CHAPITRE IV

Ou Livre IJ^. De la Lune.

Les éclipses de Lune sonl les seules observations qui donnent immédiatement les lieux vrais de la Lune , sans qu'on soit obligé de calculer aucune parallaxe. Le rayon de l'orbite lunaire n'est pas hors de proportion avec le rayon du globe terrestre; il en résulte que les lignes menées du centre de la Terre et de l'œil de l'observateur au centre de la Lune , y forment un angle sensible , et quand on les prolonge jusqu'au cercle du zodiaque, ces lignes arrivent nécessairement à des points différens, dont l'un est le lieu vrai, l'autre le lieu affecté de la parallaxe. 11 faut excepter cependant le cas où la Lune serait au zénif, la parallaxe alors serait nulle. Ainsi dans les éclipses de Soleil , il arrive que pour différens observateurs , la distance angulaire entre les centres du Soleil et de la Lune est plus ou moins grande , que les éclipses ne sont pas de la même quantité et ne s'observent pas aux mêmes heures. Il n'en est pas de même pour la Lune, qui^ entrant dans l'ombre de la Terre, y perd sa lumière pour tous , et au même instant. C'est donc par les éclipses de Lune qu'il faut commencer toutes les recherches qui concernent la Lune. Les autres observations viendront ensuite pour compléter la théorie. Il faut remarquer cependant que pour avoir le lieu vrai de la Lune , il faut savoir calculer le lieu du Soleil, qui en diffère alors de iSo" ; il faudrait de plus que la Lune fût sans latitude à l'instant du milieu de l'éclipsé , ce qui arrive bien rarement, ou plutôt n'est probablement jamais arrivé.

Le mouvement de la Lune est inégal, tant en longitude qu'en latitude ; elle n'emploie pas toujours le même lems à parcourir les 56o° du zodiaque; on ne peut donc connaître ses mouvemens moyens sans une connaissance préalable de la période de ses anomalies. Les points où, le mouvement est le plus lent et le plus rapide, ceux où elle a la plus grande latitude, soit boréale , soit australe , répondent successivement à toutes les parties du zodiaque. C'est donc avec beaucoup de raison que les anciens mathématiciens cherchèrent la découverte d'un tems pendant

LIVRE IV DE LA SYNTAXE. DE LA LUNE. 143 lequel elle aurait toujours un mouvement égal en longitude ; ce lems devant être, exclusivement à tout autre, celui de la restitution de son inégalité. Comparant donc entr'elles différentes éclipses de Lune, ils cherchèrent en quel nombre de mois on retrouverait toujours et le même tems et les mêmes intervalles entre les éclipses ; et le même nombre de cercles , soit entier , soit fractionnaire , pour le mouvement en longitude.

D'autres auteurs plus anciens avaient estimé que ce tems était de 6585' 5; car dans cet intervalle ils trouvaient 223 lunaisons, 259 restitutions d'anomalie , 242 de latitude, 241 révolutions de longitude, à quoi il faut ajouter ce que le Soleil a fait au-delà de 18 cercles, c'est-à-dire io° 40'. Ils appelèrent ce lems période , parce qu'il était le plus court qui ramenât les différences de mouvement ; et pour qu'il fût d'un nombre entier de jours, ils triplèrent tous les nombres ci-dessus, ils eurent 19756; c'est ce qu'ils appelèrent révolution ou dégagement, (^tXiyjnov ; le nombre des mois était de 669, celui des retours anonialistiques de 717 , celui des latitudes 726, celui des longitudes 723 ; et 32* par delà les cinquantequatre cercles décrits par le Soleil.

