CHAPITRE IV
Planudê.
CaUai idon loi Indiens , dit le grand Calcul^ pmr U Moim ttu-Philo^
sùphe appelé Maxiine Pknade.
VJc monamênt curieut , le plus ancien peut^tre oii se froûte exposée rArithmëtique selon, le système qui a justement prëvala sor fous \ti autres , n^a jamais etë publié ni traduit. C*est en général un outrage trop superficiel et trop diffus pour mériter une version entière et liltér^e ; mais il est très-digne d'un extrait assez étendu pour nous fiiire connaître Tétat de Tarithmélique k cette époque^ c'est-à-dire rers le milieu du quatorzième siècle. La langue dans laquelle il est écrit ^ £ut quH tient a rhistoire de l'Astronomie des Grecs et des Indiens tout li la fois ; il fera une transition naturelle de l'Astronomie ancienne à rAstronomie des
Européens ^ qui n'emploie depuis long-tems que cette arithmétique.
Dans ce système ^ tous les nombres possibles peuvent être rt^réseutA par des figures, au nombre de 9. Ces figures ont varié suivuit les lems el les lieux. Voici celles de Flanude ^ suivant deux manuscrits de£r^ibllo«* thèque du RoL
1 est le même que dans TAridimétique actoelle, a eat wi r ou mygrec^ avec une queue droite ^ plus ou moins longue et un peu othEqoe; 5 est un fâ, my grec; 4 ^^^ ^^ crochet au-dessous duquel est uu f, iio; le 5 est un gf renversé ; le 6 une espèce dy ou de > le 7 ressemble beaucoup à TA ries T des astronomes , avec une courbure an peu moins prononcée dans les deux cornes; le 8 un lambda majuscule; le 9 est ex^' tement comme le n^tie.
DES INDIENS. Sig
Les Inctiens ont un dixième caractère appelé rÇiffa , chiffre , lequel ne signifie rien par lui-même, et qui est o. he moi rÇiÇf et est arabe , et dans cette langue ^ tsijron zeiro/i signifie tout^àrfàit vide. Le premier de ces mots 9 qui signifie vide y a été détourne de sa véritable acception , puisqu'on le prend aujourd'hui pour le nom générique des caractères significatifs. L'autre parait nous avoir donné le mot zéro que nous avons substitué à rÇi(pfat..
Chacune des neuf premières figures > quand elles se trouvent à la prexnière place à droite, marque des uiiikés; à la seconde, en allant vers la gauche^ elle signifie des dixaines; à la troisième des centaines; à la quatrième des mille; k la cinquième des myriades simples; a la sixième d^s dixaines de myriades ; à la septième des centaines de myriades ; à la kniitième des mille de myriades ; à la neuvième des myriades myriadiques on du second ordre ; à la treizième des myriades du troisième ordre. On irait akkû jusqn'à l'infini. Planude en donne pour exemple I9 ^ nombre
en séparant ce nombre en tranches de quatre figures , on voit qu il commence par huitante-nne myriade? du second ordre ^ mais c'est uniquement pour l'arithmétique parlée que cette division se faisait anciennement de quatre>en quatre figures, comme elle se ùii aujourd'hui de lt(Aê- en trois pour les mijle de divers ordres > Car qgtre xniUi^n n'est qu'un mille du second ordre. ^ .
Le rJ^i^fa ne se met jamais à gauche d'un chifire. On voit déjà que Planude n*a aucune Idée des fraciioBs décimales, de cette extension ti lile autant que naturelle , donnée par les modernes au système dçs lodiens.
Le zéro se met dans les places vides, et comme les j^aces augmiei>tent les valeurs des chi£fres, ainsi font les zéros qui remplissent les places vide^. Mis à la suite d'un chiffre , le zéro an décuple la valeur, (aov vaut Z02 \ yoo^ vaut 6oo5 , yoffi vaut 6o43«
Les opérations de l'arithmétique sont l'addition , la soustraction , la multiplication, la division ^ et la recherche d'un nombre considéré comme le c6té d*a9 carré»
Sao, ASTRONOMIE ANCIENNE.
Exemple d^j4ddilion.
AOfAO
gfyAT
Planude opère comme dods faisons encore aujourd'hui , k la réserve
qu'il place. la somme au-dessus^, au lieu que nous la mettons au-dessou$.
