CHAPITRE PREMIER

Arithmétique des Grecs.

Les Grecs n'avaient pas eu cette idée si heureuse et si féconde, que nous tenons des Arabes, qui pai'aissent l'avoir reçue des Indiens, et qui fait qu'avec 9 chiffres, dont la valeur augmente en progression décuple, à mesure qu'on les avance vers la gauche, nous sommes en état d'exprimer commodément les nombres les plus considérables.

La supériorité du système arithmétique des Indiens est si marquée,' qu'elle a fait oublier entièrement les méthodes des Anciens. Les faibles vestiges qui nous en restent sont épars dans des ouvrages qui n'ont pas été traduits , ou dont les traductions sont rares et ignorées. Les traducteurs se sont même contentés de nous donner, en chiffres arabes, l'équivalent à peu près de ce qui est dans le texte grec , s'embarrassant fort peu de montrer la marche et l'esprit de l'opération ; ensorte qu'à l'exception d'un petit nombre de lecteurs qui ont pu consulter les originaux, on peut dire avec quelque vraisemblance, que personne n'a une idée même incomplète de l'Arithmétique grecque. Les Mémoires de l'Académie des Inscriptions et Belles - Lettres renferment à la véxùté une Histoire de l'Arithmétique ancienne; mais on n'y trouve que quelques idées sur l'usage des jetons dans les calculs, et rien sur l'Arithmétique écrite.

Une réflexion nous porte à croire que les monumens de ces méthodes abandonnées doivent être infiniment rares ; c'est qu'aucun de nos savans antiquaires ne les a choisis pour objet de ses recherches. Cependant nous avons la certitude qu'en Géométrie, et surtout en Astronomie , les Anciens ont exécuté des calculs assez considérables. Leurs moyens sans doute étaient fort inférieurs à ceux que nous pourrions employer aujourd'hui pour les mêmes problèmes; mais cette considération même peut donner quelqu'intérêt aux recherches suivantes, entreprises en 1804, et qui ont paru à la suite de la traduction des (Euvres d'Archimède x par M. Peyrard.

Les auteurs qui nous ont conservé les notions recueillies dans ce Chapitre, sont : Archimède, dans sa Mesure du Cercle et dans son Arénaire ou Sablier Ç^ctjujuirnç) ; Eutocius, dans les Commentaires grecs qu'il nous a laisse's sur ces ouvrages; Ptolémée , qui, dans sa Grande composition , ou sa Syntaxe mathématique , nous a donné des Tables des cordes, des Tables de déclinaison, de latitude, d'équation du centre, pour le Soleil et les planètes, avec les méthodes qui avaient servi à les construire; Théon, dans ses Commentaires grecs sur la Syntaxe de Ptoléme'e; et enfin Pappus, dans un Fragment publié par Wallis , dans le tome III de ses Œuvres. Les deux premiers Livres de Pappus traitaient particulièrement de l'Arithmétique, et nous y aurions peut-être trouvé les préceptes et les méthodes d'après lesquelles les Grecs exécutaient leurs opérations numériques, c'est-à-dire l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction des racines; mais ces livres sont perdus, il n'en reste que le fragment dont nous venons de parler. J'ai vainement consulté tous les ouvrages où j'espérais trouver des reuseignemens utiles; j'ai lu en entier l'Arithmétique de Nicomaque,- NIKOMAXOT TEPA2IN0T API0MHTIRH2 BIBAI A ATO, Paris, i558; le Traité qui porte pour titre: Q&oXoyovfAîvct rUè afSu,yirix,nç; celui de Psellus, Arithmetica ,Musicaet Geometria ; celui de Camerarius, de grœcis latinisque numerorum notis , et prœterea saraceniei.t seu indicis cum indicio elemenlorum ejus quam Logisticen Grœci nominant ; les six Livres de Barlaam , Kifi Acy;crrtxiiç ctjrfovcp,ixijç , de la Logistique astronomique. On voit dans tous ces auteurs des idées sur la composition des nombres, sur les moyens de trouver les nombres premiers, sur les raisons, sur les proportions, sur les nombres figurés, sur quelques solides employés dans le toisé ; Barlaam consacre un Livre tout entier au calcul sexagésimal des astronomes, mais il n'y enseigne qu'une chose, c'est l'espèce ou Tordre de la fraction sexagésimale qui résultera de la multiplication et de la division de plusieurs fractions sexagésimales enlr'elles, et nous pouvons renfermer toutes ses propositions dans une formule unique, ce qui fait que tout son Livre, assez obscur d'ailleurs, est aujourd'hui complètement inutile , en ce qu'il ne contient que des idées métaphysiques dont la pratique peut aisément se passer. Je n'ai donc trouvé rien absolument de ce que je cherchais. Tous ces écrivains supposent à leurs lecteurs la connaissance des règles usuelles de l'Arithmétique.

