la. Posée a et retenes i
3.5 s 16 et 2.4 ss; 8; total a3 el 1 retena 6ml a4. Poses 4 et retenez a.
DES INDIENS. 5a*
3.0 =3 o^ a.5 =s lo et 4«4 sk i6) total 26 6\ 2 retediis font sd. Posez 8 et retenez 2.
4^5 cas 20^ a«o sta o ^ 1.4 ss: 4; ^^ ^4 ^t ^' rtftenuls fout ji6. Pmos 6 et retenez A*
1,5 CBB 5 > a»o 9EB o^ 3«o = 0, ^.o as: o I total 5 et 11 retenM font 7. Posez 7 et Topération est fiiile. Lea autres coînbinaiaons ne pro«A fuiraient rien y parce que zéro serait run des facteurs. Nom avons déjà fait quatre mfi<îpUcationa par i^éro ^ et nous aurious, pu xious êa dispenser.
On voit Tesprit de la méthode qui est de faire tout de suite toutes les opérations qui donnent des produits de même ordre. L'opération est simple pour le produit des unités; elle est simple encore dans le premier exemple pour les myriades.
Pour les dixaines on n'a que deux produits^ pour les centaines on en a trois y etc.
Aux détails assommans donnés par Planude , l'un des manuscrits ajoute encore une démonstration par figures de toutes ces opérations entrelacées en x > ou ^ comme dit Planude ^ par le chiasme ^ xar« row
Quand uti facteur a tout multiplié^ et qu'il ne doit plus servir^ on le marque d'un trait pour s'en souvenir et éviter les doubles emplois.
Après une métaphysique obscure et inutile , que Fîaxiude qualifie d'élégante et de naturelle^ il passe à la [h^uve de 9 qui se fait ainsi.
Faites la somme de toutes les figures comme on le pratique pouf Faddition , 6lez-en tous les g, écrive2; ali bout de chaque ligne ce qui restera ; multipliez hin par l'autre les testes des deux factettrs , réjetez tous-les g du produit; ce qui restera doit être égal au reste du produit de la multiplication.
Il croit qu'il n'est pas inutile de dO(tiiier^ une autre méthode ; mais il
avoue qu'elle est presqu'impraticable avec le /copier et le noir, firr) xafrou
J^iot /btiA.ayoç ; mais elle est aisée sur le sable qui donne la facilité d'efiacer
un chiffre avec le doigt pour en substituer un autre. Cette méthode
m'a paru plus incommode que la précédente. Voici au reste l'exemple'
qu'il en donne.
5^4 ASTRONOMIE ANOENNE,
. II s'agît de multiplier 654 P" Im-raême.
Ç^.& = 56 ; j'écris 6 au-dessns du 6 et le 5 à gauche.
6. 5 = 3o ; je niels^ le rien aii-^dessus du 5, et les 5 dizaines se réunissent au 6 de la première opération , et ce 6 se change en g ; j'eflàce donc 6 pour y substituer un g (au lieu de l'effacer , coKarquons-Ie du Signe minute^ et écrivons g au*dessus).
6*4 == 2i4 ; j'écris 4 au-dessus du 4 » et je retiens 3 que fe substitue au xéro ( au lieu-^ d'effacer le zéra, je le marque d'un trait , et j'écris 2 audessus) ; j'ai donc 3g24 pour produit de 6.654.
Tout ce qu'il y a de plus remarquable jusqu'ici , e'est qu'il commence la multiplication par la gauche. Pour multiplier maintenant Sopar 4» i^ transporte 654 ^ droite , en l'avaiiçanl d'une place*
5.6 =: 5o; je n'écris rien au-dessus du 6 où il y a s; Je retiens 5 et les joignant à 3g qui sont à gauche de sk y j'en fais 4^ ^^ j^ substitue" k 5g ( je marqYie le 5 et le g d'un trait y et j'écris 4^ au-dessus).
