C. sin 1" 5. 5i4425i

C'est la plus grande équation.

Longitude du point D 110. o. o

DBR 10. o.5i

apogée 99 .5g. 9.

Voyez l'Astronomie de Tacquet, page 245. Retournons à Ptole'mée (fïg. 55).

Nous savons le lems écoulé de A en H, puisque nous connaissons Ab et bH ; nous aurons le tems où le Soleil était en H , c'est-à-dire apogée, et combien de lems s'était écoulé depuis l'équinoxe A.

L'excentricité est encore le sinus de la plus grande équation , c'est le sinus de 2° 22' 46". Ptole'mée trouve 20 25' en ne calculant que les minutes ; c'est l'angle DBE (fig. 56) : mais DEB=9o° ; ainsi l'angle extérieur ADB= 920 22' 46". Ainsi quand le Soleil nous paraît à 900 de l'apogée , il en est véritablement à 920 22' 46". Nous saurons le tems de la plus grande équation , soit en B , soit en B'.

BDE = 87°57' 14", BDB'== i75° 14' 28" et B'AB = 1 84° 45' 3a" les tems de BGB' et de B'AB seront proportionnels à ces angles. Longitude apogée. .. . 2-r5°35' 5"

ADB 5.2.22.46

Longitude du point B. .. . 5.j.5j.5i Longitude du point B' . . . 1 1 . 3 . 1 2 . 19.

i3ô ASTRONOMIE ANCIENNE.

La plus grande équal.aura donc lieu à 92° 23' d'an. m. , et go° d'an, vraie.

267° 37' d'an. m., et27o°d'an. vraie.

Il faut remarquer que selon le langage moderne , nous appelons anomalie la distance à l'apogée ou l'arc qui sert à calculer l'équation , au lieu que les Grecs, avec plus de justesse, désignaient par ce mot anomalie 9 l'inégalité elle-même.

Ptolémée fait ensuite le calcul dans l'hypothèse de l'épicycle, pour' démontrer numériquement l'identité des deux hypothèses.

Il enseigne ensuite à calculer l'équation pour tous les degrés d'anomalie, le tout dans les deux hypothèses.

Soit AZ (fîg. 37 ) la distance à l'apogée , ZT la distance moyenne , D la Terre , T le centre du cercle. Sur Z>T prolongé , abaissez la perpendiculaire DK..

Dans le triangle DKT, vous connaîtrez l'hypoténuse DT, l'angle T , et vous aurez

TR = DT cos T — e cos 4 et DK = e sin 4 ;

ZD* = (ZT + TR)*+ RDa = i + 2e cos 4 -f- e2 cos* 4 + e2 sin1 4

= 1 -f- ie cos 4 + e*

. r-r DK e sin 4' sm Z = = r ;

( 1 -(- 2e cos -f- e1 )a

vous aurez donc la distance ZD et l'équation DZT. Nous ferions plus simplement

* e sin ^ i-f-ecosv}.

lane Z == — : r et Lu = ,

a 1 -f- e cos y cos z *

„ e sin 4- e2 sin . e3 sin 34'

Li = — : — — : Ti • IziT etC.

sin i sin 2 sin û

Si l'anomalie vraie ADZ était donnée, nous ferions

ZT : sin D :: TD : sin Z = DT sin D = e sin u.

Ptolémée fait l'équivalent avec les cordes, mais il cherche d'abord TL par le triangle TLD, et 7j par le triangle TZL ; il détermine ensuite DL et ZL, d'où il conclut ZD.

D'après ces règles et après beaucoup de détails qui ne nous apprendraient rien de nouveau , il donne la Table de l'équation pour les

LIVRE III DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. i37 distances moyennes à l'apogée de 6 en 6° dans le premier quart, et de 3 en 3° dans le second.

Il reste à de'terminer l'époque; il suffît pour cela de calculer l'équation pour l'instant d'un équinoxe observé; on change par là une longitude apparente o° ou i8o° en une longitude moyenne, une anomalie apparente en une anomalie moyenne ; après quoi , parles moyens mouvemens, on ramène cette longitude et cette anomalie à l'époque qu'on veut donner à ses Tables.