J'avais même entrepris quelques recherches dans les manuscrits de

ARITHMÉTIQUE DES GRECS. 5 la Bibliothèque du Roi. Parquoy, savant aussi estimable que modeste, a bien voulu les continuer, mais sans aucun succès. Il n'a pu trouver que trois exemples de division pour calculer l'indiction d'une année quelconque , et dans lesquels on n'avait par conséquent à opérer que sur des nombres trop peu considérables pour qu'il en résultât de grandes lumières. Nous en donnerons ici de plus importans et desquels nous pourrons tirer un traité complet des cinq opérations auxquelles se réduit toute l'Arithmétique.

Si la notation des Grecs était beaucoup moins simple que la nôtre, elle était du moins fort régulière. Au

lieu des caractères i ; 2, 3, 4» 5, 6, 7> ^ et 9»

ils avaient, pour exprimer les unités,

les lettres a, /3, y, cT, g, ç, Ç , » et 9.

Au lieu de les employer également pour les dixaines, ils se servaient de

ces autres lettres 1, x, X, jtt, v, 0 , nt et

Pour les centaines , ils prenaient. . . / , cr, t, u , <p, %, a et ^; mais c'est à cela que se bornaient tous leurs chiffres.

Pour les mille , ils employaient. . . a, /3, y, eP, e, ç, £ , >i et 0,

c'est-à-dire qu'ils avaient recours aux caractères des unités simples , avec cette seule différence, que pour les distinguer ils y joignaient l'iota souscrit, ou bien qu'ils les marquaient d'un trait par-dessous.

Avant d'aller plus loin, remarquons le rapport constant qui règne entre les quatre caractères qu'on voit ici placés dans chaque colonne verticale ,

et, /, / et a, qui valent 1 , 10, 100, rooo.

On voit qu'ils forment une progression géométrique dont la raison est 10 ; il en est de même des nombres

/3, jc, <r, )Ô ou 2, 20, 200, 2000, y r X$ t, y ou 5 , 5o , 3oo, 5ooo ,

et de tous les autres.

Les Grecs avaient remarqué ce rapport, et ils avaient des mots pour' exprimer la relation de ces nombres. Les nombres de la première rangée horizontale, c'est-à-dire les simples unités et, /3, yy etc. étaient

appelés les fonds (•rirvâ^weç) des nombres de dixaines, de centaines et de mille, et ces derniers s'appelaient les analogues de ceux auxquels ils correspondent parmi les unités. Dans certains cas, on ope'rait sur les fonds au lieu d'opérer sur les analogues; après quoi, à l'aide de quelques théorèmes, on ramenait le résultat du calcul à celui qu'on aurait trouvé en opérant sur les analogues eux-mêmes, en suivant les règles ordinaires de l'Arithmétique.

Avec les caractères qu'on vient de voir, les Grecs pouvaient exprimer un nombre quelconque au-dessous de ioooo, oii d'une myriade. Ainsi 0 3. ^6 signifiaient 9999, valaient 7382 , viXç marquaient 8o56;

çuz , 6420 ; dot, 4001 ; et ainsi des autres.

