tangA' = o

1,48 Ptolémée 0.48 à i35*.

Le calcul trigonométrique de Ptolémée est horriblement long , et par là plus sujet à erreur.

sin A.

cot A.

iA' = o' 24'..

sin K' . . cot A'. .

erreur de longitude, 1' 36". . . i.g844i***** ^9"A- • • i.77383

Ptolémée trouve ici 2' par la comparaison des prostaphérèses calculées avec et sans l'inclinaison; mais aucun de ses calculs n'est sûr à la minute; on ne s'étonnera donc pas de la différence de 24" qui est entre notre calcul et le sien.

Nos formules supposent l'inclinaison en avant et vers la Terre ; celte

LIVRE XITI DE LA SYNTAXE. 4oï de Venus est en arrière; ainsi le calcul fait pour 45' appartient à i35% et réciproquement.

Nos formules donnent les deux calculs à-la-fois pour B€t(i8o0 — B); il ne faut que 12 logarithmes pour les deux latitudes.

Celle théorie suppose jusqu'ici que l'excentrique soit dans le même plan que l'écliptique , et que l'épicycle soit seul incliné. Cela était bon pour Vénus et Mercure, dont les orbites sont des épicycles dont le Soleil est le centre; mais il n'en est pas de même des autres planètes, dont les deux inclinaisons sont toujours mêlées ensemble.

Voulons-nous maintenant que l'excentrique soit incliné à l'écliptique, d'un angle i ? Au lieu de chercher A = vyp , cherchons l'élévation du point x au-dessus de la ligne yv , c'est-à-dire l'angle xyv=A'. Nous

aurons

tang A = — £=— — ^— j— — =- =— — = y (fig. on et 100).

y v/3 — rcoslsiny ii — rcoslcoso /J*\ T v 0 '

J i — f — Jcoslcosip

Cet angle est autre que A, mais il n'est pas plus difficile à calculer.

A l'élévation A' ajoutons i = vyrt = angle au centre de la Terre , entre l'excentrique yv et l'écliptique ytf; (A'-f-t)= xyrf sera l'élévation du point x au-dessus de l'écliptique.

La distance clu point x au centre de la Terre sera yx et

y Y. = ^77 = R ( 1 — — COS I cos <p )

' cos A \ R /

cos A'

Du point x abaissez la perpendiculaire xtc sur l'écliptique; la dislance du pied if de cette perpendiculaire au centre de la Terre sera yn- et

R f 1 — ^ cos I cos <p^cos (A'-fi) yrt = yx cos xyw = .

Par le point 9 de la planète (fig. 99) , imaginez une aulre perpendiculaire Ô7r' à l'écliptique , tt' étant le pied de cette autre perpendiculaire. tttt' dislance des deux pieds sera 8x = /*sin<p.

— = tang angle sous lequel est vue la dislance Hir' = tangB , ffist. de l'Ast. anc. Tom. II, 5i

4o2 ASTRONOMIE ANCIENNE.

tangB

4 , f ït J sin <P cos A'

rsin<pcosA \R/

alors

R^i — g"cos * cos <i)C03 + — g- cos I cos cos (A'-f-i)

Q^-J sin I cos p tang p cos Ar

sin I P» — ^^cos I cos p^j cos (A'-f- i.)

tang A' tang <p cos A' sin A' tang <p

sin I cos ( A' + i ) sin I cos ( A'-f- i) *

cos B tang (A'-f- 0 = taïlg latitude.

Ce qui suppose qu'un grand cercle mené par les points * et 6 de la figure ira couper l'écliptique à 900 de x et de tc , ce qui est évident. Résumant, nous aurons

) sin I cos ç . .

R/ r ,3 sin A tang <p

xangA= — — , fcngBiap.gr. a A 0 ,

1 — f — j cos I cos tp

tang A = cos B tang ( A -f- i ).

Si <p = 90% A = o,B = o,A=i';A,(A-r-i) elB sont trois angles auxiliaires.

B devient zéro quand <p = o ou 1800; alors tang À == tang ( A -f- i) , ou A = (A-f- i) ; ce qui suffit souvent.

Ces formules serviront pour les planètes supérieures, en donnant àR les valeurs convenables, c'est-à-dire les deux valeurs extrêmes; car ces formules ne sont que pour le cas où les trois centres ( de la Terre , de l'excentrique et de l'écliptique) sont dans un même cercle de latitude, c'est-à-dire dans les apogées et les périgées. Alors l'angle tfày de notre figure 99 est un angle droit; dans toute autre position, cet angle est oblique. Ptolémée suppose que la latitude diminuera comme le sinus de l'angle , et il multiplie les latitudes par ce sinus ; ce qui n'est exact qu'à peu près.

Comparons cette formule de latitude à la formule moderne. Soit S, T, Pie Soleil, la Terre et la planète (fig. 1 01). Abaissez Vp perpendiculaire sur l'écliptique ,

Sp = /• cos h} Vp =5= r sin h.