5.5 =z= :25; les 5 je les joins au 4 V^^ devient g (je marque 4 d'un trait ^ et j'écris g au-dessus); des ao j'en fais 2 que je réunis au 2 cjuî est à gauche du 4'; je marque ce 2 d'un trait et j'écris 4 au-dessus).
5.4 = 30 ; je n'écris rien pour le zéro ; je retiens 2, et les loigiuai ^ 49 j j'en ^is 5i , et je marque d'un trait le 4 et le 9.
Je transpose de nouveau mon nombre 654 d'une place à droite , ef j'écris au-dessus 4^5i ^ qui résulte des opérations précédentes.
4.6 == 2^; les 4 se réunissent à i qui devient 5; je marque i d*uu trait et j'écris 5 au-dessus ; les 2 se réunissent au 5 qai devient 7 ^ je £u5 la substitution.
4*5:=s2o; j'écris le rien pour le zéro , le a je l'ajoute au 5 qui devient 7 ; j'écris 7 au-dessus et je barre 5. . j
JDES INDIENS. ... . SaS
4*4 ^^ 16 ; f écris 6 au-dessus de 4; de la dixaine je ùis une unité que je mets au*dessus du zéro^ et j'ai pour produit 437716.
Il suffit de comparer ce procédé à celui de l'Arithmétique moderne pour sentir de combien ce dernier est préférable pour la brièveté y la tlarté et la sûreté*
Dwision. La division consisté a comparer deux nombres pour voir quel nombre répond dans Tun aux unités de l'autre. Comme quand nous divisons 6 par 3^ nous voyons qu'à chaque unité du nombre 5 répondent a unités dans le nombre 6. Cette définition vaut beaucoup mieu^' que celle de la multiplication.
Planude parle ensuite des fractions proprement dites ^ et de la ma-« nière de les réduire à leurs plus simples termes^ par le plus grand diviseuF commun.
Pour la division d'un nombre plus grand par un plus petit y écrivez?
le petit au-dessous du grand ^ et laissez entr'eux un intervalle d'une
ligne. Soit 4865 à diviser par 3 i écrivez ces nombres comme vous le
▼ojez ici :
> i6ai I
et dîtes : en 4 combien de fois 3 ? c'est 1 ; écrivez i au-dessous du 4 ^ îl Te ste I qui y avec le 8 suivant ^ fait 18 =6.3; écrivez 6 au-dessous de 8* ïiii 6 combien de fois 3 ? c'est n ; écrivez a au-dessous de 6 : en 5 com- Bien de fois 5 ? il s'y trouve ï avec un reste 2 qui donnera f .
Si nous avions eu 4 ^u lieu de 3 pour diviseur ^ nous aurions trouvé
Dans Tezeinple suiTant^ 5 est le diviseur, et 937Sle quotients
S^ ASTRQKOMIE ANCIENNE.
Viennent ensuite plusieurs exempiesrinsîjg^fians^ pmê «n esempb où le texte parait altéré. Je conjecture qu'il s'agit de diyiser 65j&
par a4*
En 8 combien de fois a ? ce serait 4 ; niab à cause du 4 <pû saille a, il met 5 ; 5 . 2 =6^ de 8 il reste a qui ^ avec le 5 suivant^ fait 25; 4* 3=i3; je les retranche de a5 ^ il reste i3 ; en 1 5, a s'y trouvent 6 fois, h atnse de 4 i^e mettons que 5 ; 5.a= loj de i3 il reste 3 : joignez-y lej, vous aurez 37 ; 5.4= 20; de 37 il reste 17.
En.x7, 3 serait 8 foia^ ne mettons qip6 j; 7.a&âi4; de 171^0 3; 7 .4:?;;; aé ; de 38 reste lO. Ainsi le-quoti^mt est 557 ^.
Les Grecs n'oi^t pas de terme pour ^uoûêtu ; c'est ont cbose bien n« m^rqoabU <|i»e la pauvreté de leur langue mAthémaliqa*.
