CHAPITRE PREMIER

Ou Livre I de la Syntaxe mathématique.

Ij'astronomie des Grecs est toute entière dans la Syntaxe mathématique de Ptolémée , et sans les détails dans lesquels nous sommes èntrés sur l'Arithmétique et la Trigonométrie , il nous serait impossible de comprendre comment Ptolémée parvenait à exécuter des calculs si longs et si compliqués , et qu'il surcharge encore de développemens souvent très-inutiles. Il nous serait surtout impossible de vérifier les quantités subsidiaires par lesquelles il passe avant d'arriver à la quantité définitive qui était l'objet de ses recherches. Par les moyens que nous avons préparés , nous pourrons donner des travaux d'Hipparque et de Ptolémée une idée plus juste et plus nette que celle qui pourrait résulter de la lecture du texte grec ou d'une excellente traduction.

Il nous sera quelquefois difficile de distinguer ce qu'on doit à Ptolémée lui-même de ce qu'il peut avoir emprunté de ses prédécesseurs. Il est vrai qu'il paraît nous en fournir un moyen bien simple dansles dernières lignes de son Avant-Propos , où. il dit qu'il ne fera que rapporter succinctement ce qui a été bien fait ou bien connu avant lui ; mais qu'il traitera avec plus de soin et de développement , ce qui n'aura été ni bien compris , ni assez bien traité. Nous serions donc tentés de lui attribuer beaucoup de recherches qu'il donne avec tous leurs développemens ; mais il avoue lui-même assez souvent qu'il n'a fait que confirmer ce qui avait été trouvé ou démontré déjà par Hipparque.

Plolémée entre en matière en supposant à son lecteu^quelques notions préliminaires, telles que celles qui sont présentées dans le Poème d'Aralus, ou mieux encore, dans \esElémens d'Astronomie de Géminus. Il annonce qu'il va montrer quelle est la position de la Terre par rapport au ciel , quelle est celle du cercle oblique , quelles sont les parties habitées de la Terre ; qu'il exposera les différences de climats ; qu'il passera ensuite aux mouvemens du Soleil et de la Lune, sans lesquels on ne pourrait avoir une théorie juste des étoiles. Il passera ensuite à la théorie des cinq planètes, en s'appuyant partout sur les observations les plus sûres, auxquelles il appliquera les méthodes géométriques.

Les Anciens ont reconnu facilement que le ciel est de forme sphérique, et que ses mouvemens sont ceux d'une sphère. Il leur suffisait de voir que tous les astres sont portés d'orient en occident , suivant des cercles parallèles entr'eux ; qu'après s'être élevés comme de Terre, ils descendent régulièrement comme ils ont monté; qu'ayant disparu pendant quelque teins , ils se remontrent de la même manière, se levant et se couchant aux mêmes points de l'horizon , et à des intervalles réglés.

Us voyaient clairement que ces mouvemens ne pouvaient être que circulaires , puisque tous les astres les accomplissent autour d un même pôle et à des distances plus ou moins grandes ; que les uns , dans leurs révolutions, ne s'abaissent jamais jusqu'à l'horizon - que d'autres disparaissent peu de tems, d'autres un tems plus. long et d'autant plus grand, que leur cercle est plus éloigné du pôle.

Ces premières notions, confirmées par une expérience constante, sont devenues des vérités incontestables. Si les mouvemens étaient rectilignes, comment les astres reviendraient-ils aux points où on les a déjà vus se lever? Comment redeviendraient-ils visibles après avoir disparu à cause de leur éloignement, et pourquoi seraient-ils plus grands à l'instant où ils vont disparaître? Comment a-t-on pu dire qu'ils s'enflamment à l'orient pour s'éteindre à l'occident, et comment seraient-ils au même instant enflammés pour un lieu de la Terre , et déjà éteints pour un lieu plus oriental ? Ce qui s'observe dans les étoiles circompolaires ne suffit-il pas pour nous faire comprendre ce qui arrive à celles qui disparaissent pour quelques heures , d'autant plus que la même étoile qui se couche pour l'habitant d'un climat, est toujours visible à une latitude plus élevée ?

