S ; de 61 reste i3 • il écrit donc 4 entre 1 et

A côté de 1 3 , il abaisse le 3 qui suit 1 , il a 1 33. Il en retranche le carré de 4 ou 16, il l'esté 117; il les écrit au-dessus de 3. Il double 4 et il a 8 ; il les éciùt au-dessous et à la suite de 1 2 ; il a 1 28 sas 2 fois le côté 64. Il cherche quel nombre, multiplié par 12, retranchera d'abord les 117, et qui , multiplié par 8 , retranchera le 8 qui -vient après , et qui enfin , multiplié par lui-même, retranchera le dernier : il trouve g.

g. 12 = 108; de 117 il reste 9 : il écrit 9 entre le 3 et le 5, et les 108 au-dessus.

9.8 = 72 ; il les retranche de 95 formé de 9 et du chiffre suivant 5 ; il lui reste 23 : il y réunit le 4 qui reste, il a donc 254. Or g. 9= 81 ; de 234 il reste i53 qu'il écrit à part hors de ligne ; il double le 9 qui donne 18 qu'il place à la suite, et le côté de 42I354 se trouve

A la suite de ces exemples, il donne la règle par laquelle il aurait dû commencer ; c'est qu'o/z cherche le plus grand carré contenu dans le premier chiffre a gauche , si le nombre des figures est impair , et dans les deux premiers , si les figures sont en nombre pair.

Si le carré n'a que 1 ou 2 figures , le côté n'en aura qu'une. Si le carré nJa que 3 ou 4 figures , le côté en aura deux. Si le carré n'a que 5 ou 6 figures , le côté en aura trois , et ainsi de suite.

Il ajoute : Personne ne pourra nous blâmer si nous disons que cette méthode est de nous } aussi bien que la suivante. Je crois que personne ne sera tenté de les lui disputer.

Il passe à un nombre dont le côté a quatre figures, et il choisit 1 6900965.

Selon la première méthode. 4-4= ï6. H place le 4 au-dessous du 6. Il double le 4 qui lui donne 8 j il retranche 8 du troisième chiffre 9, il reste 1.

La solution limitée peut se ramener à la solution générale. Nous avions

c = (aa — i) = (/z-f-i)(a — ii)=( rc-f- i ) a ;

ainsi, au lieu d'une seule arbitraire n , nous en introduirons deux, n et a. Nous aurons donc

Les premières expressions étaient réellement identiques à ces dernières. Pour revenir des dernières aux premières, on rétablira la relation(re — i)=a; les quatre termes renfermant a; a peut rester indéterminée arbitraire.

c = (n i ) a croîtra comme /za ; c sera 3a, 4^.» 5a, etc. d = «aa ; il sera donc ^a, ga , 16a , 25a , etc. b = n(n-4-i)a = (ri>-{-n)a sera

6a, 12a, 20a , 3oa , l±ia , 56a, 72a , etc. Diff. des coefficiens. . . 6 8 10 12 14 16.

Les périmètres seront ( re* -j- -f- 1 ) a.

Les surfaces seront «(« + i)aet n* ( n -f- 1 ) a*.

w ne peut être moindre que 2, car 7z=i donne

Z> = 2 , a = c , et a7 = a&.

Les périmètres seraient 3a, les surfaces 2a9 seraient égales, les deux rectangles seraient identiques , on aurait d— a et b = c.

Tout cela est exposé d'une autre manière mais tout ce que nous venons de dire se trouve dans Planude^ ou s'en déduit avec facilité. Ces deux problèmes seraient ce qu'on trouverait de plus curieux dans son ouvrage, sans les mots xctr' 'ivS'ovç , selon les Indiens, qui se trouvent dans le titre, et paraissent décider une question qui paraît encore douteuse à quelques personnes ; mais nous croyons qu'elle va être décidée par un ouvrage récemment traduit de l'indien , et dont on verra Texirait dans le chapitre suivant.

Hist. de VAst. anc. Tom. J.