Milieu

Commencement 3.33 Théon dit 3^ .^s

Fin 5- 7 5^',m

Quant aux parties d'incidence 27' 43* ou .... 27' 42*

appliquez-les en plus et en moins à la longit. 2^23° 36. i5 i38° 6.45

vous aurez pour le commencement 2.23. 8.3o 137. 33. 5

pour la fin 2.24. 3.56 138.28.27.-

Pour prouver que les demi-durées qu'il a supposées égales ne le sont cependant pas tout-à-fait, il en recommence le calcul séparément pour le commencement et pour la fin. Il trouve des parallaxes un peu différentes, des angles différens ; ce qui n'avait pas besoin d'être prouvé, et qui pour l'être aurait besoin d'être calculé plus rigoureusement et non par des Tables d'une précision très-médiocre. Au reste , à la suite de ce dernier calcul, Théon trouve que les Tables s'accordent avec les observations, sur quoi nous renvoyons à la remarque faite sur l'éclipsé de Lune qui a précédé,

COMMENTAIRE DE TIILON. 595 11 montre ensuite que l'on trouverait exactement les mêmes résultats parles Tables manuelles. Le calcul est assez long et prouve en effet l'assertion de Théon, et fait voir eu outre que la marche de l'opération est à peu près la même. On a dans les deux systèmes de Tables des parallaxes pour les principales positions de la Lune; on en déduit des parallaxes pour la position actuelle par des facteurs qui servent à multiplier les différences. Peut-être avec les quantités que fournit cet exemple pourrait-on reconstruire les Tables manuelles,- mais ce serait une peine bien superflue, puisque ces Tables existent et qu'elles supposent les mêmes élémens que les Tables de Ptolémée, ou du moins que la différence est très-légère. Peu nous importe aujourd'hui qu'elles soient, à quelques égards, plus commodes et plus expéditives, ce qui n'est pas d'ailleurs bien démontré partout ce qu'on voit dans ce chapitre du Commentaire ; si l'on voulait aujourd'hui calculer des Tables écliptiques sur les élémens de Ptolémée, on ne serait pas embarrassé pour les rendre plus faciles et plus conformes à sa théorie.

Au lieu de cette longue comparaison des Tables manuelles avec celles de la Syntaxe , il est à regretter que Théon ne nous ait pas dit'comment il avait observé son éclipse, comment il s'est assuré de l'heure vraie des divers phénomènes, s'il a mesuré réellement ou simplement estimé, comme il est probable, le nombre de doigts éclipsés. S'il avait eu un instrument pour mesurer la ligne des cornes ou le segment resté lumineux, il n'eût pas manqué de le dire. Quelle précaution prenait-il pour que la lumière du Soleil ne lui blessât pas les yeux , et lui permît d'estimer au juste la quantité de l'éclipsé? 11 n'en dit rien ; et c'est une chose assez singulière que tous les auteurs, soit grecs, soit latins, qui ont parlé des éclipses de Soleil , aient imité ce silence. Un auteur dont le nom m'a échappé, dans un passage cité par Schneider dans son premier volume, dit seulement que des astronomes qui ont voulu observer avec plus de soin et trop long-tems une éclipse de Soleil pour en mieux décrire toutes les circonstances, en avaient perdu la vue; ce qui suppose qu'on n'avait aucun moyen artificiel pour considérer le Soleil. Nous voyons qu'Archimède ayant voulu mesurer le diamètre du Soleil , avait choisi les tems où le Soleil était voisin de l'horizon et brillait d'un éclat moins vif. On voit bien quelques passages qui nous indiquent qu'on regardait quelquefois le Soleil éclipsé dans l'eau ou dans quelques liqueurs plus denses et moins susceptibles d'être agitées par l'air; mais dans tout cela on ne démêle rien qui concerne particulièrement les astronomes; et puisque Théon ne nous dit

5ç6 ASTRONOMIE ANCIENNE.

rien, c'est qu'il n'a rien à nous apprendre. Aristote, qui s'est fait à lui-^ même tant de questions sur le Soleil et sa lumière, n'est pas pour nous plus instructif. De toutes ces questions , celle qui se rapproche le plus de notre sujet est celle-ci, qui se lit dans la section XV de ses Problèmes : « Pourquoi dans les éclipses de Soleil , si on le voit à travers un crible ou à travers le feuillage du platane ou d'autres ai'bres à larges feuilles ou à travers les doigts des deux mains jointes l'une sur l'autre, voit -on la lumière sous forme ménisque ? » Il semble que la réponse est bien naturelle et bien simple : si le Soleil éclipsé paraît avoir la figure de la Lune, c'est qu'en effet il est alors échancré comme elle. Aristote en apporte une explication qui ne parait ni bien claire ni bien heureuse; il la trouve dans" deux cônes qui ont un sommet commun, l'un qui vient du Soleil au trou du crible ou aux interstices entre les feuilles, et l'autre qui va du crible à la Terre. Voilà pour le présent tout ce que j'ai' pu recueillir sur cette question, et je désespère d'être jamais plus heureux.