Ptolémée choisit la première année de Nabonassar.

Cette époque précède la mort d'Alexandre, de 424 ans*

De la mort d'Alexandre jusqu'au règne d'Auguste, il compte 294 Le jour de l'observation, 7 d'athyr, 17e d'Antonin, suivait de 161

Ainsi du premier de Nabonassar au jour de l'observation. . . . 87g. Il faut y ajouter 66 jours et 2 heures équinoxiales. Dans cet intervalle, le mouvement moyen est de. . . 2ii°25' Retranchez de la distance à l'apogée 116.4°

Dislance à l'apogée pour l'an 1" de Nabonassar. . . 265. i5 Lieu de l'apogée 65. 5o

Longitude moyenne du Soleil pour l'an Ier 350.45.

Ainsi toutes les fois qu'on voudra calculer le lieu du Soleil pour un instant donné depuis Nabonassar, à l'anomalie 205° i5', on ajoutera les mouvemens moyens dans l'intervalle ; la somme donnera l'anomalie , à laquelle on ajoutera 65° 3o', pour avoir la longitude moyenne. Avec l'anomalie , c'est-à-dire la distance à l'apogée trouvée par le calcul précédent, on cherchera l'équation ou la prostaphérèse qui sera soustractive dans la première moitié de l'argument, et qui sera additive dans lâ seconde, On aura ainsi la longitude apparente.

Voilà donc des Tables du Soleil tirées en entier des observations de Ptolémée.

Il a déterminé la durée de l'année par ses propres équinoxes comparés à ceuxd'Hipparque ; et comme ce célèbre astronome, il a trouvé la durée de l'année de 565> ± — ; il en a déduit les mouvemens moyens un peu trop faibles , puisque son année était trop longue. Comme Hipparque, il a trouvé 94 t et 92 | pour l'intervalle entre les équinoxes et un solstice; comme lui il a dû trouver l'excentricité et l'équation du centre un peu trop forte ; car elle est selon lui de 20 23'; ce qui ferait environ 28'

Hist. de VAsL anc. Tom. II. 18

i38 ASTRONOMIE ANCIENNE.

Je trop , si la diminution continuelle de l'excentricité qui a dû avoir lieu depuis 1700 ans, ne corrigeait une petite partie de l'erreur. Avec son équation etson observation d'équinoxe, il a calculé la longitude moyenne; il a déterminé l'époque de Nabonassar; mais Terreur des moyens mouvemens qui rendrait cette époque un peu trop forte , n'aurait aucun inconvénient pour l'époque où il a vécu. Les erreurs qu'il pouvait avoir dans ses lieux du Soleil pour en déduire ceux des étoiles se composaient de l'erreur de son équinoxe et de celle du mouvement dans un petit nombre d'années. L'erreur de l'équation variait et changeait même de signe , suivant les saisons ; il n'en résultait donc pas d'erreur constante pour toutes les étoiles , mais une erreur variable pour chacune des étoiles en particulier.

Il a trouvé pour l'apogée la même position relativement aux points solsticiaux et équinoxiaux, ce qui donne à l'apogée le même mouvement qu'aux points équinoxiaux; c'est-à-dire 56" par an, suivant l'idée de Plolémée, mais 5o" en effet. Or ce mouvement est plus grand de 11 à 12" pour l'apogée , ce qui ferait /fi' j pour l'intervalle entre Hipparque et Ptolémée. Il n'a pas vu ce mouvement de 48' { ; il faut donc qu'Hipparque, ou lui , ou tous les deux pour leur part , aient commis cette erreur. Mais de toute manière , les Tables de Ptolémée devaient être bonnes pour son tems, ou bien être affectées d'erreurs qu'il ne pouvait rejeter sur un autre, îl y a un autre malheur à ses trois équinoxes ; deux sont en erreur d'un jour, ce qui a fait penser qu'il n'a point observé, que ses Tables ne sont point à lui , et il y a grande apparence qu'on en doit dire autant de son Catalogue. Nous reviendrons sur ce point au Livre des Etoiles.