L'exemple suivant est encore plus altéré; il paràtl iûmtelfi|((blé , et ne mérite certainement pas la peine qu'on prendrait à le rétaUîr. On croit içoir que Planude veut diviaer a48 par a45*
Cette fin est moins correcte que ce qui précède; elle manque mené dans I*tin dee deut roanuaeiitSi. En tout le Traité eti fi>rt snpeificîd. S*I1 donne l'étal de la science an tems de Plannde ^ s'il eal on taUcan fidèle dé celle des Indiens ^ on pourra dire que ce peuple qni atvait trouvé m système si commode , si simple et si universel y n'avait pas sn en tirer tout le parti possible. Les exemples donnés par Planude sont si ^f qu'ils auraient pu être calculés preiqu'anssi facilemeiyt par les chiffiief des Grecs. Les Grecs n'avaient pas eu cette idée si belle et si fécoBde^ mais ils étaient plus habiles calculateurs.
L'auteur passe ensuite à rArtlfamétlqné sexagesima/e. Il donne un exemple d'addition^ un de soustraction; H explique la muh^bESlicalioa et la division ; enfin rextraclion de la racine carrée exacte ou approchée si le nombre n'^st pas un carré parfait.
Voulez-vous la racine carrée de t8 ? le plus grand carré contenu dans ce nombre est 16; ôtez 16 de i8| il restera a ; la racine de 16 éSl 4 • doublez 4 ^^ deviendra 8 ; la racine approchée de 18 sera 4 |=4i*
Pour la preuve^ multipliez 4i par lui-même ^ vous anrez 18 et k fraction ■^.
Cette mélhode est suffisamment exacte pour les petits n«aBbres.II«
DESDSfDlÊWS. S2f
tnBOBee lK>lir h enUe une autre , dont Dîeû lui a fait la gface d'élre rinvcutcur j raêis il $e ooBteme de ctlte fHranièrt pOmr les nonibrcs cpi» ne passes! pas 9999 , pat ce 4Jùb leor raciM n'a que depx figures. Soit proposé de trouver le c6té du nombre ^55
Tronrez un nombre qui , multiplié par lui-même , puisse détruire le • qui commence ce nombre ^ ou qui en approche le plus près.
a.2:af^^fÇe qui est trop fort; il &ut doue prendre 1. Mettez x au^ dessous de 2 , entre a et 3 ; doublez cet i qui vous donnera 2 ; places 2 au-dessous de 3 en troisième Ji^e. Trouvea» un nombre qui , mzdtiplié par 2, soit contenu dans la c vous trouverea^ 6; m^s 6 multiplié par luirr même sera pins fort que ce qui reste à retruDcber, car ce reste eat i5; abandonnez 6 et prenez 5 ; 5 • :i = 10 ; écrivez 5 entre 5 et 2 ^ à c6té de* 1 ; olez I o de 1 5^ il reste 5 ; placez-le un peu plus haut entre 5 et 5 ; multipUez 5 par lui-même^ vousaure;B :25 à retrancher de 35^ il restera lo; écrives }o hors de ligne ^ k part. Doublez le 5 > vou» aurez 10 , écrivez-les à I» troisième ligne ^ à la suite de 2. Ensuite réunissez les 20 et les zo de la troisième ligne , car 2 est un nombre décadique , vous aurez 3o ; retran* chez-en la moitié qui sera i5; car 3o doit contenir deux fois le c6lé« La racine de a55 sera donc 1 5 -j^ = 1 5 1. Pour le prouver , prenez le carré de i5 j, vous aurez 255 ^. 11 faut avouer qu'un commençant aurait quelque peine à bien comprendre cette méthode ^ qui n'est pas élég:am"ment exposée.