Pour exprimer une myriade ou 10000, on aurait pu mettre un trait sous la lettre /, qui par elle-même vaut 10, et cette notation est en effet indiquée dans quelques Lexiques , mais je ne vois pas qu'elle ait été employée par les géomètres.

Pour indiquer un nombre de myriades , on se servait de la lettre initiale M, surmontée du nombre en question. Ainsi

M, M, M, M, etc.

valaient

10000, 20000, 3oooo, 4°o°°>

M valaient 5j myriades, ou 370000, M exprimaient 4^720000, ou 4372 myriades, et en général, la lettre M mise au-dessous d'un nombre quelconque, produisait le même effet que nous produisons en mettant quatre zéros à la suite de ce nombre.

Cette notation est celle qu'Eulocius emploie dans ses Commentaires sur Archimède ; elle était peu commode pour le calcul.

Pour désigner les myriades, Diophante et Pappus se servent des deux lettres initiales Mu, placées après le nombre. Ainsi ctMvt /3Mu, yMv, etc. représentaient 10000, 20000, 3oooo, etc.; cfrojfiMu r,(£ valaient 4^72 myriades 8097 unités, ou 42728097. Cette manière ressemble à celle que nous employons pour les nombres complexes , comme 4 toises 5 pieds G pouces.

Les mêmes auteurs emploient encore une notation bien plus simple; c'est de remplacer par un point les initiales Mu; ainsi eTrc/3.>ic£ valaient

aussi 4^728097.

ARITHMÉTIQUE DES GRECS. 7 Les Grecs pouvaient ainsi noter jusqu'à 9999-9999, qu'ils écrivaient ô^ô.ô^ô; une unité de plus aurait fait une myriade de myriades,

qui, dans notre système, vaut 1. 0000. 0000, ou (1 0000)% ou cent millions. C'était là que se bornait l'Arithmétique des Grecs, et celte étendue leur suffisait de reste, parce que leurs unités de compte , telles que le talent, le stade, étaient plus fortes que nos unités ordinaires, la livre ou la toise. Il n'y avait donc guère que les géomètres et les astronomes qui pussent quelquefois se trouver trop à l'étroit entre ces limites. Par exemple, Archimède, dans son Avénaire , ayant à exprimer le nombre des grains de sable que contiendrait une sphère qui aurait pour diamètre la distance de la Terre aux étoiles fixes , et ce nombre étant, d'après lui, tel qu'il nous faudrait, pour l'exprimer dans notre système, un nombre de 64 figures; Archimède, dis-je, se vit obligé de prolonger indéfiniment la notation arithmétique des Grecs.

Nous avons dit que cette notation avait pour limite la myriade de myriades, ou cent millions. Archimède imagina de prendre cette myriade carrée pour une unité nouvelle , et les nombres de ces unités nouvelles , il les appelle nombres du second ordre.

De cette manière il exprimait tous les nombres qui, dans notre système, s'expriment avec 16 chiffres.

Prenant ensuite pour unité nouvelle l'unité suivie de 16 zéros, ou la quatrième puissance de la myriade , il en forma ses nombres du troisième ordre.

L'unité suivie de 24 zéros , ou la sixième puissance de la myriade , compose pareillement les nombres du quatrième ordre.

En général, en prenant pour unité la puissance 211 de la myriade, il en forma des nombres de l'ordre (rc-f-i).

Supposons ;z = 8, in — 16; l'unité suivie de 16 fois 4 zéros, ou de 64 zéros , composera les nombres de l'ordre neuvième ou (8 -f- 1), dont le plus petit aura 65 figures. Ainsi pour aller à 64 figures, Archimède n'avait besoin que des nombres du huitième ordre.

