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POtti^ Wi^ier éw fottfivAeÉ él k T^Itf deas Indîéhs^ fâf €àl<5tiîe la TâHe ci-deMi^^ d'abùfd en con^ef tissànf nù^ sintis en thinutéi^; etiâûîlé î*ài déleuté^ Itt Table patt )e^ Aifférttkcè!^ iécôriàei, defsqtieflef^ fe passâîs auit difi^^éreâcfe^ ptëâ^ièfes?, é% dt ïk dux sîfttrs ; aptes quoi fe pouyajs calculer tiiïe aufve diflerentie Sc^é&de. Où t^ qtié ce procédé êetâit parfacilement estait ^ 6t Ymi tniplùyÈk vntpht^ gratid dôtnbre de décimales.

C^ lAt>cëde dif^MKid n^tfVtff ete jusqûlcf ttttptoyé qcre paY Brîggs , (|wî nftème ignorait qné* le- fiietetir CMi^fatit fttt l'e claire dé L corde de £LAl «tt dé Yim&tvÉiiêf ti qtfr «datait ^ le (ronVér que car le fait , eft coirf^ara»C d0# fifféreiye^B secondes cÂt^iMes parr d'autres' moyens. Les liÊtélitviB auronli fkit de itiémé ; ils^ li'afnrom troiaiTé le moyen de^ ditfer^iÉee» que sw «ne* TaWe cafcutléc d*avat>ce par le ^tocédé géométrique.

Voilà donc une méthode doDl les Indiens étaient posMMenw, et que Ton ne trouve ni chez les Grecs ^ ni chez les Arabes. Mais à quelle ëpoqae l'on t-îls connue?' ^ '

Ils auront vu que la différence seconde à 3o* était moitié seulement de celle qu'on voit vis-à-vis go' ; ils en auront conclu que les diflërences secondes 50ut enlr'elles comme les sinus. H n^en fiadlait pas davaih tage pour avoir le coefficient constant.

Les sinus ainsi vérifiés, il était inutile de vérifier les sinus verses , qui sont les différences du rayon aux cosinus.

Il y avait quelques fautes d'impression dans la Table anglaise; elles étaient visibles, et par conséquent de nulle importance.

M. Playfair, dans le quatrième volume des Mémoires de k Société d'Edimbourg , a parlé de la Table indienne des sinus. Stf Dissertatioa porte la date du 6 avril 1795. Il croit la Table des Indiens très-ancieniie, et par conséquent il n'est pas étonné de n'y pas. trouver les tangentes, qui n'ont été connues en Europe que dans le seizième siècle. Mais comme ridée en est très-clairement exposée dans l'ouvrage d'Albategni, et que dans le treizième siècle on en trouve des Tables calculées par les Arabes, on n'aurait aucun lieu de s'étonner si on . en trouvait dans le Sourya Siddhanta, dont nous verrons bientôt que la date ne peut être pins ancienne. II s'étonne de voir des sinus verses chez les Indiens ; mais sa mémoire ne l'a pas assez bien servi , quand il dit que les Arabes ne les ont pas connus. On voit le contraire dans Albategni, dont la.TrîgODOmétrie sphérique est en partie fondée sur l'usage de ces lignes , an Uea qu'on ne voit pas très-clairement jusqu'ici l'usage que les Indiens ont sa tirer des leurs.

M. Playfair ne doute pas que les Indiens ne connussent besncouç d'autres théorèmes que ceux qui pouvaient, suffire au calcul de leuxs ^4 sinus; mais il ne dit pas pour quelle raison les Indiens se seraient bornés aux arcs multiples de 3* |. Dans ces limites, l'usage delà Table àevait être fort inconunode et surtout peu exact. Il n'est pas naturel qu'ils se soient arrêtés en chemin , s'ils ont su comment on pourrait aller plusloiâ*

n avoue que les Indiens n'ont réellement démontré aucun des deux procédés qu'ils indiquent pour ces calculs. Je serais tenté de croire qu'ils ignoraient ces démonstraticms ; et s'ils eussent connu le priacipe ^ il est probable que leur Table serait encore un peu meilleure. M. Play£ur ne l'a point calculée de nouveau; il n'a pu apercevoir l'erreur du diviseur 22$ , substitué par erreur de copie ^ probablement^ au yérital^lç diviseor

a33^5; îl nmène la mélhédek.un.tbébrème de Viète^ démontré t>ar ADdersoQ.

