AR

RG = 90.57.50 o.5o.20.... 8.i656665

ARG s= i83.35.4o tangAEH= 64.58. 14 0.3307416

bAd = 180

Ab + dG = 3.35.4o C. sin AEH 0.0428284

Ab = dG = 1.47.50 sin i°47'5o'/... 8.4964079

sin 1.59. 1 8.5592363

Nous aurons donc l'équation Ie 59' 1", et l'apogée 64° 58' 14", quantités beaucoup plus exactes.

Il faut supposer qu'on s'est trompé d'un demi-jour sur le solstice, ce qui n'est que trop possible , et conserver les équinoxes mieux observés. On voit combien les calculs fondés sur de pareilles observations sont incertains , combien peu il faut compter sur les résultats , et combien Hipparque est excusable d'avoir commis une erreur de 24' sur l'équation. C'est un hasard s'il a si bien rencontré pour l'apogée.

Les équinoxes sont plus faciles à observer. Il est vrai que les astronomes d'Alexandrie se trompaient de i5' environ sur la hauteur du pôle, qu'ils faisaient trop faible; ils faisaient donc la hauteur de l'équateur trop forte de i5'. L'équinoxe du printems était donc retardé, car on ne l'observait qu'à l'instant où le soleil avait déjà quelques minutes.de déclinaison boréale. L'équinoxe d'automne était avancé , parce

LIVRE III DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. 121 qu'on l'observait quand le Soleil avait encore une déclinaison boréale. L'intervalle observé entre les deux équinoxes était donc abrégé-, notre arc ABG est donc trop petit.

Mais la réfraction qui élève le Soleil avançait l'équinoxe du printems et retardait l'équinoxe d'automne ; ces effets se détruisaient, donc en partie , et l'erreur était d'ailleurs moins considérable que celle qui provenait du solstice ; ainsi nous avons pu faire porter la plus forte correction sur le solstice.

Si Ton cherchait plus d'exactitude, il faudrait rejeter les solstices et employer des observations plus susceptibles de précision ; mais la méthode deviendrait moins facile et le calcul plus long. Pour cela , il est nécessaire de réduire le problème en formules générales.

Quelques astronomes arabes, et ensuite Copernic, ont en effet rejeté les solstices pour y substituer d'autres lieux observés du Soleil. Nous verrons dans le tems leurs méthodes ; mais nous allons donner la solution la plus générale , qui se simplifiera pour le cas envisagé par Hipparque et Ptolémée. Si l'on voulait conserver la solution ci-dessus, et par conséquent les observations des équinoxes et des solstices , ce sei^ait par les ascensions droites qu'il faudrait déterminer le moment du solstice. Quant à ceux des équinoxes, il faudrait les déterminer, à l'ordinaire, par les distances méridiennes au zénit.

Pour réduire ce problème en formules générales pour trois points quelconques A, B, C, soit T le centre de la Terre, (fig. 34), F celui de l'excentrique, A, B, C les trois points observés, R l'apogée, N le périgée, FT=e l'excentricité; les rayons FA, FR, FB, FC = i.

Les intervalles entre les observations donnent les arcs de moyen mouvement AB, BC , AB -f-BC, dont la corde est AC. On a les trois cordes

AB= asini AB, BC^asin^BG, AG = 2sin i (AB -f- BC) ; les angles

BAC = i BC , BCA = ^AB, ABC = ~ ANC == \ (56o° — AB — BC)

on connaît les différences observées de longitude ATB, BTC, ATC.

Ce sont là les données du problème; or les points T, A, B, C forment un quadrilatère, la somme des quatre angles est de 56o° ; de

Jlist. de l'A st. anc. Tom. II. 16

ces angles nous en connaissons deux ; nous avons donc la somme des

deux autres , c'est-à-dire

BCT + BAT = 36o° — ABC — ATC

11 faut en chercher la différence , après quoi nous n'aurons plus besoin que de la Trigonométrie ordinaire. C'est une remarque qui avait échappé à tous ceux qui avaient résolu ce problème avant moi , et que j'ai donnée à Cagnoli pour la première édition de sa Trigonométrie.

Le triangle ABT donne AB : BT :: sinATB : sinBAT. Le triangle BTC donne BT : BC :: sinBCT : sinBTC.

Multipliant et réduisant AB : BC :: sinBCTsinATB :sinBATsinBTC.

BC sinBAT. sinBTC BC sinATB sinBAT

AB ~ sinBCT . sinATB » AB ' sTnBTC sinBCT tang ^ >

ou soit

sin l BFC sinATB tang x — s^tâî^ • ^gfC }

nous aurons ainsi l'angle subsidiaire oc , puis

sinBCT : sinBAT :: i : tangx.