Il n'y a que le mouvement sphérique qui puisse expliquer tous ces phéuomènes, et entr'aulres la constance des distances réciproques et des

LIVRE I DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. 69 diamètres npparens; car si l'on observe à cet égard quelques variations dans la Lune et dans le Soleil, à l'horizon, ce ne peut être qu'un effet des vapeurs de l'atmosphère.

(Ces variations consistent en ce qu'à l'horizon les diamètres du Soleil , de !a Lune , des planètes paraissent plus grands qu'au méridien , que les é toiles "paraissent plus grosses, et que leurs distances réciproques paraissent augmentées. 11 est aujourd'hui bien prouvé que ces augmentations prétendues ne sont que des illusions , mais on n'est pas parfaitement d'accord sur la cause qui peut les produire.)

La sphéricité des mouvemens est encore prouvée par la construction des cadrans solaires et la marche des ombres. D'ailleurs les figures les plus propres au mouvement sont celles du cercle et de la sphère , comme le cercle est la plus grande des surfaces , et la sphère le plus grand des solides.»

(Cette métaphysique commence à être moins sûre que ce qui précède ; ce qu'il ajoute ensuite sur la composition de l'air et la figure de ses parties qui nécessite un mouvement sphérique , nous parait encore moins propre à opérer la conviction.)

La Terre est également sphérique, du moins sensiblement. Les astres 11e se lèvent pas au même instant pour tous les peuples; mais plus tôt pour les orientaux et plus tard pour ceux qui sont à l'occident. La Lune ne s'éclipse pas pour tous les pays à la même heure ni à la même hauteur ; la différence des heures est proportionnelle aux distances terrestres.

Si la Terre était creuse, les astres se lèveraient plus tôt pour les peuples qui sont à l'occident ; si elle était plane , ils se lèveraient en même tems pour tous; si elle était un polyèdre, tous ceux qui habiteraient une même face auraient les mêmes phénomènes que sur la Terre plane; si elle était cylindrique , les phénomènes seraient en partie ceux de la sphère et en partie ceux de la figure plane , et l'on n'observe rien de semblable. Les hauteurs des étoiles changent à proportion qu'on avance vers le nord ou vers le sud; la Terre est donc circulaire en ce sens ; les hauteurs des montagnes observées en mer prouvent également que la surface des mers est sphérique en tous sens, tous les phénomènes conduisent à la même conclusion.

La Terre est au centre du ciel; car si elle n'était pas au centre, elle serait ou hors de l'axe , mais à même distance des deux pôles , ou sur l'axe, mais à distances inégales de ces pôles , ou enfin tout à la fois hors de Taxe et à des distances inégales.

Dans le premier cas il n'y aurait pas d'équinoxe, ou les points équinoxiaux ne seraient pas à égale distance des deux points solsticiaux ; ce ne serait plus l'équaleur, mais un de ses parallèles qui serait également ooupé par l'horizon, La Terre serait plus voisine d'un côté du ciel que du côté opposé ; les astres y paraîtraient plus grands et leurs intervalles plus considérables. Dans le second cas, le plan de l'horizon couperait inégalement le ciel , et particulièrement Técliplique. On ne verrait pas toujours six signes élevés, tandis que les autres sont abaissés; les ombres du Soleil levant et du Soleil couchant ne formeraient pas une même ligne le jour de l'équinoxe.

Enfin, dans le troisième cas, on trouverait réunis les iuconvéniens des deux premiers ; Tordre des durées des jours et des nuits serait troublé, les éclipses n'arriveraient pas toujours dans les oppositions et les conjonctions , puisque la Terre n'occuperait pas toujours la ligne qui va du Soleil à la Lune.

Tous ces raisonnemens sont assez futiles , quoique géométriquement vrais en grande partie. Il faudrait que l'excentricité fût bien grande pour que ces effets devinssent bien sensibles. Ils ont lieu nécessairement pour tous les points de la surface de la Terre , dont aucun n'est à-la-fois dans l'axe et à égale distance des deux pôles célestes. Tous ces raisonnemens tombent d'eux-mêmes dans le système de Copernic qui fait circuler la Lune autour de la Terre, et la Terre autour du Soleil.

