EG = EA=EH = ER, AEH = AH , AEK = AK, KEG = KG, GEH = GH

Comparons les triangles BAZ et ETZ rectangles , l'un en A et l'autre en T , nous aurons

. Hypoténuse BZ = 900 — TZ = 900 — base TZ ,

base AZ = 900 — EZ = 900 — hypoténuse EZ, troisième côté AB = 900 — AH = 900 — TEZ = 900 — Z- angle, angle droit A s= angle droit T.

Le second angle Z est commun aux deux triangles ; ils sont du moins opposés au sommet.

3e angle B == TH = 900 — • TE = 90° — 3e côté de l'autre triangle.

Cette construction tirée de Ptolémée , chap. 10 du Livre 2 , nous fait voir un triangle ETZ qui est ce qu'on appelle aujourd'hui le triangle complémentaire du triangle BAZ. Les Grecs avaient

j T-m corde 2EZ corde p.Z

corde 2ET = -5 — ô-r ,

corde 1000 7

ou , ce qui revient au même ,

j r o » t> \ corde (i8o° — 2AZ) corde 2Z

corde ( 1 oo° — 2B ) = - , 0 ; .

v ' corde 1800 9

ce qui est notre théorème cos A"s= cos C" sin A' qui manquait au* Grecs , et que nous trouverons chez les Arabes. Les Grecs avaient ( théorème 3) l'équivalent de

tang ET = sin ZT tang Z ou cot B = cos BZ tang Z ;

c'est notre sixième théorème qui a toujours manqué aux Grecs.

Voici comme Plolemée élude la difficulté , et comme il a passé pardessus ces deux théorèmes sans les apercevoir : il fait

corde 2BA corde 2BZ corde 2TE

corde 2IIA corde 2ÏZ ' corde 2EH '

par l'un des quatre théorèmes généraux que nous venons de rapporter.

„ , . corde 2BA 1 i • corde 2BZ , , ,.

De la raison — -5 — ïtt , il retranche la raison — 3 — c est-a-dire corde 2HA 3 corde 2 lû *

TRIGONOMETRIE SPHERÏQUE. 65

corde 2TE corde 2EH

,., , , J . corde 2TE ... , . , -, , , ..

qu il dégage 1 autre raison — -5 — ^tï quil laisse seule ue son cote j il a

de cette manière,

corde 2BA corde 2TZ corde 2TE #

corde 2IIA * corde 2BZ corde 2EH '

dégageant enfin corde 2TE, il a

j mi-> corde 2BA corde 2TZ , ^TT

corde 2IE = ; — ^rr • — 3 — tttt • corde 2LH

corde 2HA corde zbL

j / o » t>\ corde sE A corde (180° — 2fiZ) i o .

corde (1800 — 2B) = — ,. , ^-rr . ~ — =r. — -,. corde 180*

v J corde (iSo° — 2BA) corde 2BZ

et dans le cas particulier qu'il calcule

7 / Or, t,\ corde 23° 20' corde 720° , 0

corde (1800 — 2B) = — i — egu , , . , ChM> corde 180"

^ y corde 1 56 4° corde 6o°

2 corde 1 200 corde 23° 20' corde 1 8o° diamètre

; car

corde i56°4°' ' corde 6o° rayon

sin TE = 2 cos 5o° tang 1 1" l^o!

rrr, 2.2 sin 6o°.2 sin 1 i°4o' . . r 0. ,

2 sin TE = : — g- — — — = 4SU1 60 tang 1 1 4°>

2 sin 78° ao ^ 0

et sin TE = 2 sin 6o° tang 1 1* 40'.

Les Grecs qui n'avaient pas de tangentes, s'arrêtaient à l'expression de corde 2TE qui n'emploie que les cordes de 1200, de 23° 4o' et de sou supplément 1 56° 40'.

Ptolémée, par sa construction, n'a obtenu qu'une solution particulière et numérique , au lieu qu'il pouvait y trouver deux théorèmes généraux qui auraient complété la Trigonométrie , et fourni les moyens de résoudre directement tous les cas possibles des triangles spheriques rectangles.

Tel est donc l'état où Ptolémée a laissé la Trigonométrie grecque ; on ne voit pas bien de quel théorème il a pu l'enrichir, si ce n'est peutêtre de l'analogie qui lui donnait les segmens de la base dans un triangle obliquangle dont on connaît les trois côtés; théorème que je n'ai vu dans aucun auteur plus ancien, mais qu'il emploie sans l'énoncer et sans faire la moindre remarque, ce qui nous autoriserait à croire que c'était une proposition bien connue, et dout l'usage était commun.

Ilist. de VAst, anc. Tom. II.

Maurice Dressius , ancien professeur de Mathématiques au colle'ge de France, a donné, sous le titre de Métrique astronomique, un Traité de Trigonométrie grecque dans la forme sexagésimale. 11 a tout simplifié en substituant les sinus aux cordes et en introduisant les tangentes et les sécantes, qui étaient alors une invention assez nouvelle. Il enseigne à calculer tous les cas des triangles rectilignes ou sphériques rectangles, soit par ses Tables, soit par celles de Plolémée. Ses Tables de tangentes et de sécantes supposent , comme celles des sinus, le rayon divisé en 6op o' o".

Ce Traité, qui m'était inconnu quand j'ai fait celui qu'on vient de lire, est incomplet à beaucoup d'égards. Il ne dit rien des méthodes grecques pour les triangles sphériques obliquangles. Dans les exemples qu'il calcule d'après la méthode de Ptolémée, et dont il ne donne aucun type, il n'indique pas la correspondante entre les règles anciennes et les formules modernes, il ne donne pas les moyens de remplacer les unes par les autres; il laisse aux calculs toute leur longueur et tous leurs embarras ; ainsi quand j'aurais connu l'ouvrage de Bressius , il n'aurait pu m'êlre d'aucune utilité pour le mien. Nous avons envisagé notre sujet sous un point de vue tout à fait différent. L'ouvrage da Bressius est de i58i.