Dans le Commentaire sur les directions de la ligne des centres par rapports aux diflerens points de l'horizon, il cite deux théorèmes démontrés par Mënélaiis dans son Traité des Sphériques que nous avons perdu. Si deux triangles ont un angle égal et entre les autres angles deux côtés respectivement égaux, les deux autres angles seront aussi égaux chacun à chacun si leur somme n'est pas égale à 1800.

Soit @y (fîg. 173 ) la base commune des deux triangles , /3 l'angle commun sur cette base; prolongez Tare @y jusqu'à 1800 en 0 ; soit enfin l'autre côté donné ya. ou ya' , abaissez l'arc perpendiculaire y/*, le côté donné yct est nécessairement plus grand que y/u; vous aurez cos yu cos jua=2 cosyct = cos yct! = cosy/u, cos ^ua'. Plus jux augmentera, plus yct et yct' augmenteront ; mais yct ne saurait égaler y@l9 car il se confondrait avec lui ; il n'y aurait plus de triangle. 11 peut encore moins surpasser (èy , car il serait au-dessous de y@ et hors de l'angle y fia ; mais yct peut augmenter jusqu'à devenir yfi = i8o° — fiy; ya. est donc nécessairement compris entre les valeurs y fi et>/3== 1800 — fiy. Si yct < fèyy il y a deux positions posibles ya et ya! : dans l'une yctfi sera aigu , dans l'autre yet'B sera obtus, et 180° — ya'a.z=z 1800 — yaa.'; les deux valeurs auront une somme de 180°.'

Si ya, > y /S, tel que serait yct"T par exemple , il n'y a qu'une solution possible pour le deuxième côté.

Si ya est perpendiculaire , il sera yjx et ") /u est unique.

Donc les triangles qui ont une même base } un angle égal sur cette base et le côté opposé à cet angle pareillement égal, sont absolument identiques ;

COMMENTAIRE DE THÉON. 597 ou bien s'ils ne le sont pas, c'est que les angles opposés à la base sont supplémens l'un de l'autre.

Cet exposé est clair, la démonstration simple et directe; l'énoncé de Ménélaiïs est équivoque, sa démonstration indirecte et fort longue.

Vous avez suioty : sin /3 :: sin fiy : sin a = sin (i8o°— a); les trois premiers termes sont communs aux deux triangles; le 4e a deux valeurs , mais il faut que l'angle <x soit plus grand que /3 , sin @y > y et, ce qui, dans la moitié des cas, donne l'exclusion à l'une des deux solutions : quand elles sout possibles tontes deux vousnesavezsi le 5e côté est /3aou^a',si l'angle est fin, ou fia'y= 1800 — @cty , si le 3e angle est fiyct ou jOyetf.

On trouverait la même chose par les formules analytiques pour ce cas, mais d'une manière moins directe et moins simple. Au reste, ces théorèmes métaphysiques ne servent pas réellement au calcul, ils ne sont là que pour la démonstration.

Théon applique ce théorème à la solution plus exacte et plus rigoureuse des problèmes que Ptolémée s'était proposés; mais les solutions de Ptolémée étaient plus que suffisantes, et celles de Théon sont longues. Au reste , c'est de la Trigonométrie toute pure. Nous savons que les Grecs pouvaient résoudre toute sorte de triangles , quoique leurs méthodes fussent souvent longues et détournées. Nous avons d'autant moins d'intérêt à suivre ici Théon, que ces problèmes sont abandonnés depuis longtems, et que pour se préparer à l'observation d'une éclipse de Soleil, il est beaucoup plus commode de déterminer le point de contact par sa distance angulaire au vertical qui passe par le centre du Soleil. Cependant, comme nous y trouverons une application des formules générales de la Trigonométrie grecque, nous allons extraire ce que cette théorie a de plus curieux.

Pour mieux apprécier les méthodes de Théon , voyons comment on pourrait s'y prendre aujourd'hui pour résoudre les mêmes problèmes.

On appelle prosneuse le point où l'horizon est coupé par un grand cercle mené du centre de la Lune au centre du Soleil , et prolongé jusqu'à la rencontre avec l'horizon ; cette direction est celle que Ton calcule dans les éclipses de Soleil ; dans celles de Lune, au contraire, l'origine de l'arc est au centre de l'ombre; on le tire vers le centre de la Lune, et on le conduit de là jusqu'à l'horizon.