Cette notation , imaginée pour un cas tout particulier, ne fut, suivant toute apparence, employée que cette seule fois, et même elle ne le fut pas réellement. En effet, Archimède se contenta d'indiquer les opérations, sans en exécuter aucune. Après avoir évalué la sphère dont le diamètre est d'un quarantième de doigt, il en conclut d'abord celle d'un doigt, puis celle de 100 doigts, de 10000 doigts, d'un stade , de

ioo stades, de ioooo stades, et ainsi de suite , en centuplant toujours le diamètre ; d'où il suit que les capacités , qui sont en raison triplée des diamètres, se trouveraient dans notre système, en ajoutante zéros à chaque opération.

La chose est un peu moins facile dans le système des Grecs; mais on conçoit qu'à l'aide de quelques lemmes , il a pu déterminer à quel ordre monterait le produit de deux facteurs dont les ordres seraient connus. Il ne faut qu'un seul de ces lemmes, quand les deux facteurs sont des puissances de l'unité; c'est-à-dire, dans notre système, quand ils ne sont tous deux que l'unité suivie de plus ou moins de zéros. Ce lemme, dans ce cas, est extrêmement simple, et le voici:

Soit l'unité suivie de tous ses analogues, c'est-à-dire a, /, f , a, «Mu , ou i , 10, 100, iooo, 10000 , etc.; soit n le numéro d'un terme quelconque de cette progression, m le numéro d'un autre terme aussi quelconque, le produit sera un terme de la même progression , celui des zéros du terme n sera (11 — i); celui des zéros du terme m sera (m — i) ; le nombre des zéros du produit sera {ni — i-j-n— i)=(m-j-n — 2) = somme des zéros des deux facteurs.

Archimède démontre ce théorème, mais il ne donne que celui-là. Quelques personnes ont cru y voir l'idée des logarithmes; mais Archimède lie fait mention que des nombres entiers de la progression 1, 10, 100, etc., et ne dit rien qui puisse nous faire penser qu'il ait même entrevu la possibilité ou l'utilité d'intercaler entre ces nombres d'autres nombres fractionnaires qui approcheraient, autant qu'on le jugerait nécessaire, d'être égaux aux nombres de la suite naturelle, ensorte qu'il fût possible de substituer Faddition de leurs numéros d'ordre dans la progression , à la multiplication des deux nombres mêmes ; il n'a pas même étendu son idée à la soustraction, qui aurait pu remplacer la division; enfin il était si éloigné d'envisager cette idée comme devant être utile dans les calculs pratiques, qu'il paraît au contraire évident qu'elle n'a été pour lui-même qu'un moyen de se dispenser du calcul, et non pas un moyen de rendre les calculs plus faciles.

La progression employée par Archimède est donc

a, 1 f a. «Mu Mu /Mu

1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 10000000, etc.

Si, pour plus de simplicité, il eût écrit et a et , etc., il eût trouvé

quelque chose d'à peu près semblable à aotre Arithmétique, ou du moins

ARITHMÉTIQUE DES GRECS. 9 les trails souscrits eussent été chacun l'équivalent de 8 de nos zéros; cependant, pour compléter la découverte, il eût fallu supprimer les traits, et dire que l'ordre des unités serait déterminé par le rang que le nombre occuperait ; il fallait encore faire monter l'ordre d'une unité , non pas pour 8 zéros de plus, mais pour un seul ; enfin il aurait fallu, de plus, imaginer un caractère pour remplir les laces vacantes.

Ce qu'il n'a pas imaginé pour la série ascendante, les astronomes l'ont imaginé pour la série descendante, et", et', a!', a!", a,T, etc. formaient en effet une progression géométrique; mais la raison est et non

10 ou &

En outre de la progression ci-dessus , on avait de même

20 2' 2" 2"' 2,Y etc.