SinBCT -f-sinB AT : sinBCT —sinBAT :: i + langx : 1 — tangx, tangi(BCT + BAT): tangi(BCT — BAT) :: 1 + tangx : i — tangx :: cosx—f- sin je : cosx — sinx :: cos jccoszj50 -f- sin .r sin 4^°

: cosa:cos450 — sin.rsin45° :: cos(x — 45°) '• cos(x 45°)

:sin(x + 45°) : sin(x — 45°) :: 1 : cot(x-h45°) ;

d'où

tangfd s= tang \ (BCT— BAT) = cot(x + 45°) tang | (BCT + BAT) — cot(.r + 45°) tang(i8o°— \ ATC — \ ABC) = co t(x + 45°) lang ( 1 80° — \ ATC — \ ABC).

Nous pouvons écrire

tang \d = coi(x + 45°) tang [1800— | ATC — 900 + i (AB + BC)] = co\(x + 45°) tang [ 90°—^ ATC + £ (AB + AC)] té col(.r -f- 4r>°) cot [ i ATC — \ (AB -f- AC)] = col(.r + 45°) cot ( j ATC — | AFC) =a col(x + 450) col^-mouv. observ. — |mouv. moy. calculé).

LIVRE III DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. ia5 \ d sera négative si les deux cotangenles sont de signe différent ; en général, d e'tant positif,

BCT = 9o° — — + BAT = 9o<>-(^-»-^> v est le mouvement vrai observé , m le mouvement moyen calculé.

TAC = TAB — BAC == 900 — i v -fci m — £ d — | BFC

= 90° — ^— i^-hiAFB + iBFC— fBFC

= 90° — -if— AFB^fBFC)

= 9°° — t1' — r^ + i (AFB — BFC), TCA= TCB— BCA = c,o° — > + H + ïffl — r AFC

= 9°° — ^ + + i AFB + ^BFC — iAFB

= 900 — iv-hï d—\ (AFB — BFC).

Ces deux angles, dans les équinoxes et les solstices , se réduisent

à zéro, 1^=90° et — \d=\(AW— BFC); alors ou a é?=£(AFB— BFC);

on n'a donc alors aucun besoin de calculer x , dont l'expression de-

sin jBFG vient tangjc= -, —

0 sin | AFb

TBA = 1800 — BTA — BAT=i8oe — BTA— 90°+^ — \m+\d

= 900— BTA+| v+ \ d— \ AFC=9o°+ £0+ \ d— \ AFC—ATB

= 90°+^ — ^AFC+iATB + ^BTC — ATB

= 90°+^/ — ^ AFC — \ (ATB — BTC)

= 9o° + i^ — \m — i(ATB — BTC)

= 90° — O — \d) — ± (ATB — BTC) , TBC = 1 8o° — BTC — BCT = 1 8o° — BTC — 90° -^r~v — ~m — \d

= 900 + 7 f — {d — \m — BTC

= 909 — \m — \ d+ i ATB + f BTC — BTC

= 900 — \m — I d-\- - ( ATB — BTC )

Dans les équinoxes et les solstices,

BAT = 90' - Ip + 1 m — ^ = -\ m — 1 &

TBA devient 900 — — 76?); ces deux angles sont complémens l'un de l'autre ;

BCT devient — go° — - \m -f- \ d = | m-\-\ d; car ~ v = 900. TBC devient 900 — {^^-{-ï d) ; ces deux derniers angles sont encore complémens l'un de l'autre.

Connaissant ainsi tous les angles, il reste encore à calculer les cotes. Le triangle ABT donne

• A TT* • A "R • • • tî a T . TTT AB sinBAT asin j AFB sin BAT

sm A I B : AB : sm BA I : B 1 = — : — 7-^5— = • >tb

sinATB sinAlB 2sin^ AFB , , , . , j \

= -ihTÂTB-C0S(^-*m + ^^

Dans les e'quinoxes et les solstices,

BT = 2sinfAFBsin(i m — ±d)

— asin i AFB sin [ i (m' + ;«") — | f>' — m")] = 2SÏn± AFB sin( i /«' + i m" — a m' -j- i m") = asin^ AFB sin £ BFC.

Le triangle BTC donne

sin BTC : BC : : sinBCT : BT = BCsî^^2sin^BFCcos(^ >-~*4>

sin Bl C sin Al B

Dans les ëquinoxes et les solstices ,

BT = 2siniBFCsin(^?z + ^) = 2sin^BFCsin[im + ^(w' — m")] = 2sin^ BFC sin \ AFB.

