen videri solus scire, (juod mecum ignorât, ut ait Flacons? Quid ciim idem numenis modo simplex, modo composât», nune digitus, nunc constituatur ut articulas? Habes ergo, tulium diligens investigator, viam

,i) l’ai iromv ce Train 1 Ji' (îfibert dan* rtertf Ms». dont vu)«t l'imlkniiv'i : 4 Mm. do la Bib. rujalf/ n°*6fiao, • 89 «1 ancien fonds , et fonds de Baluz.r, «tondre, paquet 6. — M*. n° .ft de la Bib.

de Chartres; — M Sgt de la bib. de Rouen, — N° G. LWItl de U Bib. de l'abbayc de Saint-oLmmer.'in d«- Ralisbonne; — N° 38 dan Mu. de Scaltqer appartenant à la Bib. de l'université de Leyde — M*. 100*8-9) de la Bib. royale de Bruxelles ’

M. Boeckh dit qu’il en existe une copie dans la Bib. royale de Berlin. ^ Index lecmmun. . , per semestre* 1 nurum A. 184I , p. Il ) * •

On sait que ce Traite a été imprime dans le» rentres de ftêde «ou» le nom de cel auteur. ( Edition de* . Bâle, I. I* r , p. • -***>.) *

Le» catalogue» Je Mm. citent des outragea de Gerbert »ur l'arithmétique , dont plusieurs, provenant «le» Bib. de l’étau eide la reine Christine, *e trouvent actuellement dans la Vnticanc. Peut-, ire ne #»*n« ce. sou» des titras divers, que dus copie» de la lettre à Constantin, il serait utile d’en faire la vérification.

Les auteurs qui ont parle des écrit» do Gerbert l’ont toujours fait avec confusion, et souvent d’une ma niérc fautive. On s'est trompé aussi en lui attribuant des pièces qui oe lui appartienneiu pas, noUnum nt le Traité de Bernelinus qu'on trouva dans le Ms. 7193 de la Bib. royale, et un autre Traité qui commence par cos mots; « üoetori cl patri tbcosopho I. G. fitius, etc., ». dans le Ms. G. LWIII de l'abbayr de Saint- Lnimcran de Ratisbonne. . •

rat omis brevera quidem verbis, scil prolixain son tendis et ad collectionetn intervallorura et distrihutionem in .ulualibui geometrici radii sceunduin inclinationem et ercctionem et iu *|m rulationihus et lualibu* simili ditmnsioilis cwli et terne plena fuie comparalam

De simplici. ^

Si rnultiplicaveris singularem nunieruin per singularem, dabis tinirniqiie digito singula rem et otnni articulo decem, directe scilicet , et conversim.

Si singularem per decenitm, dabis unicuique digito decem et omni articulo centum.

Si singularem per centenum, dabis unicuique digito centum et articulo mille.

Si singularem per millemim, dabis digito mille et articulo decem nrillia

Si singularem per derenum rnillenum, dabis digito decem millia et articulo eentuiu mil lia.

Si singulareni per centenum millcnurn, dabis digito centum millia et articulo mille

• millia.

De deceno.

Si derenum per decenum, dabis digito centum, et articulo mille.

Si decenum per centenum, dabis digito mille et articulo decem millia.

Sidecenum per millenuni, dabis digito decem millia et articulo centum millia

Si deccnum per decenum mülenum, dabis digito centum millia et articule» mille millia

Si dcceniini |»er centenum mülenum, dabis digito mille millia et otiam unicuique arti ciilo dccies mille millia.

De eeoleno.

Si centenum per rentenum, dabis digito decem millia et articulo centum millia

Si rentenum per millenuni, dabis digito centum millia et articulo decics centena milita.

Si centenum per decenum rnillenum, dabis digito mille millia et articulo. dec*es raille millia.

Si centenum per centenum mülcmiui, dabis digito dccies mille millia et articulo centum mille millia.

De milleno.

Si milleniuii per millenuni, dabis digito dccies centena millia et articulo millies mille millia.

* Si rnillenum per decenum rnillenum, dabis digito decies mille millia et articulo centies mille millia.

Si utillenum per centenum, dabis digito cendes mille millia et articulo rendes millies mille millia.

De deceno milleno.

Si decenum millenuni per decenum rnillenum , dabis digito centies mille millia et articnlo mellies mille milita.

