LIVRE XIII DE LA SYNTAXE. 397 A = fity -f- yex
A' = CtrJ -fi cFê£
A' — A == ctiS — /2=7 + cTe£ — • >£J4 = cTé^ — yex yx sin 5/ = ex sin ^ejfc, sin yex. = sin ^ ,
sin cTï? = —r sin cT = — sin cP,
sin cfê£ : sin yex V. K- sin cf : — sin cT :: -t : — :: éjc : eP,
sin <Té^4- sin : sin — :: -f- e£ : est — e£ , tang f ( <Té£ -{-yex) : tang ± («Peg — >ejt) :: ( ex 4~ €^ ) : ( êjc — é£ ) ,
tang | -{- yex ) = lang 7 ( A' A ) (^±|).
On aura donc cTêf et ^ëjt par leur demi-somme et leur demi-différence. Mais
A' 4- A = OcT+ jSe> ) + (cTéH->6x)' = 2/3^ + (J^
2,fi:> = (A' 4- A) — (^4-^),
yx : xi :: sin}£;c : sin xye = T i^.yt* = a* iS', suivant Ptoleme'ev
cT£ .* :: sin cfé? : sineef^ ==s --s^^"\
Pour Mars A = 4° 20'
i(A'4- A) = "5.40 . ... 5°4or
i(A'— A) = 1.20 + = 4-39.2fy7
fitCt = I . O . 54
tang x (A' — A) = i°2o' 8.3668g45
tang 3 (cTê? 4* >É3t) =4-^9-2^ 8.9109625
cTé^ = 5. 5g ."26 ytx = 5 . 19. 26
Avec ces valeurs on peut calculer xye et éeT£, qu'on doit trouver égaux.
Pour Saturne et Jupiter, il n'a pas trouvé de différence sensible entre le périgée et l'apogée.
Il a trouvé pour Saturne. . . /3es = 2*
fié* = 5
xê» = i . o
: £en :: 18 : 23 ,
Çfix -{- Ç«i = Cê3t :: 41 : ^ >
et par conséquent £ê»
en conséquence fit'(
Pour Jupiter /3»x. = i°o'
/3en = 2.0
Çex. : £éh :: 29 : 43 , £éx -f- Çevi : Çex. :: 72 : 29,
donc £e>i = 36
Pour plus de facilité Ptolémée suppose pour Jupiter /3é£= i° 3o'; pour Saturne /3e£ s= 20 3o' : ce qui prouve qu'il ne cherchait pas une grande précision.
D'après cette théorie, Ptolémée passe à la construction des Tables de latitude; et c'est-là véritablement ce que ce treizième Livre offre d'intéressant. Pour juger de ce système, on n'ira pas combiner les effets des deux inclinaisons , et celui des roulettes au moyen desquelles il fait lever ou baisser un des diamètres de ses épicycles ; mais on calculera la latitude par les Tables, et on la comparera à quelques observations. C'est à cela que Ptolémée aurait dû se borner; retrancher ses deux premiers chapitres, ou du moins les réduire à quelques lignes de principes, de définitions et de remarques tirées des observations.
Soit ctfiy (fig. 99) la section de l'épicycle par le cercle de latitude qui
LIVRE XIII DE LA SYNTAXE. 399 passe par le centre de l'épicycle ; /3é la commune section de ce même cercle de latilude et de l'épicycle, et en même tems le rayon de cet épicycle, dont le centre est /3 , et £jj le diamètre perpendiculaire à j3y. Soit la planète en 0 au point de son épicycle £0n , vous aurez
Ott — e@ sin >iô = r sin y = JtjS , /S?r = /3 cos th = r cos y = x9.
Imaginez maintenant que l'épicycle, que nous avons couché sur l'écliptique, tournant autour de £», arrive à faire un angle égala l'inclinaison I, le sin 6t se projettera sur lécliplique, et deviendra
r sin y cos I = utt = (Bv ;
xô = /3tt deviendra
v/a =. r cos ^.
»/« *• r cos ^
tang vj/^l ^ ^ — ^ ^ — rcoslsin^
1 — ( — : ) cos I sin y
t • y£ (l ^: cos I sin y )
y» — y/3 — r cos I sin y \ y/3 ^ /
"~~ COS vyf* COS f/f» Cos vyw
Le point 9 se projettera en fx , et sa hauteur au-dessus de /a sera r sinlsinj"; enfin la latitude se trouvera par la formule
... • t • ( — - ] sin I sin y cos vyu
rsinlsiny rsin I sin y cos vyp \y/3/ J
7/3 v ~ cosUlay) 1 cosI sin^
Soit <p =s S =90°— y,
tang A == tang vyp = —— ,
1 — ( — ) cos I cos a>
[ — Jsinl cos* cos A ( — ) sin* sin I cot® cos A \y/3/ Vy/3/ tang A = — = — ,
1 — ( — ) cos I cos <p 1 — ( — ) cos I cos a
tang A = tang A sinl cot<p cos A = sinl cot<p sin A , cosA cos A= cosélong. obliq. = cosE=cos A — 2sina^AcosA, cos A — cosE = 2sina { A cos A ;
ou bien soit tang A =
Gi)sin*
— c°s î cos ç
4oo ASTRONOMIE ANCIENNE.
tangX ésss sin I cot <p sin A , cos A cos À sis cosE,
. i /t-. .\ 2sin2v^cosA asin'fAcosA . „, . .
2Sin 7 (h — A) = - — r-~ t-tt = ■— t = 2 sin2- A cot A :
1 K J sin j(E + A) sin A * 7
cette formule donne l'erreur de la longitude provenant de la réduction négligée.
Appliquons ces formules à l'exemple calculé par Ptolémée pour p = 45° et i55°.