Pour exemple ^un côté de trois figures ^ 9 choisit 4^1554*
II prescrit de chercher le pfus grand carré contenu dstasr 4^ et non dgns 4; il trouve 6 : le reste ^ après la soustraction de 36^ sera 6 qu'il
5î^ ASTRONOMIE ANCffiNNE.
place au-dessous. Il double le c6të 6 qiii donne xa; il Técrit dessotis en troisième ligne ^ et abaissant i pour faire 6 1 avec le 6, il divise 6x par. 12, ce qui lui donne 5 qu'il laisse comme trop fort^ et il prend 4- *
4* la = 4^; de 6i reste i5 ; il écrk donc 4 entre i et la.
A côté de i3 , il abaisse le 3 qui sait i , il a i33. U en retranche le carré de 4 ou 169 il reste 117; il les écrit au-dessus de 3. Il double 4 ^^ ^ a 8; il les écrit au-dessous et k la suite de 1:1 ; il à 128:= 3 fois le coté 64. Il cherche quel nombre, multiplié par la, retranchera d'abord les 117, et qui y multiplié par 8 ^ retranchera le 8 qui vient après, et qui enfin , multiplié par lui-même, retranchera le dernier : il trouve 9. ' 9.12 = 108; de 117 il reste 9 : il écrit 9 entre le S et le 5, etle3 108 au-dessus.
9.8 = 72 ; il les retranche de 95 formé de 9 et du cbiflfre suivanl 5 ; il lui reste 23 : il y réunit le 4 qui reste, il a donc 234. Or 9.9=81; de 234 il Tesie i53 qu'il écrit à part' hors de ligne ; il double le g qui donne 18 qu'il place à la suite, et lé côté de 43^354 se trouve
A. la suite de ces exemples , il donne la règle par laquelle il aurait dû commencer ; c'est qu'o/i cherche le plus grand carré contenu dans lepre^ mier chiffrée à gauche , si le nombre des figures est impair ^ et dans les deux premiers y si les figures sont en nombre pair.
Si le carré n'a que i ou a figures , le c6té n'en aura qu'une.
Si le carré n'a que 3 ou 4 figures, le côté en aura deux.
Si le carré n'a que 5 ou 6 figures, le côté en aura trots, etaôsî do suite.
Il ajoute : Personne ne pourra nous blâmer si nous diso/is çue cette méthode est de nous , aussi bien çue la suivante. Je crois gue personne ne sera tenté de les lui disputer.
Il passe à un nombre dont le côté a quatre figures , et il choisit
Selon la première méthode. 4'- 4= ^6. Il place le 4 au-dessous du 6. Il double le 4 qui lui donne 8 ; il retranche 8'du tiroisîème diiffireo; il reste i.
DES INDIENS. 5ag^
A ce I 3 rénnït le zéro suivant^ il a lo; il en retranclie i«i =: i , il reste 9 qu'il e'cril plus bas. Il double i ^ ce qui £adt :) ; il divise 9. par 8 ; le quotient est 1 , il l'écrit : de 10 il retranche a, il reste 8; il en, retranche i . i == i , il reste 7,
Nous ayons donc jusqu'ici le côté 4^1. Il cherche quel chiffre , joint a ces trois premières figures , formera un nombre dont le carré soit contenu dans 16900965. S'il choisit a^ il aura un carré' trop fort; il prend i , et le c6lé se trouve 4m 1 dont le carré est 169003:21. C'est le carré le plus voisin; il reste 64a; la racine sera 4iii rrrï*
11 semble que suivant la règle même donnée par lui ^ ce côté soit
4iii^Vi=4iii:MT-
La manière la plus simple de trouver ce reste 64^ ^ est de multiplier
4iii par lui-même et de retrancher le produit du nombre proposé*
Planude donne un moyen moins clair et plus long.
Nous avions ci- dessus le reste 7^ et de plus 963 > sur lesquels ]aous
n avons pas encore opéré. Il prend ces nombres comme de simples unités.
Il dit 7 + 9= 16, 1.8 = 8, i.a=2, 8 + a = 10; de 16 il reste 6.
