CHAPITRE III

Euclide.

!N"ous n'avons rencontré dans Autolycus aucun vestige de la Trigonométrie qui seule aurait pu lui donner la théorie complète et la solution précise des diverses questions qu'il a mises en théorèmes vagues et souvent obscurs. Nous trouverons dans Euclide des propositions d'un usage indispensable en Astronomie , mais aucune règle positive et usuelle pour la solution des triangles. Le premier Livre des Elémens renferme des théorèmes importans sur la nature des triangles , sur la somme de leurs angles, sur leur surface , et enfin la fameuse proposition du carré de l'hypoténuse, qui est le fondement de la doctrine des cordes et des sinus. On trouve dans le Livre second ces propositions remarquables :

Dans le triangle obtusangle , le carré du grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés plus deux fois le rectangle de L'un des côtés par le prolongement de ce même côté compris entre le sommet de l'angle obtus et la perpendiculaire abaissée du second côté sur le premier, proposition qui en langage trigonométrique moderne s'exprime par l'équation

C"3 = C*+ C" + 2C.C cos ( i5V— A") = C-f- C'3 — 2C.C cos A".

Dans le triangle acutangle , le carré du côté opposé à l'un des angles aigus est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins deux fois le rectangle d'un des côtés sur lequel tombe la perpendiculaire, parle segment compris entre l'angle aigu et la perpendiculaire; proposition qui s'exprime encore par la même équation

C'3 = C*-f- C" — aCC cos A".

Toute la différence est que dans le premier cas l'angle A" est obtus , son cosinus négatif, et le double rectangle est additif, au lieu que dans le second , il reste soustractif. La formule moderne est bien plus générale, Hist. de l'Ast. anc. Tom, I. 7

5o ASTRONOMIE ANCIENNE.

puisqu'elle donne également le côté opposé à un des angles aigus dans 1er triangle obtusangle, et sert de plus à trouver les angles par les côtés.

Les propositions d'Euclide ont encore l'inconvénient de ne pas se prêter au calcul numérique ; car elles ne donnent aucun moyen pour évaluer le segment C cos A".

Dans le troisième Livre on trouve ce théorème utile , que si deux cercles se touchent, soit intérieurement soit extérieurement, les deux centres et le point de contingence seront dans une même droite. On y trouve des notions indispensables sur les cordes , les tangentes , la mesure des angles , soit au centre soit à la circonférence ; enfin sur les segmens des cordes qui s'entrecoupent. Sans ces diverses propositions , il sei'ait impossible de calculer les Tables des cordes ou des sinus , des tangentes et des sécantes. Mais Euclide n'indique aucun de ces usages1: on est en droit de soupçonner qu'il n'en avait pas la moindre idée.

Le quatrième traite des polygones inscrits ou circonscrits au cercle, et cette théorie est fondamentale pour la Trigonométrie; mais rien de tout cela n'est encore une véritable Trigonométrie.

Le sixième expose la théorie des proportions sans laquelle la science du calcul serait trop bornée.

Le septième contient ,. sur la similitude des triangles et des polygones en général , les théorèmes les plus féconds et les plus imporlans qui font la partie la plus utile et la plus indispensable de la science mathématique.

Les Livres huit , neuf et dix ne sont que d'une utilité fort médiocre, et presque nulle pour l'Astronomie.

Le onzième offre sur les plans, les angles plans et solides, et sur les solides , des propositions très-utiles , mais insuffisantes à la Trigonométrie sphérique.

Le douzième livre n'y a presqu'aucun rapport.

On trouve dans le treizième des théories sur l'hexagone , le pentagone et le décagone, dont les Grecs ont tiré bon parti pour le calcul des cordes.

Le reste de l'ouvrage ne traite que des solides réguliers inscriptibles à la sphère , et les deux derniers Livres passent pour être d'Hypsiclès, astronome d'Alexandrie dont nous aurons lieu de parler par la suite.