Voilà donc la révolution de 54 ans. On l'a attribuée aux Chaldéens; il se peut en effet qu'ils l'aient connue : ils avaient du moins plus qu'aucun peuple connu , les élémens de ce calcul ; mais l'ont-ils fait avec ce détail ? Ils avaient la période de 18 ans et îx jours qui leur était indiquée par le retour des éclipses; il n'y a aucun doute à cet égard. Ils ont pu remarquer très-facilement que chaque période de 18 ans ne ramenait pas les éclipses aux mêmes points du ciel ou dans les mêmes signes • ils ont donc pu remarquer que les nœuds de la Lune rétrogradaient : il n'était pas encore bien difficile de compter le nombre de retours aux latitudes nulles ou aux passages de la Lune par l'écliptique ; on pourrait donc encore accorder cette connaissance aux Chaldéens , quoique rien ne nous l'atteste. Nous ne parlons pas des Egyptiens dont nous ne savons rien, Mais les Chaldéens ont-ils aperçu les périodes de mouvement lent et rapide ; Géminus parait le supposer, mais il écrivait après Hipparque, dont il n'était probablement pas en état de bien entendre les écrits , peut-être même ne connaissait-il ces écrits que par quelques extraits insuffisansj la question parait donc indécise. Si les Chaldéens connaissaient les retours anonialistiques , pourquoi Ptolémée ne les nomme-l-il pas , au lieu de citer seulement des auteurs plus anciens. Il les nomme en d'autres endroits comme observateurs , mais nulle part comme calcu--

lateurs ou mathématiciens. Il parait donc que ces auteurs plus anciens étaient Grecs, ce devait être Me' ton et ses contemporains; mais ils n'avaient fait estimer la longueur de ce tems qu'ils crurent de 6585' y. D'autres vinrent eusuite, et ces mathématiciens cherchèrent la découverte d'une période , il ne dit pas qu'ils l'aient trouvée. Hipparque vint enfin et prouva par les observations des Chaldéens , comparées aux siennes , que rien de tout cela n'était assez exact. Il trouva que la plus courtepériode était de 126007 jours et 1 heure équinoxiale, formant 42G7 mois,' 4^73 restitutions d'anomalie, ^612 cercles moins 70 - environ. C'est aussi ce qui manque aux 345 circonférences que décrit le Soleil relativement aux fixes. Il en conclut le mois lunaire de 29/ 5i' 5o" 8"'-20IT à fort peu près. Ce tems était le seul qui ramenât les éclipses dans le même ordre et aux mêmes intervalles.

Pour changer ces fractions de jour en fractions d'heure, il faut les multiplier par = ; il faut donc les multiplier successivement par 6

et par 4 > et les descendre d'un ordre. On trouvera donc d'abord 3' 1 1" o'" 5o ,T oT ; enfin multipliant par 4 0Û aura pour le mois lunaire

Il résultait de là que la restitution d'anomalie avait eu lieu , puisque le nombre des mois était le même et qu'on trouvait toujours 46ii cercles et 352° 3o' (c'est-à-dire même mouvement dans le même tems).

Si l'on ne tient pas à retrouver le même nombre de mois entre deux éclipses , on aura une période plus courte ; car en employant le diviseur commun 17 , on trouvera 25 1 mois et 269 retours d'anomalie : mais alors on n'aura plus le rétablissement en latitude qui est nécessaire pour que les éclipses soient de même grandeur.

Après avoir fixé les retours d'anomalie, Hipparque cherche le tems qui l'amène les éclipses de même grandeur et de même durée, dans lesquelles, par conséquent, il n'y avait aucune différence provenant ni de l'anomalie , ni de la latitude ; il trouva 5458 mois et 5923 retours de latitude.

Voilà donc la méthode suivie par ceux qui se sont occupés de ces recherches avant nous, dit Plolémée; mais de tous ces auteurs il ne nomme que le seul Hipparque. Ceux qui avaient travaillé avant lui n'avaient probablement pas fait aussi bien ; ceux qui ont pu travailler depuis n'avaient pas mieux fait sûrement , puisqu'il rapporte les résultats d'Hipparque sans rien dire des leurs. Ainsi, jusqu'ici, nous ne connais-» £ons qu'Hipparque et nous le voyons partout.

