Livre huitième
Dans la description de la sphère solide, on trouve cette phrase: Choisissez un point sur l'écliptique, placez-y l'une des parties du diabète, écartez l'autre partie à une distance égale à la distance de l'éclip'ique à son pôle. On croirait, d'après cette phrase, que le diabète devait être un compas sphérique ou à pointes recourbées, pour pouvoir embrasser une demi-circonférence et même davantage, ou au moins un compas dont les côtés fussent plus grands que le rayon de la sphère; mais on voit que le diabète était un fil marqué d'une couleur , comme nos ficelles marquées de craie , avec lesquelles on peut tracer une longue ligne droite sur un plan , ou un arc de grand cercle sur une sphère. Malgré cette autorité, je pencherais plutôt pour le compas, soit rectiligne, soit sphérique.
Dans le chapitre des levers, des couchers et des passages au méridien , on voit ce théorème (fig. 1 76) : Dans les arcs a» , ctv , moindres que de 1 80% menez >i9\, r6£ qui se coupent en 0. Du centre £ de la sphère, menez les rayons %r9 £9, £A ; menez la corde a£ jusqu'à sa rencontre en x avec jrYix ; les cordes m, r£ qui coupent %\ en e et £8 en y; par le point a menez parallèlement à xye , la droite ttir qui rencontrera en 7r la corde yyÇ.
Les triangles et7rÇ et zÇy qui ont l'angle £ opposé au sommet et les côtés opposés parallèles, seront semblables.
ou
aÇ -+- & : :: + (y : Çy ; ctx: ::V> : (y, t,x : ux'.'.Çy l 7ry'.'.Çy.yv : vry.yv ;
donc : axwty. ^ '.yv '.'.Çy . ^ : yv y.Çy.vt: yv.vt j
mais '. clx :: corde 2^» : corde ma.
Çy '.yv'.: corde 2^9 : corde 20v v& '. (.et :: corde 2cA : corde iXrt Çy.ve '.yv.éot,:: corde 2^9. corde 2M *. corde 9^. corde 2Xa;
COMMENTAIRE DE THÉON. Go f
donc
corde 2£» : corde 2»a :: corde 2$) corde 2vA : corde 20^ corde 2A01 : pour nous sin £» : sin»et :: sin £G.sin y A : sin Qy.sin Aa sin £» .sin Gy.sin Aet = sin £Ô.sin vÀ sin via.
Celle formule se déduit facilement de noire Trigonométrie moderne; en prenant d'abord les premiers termes de chaque membre, j'ai (fig. 177)
sin £» : sin£G :: sin 9 : sin » par le triangle »G£ ; prenant les seconds. .. . sin Gv sin vA :: sin A : sin 0 par le triangle yÔA ; prenant les troisièmes . . sin Aa : sin »a : : sin » : sin A par le triangle a»A ;
d'où
sin ^» sin 0v sin Aot : sin£6sinvA.sin»a :: sin 8 sin A sin» : sin» .sinGsinA :: 1 : 1 ;
si l'on suppose tous les arcs de 90% ainsi que l'angle a, on aura
£»=go° — «£=90° — y; sin^»=cosi'; Gv = go° — £G; Aa=90° — Ai»,
d'où cos v sin 6v cos Av = cos Gv. sin j<A. sin 900;
• «, cos r sin è* cos »A sin vA sin 8»
sin j'A = . ou = cos v
cos év 9 cos va ~~ r cos <» *
ce qui revient à tang vA = cos v tang G? , ou
corde 2»A j / o „ \ corde 20y
— j ; o n ^ = corde (ibo0 — 2O — 3—7-0—7; r »
corde (1800 — 2vA) v ' corde (1800 — 20>) '
équation qui aurait donné l'ascension droite parla longitude et l'obliquité, usage que n'a point aperçu Théon. Au reste, il aurait pu épargner cette nouvelle démonstration, car son théorème est identique au quatrième de ceux qu'il nous à ci-dessus démontrés, et qui conduit à cette même formule, ainsi que je l'ai fait voir dans mon Astronomie, tom. I, pag. 283, art. 5. Mais puisque cette équation est le fondement de la doctrine des levers et des couchers simultanés, on sent que notre Trigonométrie nous donnera une solution identique , mais abrégée.
Toutes les fois que plusieurs astres se lèvent au même instant , ils sont nécessairement dans un même grand cercle, puisqu'ils sont tous à l'horizon ; que la sphère tourne , ces astres resteront toujours dans le même grand cercle, à moins que ces astres n'aient un mouvement propre ; ils seront toujours dans un horizon qui changera à chaque instant.
QPE est Tare semi-diurne du point E de l'équateur (fig. 178), QPA = 90* -f- EPA est l'arc semi-diurne du point boréal A , QPB = 900 — EPB est l'arc semi-diurne du point austral B ,
Gu8 ASTRONOMIE ANCIENNE.
Les angles EPA, EPB sont conslans pour les étoiles; ils sont variables pour les angles des heures temporaires : c'est une différence essentielle entre les deux théories.
Rien à remarquer dans le reste de ce huitième livre, si ce n'est le silence absolu de Théon sur les réfractions, et leurs effets sur les levers et les couchers. On pouvait croire que Ptolémée n'avait encore aucune idée de cette théorie, quand il écrivait sa Syntaxe mathématique. Mais Théon devait connaître cette Optique; il devait savoir qu'à l'instant où Sirius se voyait pour la première fois à l'horizon en B, un peu avant le lever du Soleil, il était réellement plus bas en B' dans le vertical. On se trompait donc nécessairement sur la position de la sphère et sur l'abaissement du Soleil au-dessous de l'horizon. Il ne reste qu'une chose à dire, c'est qu'on ignorait la valeur de cette réfraction , et qu'on la supposait insensible, quoique l'on sût fort bien que l'horizon était le point du maximum; mais cela du moins méritait d'être dit, et c'eût été la partie la plus curieuse de ce livre.