On ne voit donc aucune trace de trigonométrie dans Euclide non plus que dans Autolycus. Les deux auteurs étaient presque contemporains , puisqu'ils vivaient l'un el l'autre trois cents ans avant J. C. En

EUCLIDE. 5i gênerai les théorèmes d'Euclide ne sont que de pure spéculation ; ils donnent les moyens de mesurer quelques lignes et quelques surfaces ; ils peuvent conduire à quelques solutions graphiques toujours très-imparfaites quand on ne sait pas y appliquer le calcul.

Euclide nous a laissé un ouvrage plus astronomique intitulé Phénomènes ((bctivouèvoi,). Ce livre est précieux comme monument historique et comme un dépôt qui doit être à peu près complet, des connaissances qu'on avait en Grèce à cette époque. Il est naturel de penser qu'Euclide aura lui-même ajouté à la masse de ces connaissances , et nous pourrons regarder comme postérieur à l'an — 5oo tout ce qui ne sera pas consigné dans le livre des Phénomènes. En voici un extrait.

On voit que toutes les étoiles se lèvent invariablement aux mêmes points de l'horizon ; que celles qui se lèvent ensemble un jour de l'année, se lèvent ensemble tous les autres jours; que celles qui se couchent ensemble, font toujours de même , et que dans leur mouvement elles conservent toujours les mêmes distances enlr'elles; c'est ce qui ne peut avoir lieu que pour les objets qui tournent par un mouvement circulaire, lorsque l'œil est placé au centre de la sphère qui se compose de tous ces cercles , ainsi qu'on le démontre dans l'Optique. Il faut donc supposer que le mouvement des astres est circulaire ; qu'ils sont enchâssés dans une sphère solide , et que l'œil est à égale distance de tous les points de la périphérie sphérique.

On voit au milieu , entre les Ourses , une étoile qui ne change point de place, mais qui tourne dans le lieu où elle est fixée; et puisque cette étoile est toujours à égale distance d'une étoile quelconque parmi celles qui tournent autour d'elle, il faut en conclure que les étoiles décrivent des cercles parallèles qui ont cette étoile pour pôle.

Nous pourrions contester le fait de l'étoile placée exactement au pôle. Euclide s'exprime ici en géomètre qui n'a guère examiné le ciel; mais admettez le fait, vous verrez dans tous ces raisonnemens une marche méthodique , claire et parfaitement géométrique.

Quelques étoiles ne se couchent ni ne se lèvent, leurs cercles sont trop élevés; ce sont celles qui sont placées entre le pôle et le cercle arclique. Leurs parallèles sont d'autant moindres qu'ils approchent plus du pôle. Le plus grand de ces cercles parallèles est le cercle arctique. Les étoiles qui sont sur ce cercle , ne font que raser l'horizon.

On voit que tous les astres qui sont au-dessous de ce cercle et plus loin du pôle , se lèvent et se couchent, parce que leurs parallèles sont partie

au-dessus de l'horizon , partie au-dessous; les segmens visibles sont pïu$ grands quand les cercles parallèles sont plus près de l'arctique ; alors par une suite nécessaire, les segmens invisibles sont plus petits. On en juge sur ce que le tems que ces astres passent sous l'horizon, est plus petit que celui qu'ils passent au-dessous. (Ceci suppose une manière de diviser le tems , mais il n'est pas nécessaire qu'elle soit de la dernière précision.) A mesure que les parallèles s'éloignent du cercle arctique , le segment visible diminue, le segment invisible augmente.

Au milieu de ces parallèles, on en voit un dont les étoiles sont autant de tems au-dessus qu'au-dessous ; nous appelons ce cercle équinoxial. Les astres également éloignés de part et d'autre de l'équinoxial , ont les tems égaux dans les segmens alternes , c'est-à-dire que les étoiles de l'un de ces cercles sont visibles autant de tems que les étoiles de l'autre sont invisibles , et réciproquement ; ensorte que les deux tems de chaque cercle font toujours une même somme.

Le zodiaque et la voie Lactée , qui sont des cercles obliques aux cercles parallèles, se coupent dans leurs circonférences, et une moitié de ces cercles est toujours au-dessus de l'horizon.

Euclide dit au-dessus de la Terre , comme Autolycus.

