VI
9e orf8° .2m3c 2d r
Ces deux nombres étant composés de myriades, on fera attention aux points qui séparent les deux tranches.
On place, comme dans l'Arithmétique indienne, les quantités de même ordre les unes sous les autres, et l'on procède à l'addition, comme dans l'Arithmétique actuelle.
La seconde ligne ne contenant ni dixaines ni unités, l'addition de ces deux ordres se borne à prendre les nombres xct ou 2d.i°dela première ligne pour les porter à la troisième.
Les centaines offrent ^ et v, c'est-à-dire 9e + 4e = 1 3f = im-}-3?; je pose donc 5e et je retiens im que je porte à la colonne suivante. Là se trouvent y et », c'est-à-dire 3m-f- 8m= nm= i^-f- im qui, avec le
mille retenu, font 1 2m p= 1/ -f- 2m , je pose 2m et je retiens iy pour la seconde tranche.
ARITHMÉTIQUE DES GRECS. *5 Nous y trouvons d'abord £Mu , 7y et rien au-dessous ,• mais nous avons retenu une myriade, nous aurons n ou huit unités de myriades que nous poserons. Aux dixaines de myriades nous avons jx et 4rf et 6d= iod— i'o*. Nous laisserons vide la place des dixaines, et dans notre traduction, nous indiquerons ce vide par od. Dans le grec il n'y a pas de vide à conserver. Enfin aux centaines de myriades nous trouvons co = 8e et 1* que nous avons retenu; nous aurons donc ^ ou 9e et l'addition sera faite; elle a pour résultat ^ *i .(Bruct = 9e od 8° 2m 3e 2d 1° = 908.2321.
Cette addition est exactement celle de nos nombres complexes, elle est seulement plus facile, en ce que chaque unité d'un ordre quelconque vaut toujours dix unités de l'ordre immédiatement inférieur , avantage que n'avaient pas nos subdivisions anciennes de livres et de toises; mais d'un autre côté, elle a un embarras de plus dans les lettres différentes qui expriment un même nombre, selon qu'il appartient à l'ordre des unités, des dixaines, des centaines ou des mille.
Les points dans ma traduction , comme dans le grec , séparent les myriades ou nombres du second ordre d'avec les nombres de la première tranche à droite qui sont simples ou du premier ordre. Le point qui sépare les deux tranches avertit que les centaines, les dixaines., les unités de la seconde tranche à gauche sont des centaines , des dixaines et des unités de myriades.
Ceci bien conçu, quand nous aurons à répéter ou vérifier une addition grecque, nous pourrons sans scrupule la faire à notre manière moderne qui est bien plus expéditive.
On verra bientôt que les Grecs ne s'astreignaient pas toujours à placer leurs unités de différente espèce dans l'ordre le plus naturel; il n'y avait pour eux aucune nécessité , mais cette attention facilite beaucoup le calcul.
L'addition des quantités sexagésimales se faisait comme nous le pratiquons encore; il suffira d'un exemple tiré de Plolémée, p. 65, de l'édition de Bâle.
0 ief fxÇ cT m iv\ £
o°59' 8"i7"/i3,ïi2T3i" 0 14 47 4 J8 18 7
tfiy' ye'W'À*"*' A»vl
ie 1 3' 55" 21 "'3 ilv3ov 58vt
ï4 ASTRONOMIE ANCIENNE.
Exemple de la Soustraction. ( Eutocius , théorème III de la Mesure
du Cercle.)
fi.yv Q
kl* /l ■ 1 1 A ^%
7> Om2° 2d 70
Cet exemple n'offre aucune difficulté : le procédé est le même que dans notre système. On commence par la droite, et quand le nombre à soustraire est le plus grand des deux, on emprunte au nombre suivant à gauche une unité qui vaut dix. A la vérité , je n'ai vu ce précepte exprimé nulle part ; mais comme il est indépendant de la notation , et qu'il convient à celle des Grecs aussi bien qu'à la nôtre, nous devons croire qu'une idée aussi naturelle s'est présentée d'elle-même à l'esprit des anciens.
Soustraction sexagésimale. (Voyez la Syntaxe de Ptolémée,
pages 65 et 66.)
Cet exemple où les emprunts sont nécessaires d'un bout à l'autre, ne laisse aucun doute sur ce que nous disions à l'article précédent.
a." va iç" két /3V'
0 yttcT sca //3 vS* v«T xy
a0 iy' vé" xa'"Aa" ÀT A6'
Nous nous bornerons à ces exemples d'addition et de soustraction^ nous en aurons déplus curieux dans les multiplications et les divisions.
Nous voyons ici le zéro tenir la place des degrés qui manquent dans la seconde ligne. 11 est marqué comme chez nous , par le caractère o. Cette lettre dans l'Arithmétique grecque signifie 70. Il ne pourrait donc sans équivoque se placer dans les nombres décimaux ; ainsi, dans l'exemple ci-dessus jS.^oeS eût signifié 23479 et non 23409. Mais dans l'Arithmétique sexagésimale o ne peut rien signifier, puisque le nombre le plus fort est f» = 60. Cependant pour le distinguer on le couvre ordinairement d'un trait horizontal o. En effet, quand o se trouve aux degrés, il marquerait 70; et 2700 s'écrirait en grec co", mais la circonstance empêchera toujours la méprise. Or la lettre 0 micron = 70 est
ARITHMÉTIQUE DES GRECS. ,5 la première des lettres qui n'entrent pas dans les fractions sexagésimales, elle suit immédiatement £ qui signifie 60 et qui se rencontre souvent dans l'usage de ces fractions; tel paraît être le motif déterminant qui l'a fait choisir par les astronomes grecs pour le caractère du zéro; ainsi l'on peut assurer avec beaucoup de vraisemblance, que si les Grecs n'ont pas senti tout le parti que l'on pouvait tirer de leur zéro pour simplifier le système et la notation , c'est à eux cependant qu'on doit le caractère lui-même, dont nous nous servons encore, et peut-être aussi l'idée de l'employer à marquer l'absence d'un ordre de quantités.