Si decenum millenuni f>er centenum rnillenum, dabis digito nnllies mille millia et articulo decies millies mille millia.

De centeno rmlleno.

Si rentenum millenum per centenum millenum, dabis digilo décries millies mille milita el artictillo eentics millies mille millia.

I. Quomodo dividatur singularis per singularera , vel decenus per dceenui», vel eentenus |w*r centenum, vel millcnus per millenum.

In partiüonc numerorum abaci, sicut se liahent singulares ad singulares, sic c|uodani modo habentsc deceni ad decenos, centeni ad centenos, millcni ad millenos; hoc modo : si volueris dividere singulares per singulares, vel decenum per decenum, vel centenum per cen tenum, vel millenum per millenum , secundum denoiuinationcm eorum singulares singula* ribus siihti'ahes. «

II. Quomodo singula ris sua quantité roetiatur decenos , centenos, millenos.

In partitione numerorum abari, sicut se hahent singulares ad decenos et centenos et millenos, sic se hahent deceni ad centenos et millenos, et centeni ad millenos et decenos millenos, et millcni ad ultra se composons, decenos millenos et centenos millenos; hoc modo : si volueris |>cr singularr m nmnerum dividere decenum, aut centenum, mit millenum, vel simul vel intermisse, differentiam divisons a singulari ad deeenum per iotegram denoniinationem dividendi nmitiplicàbis ; et artirulos quidem propria dénomination# et posita ditTen ntia diminues; digitos verodigitis aggregabis; et si articuli provenient, ut supra diminues nsqtie ad snlos digitos: et rnillenus quideiu hahebit artirulos in millenis, digitos in centenis; eentenus * artirulos in centenis, digitos in derenis ; deeenus artirulos in décents, digitos in singularihus. *

III. Quomodo metiatur decenus centenum aot millenum, vel eentenus millenum, vel ninlc-

nus ulteriores. • ' .•

Si volueris per decenum nmnerum dividere centenum vel millenum, aut per centenum, millenum vel ulteriores , aut per millenum, sequentes, differentiam divisons quasi singularis ad decenum per integram denoniinationem dividendi multiplicabis , id <*st per voeahuhi singularis ac deeeni ; artirulos ae digitos diminues usque ad extremuna divisorem, sicut fiebàt in singularihus qurm libet nuiuemiu dividentihus-

IV. Quomodo singulares' jwirti deceni» metiantur decenos, centenos, millenos, vel simili,

vel i nt erra issc.

Si volueris per composituni decenum «min singulari dividere vel simplieem deeenum, vel cum singulari composition, considéra quotam partem divisons tencat singularis - nam sccundus singularis habet rationem ad sccundas dividendi, tertius ad tertia», quartus ad quartas, quintus ad quintas, et deinreps; id c?st, differentia a singulari 'divisons ad decenum multiplicabitur per denominationein secundarum , tertiarum, quartarum : Quod vero exuperat secundas, tertias, quartas, quintas aggregabis: et si multipliciores sunt divisore , eadem régula diminucnlur. Simili ter vero et singulares conipositi ad dividendum aggregabuntur.

Et in eentenis et milleni» idem faciès , id est, aient unum centemim vel millenum dissipabis in sodé denarii ae eentenarii, de proposito dividende, sir reliqnos singillatim tlissi^. niai qund unum eentenum vel millenum in espteros dissipa bis , guod in uno non evenit deceno; et articuli quidcin ab uno centeno vel niilleno secundabuntur; a pluribus dividende runt obtinebunt sedes.

V. Item alia divisio centeni vel milleni , et dcinceps, per cosdeni divisores.

. Si volueris dividerc eentenum vel millenum , et deineeps , per deeenum cum singulan compositum, primum eentenum veluli supra divides, sumpta differentia divisons a singulan ad deeenum: et quod superaverit per denominationem propos! ti centeni miiltiplieahis. Et si singularis centcno ad compositionem additur, aut decenus cum singulari, diminues, vel aggregabis , queiuadmodum superius dietum est in deccnis et singularibtis. Et primi quidem arlieuli sutlt in suinina dividende proxima ac minore ; augmentati vero in Articulos alios di videndorum obtinent sedes.

VI. Quomodo deceni juneti eentenis, vel centeni inillenis, metiantur ceutenos atif millenos

aut ulteriores.

