Posez 2 et retenez
3.5 == i5 et 2.4 s=s 8; total 23 et 1 retenu font 24. Posez 4 es retenez 2.
DES INDIENS. 5a5 3.o = Oj 2.5 = 10 et 4-4 = total 26 et 2 retenus font 28. Posez 8 et retenez 2.
4.5 = 20, 2.0 = o, 1.4 = 4> total 24 et 2 retenus font 2G. Posez 6 et retenez 2.
i.5 = 5, 2.0 = o, 2.0 = o, 4»° = 0 I lolal 5 et 2 retenus font 7. PoSez 7 et l'opération est faite. Les autres combinaisons ne produiraient rien , parce que zéro serait l'un des facteurs. Nous avons déjà fait quatre multiplications par zéro , et nous aurions pu nous en dispenser.
On voit l'esprit de la méthode qui est de faire tout de suite toutes les opérations qui donnent des produits de même ordre. L'opération est simple pour le produit des unités ; elle est simple encore dans le premier exemple pour les myriades.
Pour les dixaines on n'a que deux produits , pour les centaines on en a trois , etc.
Aux détails assommans donnés par Planude , l'un des manuscrits ajoute encore une démonstration par figures de toutes ces opérations entrelacées en % , ou, comme dit Planude, par le chiasme , xctxa. rov
Quand un facteur a tout multiplié, et qu'il ne doit plus servir, on le marque d'un trait pour s'en souvenir et éviter les doubles emplois.
Après une métaphysique obscure et inutile, que Planude qualifie d'élégante et de naturelle , il passe à la preuve de g qui se fait ainsi.
' Faites la somme de toutes les figures comme on le pratique pour l'addition, ôtez-en tous les g, écrivez au bout de chaque ligne ce qui restera; multipliez l'un par l'autre les restes des deux facteurs, rejetez tous les g du produit; ce qui restera doit être égal au reste du produit de la multiplication.
Il croit qu'il n'est pas inutile de donner une autre méthode ; mais il avoue qu'elle est presqu'impraticable avec le papier et le noir, vttï Xa?r°u cT/a iAiXa.vQç ; mais elle est aisée sur le sable qui donne la facilité d'effacer un chiffre avec le doigt pour en substituer un autre. Cette méthode m'a paru plus incommode que la précédente. Voici au reste l'exemple qu'il en donne.
II s'agit de multiplier 654 Par lui-même. 6.6 = 36; j'écris 6 au-dessus du 6 et le 3 à gauche.
6.5 = 3o ,• je mets le rien au-dessus du 5, et les 3 dixaines se réunissent au 6 de la première opération , et ce 6 se change en g ; j'efface donc 6 pour y substituer un g (au lieu de l'effacer, marquons-le du signe ' minute, et écrivons g au-dessus).
6.4 = 24^ j'écris 4 au-dessus du 4, et je retiens 2 que je substitue au zéro (au lieu d'effacer le zéro, je le marque d'un trait, et j'écris 2 audessus) ; j'ai donc 3g24 pour produit de 6.654.
Tout ce qu'il y a de plus remarquable jusqu'ici , c'est qu'il commence la multiplication par la gauche. Pour multiplier maintenant 5o par 4> ^ transporte 654 à droite, en l'avançant d'une place.
5.6 = 3o; je n'écris rien au-dessus du 6 où il y a 2; je retiens 3 eÉ les joignant à 39 qui sont à gauche de 2 , j'en fais 42 que je substitue h 3g ( je marque le 3 et le g d'un trait , et j'écris 42 au-dessus).
5.5 = 25; les 5 je les joins au 4 qui devient g (je marque 4 d'un trait, et j'écris g au-dessus); des 20 j'en fais 2 que je réunis au 2 qui est à gauche du 4'î je marque ce 2 d'un trait et j'écris 4 au-dessus).
5.4 == 20 ; je n'écris rien pour le zéro; je retiens 2, et les joignant à 49 y j'en feis Si , et je marque d'un trait le 4 et le 9.
Je transpose de nouveau mon nombre 654 d'une place à droite , ef j'écris au-dessus 425i > qui résulte des opérations précédentes.
4-6 s= 24,' les 4 se réunissent à 1 qui devient 5; je marque 1 d'un trait et j'écris 5 au-dessus ; les 2 se réunissent au 5 qui devient 7 , je fai3 la substitution.
4 . 5 = 20 ; j'écris le rien pour le zéro , le 2 je l'ajoute au 5 qui devient 7 p j'écris 7 au-dessus et je barre 5.
DES INDIENS. 52$ 4.4 = ï6 ; j'écris 6 au-dessus de 4 ; de la dixaine je fais une unité que
je mets au-dessus du zéro, et jJai pour produit 4277ï6.
Il suffit de comparer ce procédé à celui de l'Arithmétique moderne
pour sentir de combien ce dernier est préférable pour la brièveté, la
clarté et la sûreté.
Division. La division consiste à comparer deux nombres pour voir quel nombre répond dans l'un aux unités de l'autre. Comme quand nous divisons 6 par 3, nous voyons qu'à chaque unité du nombre 5 répondent 2 unités dans le nombre 6. Cette définition vaut beaucoup mieux que celle de la multiplication.
Planude parle ensuite des fractions proprement dites , et de la manière de les réduire à leurs plus simples termes, par le plus grand diviseur commun.