La Terre n'est qu'un point eu comparaison du ciel; en effet, de fous les points de la Terre on voit les astres de la même grandeur ; ils paraissent également éloignés les uns des autres , malgré la différence des climats. Partout le sommet des gnomons et les centres des armilles et des astrolabes peuvent se prendre sans erreur pour le centre de la Terre ; partout les plans qui passent par l'oeil et qu'on appelle des horizons , coupent le ciel en deux hémisphères égaux. Tous ces raisonnemens sont fort bons et suffisent pour réfuter ceux de l'article précédent. 11 suffît d'appliquer à l'excentricité de la Terre et au demi-diamètre de son orbite, ce qui est dit ici du rayon delà Terre.

La Terre n'a aucun mouvement de translation.

Plolémée prétend le prouver par les argumens qu'il a donnés contre la position excentrique. 11 s'appuie encore sur ce que la Terre est le centre des graves ; ce qui prouve , selon lui, qu'elle est le centre de l'univers. Il donne comme un fait universellement reconnu, que la direction des graves est toujours perpendiculaire à la surface; il en conclut que si cette

LIVRE I DE LÀ SYNTAXE MATHÉMATIQUE. 71 Surface n'y mettait obstacle , tous les corps iraient se réunir au centre de la Terre. Ceux qui trouvent singulier que la Terre soit ainsi suspendue dans l'espace sans aucun support, n'en jugent que par ce qu'ils éprouvent eux-mêmes , et ne considèrent pas ce qui convient à l'univers. Il n'y a ni haut ni bas dans le monde , ni dans la sphère ; s'abaisser , c'est se rapprocher du centre. La Terre est si considérable par rapport aux corps qui tombent à sa surface, qu'elle n'éprouve aucun mouvement dans les chocs qu'elle en reçoit. Si elle avait un mouvement propre , ce mouvement serait proportionnel à sa masse , et laisserait en arrière les animaux et les corps qui sont portés en l'air; elle leur échapperait et sortirait du ciel.

Ces idées sont si ridicules , ajoute Ptolémée, qu'on ne peut les discuter sérieusement ; mais ce qu'il y a de vraiment ridicule , c'est d'affirmer , comme il fait, que le mouvement de la Terre serait plus rapide en raison de ce qu'elle est d'une masse plus considérable. Il en jugeait apparemment par la chute d'un morceau de plomb beaucoup plus rapide que celle d'un corps plus léger.

On a voulu, dit-il ensuite, que la Terre, immobile dans l'espace , tournât autour de son axe; à la vérité cette supposition rend l'explication des phénomènes beaucoup plus simple ; mais elle lui paraît également ridicule, quand il considère ce qui concerne l'air et nous-mêmes; car en accordant , ce qui est contre nature , que les corps les plus légei'S , c'est-à-dire les corps célestes, n'eussent aucun mouvement, et qu'un corps aussi pesant et aussi compact que la Terre, pût avoir un mouvement si rapide et si égal , que tout ce qui n'est pas appuyé sur elle parût aller en sens contraire , il en résulterait au moins qu'aucun nuage, aucun oiseau , aucun projectile ne pourrait avancer vers l'orient, parce que la Terre les précéderait toujours par son excès de mouvement, ensorte que tout paraîtrait rester en arrière ; quand on prétendrait que l'atmosphère^, tenant à la Terre, est emportée avec elle d'un mouvement commun, on ne pourrait le dire de tout ce qui est contenu dans l'atmosphère , à moins qu'on ne prétende que tous ces objels divers font comme un seul corps avec la Terre et son atmosphère ; mais dans ce cas il n'y aurait aucun mouvement de translation d'aucune espèce , ni en avant , ni en arrière , tout resterait dans la même position relative.

On a répondu depuis long-tems à ces pauvres argumens , et Ptolémée n'a aucun titre pour donner son nom à un système beaucoup plus ancien que lui , et qu'il n'a su étayer d'aucun argument tant soit peu plausible.

Il est excusable sans doute de n'avoir pas senti la faiblesse de ses raisonnemens, de ne setre pas élevé au-dessus de tous les préjugés de son tems ; mais on ne peut le disculper de ne les avoir pas un peu mieux discutés , et de n'avoir tenté aucune expérience pour s'assurer lui-même de la vérité des assertions qu'il répète avec tant de confiance.