LIVRE IV DE LA SYNTAXE. DE LA LUNE. 145 Celle mélbode , reprend Ptolémée , n'était ni simple , ni facile à trouver, et elle exigeait des connaissances peu communes (et voilà pourquoi nous la refusons aux Chaldéens); car quand même on retrouverait les mêmes intervalles de tems, cela ne suffirait pas encore, à moins que le Soleil n'eût aucune inégalité ou qu'il n'eût la même inégalité aux deux époques. Car sans cela , si l'inégalité du soleil était différente , il s'ensuivrait que le Soleil n'aurait pas eu le même mouvement, ni la Lune non plus. La différence de mouvement pourrait aller à g° - d'après ce que nous avons dit de l'inégalité des nychthémères. Il faut donc, ou que le Soleil ait décrit des cercles entiers, ou qu'il y ait ajouté des demi-cercles commençant l'un à l'apogée et l'autre au périgée, ou tous les deux au même point; ou que les distances aient été les mêmes de part et d'autre du périgée ou de l'apogée ; car alors ou l'inégalité eût été nulle, ou elle aurait été la même.

Il faut avoir la même attention pour la Lune, et la raison en est la même.

Si les intervalles ne satisfaisaient pas entièrement à ces conditions, il fallait au contraire qu'ils s'en écartassent le plus possible pour mieux déterminer l'inégalité ; ce qui suppose pourtant qu'on aurait commencé par y satisfaire.

Nous voyons qu'Hipparque n'a pas observé rigoureusement toutes ces conditions ( il était encore plus aisé de sentir combien ces conditions étaient nécessaires , que de trouver des observations placées exactement dans les circonstances requises , et il est évident qu'Hipparque ne les a pas rencontrées; car indubitablement il les eût préférées pour la simplicité des calculs et la sûreté des conséquences ) ; mais il a corrigé l'erreur par le calcul, et cela était indispensable. Il y a réussi en effet pour la période des mois , mais non pas tout-à-fait aussi bien pour la période de l'anomalie , et pour celle de la latitude. Nous nous en sommes convaincus par une méthode plus simple que nous allons exposer.

Le mouvement diurne du Soleil est 0*59' 8" 17'" i3IT i2T 3iT1 ; multi^ plions-le par le nombre des jours du mois lunaire 20/ 3i' 5o" S'" 2o'T ; au produit ajoutons 56o% nous aurons 389°6' 20" i'w24,Ta' 3o?1 5j"' environ; divisons ce mouvement par les jours du mois , nous aurons pour le mouvement diurne i3° 10' 34" 58*35 IT3oT3o^-

Multiplions par 36o les 269 cercles d'anomalie , le produit sera 9G840*; divisons ce nombre par celui des jours de 525i mois , nous aurons le

Hist. de l'Ast. anç. Tom. IL 19

i4<3 ASTRONOMIE ANCIENNE.

mouvement diurne d'anomalie 1 5. 3. 55. 56. 29. 58. 58

et pour le mouvement diurne de l'apogée 0.6.41- 2. 3. 61. 52

Multiplions encore les 36o° du cercle par 5g23 retours de la latitude ,

nous aurons 2132280 ; divisons par le nombre des jours de 5458 mois ,

ou 161 177' 58'58" 3"' 20,T, nous aurons

Mouvement diurne de l'argument de latitude 13.13.4.5.39.40.17.19 Retranchons le mouvem. moyen de longitude i5. 10.34. 58.35. 3o.3o

bous aurons le mouvement diurne du nœud. . . o. 3.10.41. 6.46.49 •Les Grecs n'en faisaient aucun usage, si ce n'est implicitement.

Mouvement diurne de la Lune i3. io.34-58.33.3o.3o

du Soleil 0.59. 8.17.13.12.31

Mouv. diurne relatif ou.synodique de la Lune 12 . 1 1 . 26.41 .20. 17 ,5g Par les moyens que Ptolémée se réserve de développer dans la suite, il a trouvé ,

Mouvement diurne de laLune i3. 10. 34. 58. 33. 3o. 3o ,1

comme Hipparque.