En conséquence on doit supposer le monde sphérique. S'il était cylindrique ou conoïdique, les astres placés sur des cercles obliques qui coupent en deux également l'équinoxial , ne paraîtraient pas toujours faire leurs révolutions dans des demi-cercles égaux , mais seraient tantôt dans un segment plus grand et tantôt dans un segment plus petit ; car si un cône ou un cylindre est coupé par un plan non parallèle à sa base , la section est celle d'un cône oxygone, elle est semblable à un bouclier.

On voit que l'on avait déjà quelqu'idée des sections du cône et du cylindre; que les noms d'ellipse, de parabole et d'hyperbole n'avaient pas encore été imaginés. Il parait que ces noms sont dus à Apollonius. Avant ce géomètre, l'ellipse était la section du cône acutangle , la parabole la section du" cône rectangle , et l'hyperbole la section du cône obtusangle ou amblygone. (V oyez A rchimède.)

Or il est visible , continue Euclide , qu'une pareille section coupée par le milieu tant en long qu'en large, produit des segmens inégaux» Les segmens seraient encore inégaux quand la section serait partagée au milieu par des lignes obliques : ce qu'on ne voit pas dans le monde, c'est-à-dire dans les mouvemens célestes.

Cette démonstration est d'un géomètre qui ayant bien conçu le mou-

EUCLIDE. 53 vement sphérique, tire de celle hypothèse des conséquences rigoureuses. Un astronome aurait établi la même conséquence sur des faits plus aisés à vérifier par l'observation. Euclide raisonne fort bien, mais en, homme qui n'est pas sorti de son cabinet, qui donne des conséquences incontestables pour des faits observés, sans s'inquiéter si l'on avait de son tems des moyens assez précis pour faire avec succès les observations qu'il suppose.

Nous dirons donc que le monde est sphéroïde ( ce qui signifie chez les Grecs, d'une forme sphérique , et non pas comme chez les modernes, à peu près sphérique ); qu'il fait sa révolution autour d'un axe dont l'un des pôles est toujours visible et l'autre toujours invisible.

Nous appellerons horizon un plan passant par notre œil et qui coupera la sphère céleste et qui séparera l'hémisphère visible d'avec l'hémisphère invisible.

Euclide pourrait bien être l'auteur de cette dénomination , horizon, qui ne se trouve pas dans Autolycus.

Ce plan est celui d'un cercle; la section d'une sphère par un plan est toujours un cercle.

Nous appellerons méridien un cercle passant par les pôles du monde , perpendiculairement à l'horizon. Nous appellerons tropiques deux cercles qui ont pour pôles les pôles du monde , et qui touchent le cercle oblique qui passe par le milieu du zodiaque.

Il est évident qu'Euclide ne fait qu'énoncer des vérités reconnues Iongtcms avant lui.

Le cercle oblique du zodiaque et l'équateur sont deux grands cercles ; ils se coupent en deux parties égales. Le commencement du Bélier et celui des Serres sont diamétralement opposés; leurs levers et leurs couchers sont conjugués, c'est-à-dire que l'un se lève quand l'autre se couche, et réciproquement. Entre ces deux points d'intersection, il y a six des douze signes qui divisent le zodiaque. L'équateur est donc partagé par le cercle oblique en deux demi-cercles ; et comme les deux points d'intersection ont la même vitesse tant au-dessus qu'au-dessous de la Terre , si la sphère tourne d'un mouvement égal autour de son axe, tous les points delà sphère décriront dans le même tems des arcs semblables sur leurs parallèles. Des arcs semblables de Féquateur traverseront l'horizon en des tems semblables. Les arcs au-dessous et au-dessus de la Terre sont donc semblables; ils sont donc des demicercles : l'arc compris entre le couchant et le levant, joint à l'arc entre

le levant et le couchant , font un cercle entier. Ainsi l'équateur et la zodiaque se coupent réciproquement en demi-cercles ; ils sont donc des grands cercles. Mais l'horizon et l'équateur se coupent aussi en demi-cercles ; donc l'horizon est aussi un grand cercle.