Les différens termes de cette progression étaient le plus souvent composés de deux chiffres; on ne pouvait donc pas supprimer les signes °, ", ,v, etc. qui marquaient leur ordre , et rendre la valeur du terme dépendante du rang qu'il occupait dans la série ; il aurait fallu pour cela 59 caractères au lieu de 9. On ne pouvait donc de ce côté arriver à notre Arithmétique : on en était plus voisin en s'arrêtant à l'idée d'Archimède. Apollonius, au rapport de Pappus, y fil quelques changemens heureux. Au lieu de ces ordres ou tranches composées de 8 chiffres, et qu'Archimède nommait pour cette raison des octades , il imagina de ne composer ses tranches que de 4 chiffres;

11 aurait pu les nommer des tétrades. La première tranche à droite était celle des unités , la seconde en allant vers la gauche était celle des myriades simples , la troisième celle des myriades doubles ou du second ordre, et ainsi de suite à l'infini; ensorle qu'en général la tranche du numéro n contenait les myriades de l'ordre (n — 1). Ainsi à chaque tranche on voyait reparaître les mêmes quatre caractères usités chez les Grecs, mais avec une valeur toujours croissante et proportionnelle aux puissances successives de la myriade. De cette manière , Apollonius aurait pu écrire tout ce que sait exprimer notre numération ; et pour en donner un exemple, prenons la circonférence du cercle dont le diamètre est une myriade du neuvième ordre ; la circonférence sera

y . auiê . 67^6 . ^tp^ô . £ ^ A/3 . ya/uç . @%^y • >a>A/3 . £ ^ » . $(*>7r£

3 .1415.9265.3589. 7932 . 3846 . 2643 . 3832 .7950. 2884. Bis t. de l'Ast. anc. Tom. II. 2

,o ASTRONOMIE ANCIENNE.

Il n'y avait plus qu'un pas à faire de cette Arithmétique à la nôtre; il fallait faire pour les simples dixaines ce qu'on avait fait pour les dixaines de mille.

Il paraît que c'est encore à Apollonius qu'on était redevable d'un autre changement dans l'Arithmétique des Grecs. Nous avons déjà dit qu'au nombre de dixaines, de centaines ou de mille, on substituait quelquefois les unités qui leur correspondaient ; par exemple , si l'on avait à multiplier 5o par 400> °u v Par v > au nombre v =4°° on substituait «T ou 4, qui en élait le fond. Au nombre 5o ou v on substituait le fond £ ou 5. On multipliait donc 5 par 4; le produit était x ou 20; mais on avait rendu l'un des facteurs cent fois trop petit , et l'autre dix fois trop petit; le produit était donc 100X 10 = 1000 fois trop petit; il fallait donc le multiplier par 1000. Au lieu de 20 on avait 20000, ou 2 myriades.

C'était un acheminement vers notre Arithmétique; mais comme les Grecs ne faisaient là aucun usage du zéro, au lieu d'une règle unique, qui nous suffirait dans ce cas , et qui serait de mettre à la suite du produit un nombre de zéros égal au nombre des zéros négligés dans l'un et l'autre facteur, il leur fallait une douzaine de théorèmes diflerens pour déterminer^ dans tous les cas, l'espèce du produit.

Ces théorèmes nous ont été conservés par Pappus et publiés par Wallis; pour nous les démontrer tous, il nous suffit de les écrire avec nos caractères arithmétiques. Nous ne rapporterons donc pas ces théorèmes ; ceux qui en seraient curieux peuvent consulter le tome III des (Euvres de Wallis.

Le zéro n'était pourtant pas tout-à-fait inusité chez les Grecs. On le trouve dans Ptolémée, mais seulement dans l'usage des fractions sexagésimales ; son emploi se borne à tenir la place d'un ordre sexagésimal qui manque entièrement. Ainsi dans la Table des déclinaisons des points de l'écîiplique , c° xcT' iç" signifiaient o° 24' 16"; ç° 0 Xct" valaient 6° o' 5i", xu° fia.' 0" exprimaient 210 41' o".