Si volueris per compositum eentenum cum deetno , vel per compositum millenum cum reoteno dividere aut eentenum aut luilleuimi, considéra quotain parlent divisons teneat decenus, vel contenus, vel milieu us ; et per denorainationenr eamm partimn multiplie? differentiam divisons, sicut faciebas in singularibus junctis cum deccnis.

Vil. Item alia divisio centeni vel milleni , et deinceps . per eosdem compositos divisores et

por simplices.

Si volueris dividere eentenum vel millenum, per deeenum; aut millenum per cen teniiui , sûmes differeutiam divisons, seeunduoi radonem singularium ad deeenum, et multi plicabis , aut per totnm denominationem dividendi , si simplex devenus, vel contenus divisor est ; vel per secondas, vel per tertias, vel per quartas, per quintas, si coiupositus est habita videlicèt radone, quam parient compositi divisons teneat deeenus vel cent en us.

VIII Ûunmodn, uno tnedio numerorupi intermisso, juneti duo extremi cæteros metiantiii.

Si volueris di'ider»* eentenum vel millenum pei compositum eentenum vel millenum , uno intermisso, unum di videndorum sûmes ad minuta componenda, et maximum divisorem reliqua- parti cnmparabiv Et si qoid abundaverit . relinmtcndis repones. Minutum autem per denominationem ejus per quevn divisor coæquatur dividende, multiplicabis. Et in digitis quidem perfecta ponetur differentia : ante articules vero altéra differentia, tino minus, quasi rabotiem habens ad jnxta jtositos, quuirt sunt digiti et articuli. Nam solus ardcultis, id est sine digitis, intégrant sibi proponit difTerentiam. Solus digitus intégrant siqtponit : et tuni quum solus est digitus, ei qui ad minuta componenda seclusits est differentia integra secundabittir. Et ha» quidem differentia 1 , et si cpiis forte a maxinio divisorc serlnsus est, si* gnificabunt quod relinquiturex dividendi».

V1III. Quomodo contenus cum si n pu la ri metiatur miilenum et ulteriores, vel millenus cimi decenis deccnos millenos et ulteriores.

Si vol uc ris dividore miilenum vel ulteriores , per centenum cuni singulari cemposilum , unum millenum in centenos dissipabis; et rursus unum centenum ad minuta romponenda secludes, et maximum divisorem reliquw parti romperabis. Et si qtiid secliidetur, reünquendis repones. Minutum autem, ut in superiori capitulo, multiplicabis, reliquaqtte omnia vol* quse secludunlur vel qtia pro différentes adhibenttir, ordinabis. Rursnsque easdem diiTermtias, ac si qui forte seclusi sunt, per denominatinneni propos, t. dividenfli nutltiplirahiv Àc iterum eadem régula deduces, usque ad extremas difforentias- Et in millenis divisoribus cum decenis ad deceno» millenos et ulteriores quasi eandem ipsant rationem servabîs.

Quoi div isoles sint in quolibet dividende.

i i # ). Si volueris rn.sse quoi divisores sint in quolibet dividende, articules a qnibm de nomination* 1 » fiunt multiplic.itionis secundabis ad digitos: et, si augmente connu articoii

provenient, reflectes ad articules, bH si in

f« kl

donibus

singularité*' |w»res divismibn> provenerint , fol idem imitâtes Yollreüo

aggregab» i * s"' * • * #l 4**^

Igitur et in deUominaliombiis a toto. , . jjpjrV ^ »*• , * ^ *

( 2 "). Et a partihus, qti:«* sunt a second is , et tertii* , «t qu.irtis, ét deinceps, aemodum eandem rationem. Pn> extrenio divisore unitatem constitues. ■* ^

{3“). El sicut in oentenis et millenis, quod ah une exuperat per ^enominationem loties somma- multiplicatnr, sir diviser*^ per denominatinnem toi i us dividende imdlipli-4 cabuntur : sed in ips» tantum modo centeuis et millenis.

(4°V Simplex deceniis divisqi renteni, vel milleni et ultra conqiûtilorum , demni.nu tiones mittif ad tertias , id est ad teitinm Incuta ab eo quem dividit, sciliccl in coïlicendis diviviribixs. .,jÀ * V» t.

Centenns vel millenus divisons sui , et compositi une relit to , dénommai mues soins mit-

tnnt ad extremos digitos.