Pour la division d'un nombre plus grand par un plus petit, écrivez le petit au-dessous du grand , et laissez entr'eux un intervalle d'une ligne. Soit 4865 à diviser pai' 3 : écrivez ces nombres comme vous le voyez ici ;
et dîtes : en 4 combien de fois 3? c'est 1 ; écrivez 1 au-dessous du 4' il reste 1 qui, avec le 8 suivant, fait 18 =6.3; écrivez 6 au-dessous de 8. En 6 combien de fois 3 ? c'est 2 ; écrivez 2 au-dessous de 6 : en 5 combien de fois 3 ? il s'y trouve 1 avec un reste 2 qui donnera |.
Si nous avions eu 4 au lieu de 3 pour diviseur , nous aurions trouvé 1216 i.
Dans l'exemple suivant,. 5 est le diviseur, et le quotient.
Viennent ensuite plusieurs exemples insignifîans, puis un exemple où. le texte parait altéré. Je conjecture qu'il s'agit de diviser 8578 par 24.
En 8 combien de fois 2 ? ce serait 4 ; niais à cause du 4 qui suit le 2 , il met 3 ; 3.2=6, de 8 il reste 2 qui, avec le 5 suivant, fait 25; 4«3=i2; je les retranche de 25 , il reste i3 ; en 1 3, 2 s'y trouvent 6 fois, à cause de 4 ne mettons que 5 ; 5. 2=10; de i3 il reste 3 : joignez-y le 7, vous aui'ez 37 ; 5.4 = 20 ; de 37 il reste 17.
En 17, 2 serait 8 fois, ne mettons que 7; 7.2 = i4; de 17 reste 5; 7 .4 = 28 ; de 38 reste 10. Ainsi le quotient est 357
Les Grecs n'ont pas de terme pour quotient; c'est une chose bien re- . marquable que la pauvreté de leur langue mathématique.
L'exemple suivant est encore plus altéré; il paraît inintelligible, et ne mérite certainement pas la peine qu'on prendrait à le rétablir. On croit voir que Planude veut diviser 248 par 245.
Cette fin est moins correcte que ce qui précède ; elle manque même dans l'un des deux manuscrits. En tout le Traité est fort superficiel. S'il donne l'état de la science au tems de Planude , s'il est un tableau fidèle de celle des Indiens , on pourra dire que ce peuple qui avait trouvé un système si commode , si simple et si universel , n'avait pas su en tirer tout le parti possible. Les exemples donnés par Planude sont si aisés, qu'ils auraient pu être calculés presqu'aussi facilement par les chiffres des Grecs. Les Grecs n'avaient pas eu cette idée si belle et si féconde, mais ils étaient plus habiles calculateurs.
L'auteur passe ensuite à l'Arithmétique sexagésimale. Il donne un exemple d'addition , un de soustraction ; il explique la multiplication et la division ; enfin l'extraction de la racine carrée exacte ou approchée si le nombre n'est pas un carré parfait.
Voulez-vous la racine carrée de 18 ? le plus grand carré contenu dans ce nombre est 16; ôtez 16 de 18, il restera 2; la racine de 16 est 4 : doublez 4 qui deviendra 8 ; la racine approchée de 18 sera 4 f = 4i-
Pour la preuve, multipliez 4^ Par lui-même , vous aurez 18 et la fraction -Jj.
Cette méthode est suffisamment exacte pour les petits nombres. Il en
DES INDIENS. £27 annonce pour la suite une autre , dont Dieu lui a fait la grâce d'être l'inventeur; mais il se contente de celte première pour les nombres qui ne passent pas 9999 , parce que leur racine n'a que deux figures. Soit proposé de trouver le côté du nombre 255
Trouvez un nombre qui , multiplié par lui-même, puisse détruire le 2 qui commence ce nombre , ou qui en approche le plus près.
2.2 = 4» ce <}ui est troP f°rt; il faut donc prendre 1. Mettez 1 audessous de 2, entre 2 et 3 ; doublez cet 1 qui vous donnera 2 ; placez 2 au-dessous de 3 en troisième ligne. Trouvez un nombre qui, multiplié par 2, soit contenu dans 12 : vous trouverez 6; mais 6 multiplié par luimême sera plus fort que ce qui reste à retrancher, car ce reste est i5; abandonnez 6 et prenez 5 ; 5.2 = 10; écrivez 5 entre 3 et 2, à côté de 1; ôtez 1 o de 1 3, il reste 3 ; pîacez-le un peu plus haut entre 3 et 5 ; multipliez 5 par lui-même, vous aurez 25 à retrancher de 35 , il restera 10; écrivez 10 hors de ligne, à part. Doublez le 5 , vous aurez 10, écrivez-les à latroisième ligne , à la suite de 2. Ensuite réunissez les 20 et les 10 de la troisième ligne , car 2 est un nombre décadique , vous aurez 5o ; retranchez-en la moitié qui sera i5 ; car 3o doit contenir deux fois le côté. La racine de 235 sera donc i5y^=i5|. Pour le prouver, prenez le carré de i5 f , vous aurez 235 j. Il faut avouer qu'un commençant aurait quelque peine à bien comprendre cette méthode , qui n'est pas élégamment exposée.
Pour exemple d'un côté de trois figures , il choisit 421354.
Il prescrit de chercher le plus grand carré contenu dans 4^ et non dans 4; il trouve 6 : le reste, après la soustraction de 36, sera 6 qu'il
5a8 ASTRONOMIE ANCIENNE.
place au-dessous. Il double le côté 6 qui donne 12; il l'écrit dessous en troisième ligne , et abaissant 1 pour faire 61 avec le 6 , il divise 61 par 12, ce qui lui donne 5 qu'il laisse comme trop fort, et il prend 4-