Du 6 qui vient après le 9 , il retranche 1.2 = 2^ il reste 4. Du 3 qui
vient ensuite > il retranche i.i =1, il reste a. Réunissant ces trois
restes 6 ^ 4 ^ ^ ^ pour en Êiîre un seul nombre ^ il a 64a comme ci«
dessus.
On voit que Plannde se contente de donner des pratiques a suivra et ne s'embarras$e guère d'en donner les raisons ^ ni de se faire biea comprendre.
11 prend ensuite le nombre 1690196789^ dont le côté doit avoir cinq figures. La racine sera 4m 3* ^^^ exemples où tous les quoliens sont des I et dont le plus fort est a ^ sont mal choisis , parce qu'ils sont trop aisés ; mais avec d'autres quotiens^ sa méthode serait encore plus embarrassante. Cette méthode est obscure , minutieuse , sujette à erreur^ et moins bonne par conséquent que celle de Théon^ que nous suivons encore.
Il expose ensuite une méthode de son invention pour trouver une racine approchée. Il choisit pour exemple a4f Le plus grand carré est 16 dont la racine est 4 ; le double de 4 est 8 ; a4 — 16= 8 ; la racine sera 4 f presque : elle est un peu trop forte ^ car le carré de 4 1 oql de 5 est a5.
U trouve de même qae le c6té de 1 7 est 4 fa ^ H P^^^' ffist. de Vdst. anc^ Tom^ I. 67
fl5<r ASTROl^OMIE ÀNOÊNNE.
• Que î8 e6t le carre de 4 i ou 4| > 19 le carré de ^ | ; M le carre de 4 1 ou 4 7 ; ^1 1^ <^^^^ de 4 1 ; ^3 le carré de 4 f ou 4 1 ? ^^ eel^ ^^ 4 1 r et 24 celui de 4 !•
. En général , soit a*+ è un carré imparfait.; il feîlla racine = a + — j
Voici nne autre méthode qu'il donne encore comme de loî. Je veux la racine carrée de 6; j'en fais
J'en ' cherche la racine approchée qui sera 146' et «ne finctioa , o«
(146)*+ ^ ( ^46) = 31608 ^ trop fort de Sparlies.
Donc rinconnue qui doit multiplier 2a est une fraction ; elle sera uv nombre de secondes approchant de 60 , et il trouve 58'^
L'opération est longue et pénible ; il était plus simple de mettre sîjl zéros après le chiffre 6 y mais il n'avait aucune idée des fractions décimales. Au reste ^ elles n'étaient pas nécessaires; il suffisait ensuite de réduire 1» racine à un seul entier^ et de donner ensuite un dénominateur décimal a la fraction. Il aurait eu
V/6 SS5 3-449^ = 2*:i6'95a s= a* 36^57" ta.
Planude démontre sa méthode à la manière d'Euclide^ en formant nxk rectangle dont le côté est 2"* 2& 5ff\ Il passe enfin à une troisième méthode qui est un mélange des précédentes^ c'est-à-dire de ceVLe des Indiens^ de celle de Théon et de la sienne propre*
Il choisit l'exemple même de Théon ^ 4^^- ^'^ réduisait en nombre en minutes ou en secondes^ il aurait 270000'= 16200000". L'opération serait trop longue. Il cherche le plus grand carré contenu dans 45oof c'est celui de 67, Il reste 11 , dont il fait 660' ; le double de 67 est i34 ;
ç^ == 4 ; car 4 • 34 = 536 ; il reste 1 a4 q^'il change en 7440" : il ea retranche (4)'= 16; il reste 7424* 11 convertit en minutes le double i54 qui devient 8040; il j ajoatt
." ■ DES INDIENS. ' i5&
le double, de 4" ou 8", il a 8048. 11 convertit en tierces le reste 7425 qui devient 43544o; il les divise par 8048'% il trouve 55", et la racine sera 67» 4' 55". ' • .'