Le zéro, en grec, se nommait rÇitpfx, d'où vient le mot chiffre ; mais r'Qtpfu, ne se trouve, à ma connaissance, que dans le Traité de l'Arithmétique indienne de Planude , qui écrivait dans le quatorzième siècle. Ce mot a l'air un peu barbare, et je ne l'ai vu dans aucun auteur ancien. A l'article Planude nous avons dit que ce mot est arabe.

Ainsi chez les Grecs le zéro était tout seul , jamais il ne se combinait avec un autre chiffre pour en changer la valeur. Comme dans chaque

ARITHMÉTIQUE DES GRECS. , t

tranche de 4^gures> au plus, les nombres avaient leur valeur propre , indépendante de la place qu'ils y occupaient, le zéro devenait alors inutile, et les tranches, au lieu d'être constamment de 4 chiffres, n'eu avaient quelquefois que 3, 2, ou même un seul.

Ainsi, pour exprimer le nombre 3479. Soi 2 .6008. 7000, les Grecs auraient écrit yuoQ . eifi .' çv[,'. £,

et ils n'auraient écrit que io figures au lieu de 16 que nous aurions en mettant des zéros à toutes les places vides.

Quand la tranche des unités manquait entièrement , on l'indiquait en écrivant Mu à la place de cette tranche, et ce signe montrait que le nombre précédent avait des myriades pour unités. Si deux ou plusieurs tranches manquaient à la droite, on y mettait autant de fois Mu; ainsi

pour exprimer 37.0000.0000.0000.0000,

les Grecs écrivaient ÂÇ. Mu . Mu . Mu . Mu ,

c'est-à-dire 37 myriades du quatrième degré. Voyez Pappus, dans les (Euvres de Wallis.

Le caractère M°, employé par Diophante et Eutocius, indique des monades, c'est-à-dire des unités; ainsi M°za signifie unités ai.

Il nous reste à dire comment les Grecs écrivaient les fractions.

Un trait placé à la droite d'un nombre et vers le haut, faisait de ce nombre le dénominateur d'une fraction dont l'unité e'tait le numérateur. Ainsi y' , S'=\y %J"'= /za'= jj-j-. La fraction gavait un caractère particulier C ou <, et un caractère qui ressemblait beaucoup à notre K.

Quand le numérateur était autre que l'unité , le dénominateur se plaçait comme nos exposans. Ainsi i5Si =^-f = ie£*; 7^7 s'écrivait £/"<*, et l'on trouve dans Diophante, livre IV, quest. 46, la fraction

On trouve dans Ptolémée des fractions autrement indiquées. 2 parties

signifientf, 3 parties = | , 4 parties= | , etc. , n parties = — ^— ; mais

nous verrons plus d'une fois que, par la faute des copistes, sans doute, ces manières de noter les fractions amènent des doutes que le calcul seul pourrait lever, et qu'il ne lève pas toujours.

Pour mieux entendre ce qui suit, le plus sûr serait de se familiariser

tu ASTRONOMIE ANCIENNE,

avec les 36 caractères grées. Cependant, pour ceux qui ne voudraient pas prendre cette peine, je traduirai en chiffres arabes tous les exemples de calculs que je donnerai : le moyen est bien simple c'est d'imiter ce que nous faisions dans nos opérations complexes, avant rétablissement du système métrique décimal. Soient y le signe des myriades , m celui des mille, c celui des centaines, d celui des dixaines , o celui des monades ou des unités; le nombre y.a-\>oé} ou 31775 pourra s'écrire

$y jm jd

Celte notation, à laquelle nous sommes d'avance familiarisés, nous suffira pour tout traduire fidèlement ei refaire toutes les opérations de 1 Arithmétique des Grecs.

Nous allons ainsi donner des exemples de toutes les opérations de l'Arithmétique, soit dans la numération décimale, soit dans la numération sexagésimale, qui était seule employée dans les calculs astronomiques.

Exemple de l'Addition , tiré d'Eutocius , sur le théorème IV de la Mesure du Cercle d'Archimède.

oùfx'Ç .y ^y.ct

8e 4d7° .3mç/ 2d i°