M — dM = 153.27. o

tang A = 160. i4- 2-« — 9.55353 C.cos où . . . 0.05871

tang B == 1 58. 55. 12 — 9.69424

comme ci-dessus. Ce moyen pour trouver B et B' serait beaucoup plus long ; mais si les Tables étaient construites , on y prendrait à vue dM, dAy dA.' , R et R' qui donneraient (B — B ) par de simples additions ou soustractions.

Nous avons donc tout l'ouvrage d'Autolycus dans les formules

1 t> . . / t> 7 t> \ sîn a tan"; H

cot B = COt Où col (M — dM ) r*T-S— m n »

« v ' sin (M — dAX) 7

cot B' = cot a cot (A+ dM ) + ,

n /sin 1 5 \ sin B Sin p — ^ cos jj J àin(^a djfr) *

r,, /sin i5°\ sinB'

sin fô ^ H J ^^-jp-f^ >

auxquelles il faut joindre les huit combinaisons de ces quatre quantités qui nous donneront les quatre levers et les quatre couchers (\oycz page 4' ). Mais ces formules , en vérifiant les théorèmes d'Autolycus,

nous donneraient encore les tems absolus des phénomènes dont l'auteur grec n'a donne' que la métaphysique. Le Livre d'Autolycus est aujour->r d hui fort rare, et probablement il ne sera jamais réimprimé.

Nous avons promis une démonstration générale des dernières propositions d'Autolycus ; la voici , elle est extrêmement simple.

L'ordre naturel des phénomènes qu'il considère est celui-ci :

Coucher du soir. Lever du matin. Lever du soir. Coucher du matin.

ou bien , en faisant comme Autolycus , /3=/3'= i5°,

B' — s5° B-f-i5° B+i65° B'+igS0

intervalles 5o+(B— B') i5o° 3o — (B — B').. . .— 2io°=-f 150"

ce qui suppose B > B' et B — "B'^oo0.

Donnons à (B — B') les valeurs suivantes : nous aurons pour les inlervalles les valeurs ci-dessous.

. ae '

Somme

intervalle.

des quatre.

3So°

3So

La sixième supposition rend nul l'intervalle entre le lever du soir et le coucher du malin. On les observera donc lous deux à une même longitude du Soleil, c'est-à-dire dans la même nuit.

La septième rend ce même intervalle négatif, ce qui montre que l'ordre est interverti; que le coucher du malin sera visible avant le lever du soir; cl quand ce lever sera devenu visible à son tour , on les verra tous deux dans le cours d'une même nuit.

Supposons maintenant B < B'j (B — B') sera négatif. Au lieu de

OUVRAGES D'AUTOLYCUS. 45 (B — B'), mettons — (B' — B) dans les formules qui deviendront 3o°— (B' — B), i5o°, 3o°4-(B' — B), i5o°; alors en formant pour (B' — B) les mêmes hypothèses , nous aurons ce qui suit.

intervalle.

Somme des quatre.

Go — x b'o o Go + x

Voilà donc treize formules qui sont e'quivalentes aux treize dernières propositions d'Autolycus , et qui au besoin serviraient à corriger les fautes d'impression : elles sont bien plus faciles à comprendre. Au reste, quoique les Grecs ne connussent pas l'usage des équations , il n'est pas impossible qu'Autolycus ait trouvé ses théorèmes par des raisonnemens tout semblables à nos calculs. Ses commentateurs les ont démontrés par des figures ; je ne dirai pas avec quel succès , je n'ai pas eu le courage de les vérifier.

(B — B') peut avoir toutes les valeurs entre i8o° et — i8o°. Pour le prouver et compléter cette théorie, nous allons montrer comment on peut déterminer les étoiles pour lesquelles (B — B') sera de(i5°=hx), de (3o°±.x) , ou telle autre valeur quelconque positive ou négative.

Soient L la longitude de l'étoile, A sa latitude, dL=L — B, dL/=B' — Ly vous en conclurez

L = B 4- dh , L = B' — dU;

d'où

o = (B — B')-f-JL-ML' et dh -j- dV — ( B' — B), de plus,

sin dh = tang À cota et sin dh' = tang À cot a! ,

a, et a! sont les angles que l'écliptique fait avec l'horizon aux points B et B'.

Pour connaître ces angles on fera

sin H= cos a> cos a — sin œ cos B sin ct} sin H se'c o> = cos et — tang cd cos B sin et = cos et — tangepsina, sinHsecacos <p = cos et cos <p — sin et sin <p = cos (a -}- <p) = cos %;

on aura donc

tang (p= lang« cos B, cos % = sin H séc a> cos <p , — <P ;

pour l'angle et' vous aurez

tang tp'=c tang a cosB', cos %' = sin H sec a> cos <p' et a' = %'-f-<p.