Multiplication.
Les Grecs commençaient leurs multiplications par les chiffres de la gauche du multiplicateur; c'est une chose absolument indifférente, et nous le pratiquons encore quelquefois.
Ils prenaient aussi les chiffres du multiplicande en allant de gauche à droite pour l'ordinaire. Il y a pourtant des exemples desquels il résulte qu'ils commençaient quelquefois par la droite du multiplicande. Peut-être suivaient-ils cette marche quand ils opéraient sur de petits nombres.
Exemple tiré des Commentaires d'Eutocius , sur le théorème III de la
Mesure du Cercle.
py
ic 5* 3°
fvy
Ct.éT
TfvQ
3e ie 5' 90
f par f — et. ou 100 x joo = 10000 = 1^= a f par v = e ou 100 X 5o = 5ooo ss 5m= e,
/ par y x ou 100 X 5 = 3oo = 3f= t.
On place ces trois produits à la suite l'un de l'autre sur une première ligne, comme on le voit dans le grec et dans la traduction; et cela était facile, parce que ces trois produits sont chacun d'un seul chiffre en grec. H en sera de même dans la seconde ligne qui donne le produit
t6 ASTRONOMIE ANCIENNE.
du multiplicande par le second chiffre du multiplicateur. L'exemple prouve par sa disposition qu'on a dû commencer par la gauche , suivons cette marche.
v par / valent e ou 5o x 100 = 5ooo r= 5m = e; on pose e ou 5"1. v par v valent @<p ou 5o x 5o = 25oo = 2m 5e /3p; on pose @<p à la
suite de e, quoique jô et e soient des quantités du même ordre, c'està-dire des mille. Nous les placerions l'une sous l'autre, et les Grecs auraient pu le faire de même.
v par y valent fv ou 5o x 3 = i5o = ic -\-5d; on pose encore fv à la suite. Il reste à faire le produit du troisième chiffre y par le multiplicande.
y par / valent r ou 3 x 100 = 3oo = 3e; on place r dans la 38 ligne y par v valent fv ou 3 x 5o = i5o = i'-j- 5d ; on place ces deux
nombres à la suite de r ou de 0e.
y par y valent 9 ou 3 X 5 = 9; on place 6 ou 90 à la suite des produits prêcédens, et la multiplication est faite, il ne manque plus que l'addition. Il paraît qu'elle a été commencée par la droite.
Dans cet amas de produits, qui ne sont pas très-bien ordonnés, on voit que 6 = 9° est le seul chiffre d'unités , on le portera donc à la Somme et à droite.
En dixaines nous n'avons que v = 5o, mais il s'y trouve deux fois; v et v valent f = 1% il n'y aura donc rien aux dixaines et nous retiendrons ic.
Pour les centaines nous avons d'abord celle que nous venons de retenir, puis 2 fois f ou 2 fois 100; total jusqu'ici 3oo, puis 2 fois r = 3oo ou 600 , total 900 =j 9e; mais il reste encore (p = 5oo = 5e, total des centaines 14e; on posera donc u = 4r et l'on retiendra et —
A ce mille retenu ajoutons deux jS = 2m et deux fois e = 5"' ou
iOm= iy, nous aurons en somme i3m= iy.3'n = a.^; enfin nous avons
c. = im, le nombre des myriades sera donc /3 ou 2y, et la somme totale
Cet exemple est copié fidèlement dans Eulocius, qui ne donne d'ailleurs aucune explication; mais la disposition prouve que Ton faisait séparément tous les produits, qu'on les posait sans rien retenir, et qu'on mettait dans une même ligne séparée les produits du multiplicande par chacun des chiffres du multiplicateur.
ARITHMÉTIQUE DES GRECS. \7 On voit encore dans l'édition de Bàle, pag. 5i , que les Grecs indiquaient la somme ou le total par la lettre ô traversée d'un ou de deux traits obliques ; enfin que les Grecs ne mettaient pas de filets pour séparer l'addition d'avec les produits partiels de la multiplication.
Autre exemple tiré du même endroit, et qui confirme tout ce que nous avons dit sur le premier.
tpoa.
tpoct
<pÔ«B
On a mis séparément dans une première ligne les produits 5cx5c = 25% 5cX7a = ^5m, 5exi° = 5% puis dans une seconde ligne
et enfin dans une troisième
(5e f i°) X i°= 5e f i°; car l'unité prise pour facteur ne change rien au multiplicande ; après quoi vient l'addition.
On voit donc clairement dans ces exemples la manière des Grecs ; elle est plus facile que la nôtre, moins sujette à erreur, mais plus longue. Rien ne nous empêcherait de la suivre en disposant le calcul comme on va voir
Hist. de l'Ast. anc. Tom. II.
produits par 5oo.
produits par 70.
produits par 1.
La multiplication numérique des Grecs est la même que notre multiplication algébrique, où l'on fait d'abord tous les produits partiels d'une manière isolée, ensuite on réduit et l'on ordonne.
Exemple de multiplication où les deux facteurs sont fractionnaires. (EutociuSj Mesure du Cercle, théorème IV.)
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im8c 3d 8° A
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