sinM
cos O = 0.21844 9.33933.0 = 770 22' 57"
cotai.... o.35437(i5) sinH... 9.7692a cos H. . . . 9.90796.... tang M... o. 64583 C. cosM.... o;65665.... 2.6004 o.4i5o5(i7)
cot ampl. 10.8985 1.03737 N = 79.28. 7
tangampl 8.96263 (L— N) = 4o.3i.53
6oo ASTRONOMIE ANCIENNE:
amplit. == 5° 14' 33" de l'est au nord, azimut du point levant = 84.45.27
latitude de la prosneuse 5= 73. 35. 20 cot (L — N)... 0.08802(20)
C. cos O. . . . 0.66067 tang prosneuse = 7g°25'i5" 0.72869(21)
prosneuse orientale 79.25.1 5
prosneuse occidentale. .. . 100. 34-45 cos ((£ — N)... 9.88083(22)
Théon trouve 99.45 tang O . . . o.65oo5 (23)
etparles Tables manuelles. 100. o o.53o88(24) tang latitude prosneuse orientale = 73° 35' 20" australelatitude occidentale 106.24.4° boréale.
Ces formules ont toute la simplicité que comporte le problème. Voyons maintenant les règles données par The'on : ces méthodes supposent , comme les nôtres, que Ton ait calculé l'angle horaire, l'ascension droite du milieu du ciel, le point orient, la hauteur du pôle de l'écliptique = 90° — O, et l'amplitude du point orient ou l'azimut du pôle de l'écliptique. A la vérité, il prend toutes ces quantités dans des Tables ; mais rien ne nous empêcherait d'en faire de pareilles et de plus exactes que les siennes. S'il calculait ces quantités par la Trigonométrie des Grecs , le calcul serait prodigieusement long. Mais laissons de côté nos 2 2 premiers logarithmes, dont la recherche est plus sûre sans être plus pénible que l'usage des Tables manuelles, pour n'examiner que ce qu'il met à la place de notre dernière formule , qui ne demande que deux logarithmes nouveaux. En refaisant la figure de Théon qui est mal construite , je conserverai les lettres, avec ce seul changement, que je les présenterai en caractères romains ( fig. 175).
Soit donc AMEZA l'horizon, ZHM le méridien, Aie point orient de l'équinoxe , D le point couchant de l'équinoxe, K le pôle de l'équateur ARD , IOY le petit cercle que décrit le pôle de l'écliptique , O ce pôle ; GORSTX sera le colure du Cancer, BPSHRE l'écliptique, R le point équinoxial du printems, S le point solstilial du Cancer ; RT go°=RS. Prenez SP = 5o°, le point P sera le ier point du Lion , et RP s 1 20e ; RN== 122° i5'48"i VN = 45° = 3* équinoxiales; RV == 770 i5' 48"; VT= 1 20 44' 1 2" = 90" — R V ; RB = 1 69*28' 7" (Théon dit 16930') BP = 49°28'7"; AB==5° i4'33*; ABR=77'22'57"; hauteur du pôle de l'écliptique = 12° 37' 5".
Tout cela est censé connu par des calculs préliminaires ou paroles Tables , qui ne le donneront pas aussi bien.
Théon remarque qu'entre les deux arcs de grands cercles BH et BG,
COMMENTAIRE DE THÉON. 6ot deux arcs HZ et GS se couperont en R ; il en conclut, par l'un des théorèmes généraux de la Trigonométrie grecque , l'équivalent de l'équation
sinHB sin HZ sin KG , sin KG sin HB sin ZK
d'Où
or
d'où
et
sin BS sin ZK ' sin GS 1 sin GS sin BS * sin HZ '
sin KG sin KG sin KG
sin GS sin (SK + KG) sin SK cos KG + cos SK sin KG tang KG ' sin SK + cos SK tang KG '
sin SK + cos SK tang KG = tang KG ^ . S£^. sin SK = tang KG ggg . J^g|) - tang KG cos SK ,
tang SK = . singSRsinqg - tang KG ,
° COS SK sin HR sin '/.K. « '
tang KG =
tang SK " cot u
& sin BS sin HZ sin 790 28' 7" sin 1 020 3q' 3o"
sin HB sin ZK cos SK sin 910 9' 27" sin 36° sin a
car
SK =KT — ST = SO — KO = go* — où ; tang SK = co t a e t cos SK= sin a> ; BS =BR — RS = 1 690 28' 7"— 90° =79° 28' 7". Théon , 790 3o' ; HB=BR— HR= 169.28 7 — point culminante 1690 28' 7"— 78°i 8' 40"
= 91. 9.27. Théon, 91*9'; HZ=ZK-f-KV— VH=36° + go' — 23°2o'3o"= 1260— 23°2o'3o"
= 1 02° 3o'3o". Théon , 1020 /o':
ZK=36°.
On voit quelles préparations les Grecs avaient à faire pour employer une de leurs formules générales; ils étaient bien excusables de réduire en Tables tout ce qui en était susceptible pour éviter tous ces préparatifs.
Ajoutez que n'ayant point de tangentes, et forcés de doubler tous les angles pour trouver les cordes, ils avaient à résoudre une équation du 2e degré. Avec tous nos moyens, cette formule nous coûte encore 9 logarithmes. Sans tous ces détours, le triangle KZG rectangle en Z donne
tang KG = £2|gk - tang560 = tang 36. ^ ^ .
n COS ZKG COS 12° 44 12 & n '
car
ZKG = TK V = T V = RT — R V = go4 — 7 70 1 5' 48" = 1 20 44' 1 2".
Hist. de VAst. anc. Tom. II. ■ 76
6o2 ASTRONOMIE ANCIENNE.
Il est étonnant que The'on n'ait pas aperçu ce triangle bien plus facile à résoudre. Théon par son équation du 2 e degré calculée suivant le théorème i3 du livre i*r de la Syntaxe, trouve que KG=36° bien près, %yyi<rra,. Il est pourtant sensible que l'oblique KG surpasse RZ qui est de 36° ; ainsi , en débutant, il commence par une erreur de 4ï% mais c'est probablement une faute de copie. La fin de l'opération numérique de Théo» offre aussi quelques obscurités que je n'ai pas tenté d'éclaircir.