Celui d'anomalie i3. 3.55 56.17.51.59^

plus faible de ii,t46v59vi.

Celui de l'argument de latitude 1 3. ï 3. 45. 3g. 48. 56.37 >

plus fort de 8,T 3gv i8Y\

La plus forte de ces corrections est de iiI746v39T1 ou de 1 iw46lv59* en 60 jours, de j 1" 4&" 5g11 en 36oo jours. Je ne crois pas qu'il pût répondre de i",3 en un an. Nous n'en pouvons répondre aujourd'hui et c'est là une de ces corrections comme on en fait quelquefois pour se faire valoir en s emparant du travail d'autrui. Il aurait dù dire : par de nouveaux calculs faits peut-être encore avec plus de soin, j'ai trouvé i",3 de moins par an, et la correction est si faible que je n'en puis répondre; mais comme c'est le résultat que j'ai trouvé moi-même, il est tout naturel que je m'en serve pour mes Tables. Il est donc assez douteux qu'il ait amélioré la théorie d'Hipparque en ce qui concerne les mouvemens de l'apogée et du nœud; il est plus étonnant sans doute que venant 265 ans après Hipparque, il n'ait pas trouvé de correction plus considérable. Nous examinerons en son lieu le calcul nouveau de Ptolémce. Avec ces derniers nombres, il a calculé des Tables de moyens mouvemens dans la même forme que les Tables du Soleil.

Tous nos prédécesseurs, sans exception , dit ensuite Ptolémée,ont donné à la Lune une inégaliié simple et unique ; nous montrerons

LIVRE IV DE LÀ SYNTAXE. DE LA LUNE. f$? bientôt qu'elle en a une seconde qui est au maximum dans les deux dichotomies, et qui se rétablit deux fois dans le cours d'un mois. ( Cette découverte importante suffirait seule pour placer son auteur parmi les astronomes de première ligue.) Nous les considérerons l'une après l'autre, parce que la seconde ne peut se comprendre sans la première , au lieu que celle-ci peut se déterminer sans la seconde, qui s'évanouit dans les éclipses. Nous suivrons la méthode d'Hipparque ; nous prendrons trois éclipses de Lune , nous en déduirons la plus grande inégalité, ainsi que le lieu de l'apogée. Nous pourrions y employer la méthode de l'excentrique aussi bien que celle de l'épicycle ; mais nous réservons la première pour l'autre inégalité qui dépend du Soleil. Quand il s'agissait du Soleil, la révolution de longitude était la même que celle de l'anomalie : il n'en est pas de même pour la Lune ; mais il suffit que le rapport entre ces deux restitutions demeure le même. Si la révolution par rapport à l'apogée est plus lente que celle de longitude , il suffira de faire mouvoir la Lune sur son épicycle avec plus de lenteur que le centre de Lépicycle ne s'avance le long du zodiaque. Dans l'hypothèse de l'excentrique , la Lune conservera un mouvement égal à celui du centre de l'épicycle ; mais l'excentrique aura un mouvement dans le même sens que la Lune et qui sera égal au mouvement de l'apogée , qui est l'excès du mouvement en longitude sur celui d'anomalie. Cela supposé ,

Soit ABG ( fîg. 38) l'écliptique , G le centre de l'épicycle : quand l'épicycle est en A, la Lune est en E. Dans un tems donné, le centre de l'épicycle a décrit l'arc AG, et la Lune l'arc EZ. Joignons ED , GZ; AG est un arc plus grand que EZ. Soit BG = EZ , et joignons BD , le centre de l'excentrique sera venu en H , et l'apogée sera sur DB en T , et GZ = DH. Joignons ZH ; du centre H et de HT=DB., décrivons le

cercle TZ , nous aurons ^ = ^ : la Lune sera au même point Z dans

les deux hypothèses. Il n'est pas même nécessaire que les lignes soient égales , il suffit que les deux rapports soient égaux, et que les triangles DHZ et DGZ soient semblables sans être parfaitement égaux. Ainsi l'on pourrait prolonger arbitrairement DG et DZ , comme nous l'avons déjà dit; et d'un point pris à volonté , mener sur le prolongement deDG une parallèle à GZ , la Lune serait sur cette parallèle et sur le prolongement de DZ : cette démonstration plus courte nous dispensera de celle de Plolémée.

i48 ASTRONOMIE ANCIENNE.

