CI

sin Cy»

• I — ) cos #y»

enfin ,

= fivy — fipÇ — my.

On a donc trois corrections pareilles à calculer; celle du milieu sert deux fois , mais avec des signes contraires. Il sera bon de se guider dans le calcul par une figure. Ptolémée donne tous ces calculs avec le plus grand détail ; nous ne le suivrons pas ; il nous suffit de voir la marche et les formules qui l'abrègent : elles ressemblent à des formules déjà calculées plus d'une fois , ensorte que nous n'avons rien à y apprendre.

Ptolémée trouve ainsi l'excentricité de Mars — 0,2 ; nous ne

bo 7 y

trouvons aujourd'hui que 0.186174 pour la double excentricité; l'approximation donnait Qv = o. 21735, | 6,< = o. io8665 : il tro.uve l'apogée en 5S 25°3o/; l'approximation nous a donné 5S 11° 4^'.

Si ï on craignait que les corrections calculées ne lussent pas assez exactes, on recommencerait avec les nouvelles valeurs de l'excentricité et de l'apogée.

Il reste à trouver le rayon de l'épicycle.

Ptoléme'e choisit une observation qu'il avait faite trois jours après la dernière opposition rapportée ci-dessus , c'est-à-dire la deuxième année d'Antonin, du i5 au 16 épiplii, 3 heures équinoxiales après minuit. Le vingt-huitième degré des Serres étant au méridien, le lieu moyen, du Soleil était 2S 5° 27'.

Mars, comparé à l'épi de la Vierge, avait paru en 8^ i° 36' ; trois jours avant il était en 8S 2° 34' : il avait rétrograde de 58' depuis l'opposition. Au même moment il paraissait plus avancé que la Lune de i° 56'. Le lieu moyen de la Lune était en Ss 4° 20'; le lieu vrai en 7^ 290 20' ; l'anomalie sur l'épicycle 92°; la longitude apparente , au commencement du Sagittaire : d'où il résulte que le lieu de Mars était en 8S 1° 56', comme nous venons de dire , ou 55° 54' à l'occident du périgée. Dans l'intervalle de la troisième opposition à cette observation , la longitude avait augmenté de 19 32', et l'anomalie de i° 21' à peu près. Ajoutons ces quantités à celles de la troisième opposition, nous aurons 137° 11 pour distance à l'apogée de l'excentrique , et 170*46' de dislance à l'apogée de l'épicycle. v

Cela posé, soit (fîg. 82) a£/3 = 1370 nA ou >£j3 = 42°49' ;

W : sin n :: U ' «& = = i e sin ç, £<f/3 = </3 — £/3<T.

Dans le triangle /3cTb vous avez St = i et cT/S = 1 et l'angle /ScTé ; vous aurez

tang <P/3é = jèq7^> *W = tf* = W + cT/3€.

Vous avez l'anomalie de l'épicy cle »//A, vous aurez

»'uà = n//A + »»', A/3ê= v\'fjL\ — 180*. Vous avez par observation yeÀ, vous avez calculé >é/3, vous aurez

/3éA = yih — ye@.

Vous avez les angles AjSê et /3éA, et leur somme = 180° — /3Ag; vous

1 ».'/5 1 à* 1 i e COS ^ r>

avez le cote fit = j— = ^— K — , vous aurez enfin

cos «r/3e cos £(Je 7

sin A ! fie :: sin /3eA : (2\ = == rayon de l'épicycle.

Nous avons déjà fait bien des calculs trigonométriques semblables;

LIVRE X DE LA SYNTAXE. 359 nous ne donnerons ici que les résultais des calculs.

sin ÇPf = ±e sin 42* 9' = 3° 53' 53"

tang <T£é sa

f\ fi

yJP =

£ p <t\n /R* Âo' W

,- C 9111 AU l J vJ\J

— -i e cos 4G°42'53"' '

• S* fie

angle observé =

= yeX

tl»UCsaU5

0 pe

vin' — —

«uA

»'yUA

1 87! ITT

Yi'/xX — 1800 =

= AjSs

- /3àé = ( A/3f +

log jSe = 9.97O48M

On peut être étonné que Ptolémée ait imaginé de choisir, pour déterminer le rayon de cet épîejele, une observation dans laquelle il était vu si obliquement , qu'il ne produisait qu'une inégalité de 2° 42' 59". Le rayon de cet épicycle est donc 0.6579 de la moyenne distance; mais cette moyenne distance, qu'il prend pour unité, est i.52 et

~^-= 0.6579 au lieu de 0.65895. Ainsi, sans le savoir, Ptolémée

donnait au rayon de l'épicycle la valeur

distance moyenne de la Terre au Soleil distance moyenne de la planète inférieure

distance moyenne de Mars au Soleil distance moyenne de la planète supérieure"

Nous trouverons la même chose pour Jupiter et Saturne.

Remarquons que c'était le cas ou jamais de dire qu'il avait trouvé les mêmes quantités par d'autres observations.

Pour rectifier les mouvemens périodiques, Ptolémée fait choix des deux observations suivantes.

L'an i3, selon Denis, le 25 du mois aigon, Mars oriental paraissait

56o ASTRONOMIE ANCIENNE,

joint à la boréale du front du Scorpion. Celte anne'e répond à la 52e depuis la mort d'Alexandre, ou à la 476* de Nabonassar, du 20 au 21 athyr, le matin. Le lieu moyen du Soleil e'tait en 9^23° 54'; l'étoile du Scorpion, au lems de Ptolémée, était en ys 6° 20' ; et comme du jour de l'observation jusqu'au règne d'Antonin il s'était écoulé 409 ans, il y avait 4° 5' de précession. Ainsi la longitude avait été en js 20 i5' : c'est aussi la longitude de Mars.

En la première année d'Antonin , l'apogée était en 5S 25° 5o'j il devait donc être alors en 5^21° 25'. Le Soleil paraissait à i82°29' de sou apogée, ou 2°2g' de son périgée.

L'apogée étant en... 3x2i°25' , 3.21.25

(fig.85)... l'angle aêâ = 3.io.5o a/3A = 6. 2.29

ou yS = 2.19.10 yiK = 0. 2.29

ytX = 2.29

/3Ôî = XéÔ = 2.21.59 6 est le lieu de Mars sur son épicycle. Menez 6Â parallèle à j69, X indiquera le lieu moyen du Soleil ; menez é9, et sur £9 les perpendiculaires /3v et J)w , et sur /3v la perpendiculaire cT£ ; «fy»^ sera donc un parallélogramme. A cause des parallèles /30 et eÀ, nous aurons

/39= = Aé9, /3y=/39sin /39k = /3Q sin /39fi = (|^) sin 8i° 3g'.

o. 658535... 9.8184458 sin 81.59... 9-99557i7 (Zv = o.65i3546... 9.8i38i75

tfg. . . 9.0000000 sin>é9 = 79.10... 9.9921902

v% = cfy-t = 0.098218 8.9921902 j&v = o.65i355 sin/3^ = j8| =à o.553i3f..r 9.7428337

sin 35° 34' 5f

es v% = «Té sin aeô = o. 1 sin 790 10' S= 0.098218 et == — ^ = sin 33° 34' 57"