Ç8 :: vitesse de l'épicycle : vitesse de la planète
on aura dans l'excentrique ,
7rx : x8 :: vitesse de l'épicycle : vitesse de la planète;
x8 représentant la vitesse de la planète, 7Tx, sera celle du centre de l'épicycle, et -7r9, qui est la somme des deux, représentera la vitesse du Soleil.
C'est pour se ménager la possibilité d'envisager le problème de deux manières, qu'il a fallu arriver aux deux analogies (A) et (B). Cela ne suCit pas encore : Apollonius établit le théorème suivant.
Soit un triangle &fiy, dans lequel @y surpasse ay ; prenez JcT qui ne soit pas plus petit que ay, c'est-à-dire ou plus grand, ou au moins égal,
vous aurez — r ^> .
Menez a£ et yeÇ parallèlement à a^T, et de. parallèlement à y£ ; prolongez /3a en £ , et du rayon ae} au moins égal à ay} décrivez l'arc de cercle »ë8.
On voit que ya sera la dislance à la Terre à l'instant de la conjonction , }cT une distance plus grande avant ou après la conjonction.
Le triangle at£ > secteur tari = secteur eau -f- a> , Le triangle ctey < secteur eo0 = secteur eaG —
33 i ASTRONOMIE ANCIENNE.
sect. iuy) u
triang. «eÇ sect. ta* -\- a sect.e«d sfiét.eWD sect. tm ^ «£y 1
triang. «sy sect. e«0 — u « sect. e«0 «y/3*
Mais
sect. a»S
triangle eÇ e£ /« ^y V £y «/3y
..." — ... — ..i — aïs — ajo uonc . ^>
triangle «ty ey «(J1 /iP /3j° (ScT «y/3*
Nous avons déjà vu une démonstration de ce geure au Livre premier de
îa Syntaxe : Apollonius en est donc le premier auteur.
Soit répicycle ufty(ûg. g3 ) autour du centre e sur le diamètre ety ,
» i ii • i «y ^ vitesse de l'épicycle , r i
c le heu de 1 œil , ensorte que 4, > — „,S i ; c est ce que 1 ob-
1 yi, vitesse sur 1 epicycle 1
servation donne en effet pour toutes les planètes : alors il sera possible
-, v n . Tni vitesse de l'épicycle de mener une ligne cna telle que -= = , .
0,1 1 tiÇ yites.-e sur i epicycle
Eu effet, plus vous augmenterez a^ô, plus 7ty\ diminuera, jusqu'à ce qu'il devienne enfin zéro , si £/3 est tangent à l'orbite ; mais à mesure que
7Ta diminue, v\'( augmente ; le rapport ^ va donc diminuant jusqu'à devenir
, , , . . vitesse de l'épicycle .,
zéro après avoir commence par être "> -r- . • . : il y aura
r r vite.-se sur 1 epicycle J
donc nécessairement une valeur de a/3 et de yv\ qui donnera
îtjj vitesse de l'épicycle
>j£ vitesse sur l'épicycle*
Le point n qui donnera cette valeur sera celui de la station; sur my la planète sera rétrograde ; sur ctvi elle sera directe : il en sera de même dans l'autre moitié de l'épicycle; la planète sera rétrograde de »' en y, et directe de a en >?'.
L'égalité des deux vitesses doit produire la station ; car elles sont en des sens opposés : par la vitesse de l'épicycle, la planète avance; par la vitesse sur l'épicycle, elle rétrograde dans la partie inférieure. En y on a
j i, , . i ^ £y vitesse sur l'épicycle
vitesse de 1 epicycle < • — — — ,
ou
mouv. angulaire vu du centre <* mouv. angulaire vu de la Terre.
Donc la planète est rétrograde en y ; elle est stationnaire en n et en »'j l'arc de rétrogradation est nyv{.
lies Grecs ne trouvaient ces points » et vf que par tâtonnement. On peut cependant les trouver par une formule directe. Prouvons que partout,
LIVRE XII DE LA SYNTAXE. 385 sur a», la planète est directe, et qu'elle est rétrograde sur v\y. 11 en sera de même si ctfiy est l'excentrique.
Soit x pris au hasard sur a»; menez £jcà et /3* et enfin m.
Dans le triangle /3xÇ, /3n > /3k; donc
ainsi ■^>mt ou rw>^-
Mais par la supposition et la formule (A) ,
|/3i> vitesse épicycle ^qqq vitesse épicycle ^ gÇ«
vitesse sur l'épicycle ' vitesse sur l'épicycle «g* '
OU
vitesse de l'épicycle -f- et
vitesse sur l'épicycle *e>j
11 faudrait donc augmenter »£jc d'une quantité xÇV = co pour établir l'égalité des numérateurs ; car les dénominateurs sont identiques, puisque Xê» est la vitesse sur l'épicycle.
nÇz est l'angle sous lequel est vu l'arc rétrograde Jtn de l'épicycle. Soit xÇv=.û) y nous aurons mouvement de l'épicycle. Pendant le tems que la planète décrira jch , l'arc rétrogradera de x£n , et il avancera de n£V. Il restera donc un excédant xÇv = co de mouvement direct : la planète sera donc directe.