Il né la sépare pas, ainsi que nous le faisons par un trait. Ainsi 56&j et
2Î545 font 8o5o.
Pour la preuve , additionnez les sommes de chaque ligne ^ en rejetant
neuf autant de fois qu'il s'y rencontre- La première h'gne vous donnera
La seconde •
t * La troisième 9
2 + 5 + 4 + 5 s= la sss 9 + 5 = 5.
Les deux derniers restes réunis font
'cbmiiie la première ligne : ainsi l'opération est bonne*, c'est ce quoa nomme encore aujourd'hui preuve de 9.
Soustraction. Soustraire c'est rétrancher un nombre d'un autre nombre^ et voir te <^m reste.
18769 reste.
54612 nombre.
55843 nombre à Aler.
III j . . '
Le précepte de Planude est celui qu'on suit encore.' Si le dn&t
DÈS INDIENS. ' Sai
inférienr est plus grand qae le supérieur ^ empruntez une unité au chiffre Toisin à gauche; elle vaudra lo : ajoutez -cette unité au chiffre inférieur. Ainsi vous ajouterez une unité aux chifires 4^ ^9^9 parce .qu'ils sont moindres que leurs chiffres supérieurs. La preuve se fait par l'addition du reste avec, le nombre retranché. ^ . * . .
II y a une autre méthode. Diminuez d'une unité tous chiffres qui se trouvent plus faibles que leurs inférieurs^ ou sur lesquels il faudra emprunter.
Reste. . . 8984 *
de. • • • • • 35i4^
ôtez. . . • 26i58
Par cette raison^ au-des9us de 35 1 4 j'écrirai 24o3; je ferai ensuite la soustraction sur les chifire^ ainsi diiùiqués de l'unité. ' Dans le second exemple^ Sooa se chajngera en ^iQQi- <
Reste. . • 06779
de 3ooa4
ôtez« . • . 23245
Multiplication. Cette opération consisté à mesurer un nombre par un aulre^ arulant de fois qu'il y a d'unités dans' celui qui mesure; il en résulte un autte nombre. (Cette définition n'a pas le mérite de la clarté. ) Ainsi deux fois trois font si;c; on prend trois autant de fois qu'il y a d'unités darxs le nombre 2. i' •
Les détails dans lesquels. entre Planude sont; d'une prolixité fatigante; nous n'en conserverons que ce qui peut être historique. . >
Soit 24 à multiplier par 35.
Je dis : 5.4= 20. J'écris au-dessus du 4 le f*^^^ ( ou zéro ) y parce que 20 est décadique y c'est-à-dire uniquement composé de dixaines y sans unités. Je retiens le 2 des dixaines. *
Je multiplie en % ( ou en croix) ; 5.*4== 121 et 5/2 £= loj total 22, et û retenus font 24 ; je pose le 4 auk dixaines et je retiens 2. Enfin 3.2 = 6 et 2 retenus font 8 que j'écris , et je vois que 24 • 35 = 840.
Jffist. de tAst. anc. Tom. I. 66
5aa ASTRONOMIE ANCIENNE;
L'opér^on iaite à notre manière tiendrait {Ans de pba« , nais «Hé aérait plus &cile et plus aiire. La i;i>mpl)catiQn de ïaxtâuuM aiédu)de augmente avec le nonil»re de^ figwre<<
Soit 1C4 à multiplier p^r 41^*
Je dis : S .4 = 8 ; j'écris 8 ians rien relMÎr , parce que le produit esf monadique; :2.6 = i:2 et3.4=i^> ^^^^ ^4î ^^^° ^^ retena^ donc 04^ Je pose 4 et retiens :2 ; 4*4^^ ^^ ^^ 3*^ = 49 ^^ croix, et ensuite 3.6 = 18; en tout 38, et t^ de retenus font 40. Je pose le rien et je retiens 4*
On voit que Plairade Êiit tout de suite les trois opëratiM» qù èckwA donner des cenlainee , comme il a fait tout de s»te les deux opératioBS qui fournissaient des dtixMnes. 11 ^a fiùre de mite cellea qs dMoerent des mille.
4-6 = 24 e^ 3.2 = 6} total 3o^ et 4 de retenus font 34« Xécns 4 et retiens 3 ; il ne reste que U multiplication qui donnera des my* riades.