On observe dans le ciel deux mouvemens principaux et diiférens. Par l'un tout le ciel est emporté d'orient eu occident, d'un mouvement égal et uniforme, qui le fait tourner autour des pôles du grand cercle , qu'on appelle équateur. Ce cercle est ainsi nommé parce que seul, entre les parallèles, il est également partagé par l'horizon , ce qui produit l'égalité des jours et des nuits par toute la Terre, quand le Soleil parait décrire ce grand cercle. Par le second , les sphères des astres ont , en sens contraire du premier mouvement , d'autres mouvemens autour d'autres pôles qui ne sont pas ceux du premier mouvement.

De ce passage on induirait que Plolémée admettait réellement une grande sphère solide qui embrassait tout , et des sphères plus petites , mais également solides , qui tournaient dans la grande. Mais rien jusqu'ici n'autorise entièrement cette conséquence , dont on lui a fait un reproche ; d'autres ont voulu le disculper. Nous pèserons dans l'occasion les termes dont il se servira , et nous tâcherons de décider ce point qui est encore douteux, parce que nulle part il n'a voulu s'expliquer clairement.

On est conduit à ces suppositions en voyant que par la révolution diurne tous les astres décrivent des parallèles qui ont les mêmes pôles que l'équateur, et que toutes les étoiles, d'après une expérience constante et des observations répétées , conservent toujours entr'elles les mêmes distances et les mêmes distances au pôle de V équateur ( il savait bien lui-même que ce dernier point n'était vrai qu'à peu près, et que les distances polaires pouvaient varier d'un quart de minute par an : la variation peut même être d'un tiers , mais il ne la croyait pas si grande) ; tandis que le Soleil , la Lune et les planètes ont des mouvemens particuliers et différens; mais qui ont cela de commun, que leur direction est de l'occident vers J'orient., en sens contraire du mouvement général. (Il fait ici abstraction des rétrogradations des planètes , comme il a négligé ci-dessus la précession. )

Si ces mouvemens particuliers se faisaient parallèlement à l'équateur , et toujours à même distance de ses pôles , on pourrait penser qu'il n'y a point de mouvemens propres, mais seulement quelques retards dans le Soleil et la Lune qui ne tourneraient pas aussi vile que les étoiles;

LIVRE I DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. 7^ mais les distances aux pôles de l'ëquateur changent continuellement et inégalement , ensorte que ces mouvemens s'accomplissent dans des cercles obliques à l'équateur; mais ces cercles diffèrent peu les uns des autres, ensorte qu'on peut dire que le cercle oblique décrit par le Soleil est en quelque manière le cercle commun de toutes les planètes. Ce cercle est un grand cercle , puisqu'il est coupé en deux parties égales par l'ëquateur, et qu'il s'en écarte également au nord et au midi.

Concevons un grand cercle décrit par les pôles de l'ëquateur et de l'oblique , qu'il coupera tous deux à angles droits aux deux points solsticiaux ; nous aurons ainsi quatre points marqués sur l'oblique , les deux points équinoxiaux marqués par ses deux intersections avec 1 equateur, et les deux points solsticiaux déterminés par le cercle perpendiculaire (c'est-à-dire par le colure des solstices ).

Le premier mouvement se fait autour des pôles de l'équateur*, le colure tournant autour de ces pôles , entraîne avec lui les pôles de l'oblique; il entraîne le Soleil, la Lune et les planètes. (Ce passage paraît militer en faveur de la solidité des sphères.) Dans tous ces mouvemens, les pôles de l'écliplique restent toujours à la même distance des pôles de l'ëquateur, autour desquels ils circulent.

Toutes ces idées sont plus anciennes que Ptolémée ; on les a vues dans Aratus qui les tenait d'Eudoxe. Ces premières notions paraissent appartenir à tous les peuples : elles ont pu se communiquer d'un peuple a ses voisins , mais elles ont pu naître en différens pays par la seule inspection des phénomènes.