On calcule ces points d'intersection pour le commencement, la fin et le milieu d'une éclipse partielle; si l'éclipsé est totale, on calcule encore pour les lems de l'immersion et de l'émersion ; mais alors on peut se

5g8 ASTRONOMIE. ANCIENNE,

dispenser de calculer la prosneuse pour l'instant du milieu, car l'arc de prosneuse coupe perpendiculairement et par le milieu la ligne des cornes dans une éclipse partielle; mais dans une éclipse totale, il n'y a plus de ligne des cornes; l'arc de prosneuse n'a donc plus d'objet. Cependant, Théon après avoir fait le raisonnement que nous venons de développer, n'en calcule pas moins la prosneuse pour le milieu de l'éclipsé ; et même pour les autres instans, il se contente de donner les règles du calcul sans aucun exemple numérique.

Soit(fig. 174) BAQORI l'horizon, BZPR le méridien, P le pôle , PQ le cercle de 6% EQ i'équateur, ECO l'écliptique, EM == M == asc. dr. du milieu du ciel, EC la longitude du point culminant, BCO= 180° — ECM = 1800 — angle de l'écliptique et du méridien , BC la hauteur du point culminant, ANZPI le vertical qui passe par le zénit et le pôle/? de l'écliptique, EN sera la longitude N du nonagésime , NR = O la hauteur du nonagésime ou l'angle de l'écliptique avec l'horizon; vous aurez 0=NA = = distance zénilale du pôle de l'écliptique; ZN = distance zénitale du nonagésime = pl = hauteur du pôle de l'écliptique sur l'horizon ; QO = amplitude du point orient de l'écliptique = BA = azimut du nonagésime compté du point sud = RI = azimut du pôle de l'écliptique compté du point nord = BZN = RZI. J'ai donné dans mon Astronomie les formules suivantes : co est Fobliquilé de l'écliptique :

tang N = tang nonagésime = cos co tang M -f- sin co tang H séc M ; longit. du point O = N go° ;

cos O = sin haut, pôle de l'écliptique = cos co sin H — sin co cos H sin M;

cot amplitude = cot QO = cot co cos H séc M sin H tang M.

Soit maintenant S le centre du Soleil, L celui de la Lune, SL la distance apparente des centres, hu la latitude apparente du centre de la Lune,

c T c tarie: Lu tang A , . . . ^

tang S = tang LSz* = = sin — a la conjonction O = € ;

tang S = 00 et S = go°.

LSV sera l'arc qui détermine la prosneuse V sur l'horizon ; cot O V = cos O cot OS -f- sin O cot S coséc OS

== cos O tang (© — N) + sin O cot S séc (© — N) = cosO tang(©— -N ) -f- sin a cot A sin (0 — (C)séc(O — N); à la conjonction cotS=o,parceque sin(© — (£)=0j,la formule se réduit à cot OV = cos O tang (O — N) et tang OV' = cot (O — N) sécO. Dans les éclipses de Lune on prend le supplément de OV, qui est alors la dislance de la prosneuse au point couchant de l'écliptique.

COMMENTAIRE DE THÉÔN 1 5<$ Ces formules sont générales et commodes, et ne causent jamais le moindre embarras; elles renferment la solution complète du problème. Thëon démontre que celles de Ptolèmée ne sont qu'approximatives ; mais quoiqu'il les jugeât suffisamment exactes, il a voulu indiquer des procèdes plus sûrs : il y a réussi; mais ses solutions sont longues et il les expose à la manière des Grecs, c'est-à-dire avec une prolixité fatigante qui les rend pénibles à suivre.

Pour exemple, il suppose qu'à l'instant delà conjonction le Soleil éclipsé est en 1 200 de longitude, 5h équinoxiales avant midi. Il suppose la hauteur du pôle 56°, et l'obliquité 23° 5i' 20" ; avec ces données, faisons d'abord le calcul de la prosneuse par nos formules.

Calcul de la prosneuse, exemple de Théon.

L = l\s =. 1 200 = commencement du signe du Lion, P = 45° à l'orient = angle horaire.

Dans celexemple, qui est pourle milieude l'éclipsé, la ligne des centres est un cercle de latitude qui passe par le Soleil ; l'angie au Soleil = 90% L = O = (£ = 1200 : l'opération exige 24 logarithmes ditférens.

cos a 9.96122(1) cos a 9.96122... sin a 9.60685

tang L —o.35856(2) tang M. . . o. 6^583(4) tang H. . . 9.86126

tang A= 122. 15.48 — 0.19978(0) 4-°4^2 0.60700(5) C. cos M.. o.65fi65

M= 77.16. 48, b' tang N = 5.3790. . . 0.73070 == tang. 7g°28'7"

Point orient 169.28.7

Point couchant 349.28.7

sinO=... 9.98937 cos».... 9.96122... — sin a — g.6o685

tang O o.65oo5 sinH.... 9.76922(8) cos H... 9.90796(10)