Supposons maintenant que ctfèy soit l'excentrique, 6a, Sy les distances apogée et périgée, nous aurons
fit >j fiÇ* „ fi" iKk
nQ ^ £/3* ^ ifix- '
car ces quantités sont encore les mêmes. Donc
fi» + »K ^ + n„ /8g Xk/S
de plus,'
■5 ^ «hf ^ A*/3 ^ vitesse de l'excentrique te/3 -f- a
6»? 2)j/3x ' i*i ' vitesse de la planète ^ Kttj 1
les dénominateurs sont encore identiques. La vitesse de l'excentrique est donc >,x$-\-ùù\ la planète est donc directe comme ci-dessus. Au contraire, prenez *' sur l'arc fyy ; menez /3jc', g*', £x/A', Le triangle /3x£ sera rétourné , et dans fiz'Ç vous aurez > ÇV.
donc ^<i§; ou <$-'.
JE?z5^. tffe VAst. anc. Tom. II. 49
Or, formule (A) ,
j/3>) vitesse de l'épicycle >;£*' — a
vitesse sur l'épicycle *'«>? "~ k'oj 1
les dénominateurs seront encore les mêmes. Donc
vitesse de l'épicycle = nÇx' — • o>';
ainsi la planète sera rétrograde.
Soit maintenant ctfiy l'excentrique, nous aurons encore
^ < , puisque rien n?est changé à cet égard;
Zn + ^ + I C/3 . j8«V
■1^/8 >jÇk' + i;/3x' >?£*'-+- «î/S» + — *> vitesse de l'excent.
2>j/3k' ' *'e>) vitesse plaa.
Les dénominateurs sont encore les mêmes ; il faudra diminuer >t£V-f-)i/3jc' pour avoir le mouvement de l'excentrique : pour cela il faudra prendre un point entre » et x' ; le mouvement sur l'excentrique , qui tend à augmenter la longitude, sera donc moindre que le mouvement y\x' , qui tend à la diminuer, et la planète sera encore rétrograde.
Dans le système qui fait le Soleil le foyer commun de toutes les planètes, il est inutile de démontrer ces théorèmes pour l'excentrique. Voyez dans mon Astronomie comment j'ai démontré ces théorèmes, et leur identité avec ceux de Keill.
Nous avons supposé en commençant, comme une vérité d'observa-
ex vitesse de l'épicycle . . i , , . , , ,
tion , que -= "> -r- r, . ' , ; si ces quantités étaient égales , la
7 * sÇ vitesse sur 1 epicycle 1 ° 7
station serait en y, et il n'y aurait pas de rétrogradation ; si le premier
membre était le plus petit , il n'y aurait ni station ni rétrogradation, puisque
est le plus grand de tous les rapports, et que ces rapports vont toujours en diminuant à mesure que le point » s'éloigne de y.
Abaissez la perpendiculaire étt sur £>i/3 , » est le point de la station ; vous aurez
v v tans ttir m dQ
tTé = Ç-7T tang tCTT = W7r tang eviTT , - — 2— = y- = ~ .
* ° tang ti)5r Çtt die 1
dot : dQ :: tyr l yot :: tangP : tang r;
d'où l'on tire le théorème d'Apollonius ; ce n'est qu'une équation decon- \ dition qui se trouve satisfaite à la station.
LIVRE XII DE LA SYNTAXE. 387 — : do — wx : m :: : xtt :: tang P — lang T : tang T :: sînfDp-y : tang T :: sin(PTT) : sinT::sin(P— T) : sinT cosF,
cos P cos T 0 cos P v '
:: sîn P cos T — cos P sin T : sin T cos P ;
d'où
= sin P cos T — cos P sin T = sin (P — T).
Il nous reste à montrer comment les Grecs calculaient les stations d'après ces théorèmes, qui n'étaient pas assez développés pour fournir une solution commode et directe.
Soit J'en l'épicycle de Saturne (fig. 94) j y Ie centre du zodiaque;
y . m f t£ vitesse de l'épicycle „ , . . , ,
menez v«, telle que ^=-^- / . J ; £ sera le point de la station.
1 Çy vitesse sur 1 epicycle ' r
La propriété du cercle donne
y^ .yn — yg vfl - yï. y>> ~ ~
p = 2(0 = ce ou — p yç = Çe\
Nous avons , suivant Ptolémée ,
= 6op acT = 6.3o
or,
yf.y* = 7.1074779
: £fl :: (n — ar) : * :: 280 45' 46" : i\ Soit = n.28°45'46",
nous aurons ÇQ = rc. 1
7,0 = 4- Ç0 = ». 29.45.46 3,6 = -f- 2^9 = W. 3o.45.46 Çy = /î. 28. 45. 4^ (a£0+fr)fr = »*.5o.45.46 X 28.45.46 ou y«r.>tj = na.3o.45.46x 28.45.46
et n1
yfr. yij
3o.45.46 Xa8. 45.4S
n connu y nous connaîtrons
yÇ = /ï.28°45' 46"
ye. = n. 3o.45. 46 yQ = «.2g. 45.46
sin la$ = —y
aÇy == 900 + £aô
sin = sm
£aj/ = 1 8o° —
Ci-dessus , log ^cT.^»i.