Tout cela" est long et pénible. Pour des noivbres qui:iie sont pas plus considérables, les logarithmes. rendent bien inutiles toutes les méthodes d'extraction 9 et elles les abrègent dans tous les cas.
Planude dit ensuite que tout carré diminué de l'unité , est résoluble en * deux facteurs. En effet ^ du carré a* db 2âi-f* ^ retranchez l'unité^ il restera
Les deux facteurs a çt a =i= 2 sont l'un plus grand y Fautre plus petit de Tunité que U racine (a =1= i).
Sî du carré. ( df — i )• = a* -— aa + x
-vous retranchez plusieurs fois la racine â( -^ 1
a* — i 5flt + a
fl« 4^ 4. 3 ^
TOUS aurez les restes ,^ ^» — 5^ ^ 4
a* — 6a + 5 a' •— ya -f* 6
D'après ces remarques qu'il expose d'une manière fort obscure y il dif qu'on peut tirer la solution du problème suivant , qui se trouve aujour*d'hui dans tous les Traités élémentaires d'Algèbre* »
Un père mourant appelle ses enfans, fait apporter son coffre, et dit: Je veux que mes enfans partagent également mon or. Le premier prendra une pièce, et le septième de ce qui restera. Le second , deux pièces et 1^ septième du reste. Le troisième , trois pièces et le septième du reslant."^ Le père meurt sans avoir eu le tems d'achever. On demande quel est'^le nombre des enfans e't celui des pièces ou des sacs. ^
Voici la solution de Planude. U faut toujours prendre - ; (7 — i ) sera le Qombre des enfans ; ( 7 — i )* sera le nombre des pièces; . -^
( 7 — I )' ou • 49—14 + 1
Le premier prend 1 H^'~ 5= i + --= 1 4-5= 7—1 * 7 — i
. U reste '...,...40-^^1+^
5Ta ASTRONOMIE ANCIENPŒ.
Le second prend a-| — = 4+^ = 7 — i= 7-^^
U reste, 49 — 28 + 5
âi
Le troisième prend 54-— =6 = 7 — ^ =•• • 7 *" *
i«^ai^
Il reste 49 — ^^+4
Le quatrième prend 4 4- — = 6=. 7 "^ *
Il reste 49 ~" 4^ + 5
Le cinquième prend 5 et ^ = 6 = 7"*~'
II reste 49 *— 49 + 6-
Le sixième prend 6 et ~ = 6 = ; 7~^^
U reste. • . » o = o — 7+7
Le partage est fini , les enfâns sont au nombre de 6=7 — i ^ le nombre des pièces 6* = 56 : les parts sont égales et de 6 chacune.
Ce problème a été imaginé sans doute d'après la remarcpe £ûte cir* dessus par Planude ou par quelqu'autre avant lui. L'Algèbre résout ce problème en égalant l'expression des deux premières parts; mais un algébriste n'aurait probablement pas imaginé cette question ; il n'y aurait pas songé.
Planude se propose ensuite celautre problème. Trouver deux rectangles égaux en périmètre et dont les aires soient éntr'elles comme i : n, c'est-àdire en raison donnée.
Soient a et £ les deux côtés contigus du premier rectangle; sa-f-sS le périmètre y ab la surface , c et </ les deux côtés du second recùs^ ^ ac -f- nd le périmètre > cd Tautre surface.
Nous aurons
a"^ B=: c *hd et cdss naB ;.
Toilà les deux équations du problème*
[«^ -i («+*)]• = Ci (« + *)'-«iA],
Cette fommle suppose la connaissance du premier rectangle et le rapport n des surfaces ; mais on risque de trouver bien des solutions imaginaires ou purement géométri^pies aviaîhtd'en obtenir une en nombres entiers.