Toutes ces notions sont plus anciennes qu'Euclide; elles n'avaient peut-être jamais été' exposées avec cette clarté et cette concision ; mais nous dirons encore que cette marche est d'un géomètre plus que d'un astronome.

Théorème I. La Terre est au milieu du monde ; elle en est comme le centre.

Soit (fig. 2) ABC l'horizon, D notre œil ^ C l'orient, A l'occident. Observez par une dioptre (règle garnie de pinnules) le Cancer qui se lève en C, vous verrez par la môme dioptre le Capricorne se coucher en A. A, D, C sont trois points en ligne droite, ADC sera le diamètre commun de l'horizon et du zodiaque. Déplacez la dioptre , observez le Lion se lever en B, vous verrez au même tems le Verseau se coucher en E; EDB sera encore un diamètre commun de l'horizon et du zodiaque; ainsi D sera le centre de la sphère céleste. On fera le même raisonnement de tout point de la Terre : la Terre est donc le centre de l'univers.

Ce sont là des observations de cabinet, et qui vont fort bien sur le papier. Euclide raisonne ici comme si le Cancer et le Capricorne , le Lion et le Verseau étaient des étoiles uniques placées diamétralement dans le cercle du milieu du zodiaque.

Théorème II. Dans une révolution du monde, tout cercle qui passe par les pôles sera deux fois perpendiculaire à l'horizon. Le zodiaque sera deux fois perpendiculaire au méridien, mais jamais à l'horizon, tant que le pôle de l'horizon sera entre l'arctique et le tropique d'été. Si le pôle de l'horizon est sur l'un des tropiques, le zodiaque sera une fois à chaque révolution perpendiculaire à l'horizon. Si le pôle de l'horizon est entre les tropiques, le zodiaque sera deux fois perpendiculaire à l'horizon.

La démonstration d'Euclide est fort longue ; on peut y suppléer comme il suit. Tout cercle qui passe par les pôles du monde se confondra deux fois avec le méridien, et sera par conséquent perpendiculaire à l'horizon , puisqu'il passe par le zénit.

Le zodiaque est perpendiculaire au colure des solstices. Quand le colure sera dans le méridien, le zodiaque sera perpendiculaire au méridien; ce qui arrivera deux fois par jour.

EtTCLIDE. 55

Jamais le zodiaque ne passera par le ze'nit si le ze'nît est hors des tropiques; ainsi jamais le zodiaque ne sera perpendiculaire à l'horizon.

Si le zénit est sur le tropique quand le point solslicial passera au zénit, le zodiaque sera perpendiculaire à l'horizon*, mais il n'aura cette position qu'une fois par jour, car le tropique n'a qu'un point commun avec l'e'cliplique. Mais si le zénit se trouve sur un parallèle entre les deux tropiques , ce parallèle coupera l'écliptique en deux points ; le zodiaque sera donc deux fois perpendiculaire à l'horizon en un même jour.

Théorème III. Les étoiles qui se lèvent et se couchent, se lèvent toujours au même point de l'horizon, elles se couchent toujours au même point de l'horizon, mais ce point n'est pas le même que celui du lever.

Euclide , dans sa démonstration, suppose que l'étoile est toujours sur le même parallèle , qu'elle ne s'éloigne ni ne se rapproche du pôle. La précession des équinoxes lui était donc inconnue. Nous pourrions en ioférer qu'elle n'était connue de personne de son tems • ce dont nous avons bien d'autres preuves.

Théorème IV. Si plusieurs astres sont sur la circonférence d'un même grand cercle qui ne touche ni ne coupe le cercle arctique, ceux qui se lèvent les premiers se couchent aussi les premiers, ceux qui se couchent les premiers s'étaient aussi levés les premiers. Théorème vrai, mais peu utile.

Théorème V. Si plusieurs astres sont sur un même grand cercle qui touche ou qui coupe le cercle arctique , ceux qui seront plus près de l'Ourse (il veut dire du pôle) se lèvent les premiers et se couchent les derniers. Même remarque.

Théorème VI. Les astres qui sont dans le zodiaque, et diamétralement opposés, ont des levers et des couchers conjugués : il en est de même de; astres qui sont diamétralement opposés dans l'équateur.