Ces deux expressions sont identiques. On n'a jamais un besoin réel des côtés TA et TC. On les trouverait comme il suit Le triangle ABT donne

• irpu. in» • art-. AT AB sin ABT 2sin ± AFB sin ABT

sin ATB : AB :: sinABT : AT = — . .rrp = . > mp

sinATB sinAlB 2sin|AFB r , , , ,/N . , t r = ~7în"ÂTB C0S^ ( " ~ 9 V + ( 4 m— &<*)]•

Dans les ëquinoxes et les solstices,

AT = 2sin AFBsin(i/« — irf) = 2siniAFBsin[^(/n'+w")— K7»'— = asin^AFBcos^BC.

Le triangle ACT donne

• irrp. ir.. • irT.AT ACsinACT 2sin4AFC sin ACT smAlC: AC sinACl . Al = — — = — xtft;

sinAlC sinAlL 2sin^AFC v, . i j\ i i / / rr\i

LIVRE III DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. rsfl Dans les équinoxes, les sinus des angles ATC , ACT deviennent o, et la formule n'apprend plus rien.

Le triangle TBC donne

BC sin TBC asin i BFC sin TBC

sinBTC : BC : : sinTBC : TC =

sinBTC sinBTC 2sin i BFC

sin ATC : AC : : sinT AC : TC =

sin BTC AC sin TAC

cos^-K^wiy-O]

sin ATC

Dans les e'quinoxes et les solstices ,

TC = asin | BFC cos[^ m -J- ± (m'— m")] = ssin ± BFC cos ^ m' = asin i BFC cos | AFB ;

dans les équinoxes ,

AT— TC = 2siniAFBcos^BFC — 2C0s| AFBsin^BFC = 2sini(AFB — BFC), i (AT— TC) = sin £ (AFB — BFC) , | (AT+TC) = sin i (AFB -f- BFC).

Nous connaissons tous les côtés dont nous avons de doubles expressions; déterminons les trois équations du centre.

FBT = FBC— TBC = 90°— i BFC— 90°+ ^ m+ i d— 1 (ATB— BTC)

TAF = TAB — FAB = 900 — ±v +|>« — \d — 900 4- 1- AFB = \m— ^+i/»' = i™'+i;»"- > — ^ + 1»/

FCT = BCT — BCF =90° — \v -\-\ m+{d — 90°+^ BFC ±m + ±d.—±i>-t-i m" = \ m' + f ±, + ±d,

FCT — TAF = i m' + f /«" — } e -f- f d — | w'— i H- 1 d — 1 m"+ d = d—\ (m'— m").

FCT + TAF = ^ /«' -f- \ m' — ^ -f- \d + f m'+ — > — irf = m' -\- r?i" — fi z=i m — v.

Mais

FT FT sin TAF sin FCT sin TAF sin ATF m

A F CF sin ATF sin CTF °U sin FCT ' sin CTF '

d'o' tang l (FCT — TAF) tang^ (CTF — ATF) tang ^ (CTF — ATF)

tang i (FCT -|- TAF) ~~ tang ± (CTF -+- ATF) ~" * tang | ATC 9

tang|(CTF— ATF)=tangi(FCT— TAF)cot|(FCT+TAF)tar)giATC, tang^(CTR--ATR)=tang[^— ^(W— m'')] co1a tang ± v .

or CTC + ATR = ATC. On aura donc les deux dislances angulaires à l'apogée , c'est-à-dire CTR et ATR.

A l'équinoxe tangue = 00, tang [| d — \(rri — /w")]=o; l'équation ne pent être d'aucune utilité.

Avec les angles FBT, TAF, FCT, et les côtés qui renferment ces angles, on aura les deux angles inconnus dans chaque triangle , c'està-dire les six distances à l'apogée et l'excentricité, par trois moyens difîerens.

Appliquons ces formules aux exemples de Ptolémée.

Jiquinoxes et Solstices.

ABC = v = 1800. v' = v" = 90°.

AB — m' = 93° 9' | m' = 46° 34' 3o"

BC = m" = 91. 11 z m" = 45.35.3o

AB + BC = m = 184.20 \ v = 90

Smiro" = 45.35.3o.... 9.8539238 C. Sin^w' = 46.34.S0."... 0.1388990

tango.' =3 44 -Si- 56.... 9.9928228

cot(x+45°) = 89.3i.36 7.9170543

cot(£p — ~m) = 45-55. o.... 0.01G4270

lang^tZ = 0.29.30.... 7.9334813.

LIVRE III DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. 127 - On voit en effet que ^tf? = o° 29' 3o" = \{m' — ni'), et ce calcul préparatoire est inutile en ce cas.

ï{m'—nir)

= 45.35.3o = BAT