Ptolémée cherche ensuite la première inégalité de la Lune par trois éclipses anciennes, les plus exactement observées.

Imaginons dans la sphère de la Lune un cercle homocentrique couché Sur le plan de l'écliplique, et sur ce cercle un autre cercle incliné d'une quantité égale à la plus grande latitude , porté d'un mouvement rétrograde , uç ra. Trfwy'jvjAtxa, , autour du centre du zodiaque , avec une vitesse égale à l'excès du mouvement de l'argument de latitude sur celui de longitude , c'est-à-dire avec le mouvement du nœud. Sur ce cercle oblique nous supposerons l'épicycle avançant selon l'ordre des signes proportionnellement à la restitution en latitude. Ce mouvement rapporté à l'écliptique , sera le mouvement en longitude; et sur cet épicycle, la Lune avancera d'un mouvement égal à celui d'anomalie.

Pour la recherche présente , nous pouvons négliger l'inclinaison , il n'en résultera aucune erreur sensible en longitude.

La première des trois éclipses anciennes a été observée à Babylone la première année de Mardocempade , la nuit du 29 au 3o de Tholh , suivant les Egyptiens. Elle commença une bonne heure après le lever de la Lune , et elle fut totale. (Remarquons que pour une pareille observation il ne fallait que des yeux.) Le Soleil, dit Ptolémée, était dans les derniers degrés des Poissons, la nuit était de 12 heures équinoxiales environ; le commencement de l'éclipsé arriva donc 4* lavant minuit, le milieu 2* \ avant minuit. La différence des méridiens entre Babylone et Alexandrie est de 5o' environ ( entre Alexandrie et Bagdad on compte aujourd'hui 58'). Ainsi le milieu de l'éclipsé était à 3A 20' avant minuit, Je Soleil étant en ns 2^° ~. La deuxième éclipse est arrivée la seconde année de Mardocempade, du 18 au 19 de Thoth , à minuit. L'éclipsé fut de trois doigts dans la partie australe. 11 était donc o^o' avant minuit à Alexandrie , et le Soleil était en ii^i 3° 45'.

La troisième éclipse arriva la seconde année de Mardocempade, du i5 au 16 de phamenoth ; elle commença après le lever de la Lune : la quantité fut d'un peu plus de six doigts dans la partie boréale. Le Soleil était au commencement de la Vierge; la longueur de la nuit, à Babylone , était d'environ 11 heures équinoxiales, la demi-durée de la nuit de 5*3o'; le commencement de l'éclipsé fut à 5 heures avant minuit, le milieu à 3* -\ avant minuit ; car la durée d'une éclipse pareille dut être de 5 heures environ. Au méridien d'Alexandrie, le milieu de l'éclipsé répond à 4 heures § avant minuit, le Soleil étant en Ss 3° i5' à fort peu près.

LIVRE IV DE LA SYNTAXE. DE LA LUNE. i4o Ces trois éclipses donnent lieu aux mêmes remarques. Une bonne heure après le lever, après le lever , à minuit. Celte manière d'indiquer le tems, et celle dont on donne la quantité de l'éclipsé , elle fut de trois doigts ou d'un quart au sud , d'un peu plus de moitié ; tout cela n'indique pas une- Astronomie savante. Les Chaldéens ont eu des yeux, un ciel serein; Yoilà tout ce qu'on peut conclure : rien ne nous assure qu'ils aient fait aucun calcul , si ce n'est ceux d'un genre qui ne suppose que l'Arithmétique vulgaire.