Les angles subsidiaires <p et <p',%et%' sont toujours aigus; mais <p et <pf peuvent être négatifs : or,

sin dL sin^/L' :: tang X cota : tangÀ cot ot' :: cot et : cot et' :: tang a' : tang a, tang i (dL-\-dV) : tang^ {dL — dL') :: sin (a'-j-a) : sin (et' — a),

tang 5 ^L-dL ; -77^ — ,

tang A = sin dL tang et = sin dL' tang a', L = B-ML = B' — dÛ.

Si B'>> B , la latitude sera boréale; si B >B', elle sera australe.

Ces formules vous feront connaître la longitude et la latitude de l'étoile qui se levant avec B se couche avec B'. Voulez-vous connaître celle étoile par son ascension droite et sa déclinaison ? Faites

cos&JtangB = lang A , sin où sinB = sin cT , sin dX = tang S" tang H, cos cû tang B'= tang A', sin « sinB'= sin S', sin</A'= tangj' tang H , M — d/R = A — r/A , = A — d A. -\- d& , M-+-dM = A'+dA[, Âi == A' + <*A' — ,

= i (A'+A) + 1 (dA'—dA) , tang D = sin rfJl cot H, J^l = i (A'— A) + | (JA'+dA) ;

yî\ sera l'ascension droite et D la déclinaison de l'étoile cherchée. Soit h la hauteur du pôle de l'écliptique sur l'horizon ,

h=ç)o° — a, /i'=Q00 — et' sinfi?L = tangMang^, siiifl?L'=tangÀtang/i'.

On voit qu'il y a une grande analogie entre les d\, et les dA\ ; B = L — r/L pourrait s'appeler la longitude oblique de l'étoile , comme Âi — dA\ s'appelle l'ascension oblique ; dh pourrait s'appeler différence longiludinelle , comme dÂi différence ascensionnelle.

OUVRAGES D'AUTOLYCUS. 4/ Appliquons ces formules à Arclurus, c'est-à-dire cherchons l'étoile qui se levant avec B == i58° 55' 10' se couche avec B' = 253° 14' 20".

tango».... g. 64517 sin H sec. o> 9.83127

cos B — 9 . 9G884 cos <p . . . 9 . 9G608

tangp = — 22°2i/o'.. 9.61401 cos% = 5i. 9.4° 9*79755

— <p=-f-22.2i. o B=233. 14.20 X — <p = a-= 73.50.40 B=i58.53.io

tango»... 9.64519 sin H sec co . . . 9.83127 cos B' — 9.77705 cos <p' 9.98533

tang<p' = — i4°48'3o".. 9.42224 cosx' = 49° 2.20... 9.81660

et = 73°3o'4o'r a? = 34 . 1 5 . 5o

a-f-a'-= 107 .44* 3o. . . . C sin . . . 0.021 16

et — et = 59.16.50.... sin 9.80148

£ (B' — B) = 37.20.35.... tang.... 9.88251

\{clU—dL) = 26.53.35 tang g,7o5i5

dV = 64.14.10 B = 1 58' 33' 10" rfL = 10.27. o f/L = 10.27. o

L = 1 69 . o . 1 o B' = 233.14.20 dL' = — 64 . 1 4 • 1 0

(voyez ci-dessus , page 53 ) L = 169. 0.10

sineflL.... 9.25858 sin £?[/.... 9.95453 tang et. . . . 0.52870 tang a!.... 9.83275

tang A = 9.78728 tang À 9.78728

À = 51*29' 52" (voyez page 55 ).

a est boréale , parce que B' >> B.

<p et <p' sont négatifs comme cos B et cos B'.

Les <p et les % sont toujours moindres que de 900.

Cherchons l'étoile par son ascension droite et sa de'clinaison.

cos 9.96129 sino).... 9.C064G tang B = i58° 35" 10"— 9.59429 sinB cj.565o6

tangA = i6o.i3.54 — 9.55558 sin cT= 8° 29 46" 9-16952

dA = 6-46.52 tang cT. . „ . 9.17415

A — dA = 153.27. 2= Â\ — dM tang H . . . 9.89801

sia dA. ... 9. 07216

cosm.... 9.96129 9.G0646 tang B" = 233° 14' 2o"+o. 12G66 sin B' — 9-9o37i

tang A' = 230.45.45 0.08795 sincT^= — 18.53.17 9.51017 dA' ==— i5.4i.45

A'+dA' = 2i5. 4. o = M 4- <Ol tang J^' — 9.55420