Soient A, (A+D), (A+:iD) trois arcs en progression arithmé-* tique, on aura

8iu(A+D) : sinA+sin(A+3D) :: sinD : sînaD :: sinD : asinlïcosD

:: I : acosD^ sîn(A-f D) : 2sini(3A+2D)coôi(aD) :: i : 3C0sD, 6in(A-f-D) : 2sin(AH-D)cosD :: i : acosD.

Le théorème étant ainsi démontré ; l'analogie primitive doi^ne

sin(A4-D) . 2C0sD.= sin A H- sin(A+2D) , sin(A-|-D)(2— 4sin4D)=: sin A + sîn(A4.2D), 2sin(A+D)—4sin*^D sin(A+D) = sin A + sin(A+2D), 2sin(A+D)— sin A— 4sin»iDsin(A+B) = sin(A+2D), sin(A+D) + [sin(A+I))— sin A]— 4sin4 Psin(A+D)==sin(A+2D). Soient A, A', A" les trois arcs ;

sin A" = sin A'-f- (sin A'— §in A) — 4^^"^* ï ^ sin A'.

Connaissant donc sin A' et sin A i et par conséquent leur différence pre* mière (sinA^ — sinA)^ la constante 4sin*iD et sinA'^ on aura tout c^ qui est nécessaire pour . calculer sin A'\

Soit A=o; sinA"=sinA'+sinA' — 4s^Q''ADsinA';

ainsi pour commencer ïa Table il fallait trouver

sin 3- 45' et 4sin*^^) = 4sin*(i* Sa' 5o").

Les Indiens ^e sont mis à leur aise en faisant sin 3''4^r=^^ 3^ 4^^=^^^^^ Supposons que par suite ils aient fait

4smSD = sia'D i= «in» 5' 45' = (g^y, au lieu du véritable diviseur â33^5o6^ ils auraient trouvé.

. o . 0043845 = ^g-2 ^^ ^^ A"=: sin A' -h (sin A'— sinA) — ^gj-r*

Le . théorème de Yiète conduit en effet à Texpression de la différend»

seconde des sinus. En extrayant les ouvrages de Yiète pour la suite d^

cette Histoire de TAstronomie , je n'avais pas aperçu ce corollaire d'u»

théorème trop peu développé.

46? ASTRONOBUE AITCIENNE.

^. Plajfiur iraoYe que ce théorème «beaflCCNip d^aflnite «?eé1i 97* proposition des data d'Euclide; mais cette analogie ne se w\ pas «n premier covp 4*cffil.

Venons aux équations du centre. Pour les calculer , lès Hindous ont recours, comme les Grecs, à des qercles excentriques. Us supposent que l'excentricité est égale au sinus de la plus grande équation, et font sinus équation £= sia plus grande équation sio anomalie.

Mais quoique le principe fondamental soit le mène, le ctkul est très-différent; à l'excentrique, les Hindous substituent un épîcjrcle^ ce qui revient an mdroe] mais ee qui leur est particulier et es même fems fort difficile à expliquer , iU font y^er à chaque degré W rayon de cet épicycle^ qui va dimiouant depuis q d'anomalie jusqu'à 90*^ et k Table calculée pour le pvemter quart leur sert sans aucune différeice y^vx les trois autres quarts de Targuoieat. Le rayon de l'épicycle eet donchplxis grand quand l'équation ^t la plus petite j et lo phis petit qoasd elle êlst la plus grande. Ce n'est pas même le rayon qu'ils font véritaUcsziçnt varier , mailla circonférence de l'épicycle^ce qui oèsert qn*à compliquer inutilement le calcul. Autre singularité : quoique l'équation de la Lune eoh plus que double de c^te en Soleft^ la varia tttm de son ^cjde est aeosibteMent la même que erile de iVpicydé dit Soleil.

