CHAPITRE IV

Planude.

Tou <piXc(7o<pa>ra.Tou jxova.yov xatAou/névov Mct%tp,ov rov Yl\a.vov£y\ ^n^otpoficc. xccr"1 "ivS'ovç, « Xiyo[Aivv\ p.iyctM.

Calcul selon les Indiens , dit le grand Calcul , par le Moine très-Philosophe appelé Maxime Planude.

Oe monument curieux , le plus ancien peut-être où se trouve exposée l'Arithmétique selon le système qui a justement prévalu sur tous les autres , n'a jamais été publié ni traduit. C'est en général un ouvrage trop superficiel et trop diffus pour mériter une version entière et littérale ; mais il est très-digne d'un extrait assez étendu pour nous faire connaître l'état de l'arithmétique à cette époque, c'est-à-dire vers le milieu du quatorzième siècle. La langue dans laquelle il est écrit , fait qu'il tient à l'histoire de l'Astronomie des Grecs et des Indiens tout à la fois ; il fera une transition naturelle de l'Astronomie ancienne à l'Astronomie des Européens , qui n'emploie depuis long-tems que cette arithmétique.

Dans ce système , tous les nombres possibles peuvent être représentés par des figures, au nombre de g. Ces figures ont varié suivant les tems et les lieux. Voici celles de Planude, suivant deux manuscrits delà Bibliothèque du Roi.

1 est le même que dans l'Arithmétique actuelle, 2 est un v ou ny grec,' avec une queue droite, plus ou moins longue et un peu oblique; 3 est un (W, mj grec; 4 es^ un crochet au-dessous duquel est un /, rho ; le 5 est un gf renversé ; le 6 une espèce àj ou de y le 7 ressemble beaucoup à l'A ries X des astronomes, avec une courbure un peu moins prononcée dans les deux cornes ; le 8 un lambda majuscule ; le g est exactement comme le nôtre.

DES INDIENS. 5r9 Les Indiens ont un dixième caractère appelé' r'('iipfa, , chiffre , lequel rie signifie rien par lui-même, et qui est o. Le mot rÇitpfct est arabe et dans cette langue, tsifron zéron signifie tout-a-fait vide. Le premier de ces mots, qui signifie vide, a été détourné de sa véritable acception, puisqu'on le prend aujourd'hui pour le nom générique des caractères significatifs. L'autre paraît nous avoir donné le mot zéro que nous avons substitué à rÇi(pfoL.

Chacune des neuf premières figures , quand elles se trouvent à la première place à droite, marque des unités; à la seconde, en allant vers la gauche , elle signifie des dixaines; à la troisième des centaines; à la quatrième des mille; à la cinquième des myriades simples; à la sixième des dixaines de myriades ; à la septième des centaines de myriades ; à la huitième des mille de myriades ; à la neuvième des myriades myriadiques ou du second ordre ; à la treizième des myriades du troisième ordre. On irait ainsi jusqu'à l'infini. Planude en donne pour exemple le nombre '

en séparant ce nombre en trauches de quatre figures , on voit qu'il commence par huitante-une myriades du second ordre , mais c'est uniquement pour l'arithmétique parlée que cette division se faisait anciennement de quatre en quatre figures, comme elle se fait aujourd'hui de trois en trois pour les mille de divers ordres, car notre million n'est qu'un mille du second ordre.

Le rÇ'itpfa, ne se met jamais à gauche d'un chiffre. On voit déjà que Planude n'a aucune idée des fractions décimales , de cette extension utile autant que naturelle , donnée par les modernes au système des Indiens.

Le zéro se met dans les places vides, et comme les places augmentent les valeurs des chiffres , ainsi font les zéros qui remplissent les places vides. Mis à la suite d'un chiffre , le zéro en décuple la valeur, ftov vaut 3o2 ; yocçj vaut6oo5 , yoff* vaut 6043.

Les opérations de l'arithmétique sont l'addition, la soustraction, la multiplication, la division , et la recherche d'un nombre considéré comme le côté d'un carré.