Soit :tp le périmètre ; or et ^ les demî-dîflFérences des côtés \ p-^x ^l p ^ X seront les deux c^tés ; p^^-^x* sera la surface du premier ; p^—y^ip +^ les deux côtés; p^-^y^ la surface du second. Noua aurons
p^--y^^s=^np^^nx^=in{p^x){p'^x^y p^—np^^nx^=:yz=:p^^n{p^—a^):=ip^'^n{p^x){p+x)y
JLe premier rectangle étant donné avec x ^p éin^on aura
Cette solution plus commode que la précédente^ a de mente nnconvé-* nient de donner des solutions incommensurables.
Planude donne sans démonstration et ians aucun renseignement , un moyen d'avoir en nombres entiers autant* de solutions qu'on voudra. J^'ai tiré des raisonnemens de Planude « les formules suivantes ;
prenez donc »' — i pour le demi-périmètre , (ti^— /i) et (n — i ) seront les deux côtés d'un rectangle ,(/»' — /»') et ( «* — x ) les côtés de Tautre rectangle. Vous aurez autant de solutions que vous voudrez en nombres entiers, en choisissant arbitrairement (n^^—p) et (p^^i)} (^^-^-^J ctC^— 1). , . !
Tous ces périmètres sont égaux ; mais il &ut encore que les sior&ces soient en raison donnée.
Voilà donc le problème entièrement résolu. Les périmètres sont égaux ^ et lessurface» :: x : /i.
L'équation tf = ( n — i) on ii=:(a<4-x) vous permet de prendf e^ srl^itrairement m. ou n pour donnée ; prenons iK
§54 ASTRON'OMtE ÀfTCÏENNE.
Nous aurons'
ab:=,n{n — i) (/i* — i ) , cd^=:n*(n — 1)(^*— i)
à étant pri& à volonté y nous ayonrn et tout le reste exprimé en £dncboa de n. Nous pouvons de même exprimer tout en fonction de a.
' û + A=z=a3 + 5a*4-5fl = (aH-ty— i=c + é/, c = »•— I =«■-+• aa + i — 1 =:a'4- ^^a
ûi = û ( a^+ 3a* + 2a) = a* + 5a*H- ^a* , cJ= (a^+2a*^a) (a* + 2a) = a'+ 2a^ + ^4-a^ + 4^ + m'
= û* + 4^ + Sa' + ^^*> J — az=za^ 4- 5a»+ aa — a = a' + 5a* + a,
Tous les nombres sont dés entiers ; tons ils sont à Tolonté feacdons de a ou de n. Ce qu'il y a de plus simple^ c'est de prendre pour a toosles nombres naturels successivement.
a sera donc i , a, 3, 4 > S> ^> ^^c.
n sera a, 3, 4^ 5,-6, 7, etc.
<^=i, /i=:a, c=3, rf=4^ * — a=5, Az=6, i+a=i'j;
ai = 6^ 1/ — r=r//
ii = 2, /ï=5, c=8, </=i8, i — as=pa,i=24 , b+a=s^^
• ai = 48 , d^czn 10 ;
ii=3, /i=4> ^=i5, </=48^ h — a=57 > A = 6o , ^+ar=63,
a3=ido,d — c=55; a=:4, 7}s=5, c = 24^ cf=:ioo, & — a=ii6, &=iao, fr-f-a=:i24i
a£=s:48^ 9 ^ — 0=576; oâS, ns=6, c£= 35 ,.€/=: 180, 6«~a=ao5, isaio^ A-|-aî^2i5,
a£=:io5o, &—-r=: 145*1 a'i=6, n=7, c=48, rf=a94, * — a = 33o, 3 = 336, *-|-a=343,
ai = aoi6, d — c=24fi- ''On aurait arasi* autant de solutions qu'on voudrait donner de vafeun à /} ou a; mais on peut contiuoer par de simples additions.
c est I» suite des xtombres naturels i^a,5y4>5^ file» n es! la suite des iK>inl>i:es naturels n-y 5> 4> ^ > ^> ^^^«
On peut continuer tant qu'on voudra.
Les valeurs de tf sont r • * 3 . 8 . i5 • ^4 • 35 • 4^