Théorème VII. Le zodiaque se lève et se couche dans tous les points silués entre les tropiques, quand l'arctique n'est pas plus grand que le tropique. Si le point du lever est vers l'Ourse, le point du coucher est vers le midi, et réciproquement (car ces points sont diamétralement opposés).

Théorème VIII. Les signes du zodiaque se lèvent en des segmens dïvefts de l'horizon; c'est-à-dire que les arcs de l'horizon compris entre le lever et le coucher, sont plus gi'ands pour les points voisins de l'équateur, plus petits pour ceux qui sont voisins des tropiques. (Pour que ce

théorème soit vrai, il faut prendre celui des deux segmens qui est plus

petit que 1800.)

Théorème IX. Les demi-cercles du zodiaque qui ne commencent pas au même parallèle , ne se lèvent pas en des tems égaux. Celui qui suit le Cancer emploie le plus de tems , ceux qui viennent après en emploient moins ; celui qui suit le Capricorne en emploie moins que tous les autres ; mais ceux qui commencent au même parallèle emploient le même tems.

Plus le commencement du demi-cercle est loin du pôle élevé, moins de tems il est sur l'horizon, moins de tems l'arc de 1800 met à traverser, l'horizon.

Théorème X. Si deux demi- cercles du zodiaque emploient à se lever des tems inégaux et qu'ils aient une partie commune, les arcs opposés se lèvent en des tems inégaux, et il y aura entre les tems des différences égales pour les demi-cercles et les parties différentes. Si les demi-cercles qui se lèvent dans le même tems ont une partie commune , les parties qui sont différentes se lèveront aussi dans le même tems.

On peut dire que tous ces théorèmes sont la métaphysique de la Trigonométrie sphérique, et que la pratique n'en retire aucun fruit. On voit qu'Euclide avait réfléchi sur le mouvement diurne, mais qu'il ne l'avait pas observé ; ses idées auraient pris un autre cours. Ou bien on peut dire que jusque-là on n'avait observé que des levers et des couchers ; que ces théorèmes sont les résultats d'observations qu'on ne savait pas encore calculer, et qu'Euclide a voulu démontrer qu'ils étaient des corollaires du mouvement sphérique uniforme. Ainsi tout cela prouve la nonexistence de la Trigonométrie.

Théorème XI. De deux arcs égaux et contraires du zodiaque , l'un emploie à se lever le tems que l'autre met à se coucher, et réciproquement.

Théorème XII. Dans le demi-cercle qui commence au Cancer, les arcs égaux se lèvent en tems inégaux. Ceux qui sont plus voisins du tropique emploient plus de tems ; ceux qui sont plus éloignés en emploient moins ; ceux qui en emploient le moins de tous, sont ceux qui touchent aux équinoxes ; ceux qui sont également éloignés de l'équateur se lèvent et se couchent en des tems égaux.

Le Théorème XIII est tout semblable au XIIe, en lisant Capricorne au lieu de Cancer.

Définition. On dit que l'hémisphère visible a changé , c'est-à-dire a été traversé, quand le premier point d'un arc étant à l'horizon oriental , le

ETJC L IDE. 57 dernier point de ce même arc, après s'être levé et avoir traversé l'hémisphère visible, vient à se coucher à son tour; de manière que l'arc compris entre ces deux points s'est levé tout entier , qu'il a traversé l'hémisphère visible et s'est couché tout entier. Il est aisé, d'après celle définition , de Irouver ce qu'il faut entendre par le changement de l'hémisphère invisible; il suffit de lire coucher au lieu de lever, et réciproquement; occidental en place d'oriental , et invisible au lieu de visible.

Ce qui va faire l'objet des théorèmes suivans , c'est le tems qui doit s'écouler entre le lever du premier point de l'arc et le coucher du dernier point de cet arc ; ou bien entre le coucher du premier point et le lever du dernier.

Lemme. De deux arcs égaux du zodiaque également éloignés de l'un des solstices, n'importe lequel, l'un met autant de tems à se coucher que l'autre à se lever, et réciproquement.