Bailly n'a donc pas été heureux dans ses conjectures ^ quand il a félicité les Indiene de n'croir embarrassé' lenre théories ni dVicemiiques, ni d'épicycles; ils en ont comme Las Grecs; mais «a Iîmi. de les ealcofar suivant les règles rigoureuses de la Trigonométrie ^ ils y introdoiseo/ on terme empiriqi:ie dont on ne voit ni la tmson ^ ni la nécefdlé^

L'équation du Soleil est 1 5o' Sa"; les Indiens disent :

Le rayon S458^ : ^excentricité ;?= i5o' 5a" i: 56o* : 1 5* 40'= circonférence de l'épicycle.

Cette circonférence^ ik V^ipétïenlpark^^am€t,-Jk preonenl sur celle circonférence up arc égal à l'anomalia moyenne. Le sinus et le cosiaos de cette anomalie^ dans le petit cercle , sont en raison donnée avec le sinps et le CQMMis du ntéme a»o dw le gvand cevcle; afera. As. ont on triangle rectangle dont les côtés sont esins et l'+'ecosz; nous encoo' etiEirtone Pangle par sa tangente; vatA n'aystrt point de tangente, ils e&erelien» l'fiypotéerase dbnt le carr^est

a* sin^;5 + i + aecos^ +e»cos*z s 1, ff< e^ + ae G#a«2.

k sinus de l'anft* «M déne

sssesias— ^e^sia^ ssasinz— e*8itizcoss

ee qui reviendrait à peu prèd. à la formiJe rigoureQsej Hiaîs m lieu der ce caleuly ils ont préféré d'angttienler la ciifcCMiférenee de l'épie jcle de^ ao^sin», ce qui revient k augmenter le rayon de 3' ii"; rexcentricité devient donc i53' 4^''; ik k font dimiimer de emis, lemr é<|uatioii^ devient

(135^45"— 5' ii^wnai) siû2=a: iSy 43"sîni&-^5'.ii'*sîû-2.

G^est Mt celte fonnnie qne fai caknté la Table «ûvantéi oàfaî wii^ h c6té de la TaUe indienne^ telle qtti résulte de maforxftule. La colonne suivante est calculée par la totmtAe qui la ftiit pMpoftionnefié aui cfosiilus.. fii ce précepte était moins f<>rmellenient enfoncé dans le Mémoire^ oxt pourrait dire qu^elk n'est que la différence première de l'équation^ tirée de ta-TaBle même et diminuée de ^^ ensorte que Téquation est celle qu'il faut appliquer au mouvement moyen Ôcf^ tandis que k ditférencè: de la Table répond à l^ Si le précepte est réeUem^^nt tiré du Sotifyai Siddbanta, les Indiens auront connu l'équivalent de noire formule diffe^ rentîelk ^siaA5=</AcosA. Cette fotnmle^ au reste ^ n'tsl pas suffisante pour donner la correetionr etsaete du m^utemaent^ Sfu moins pour la Lnne.

L'équation lunaire est calculée par la même ntélhode eiavec la même correction empirique 3' ii^sin^s^ ce qui est fort bizarre. ConAné le* ëqualions sDnt pkis fbrtes^ on ne s'est pas permis de négliger k diflfiéretice de l'iatre an shms. J'ar^ pour abréger, ckângé k formule en celle^i:

éqnaâon p=» arc(sin6'' 5'sîb js) — 5' i l'^^sîn^z.

Ces ifermnles, tant pour le Sekil que pour k Lune, repr^enfent téqa»* lioim avec pins* d^exactilBde qu'elle n'a pu être calculée par les Iikdiens^ L.es diiférences sont le plus so^r^ent insensibles et hé passent &" que dans des cas assez rares. II esl étonnant qn'avec kur TaÛe de sinus de 5* i^ en S""^ ils aient pu déterminer leurs équations avec èi pende fautes. On ne trouve pas k même précision dans la Table de l'équation du mou- Tement, qui était cependant bien pins &cile et sur kquôUe ils se seront ?glîg«'

liion du Soleil du Sourra SidMumia.

lAnomal.

moy.

ai aa a3

ÉqiutioBS indiennes.

o' o' o" o. a.ao

o. II .37

o. i3.ô6 o. 16. i5 0.18.33 o.ao.Si o>.^3. .7

o.a5.fl3 0.37.30 0.39.55 o.3a«io 0.34.34

o.45.aa

■ mm m

.17.3a .19.33 .ai. 11 .aa.57 .a4.4a

* SaÎTant ma' formnlc.

Équations du mouT.