Après ces préliminaires, Ptolémée, pour en venir à la formation dune Table des déclinaisons du Soleil, expose sa théorie des cordes, ainsi qu'on l'a vue ci-dessus, chapitre II, page 56. Cette Table suppose nécessairement l'obliquité de l'écliplique. Pour observer cet angle , Ptolémée prescrit de se procurer un cercle de cuivre fait au tour et avee soin, et dont la surface soit tétragonale , c'est-à-dire à quatre côtés, nous dit Théon , ce qui n'est guère plus clair. Je suppose qu'il entend que toutes les surfaces de ce cercle doivent former entr elles des angles droits. On placera ce cercle dans le méridien, ou, suivant l'expression de Ptolémée , il servira de méridien. On le divisera en ses 56o°, et chacun de ces degrés en autant de parties quil en contient ou qu'il peut en recevoir. Remarquez qu'il ne dit pas en soixantièmes. La petitesse du rayon ne le permet pas. Au-dedans de ce cercle on enchâssera un autre cercle plus petit , ensorte que leurs côtés ou leurs arêtes soient dans Hist. de ÏAst. anc. Tom. II. 10

un même plan. Ce mot côtés est assez singulier en parlant de deux cercles; il veut dire leurs surfaces. Sur deux divisions diame'tralemeut opposées du petit cercle , on placera de petits prismes égaux tournés l'un vers l'autre et vers le centre du cercle. Ces petits prismes rempliront les vides entre les deux cercles , entre la surface concave du plus grand et la surface convexe du plus petit. Ce sont ces surfaces qui sont désignées par le mot côtés , si nous en croyons Théon , qui dit expressément les côtés concave et convexe. Sur le milieu de ces prismes on placera deux gnomons perpendiculaires au plan du méridien, qui iront affleurer le côté du cercle le plus grand, celui qui porte la division (Voyez fig. 16).

Pour chaque observation , nous placerons cet instrument en plein air sur sa petite cclonne (tvt) aruXiezcu (yvju/u.rcTfoiij et sur un plan bien horizontal , en observant qu'il soit exactement vertical et dans le plan du méridien. Pour cette vérification on se sert d'un fil à plomb suspendu au point le plus haut , et qui viendra battre sur le point opposé. Quant à la direction , on la trouvera par une méridienne exactement tracée sur le plan horizontal qui porte la colonne.

Cette position étant donnée à l'armille , en tournant le cercle intérieur jusqu'à ce que l'ombre de Tun des gnomons vienne tomber sur l'autre , nous avons observé , par la pointe des petits gnomons, à quelle distance du zénit répondait le centre du Soleil.

Remarquez que dans toute cette description , Plolémée ne dit pas un mot des dimensions ni de l'inventeur de l'instrument. II ne dit pas même que l'instrument existe à Alexandrie , comme il le dit ailleurs de l'armille équatoriale ; il n'y a que le mot fxeQoJ-iVéTctt , on le pratique , on y parvient au moyen qui paraît positif, et il ne signifierait encore rien s'il était seul. Les mots les plus imporlans sont îrrfoufXf-v , nous avons observe , JtéTWfjLctivtv rif/ïv, nous a montré. Ils indiquent en effet ou que l'instrument existe, ou que Plolémée veut nous en imposer en nous donnant comme réelle une observation qu'il n'aurait jamais faite } ce qu'on ne doit pas supposer sans les raisons les plus fortes.

Outre ce moyen , Plolémée en indique un autre qui lui paraît préférable et de meilleur usage, fWTorefJv vtt -iqv/h^x , qu'il a préparé lui-même et avec lequel il a observé. Au lieu de cercles , il suppose une brique , plinthe , 7rAi)Q)ç , ou planche de pierre ou de bois ; il ne dit pasde quelle matière élait celle dont il s'est servi. Elle était carrée , bien aplanie par l'une de ses surfaces ( rcev 7r}.tvfj)v). D'un point placé

LIVRE I DE LA SYNTAXE MATHEMATIQUE. 75 vers l'un des angles et pris pour centre , nous avons décrit un quart de cercle et tracé les deux rayons qui comprennent l'angle droit. Nous avons divisé cet arc en 90% et leurs parties ( xol'i rat. tovtoùv juîf/i) , et au centre nous avons placé un petit cylindre auquel pendait un fil à plomb qui venait battre contre un cylindre inférieur égal au premier , et fait au tour. Ce fil servait à rendre bien vertical l'instrument placé parallèlement à une méridienne tracée à terre. Nous assurions cette verticalité au moyen de cales convenables. L'instrument ainsi placé , nous recevions à midi l'ombre du cylindre central sur un corps qui glissait sur le limbe divisé. Le milieu de cette ombre nous indiquait la dislance du Soleil au zénit. Ici tout ce qu'il dit est positif; il a construit et divisé l'instrument , il a observé , il est clair et précis ; mais il oublie plusieurs choses essentielles.