Théorème XIV. Les arcs égaux du zodiaque ne traversent pas en tems égaux l'hémisphère visible ; mais ceux qui sont plus voisins des tropiques d'été y emploient plus de tems ; ceux qui sont également éloignés y emploient le même tems dans l'un et l'autre demi-cercle, tant que le pôle de l'horizon est entre l'arctique et le tropique.

Théorème XV. De deux arcs inégaux et opposés du zodiaque , l'un traverse l'hémisphère visible dans le même tems que l'autre l'hémisphère invisible , et réciproquement.

Théorème XVI. Les arcs égaux du zodiaque ne traversent pas en tems égaux l'hémisphère invisible. (C'est le théorème XIV, en changeant visible en invisible,, été en hiver.)

Théorème XVII. Des arcs également éloignés de l'équateur, l'un audessus et l'autre au-dessous, l'un traverse l'hémisphère visible dans le même tems que l'autre traverse l'hémisphère invisible , et réciproquement.

Théorème XVIII. Dans le demi-cercle boréal du zodiaque si l'on prend des arcs égaux, l'un traversera l'hémisphère visible en plus de tems quel'aulre ne traversera l'hémisphère invisible, de quelque manière qu'on prenne ces arcs.

Voilà donc ce qui constituait l'Astronomie du tems d'Euclide ; ses théorèmes sont moins obscurs, moins prolixes que ceux du livre des Levers et Couchers d'Aulolycus; ils offrent une doctrine plus complète que le livre de la Sphère en mouvement ; mais au fond tous ces théorèmes ne sont que des spéculations uniquement curieuses. La

Hist. de l'Ast. anc. Tom. I. 8

Trigonométrie en faciliterait les démonstrations; elle fait mieux encore, elle les a rendus presque tous inutiles; car ils ne conduisent à la solution d'aucun problème, et se déduiraient au contraire avec facilité des problèmes résolus et des formules trigonométriques qui servent à ces solutions inaccessibles aux méthodes d'Autolycus et d'Euclide.

Bailly nous dit que ce traité d'Euclide est le modèle sur lequel ont été faits tous les autres. Il en faudrait au moins excepter ceux d'Autolycus, qui paraissent plus anciens; mais on peut dire qu'il y a d'assez grandes différences entre les Phénomènes d'Euclide , les Elémens de Géminus et les Météoriques de Cléomède.

Sans doute toutes ces spéculations sont aujourd'hui bien peu intéressantes ; mais elles font partie de l'histoire positive et prouvée de l'Astronomie , et il sera toujours curieux de savoir ce qui , dans ces premiers tems, était le sujet des méditations des géomètres qui s'occupaient de l'Astronomie théorique , et tâchaient de suivre le conseil de Platon autant que la chose était possible, quand on ne savait encore ni l'art d'observer ni celui de calculer.

Euclide désigne le zénit par ces mots, le pôle de l'horizon, etl'écliptique par ces mots, cercle oblique du zodiaque ; il dit indifféremment le cercle arctique ou le plus grand des cercles toujours visibles.

OPTIQUE (OnTIK A), au pluriel neutre.

L'Optique du même auteur a des parties qui ne sont rien moins qu'étrangères à l'Astronomie : nous allons les extraire.

La lumière se propage en ligne droite, ce qui se voit par l'ombre des corps et par la lumière qui passe par une porte ou par une fenêtre.

Si l'objet lumineux est égal à l'objet éclairé , les ombres seront égales à l'objet , parce que les rayons extrêmes sont parallèles. Les ombres seront plus petites, parce que les rayons convergeront, si le corps éclairé est plus petit que le corps lumineux. Les ombres seront plus grandes, si le corps éclairé est le plus grand des deux.

Supposition. Les rayons visuels sortent de l'oeil en droites divergentes, et forment un cône dont le sommet est dans l'œil, et la base enferme l'objet que l'on considère. On voit les objets auxquels se dirigent ces rayons ; on ne voit pas ceux sur lesquels on ne les dirige pas.