Exemple d* Addition.

AOfMO

Planude opère comme nous faisons encore aujourd'hui , à la réserve qu'il place la somme au-dessus , au lieu que nous la mettons au-dessous. 11 ne la sépare pas , ainsi que nous le faisons par un trait. Ainsi 5687 et 2343 font 8o3o.

Pour la preuve , additionnez les sommes de chaque ligne , en rejetant neuf autant de fois qu'il s'y rencontre. La première ligne vous donnera

8 + 3=ii=g+ 2 = 2.

La seconde ,

5 + 6 + 8 + 7= 26 =18 + 8 = 2. 9 + 8 = 8. La troisième ,

Les deux derniers restes réunis font

comme la première ligne : ainsi l'opération est bonne, c'est ce qu'on nomme encore aujourd'hui preuve de 9.

Soustraction. Soustraire c'est retrancher un nombre d'un autre nombre, et voir ce qui reste.

18769 reste.

54612 nombre.

35843 nombre à ôter.

Le précepte de Planude est celui qu'on suit encore. Si le chiffre

inférieur est plus grand que le supérieur, empruntez une unité au chiffre voisin à gauche; elle vaudra 10 : ajoutez cette unité au chiffre inférieur. Ainsi vous ajouterez une unité aux chiffres 4> 8, 5, parce qu'ils sont moindres que leurs chiffres supérieurs. La preuve se fait par l'addition du reste avec le nombre retranché.

Il y a une autre méthode. Diminuez d'une unité tous chiffres qui se trouvent plus faibles que leurs inférieurs , ou sur lesquels il faudra emprunter.

Reste. . . 8984

de 35i42

ôtez. . . . 26i58

Par cette raison, au-dessus de 35 14 j'écrirai 24o3 -, je ferai ensuite la soustraction sur les chiffres ainsi diminués de l'unité. Dans le second exemple, 3oo2 se changera en 2991.

Reste. . . 06779

de 30024

ôtez .... 23245

Multiplication. Cette opération consiste à mesurer un nombre par un autre, autant de fois qu'il y a d'unités dans celui qui mesure; il en résulte un autre nombre. ( Cette définition n'a pas le mérite de la clarté. ) Ainsi deux fois trois font six ; on prend trois autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre 2.

Les détails dans lesquels entre Planude sont d'une prolixité fatigante; nous n'en conserverons que ce qui. peut être historique.

Soit 24 à multiplier par 35.

Je dis : 5.4= 20. J'écris au-dessus du 4 le rien ( ou zéro ) , parce que 20 est décadique , c'est-à-dire uniquement composé de dixaines , sans unités. Je retiens le 2 des dixaines.

Je multiplie en % ( ou en croix) ; 3.4=12 et 5.2 = 10; total 22, et 2 retenus font 24 ; je pose le 4 aux dixaines et je retiens 2. Enfin 3.2 = 6 et 2 retenus font 8 que j'écris , et je vois que 24. 35 = 840.

Hist. de VAsl. anc. Tom. 1. 66

L'opération faite à notre manière tiendrait plus de place , mais elle serait plus facile et plus sûre. La complication de l'ancienne méthode augmente àvec le nombre des figures.

Soit 264 à multiplier par 432.

Je dis : 2.4 = 8; j'écris 8 sans rien retenir, parce que le produit est monadique; 2.6 = 12 et 3.4= 12 , total 2^; rien de retenu, donc 24. Je pose 4 et retiens 2;4,4==I^ et 2.2 =4> en croix , et ensuite 5.6 = 18 ; en tout 38, et 2 de retenus font 4°- Je pose le rien et je retiens 4-

On voit que Planude fait tout de suite les trois opérations qui doivent donner des centaines , comme il a fait tout de suite les deux opérations qui fournissaient des dixaines. 11 va faire de suite celles qui donneront des mille.

4-6 = 24 et 3.2=6; total 3o , et 4 de retenus font 34- J'écris 4 et retiens 3 ; il ne reste que la multiplication qui ^donnera des myriades.