Un instrument ainsi formé d'une planche ou d'une pierre, qui pouvait tenir debout , ne devait pas être de bien grandes dimensions ; les divisions du degré ne pouvaient certainement pas aller aux dixièmes ou à 6 minutes; le milieu de l'ombre reçu sur une planchette, pinnule ou cylindre, ne pouvait indiquer la distance zénitale avec une grande précision. C'est beaucoup si de cette manière on pouvait obtenir les quarts ou cinquièmes de degré. Ptolémée ajoute que par un grand nombre d'observations faites avec cet instrument, et surtout aux solstices , il trouva toujours à divers intervalles , la distance des deux tropiques de plus de 47° f et. moins de /j7 I , ce qui est presque la quantité trouvée par Eralosthène et adoptée par Hipparque, et qui , selon le premier, était de à très-peu près.

Sur ce passage on peut faire plusieurs questions. Pourquoi Ptolémée ne dit-il pas si son instrument était de bois , de pierre ou de cuivre ; de quelle grandeur était le rayon , et en combien de parties le degré était divisé ? Pourquoi ne rapporte-t-il aucune observation et se borne-t-il à nous donner la différence des deux distances? Pourquoi a-t-il trouvé la même obliquité qu'Eralosthène , malgré la diminution d'obliquité qui devait monter à 2' | ? Pourquoi ne nous dit-il pas quel était l'instrument d'Eratosthène , et si cet instrument subsistait encore à Alexandrie ? H paraît au moins qu'il n'en a fait aucun usage ; il aura préféré son petit cercle de bois, ce qui ne prouverait pas beaucoup en faveur de l'instrument d'Eratosthène. Comment enfin a-t-il pu se tromper de i5' sur la hauteur du pôle , qu'il a dû conclure en prenant un milieu entre les deux distances solsticiales ; si ce n'est que son instrument était trop petit pour donner mieux qu'un quart ou un demi-degré, ou bien que ces

observations dont il parle n'ont jamais été faites , et que son instrument n'a jamais existé ? Cependant il en fait encore plus loin une mention unique avec toutes les mêmes rélicences. Remarquons enfin , à l'appui de ce que nous avons dit à l'article Eratosthène , que Ptolémée ne donne lui-même le rapport ~ que comme un à peu près.

C'est ici que Ptolémée donne les théorèmes qui sont les fondemens de la Trigonométrie. Nous les trouverons plus développés dans le Commentaire de Théon. Il les fait suivre par sa Table des déclinaisons des points du cercle oblique , que j'ai trouvée d'une grande exactitude , ainsi que ses Tables des cordes.

Le dernier chapitre du premier Livre a pour objet le calcul des ascensions droites des points du cercle oblique; ces ascensions droites servent à trouver avec quel point de l'équateur chaque degré de l'oblique passe au méridien d'un lieu quelconque, à un cercle horaire quelconque, et enfin à l'horizon de la sphère droite , lequel est en même tems le cercle de 6ft. Connaissant les ascensions droites de chaque point, on est en état de déterminer le tems qu'un arc donné de l'écliptique emploie à traverser le méridien. La Table calculée pour le premier quarts sert également pour les trois autres , ainsi que le' prouve la méthode qui sert à les calculer , ou mieux encore la formule moderne

tang Ai — cos a> lang longitude.

Bien des peuples paraissent avoir connu le cercle que nous appelons écliptique , et son obliquité dont ils n'avaient pas la quantité bien précise, et qu'ils supposaient de 24° environ. Mais aucun autre peuple que les Grecs ne nous a laissé la preuve écrite qu'il eût , il y a 2000 ans , des moyens sûrs pour calculer les déclinaisons ni les ascensions droites; Aucun n'a déterminé les minutes de l'obliquité. Mais Hipparque connaissait toute cette doctrine dont il est probablement l'inventeur. Il savait exécuter des calculs bien plus longs et bien plus difficiles; nous en avons vu la preuve dans ses Commentaires sur Aratus.