Remarquez en passant que les Grecs n'exprimaient les longitudes des planètes qu'en degrés et non en signes de oo3. Ils n'employaient les caractères symboliques des constellations que pour les étoiles, ce qui était bon au tems d'Hipparque , où les constellations répondaient en effet aux signes auxquels elles donnaient leurs noms ; cette notation a cessé d'être juste depuis long-tems.

Pour achever ce qui reste à dire sur la théorie du Soleil, Ptolémée s'occupe de l'inégalité des nychthémères ou nui t-j ours , car les Tables supposent nécessairement des jours d'égale durée; et dans la réalité y ils ont une inégalité trop sensible pour être négligés.

La révolution du ciel étoilé est uniforme; le même point de l'équateur emploie toujours le même tems à revenir au méridien et même à un horizon quelconque. Le jour égal ou moyen suppose que 56o° 5g' 8" ont

LIVRE III DE LA SYNTAXE MATHEMATIQUE. i5g passé au méridien. Le jour vrai est le tems du passage au méridien de 36o°, plus le mouvement diurne du Soleil en ascension droite, dans l'intervalle entre deux passages consécutifs du Soleil. Ce mouvement est inégal pour deux raisons; d'abord il l'est en lui-même à cause de l'équation du centre, quand on le compte le long de l'écliptique; il l'est encore pour une autre raison, quand on le rapporte à l'équateur , parce que deux arcs égaux de l'écliptique n'emploient pas toujours le même lems à traverser le méridien ; la variation serait bien plus grande pour l'horizon. La différence d'un jour quelconque au jour suivant est peu de chose; Ptolémée dit qu'elle est insensible ; elle l'était à peu près , puisqu'elle ne surpasse jamais 3o'' de tems; mais elle s'accumule, et il n'est pas permis de la négliger.

L'équation étant de 2*25' selon Ptoîémée , la différence du tems moyen au tems vrai peut aller pour cette raison à 9' 32" de tems. Mais voici le calcul de Ptolémée.

L'équation est de 2.22.45,

elle est soustractive à 91°, et additive à 2690.

Le double est de 4-45.3o,

et c'est la différence des mouvemens vrais aux mouvemens moyens , à six mois de distance. Cette différence est de signe contraire pour l'autre partie du cercle. La différence totale entre les deux arcs opposés sera donc le quadruple de l'équation, c'est-à-dire de 90 3i'; Ptolémée dit 90 5o'.

La différence serait bien plus grande si l'on comptait le jour du retour du Soleil à l'horizon, soit oriental, soit occidental ; la plus forte aurait lieu aux deux solstices.

L'inégalité des retours au méridien sera la plus sensible pour les tropiques , qui diffèrent peu de l'apogée et du périgée , et pour les équinoxes, où le Soleil est à ses moyennes distances. La différence y sera de 9" comme ci-dessus. On voit que Ptolémée ne donne que des à peu près.

Il choisit les retours au méridien pour avoir une moindre inégalité ; et parce que cette inégalité sera la même pour tous les pays , ce choix est judicieux. Hipparque comptait aussi les jours de retour au méridien , mais il les faisait commencer à minuit; Ptolémée les commence à midi, ce qui ne change rien à cette théorie.

L'équation du tems aura donc deux parties ; la première qui est l'inégalité propre du Soleil; il la porte à 3° 4o' au' plus : l'autre va jusqu'à 4° 40' ; la somme est 8° ~ , le double 16 f qui font iA £ , c'est-à-dire le quadruple de la plus grande. Ainsi pour convertir les intervalles de lems

j4o ASTRONOMIE ANCIENNE,

vrai en intervalles de tems moyen, il prescrit de chercher pour les deux instans des observations, les lieux vrais du Soleil sur l'écliptique et sur l'équateur , d'en conclure le mouvement du Soleil sur l'équateur , de le comparer au mouvement moyen dans l'intervalle, ce qui donnera la différence du tems moyen au tems vrai, quand on aura converti l'arc en tems, à raison de i5° pour une heure.