Le mouvement du Soleil, et par conséquent celui de la Lune, entre les deux premières éclipses, a été de 549° i5'; de la seconde à la troisième de 16g0 3o'. Le premier intervalle est de 554; 2'' { cquinoxiales ; mais en tenant compte de l'inégalité des nychthémères , il est de 554; 2A f«Tëî le second de 176 jours 20 ^ heures, ou plus exactement 20}. Le mouvement d'anomalie pour le premier intervalle est de 3o6° 20'; celui de la longitude de 345° 5i' : pour le second intervalle iSo3 25' en anomalie, et 170°?' en longitude, à peu près. La première anomalie avait ajouté 5° 24' au mouvement moyen , la seconde l'avait diminué de 57'.

Soit AGB (fig. 3g) l'épicycle de la Lune , A le point où elle se trouvait au milieu de la première éclipse, B celui où elle se trouvait au milieu de la seconde; et G le lieu de la troisième éclipse. L'arc AGB sera de 5o6° 25', et par conséquent l'arc BA de 53° 35' ; ADB sera de 3° 24', puisque, par le mouvement de 3o6° 25' le lieu vrai a paru plus avancé que lieu moyen de 3° 24'.

Le mouvement de BAG, qui est de i5o*26', a retranché du mouvement moyen o° 57';

AG = BAG — BA = i5o° 26' — 55° 35' = 960 5i'5 il ajoutera

3e 24' — o° 07' = 20 47' ±a ADG, puisque BDG = o°37'.

Ptolémée remarque d'abord que le périgée de l'épicycle ne peut être sur l'arc BAG, parce que cet arc est plus petit que la demi-circonférence et qu'il est soustractif. En effet AGB avait ajouté ; achevez le cercle, la Lune revenue en A aura même équation qu'à la première éclipse. Du point A avancez encore de 960 5i' jusqu'en G, l'avance se sera changée en retard; donc nous n'aurons point passé par le périgée,

i5o ASTRONOMIE ANCIENNE.

où nous aurions eu de l'avance. Donc le périgée n'est pas dans arc AG

de 96' 5i'.

Avant de résoudre le problème par mes formules, je suivrai pas à pas la marche de Plolémée, c'est-à-dire celle d'Hipparque dont Ptolémée nous dit lui-même qu'il emploie la méthode.

Soit D le lieu de la Terre, K le centre de l'épicycle ou le lieu moyen de la Lune dans la première éclipse; ADR sera l'équation inconnue de la Lune pour le premier instant; B le lieu de la Lune dans la seconde, BDK sera l'équation inconnue dans le second instant : la différence de ces équations sera l'excès du mouvement apparent sur le tems moyen , et cet excès a été trouvé de 3° 24' ; l'arc AGB de 3o6° 25' est le mouvement anomalistique de la Lune , et ce mouvement l'a portée en avant de 3° 24' -, l'arc AB est de 53° 35', complément de 3o6° 26' à 56o°; G est le lieu de la troisième observation , l'arc est BAG , et la Lune en G se montrait moins avancée qu'en B de o° 37' = BDG ; G est entre A et B , d'où l'on conclut ADG == 2* 47'- Menez donc les droites DEB , DG, DA ; les cordes AB, AG, AE et EG. Ptolémée qui ne calcule jamais que des triangles rectangles , abaisse en outre les trois perpendiculaires GT sur DB, EH sur DG et EZ sur DA.

Ces perpendiculaires nous seraient inutiles j Ptolémée lui-même aurait pu s'en passer.

L'arc BA étant de 53° 35', l'angle AEB à la circonférence = 7 AB S= 260 47' 3o". Considéré comme extérieur au triangle AED , il est égal à la somme des intérieurs opposés DAE -f- ADE.

ADE = 3° 24' AEB = 26.47.30"

DAE = 23.23.3o,

or,

sin DAE : sin ADE :: DE : AE ;= DE = o. i4938i DE.