Les objets paraissent plus grands quand l'angle sous lequel on les voit est plus grand, plus petits si on les voit sous un angle plus petit,, égaux si les angles sont égaux. L'objet se voit toujours dans la direction

EUCL1DE. 5g du rayon visuel ; ceux qui se voient par un plus grand nombre de rayons se voient mieux.

Jamais on ne voit un objet en entier ; de deux objets égaux ^ le plus voisin se verra plus exactement (cela est vrai dans Certaines limites). Tout objet visible devient invisible à une certaine distance.

Des parties égales d'une ligne droite, la plus éloignée est vue sous un plus petit angle et paraît plus petite.

Des grandeurs égales vues de dislances inégales paraîtront inégales ; la plus voisine paraîtra la plus grande.

Des ligues parallèles vues de loin paraîtront converger.

Des figures orthogonales vues de loin paraissent rondes.

Si une surface horizontale est plus basse que l'œil, la partie la plus éloignée paraîtra plus élevée; ce sera le contraire si la surface horizontale est au-dessus de l'œil.

Trouver la hauteur d'un objet par son ombre , ou en l'absence du soleil , au moyen d'un miroir.

Trouver la profondeur par des triangles semblables , trouver de même la longueur d'une ligne.

Voilà deux problèmes de Trigonométrie ; l'auteur les résout par la simple Géométrie,, qui ne peut donner la même précision : la Trigonométrie lui était donc inconnue.

Un cercle vu par son épaisseur paraîtra comme une ligne droite.

Quand on regarde une sphère, on n'en voit jamais lout-à-fait la moitié ; en s'approchant on croira en voir davantage.

Vue de loin , une sphère paraîtra comme un cercle.

Quand vous voyez une sphère des deux yeux , si elle est égale à l'intervalle entre les deux prunelles , vous en voyez la moitié ; si l'intervalle des prunelles est plus grand, vous en voyez plus que la moitié; s'il est plus petit vous en voyez moins.

Considérez un cylindre d'un œil, vous n'en verrez pas la moitié; plus vous vous approcherez, moins vous en découvrirez.

Considérez un cône, vous en verrez moins que la moitié.

Si l'œil approche de l'objet , vous verrez moins et croirez voir davantage.

Si l'œil est dans Taxe du cercle, tous les rayons paraîtront égaux.

S'il n'est pas dans l'axe , mais à la distance d'un demi-diamètre du cercle, tous les demi-diamètres lui paraîtront égaux (car tous soutendront un angle droit ).

Go ASTRONOMIE ANCIENNE.

Un cercle vu obliquement paraît aplati.

Si plusieurs objets sont en mouvement et un seul tranquille, il paraît se mouvoir en sens oppose'.

Si plusieurs corps se meuvent avec des vitesses inégales, et que l'œil soit emporté dans le même sens , les objets qui auront la même vitesse que l'œil paraîtront stationnaires , ceux qui auront une vitesse plus grande paraîtront avancer ; enfin ceux qui auront une vitesse moindre, paraîtront aller en arrière.

Cette proposition assez inutile à l'Astronomie de ce tems, trouve son application quand on fait mouvoir la Terre.

Si l'œil s'approche de l'objet, l'objet paraît augmenter.

Si plusieurs objets ont un mouvement égal , le plus éloigné paraîtra se mouvoir plus lentement.

Si l'œil avance, les objets éloignés paraîtront rester en arrière. i

Si un objet paraît augmenter, on jugera qu'il s'approche de l'œil.

Des objets inégalement éloignés qui ne sont pas en ligne droite,, peuvent quelquefois donner Fidée d'une surface concave , quelquefois d'une surface convexe.

L'introduction à cette Optique parait d'une autre main ; on y parle de l'auteur à la troisième personne : c'est une espèce d'extrait ou d'abrégé du livre. On y voit énoncé en passant un système de vision que nous trouverons exposé avec plus de détails dans Cléomède , ce qui nous dispense d'en dire ici davantage. On y voit cependant que ce système n'était pas universellement adopté , les philosophes étaient partagés entre cette opinion bizarre elle système qui fait venir les rayons de l'objet à<

i'ceïr.