Cette doctrine est saine et claire ; les astronomes qui sont venus depuis sont parvenus à l'embrouiller et même à la rendre défectueuse ; Flamsteed les a ramenés aux vrais principes si bien établis par Ptolémée. Nous ne trouvons cette théorie établie dans aucun auteur plus ancien : Ptolémée en l'énonçant, ne fait aucune mention d'Hipparque ; on pourrait donc penser qu'elle lui est propre. Cependant quand on songe qu'Hipparque avait calculé en combien de tems les arcs de l'écliptique traversent l'horizon et le méridien , qui est aussi un horizon pour la sphère droite ; quand on, voit de plus que Ptolémée ne reproche nulle part à Hipparque de l'avoir négligée , on pourrait en induire que Ptolémée n'a fait ici que mettre dans tout son jour une doctrine qu'il avait , comme bien d'autres choses, reçue de ses prédécesseurs.

Cette manière, quoique fort exacte , est cependant longue et incommode. Les modernes l'ont rendue plus facile. D'après les données de Ptolémée , l'équation du tems serait de

— 9' 3i" sin anomalie vraie pour la première partie. La seconde serait

et si nous supposons on = 23° 5i; 20", nous aurons

— 10' i3",6 sin 20 + i3",69 sin 40 — o",4 sin 60 en tems.

Ces quantités réunies forment la quantité dont le tems vrai diffère du tems moyen. On applique séparément l'équation qui en résulte à chacun des instans donnés, et quand ils sont ainsi réduits en tems moyen , la comparaison qu'on en fait donne l'intervalle en tems moyen.

Théon a développé fort bien la doctrine de Ptolémée (voyez pag. i43

tang* \ a sin 40 , tang* \ a sin 60

sin 2"

LIVRE III DE LA SYNTAXE MATHÉMATIQUE. i^t de son Commentaire, et mes Notes sur la traduction de M. Halma ). Mais dans tout ce qu'on vient de lire , il n'est question que de convertir un intervalle de lems vrai en un intervalle de tems moyen , et jamais de réduire en tems moyen une date donnée en tems vrai. 11 est probable que Plolémée n'employait l'équation du tems que pour les recherches fondamentales , comme pour le mouvement de la Lune conclu d'éclipsés observées à de longs intervalles: il la négligeait apparemment pour les observations du Soleil ; mais nous trouverons dans ses Tables manuelles, expliquées par Théon , une équation composée, telle qu'on les fait aujourd'hui. Ainsi il était en possession de la doctrine exacte et entière; il y joignait même la pratique quand il le croyait nécessaire , et quand il la négligeait, c'était volontairement.

Bouillaud reproche à Ptolémée d'avoir négligé l'équation du tems , qui n'était pas la même pour le jour de l'observation et pour l'époque à laquelle il voulait réduire la longitude et l'anomalie moyenne. En effet, il n'en fait aucune mention dans le calcul qu'on a vu page iSj.' Le reproche de Bouillaud paraît donc fondé, mais l'équation du tems ne va pas à 16', et pour un quart d'heure, le mouvement du Soleil ne passe pas 40". Or, quand on songe à l'incertitude des solstices et même des équinoxes , on est forcé d'avouer que la correction du tems vrai eût été une précaution bien illusoire ; elle serait moins inutile pour la Lunej dont le mouvement, en un quart d'heure, est d'environ 8', ce qui n'est pas encore bien important pour des Tables fondées sur trois éclipses dont les tems ne sont marqués qu'en heures, sans aucune fraction. Nous verrons bientôt que Ptolémée a soin d'exprimer en tems moyen les intervalles entre ces éclipses; mais au chapitre VII, pour réduire à la première année de Nabonassar la longitude et l'anomalie moyenne tirées de la seconde de ces éclipses, il se contente de calculer les mouvemens moyens pour 27 années 17 jours 11 heures et £ de tems vrai ou de lems moyen; ce qui est ici la même chose , clttXcùç re xcù ctxf ftoùç. 11 est donc évident qu'il a négligé l'équation du tems, qui, pour l'éclipsé, était de i3'^ additives au tems vrai; car le Soleil élait en 1.1^ x3° 4^'. Nous reviendrons sur ce point dans l'explication des Tables manuelles.