ARX

AXM = i34.i6735 ARL = 45.43.27 ARB = 110.21

Ptolemée

LB = 64.37.33 LB = 64.38 ARL = 45.43

DRN = 86.38.i2 900 — DRN = 3.21.48 ADB = 7.42

LDB = 4«20* 12 f c'est la différence entre la longitude moyenne et celle de l'apoge'e. Eai

la retranchant de la longitude moyenne de la seconde e'cîipse , on aura

0s ^cf 3o' — 4° 2or 12" = 25° 9' 48".

Ptolémée dit 25° 10', à 1800 juste du Soleil.

Cette solution me paraît extrêmement curieuse ; les calculs de Ptoleme'e ont toute l'exactitude qu'on peut attendre des méthodes pénibles qu'il employait. Si, comme on n'en peut douter, Hipparque avait fait avant lui des calculs tout semblables, il sera prouvé qu'Hipparque avait une Trigonométrie rectiligne complète ; ce qui est d'ailleurs extrêmement probable , puisqu'il avait même une Trigonométrie sphérique.

La solution qu'on vient de voir n'est ni longue ni difficile ; on peut l'abréger encore en la mettant en formules analytiques que je me suis faites il y a 25 ans, pour un problème géodésique dans lequel il s'agit de déterminer un point D, d'où l'on a observé les angles entre trois objets donnés de position.

Méthode générale pour le Problème cl Hipparque.

Trouver le rayon de l'épicycle et l'apogée d'une planète, ou les élémens de la première inégalité.

Soit l'épicycle ABC autour du centre K (fig. 41)

Au point A , pris arbitrairement sur l'épicycle , marquez le premier lieu de la planète; du point A, en descendant par AEFC, prenez un arc ACB = au mouvement sur l'épicycle dans l'intervalle entre la première et la deuxième observation : B sera le second lieu de la planète. De B, en allant toujours dans le même sens, prenez un arc BAC égal au mouvement sur l'épicycle dans le second intervalle : C sera le troisième lieu.

Le mouvement est rétrograde dans la partie supérieure de l'épicycle ; ainsi elle va de B en A , pendant que le centre R s'avance de gauche à droite de son mouvement moyen de longitude. Le mouvement sur l'épicycle est le mouvement d'anomalie moyenne , suivant l'expression moderne.

Il suit de là que dans la seconde observation, B sera plus avancé que A, c'est-à-dire que le mouvement apparent aura surpassé le mouvement moyen d'un angle ADB, D étant le centre de la Terre ou du zodiaque. En effet il est évident que si la planète était restée immobile sur son epicycle, elle aurait eu pour la Terre D le même mouvement que le

LIVRE IV DE LA SYNTAXE. DE LA LUNE. i65 centre de l'elliptique. La différence entre la longitude vraie et la longitude moyenne aurait toujours été la même , au lieu qu'étant parvenue en B , ADB est évidemment l'excès du mouvement apparent sur le mouvement moyen; et cet angle sera connu.

Par la même raison le point C , dans notre figure , sera plus avancé que le point B, et l'angle connu BDC sera l'excès du mouvement observé sur le mouvement moyen dans ce second intervalle.

Menez les cordes AB , BC, AC, et les rayons visuels DA, DB, DC ; enfin DKL qui passera par le centre R , et le lieu L de l'apogée.

Pour plus de simplicité, nous avons supposé les deux excès positifs, et le mouvement apparent plus grand que le mouvement moyen.

Il n'y a aucune difficulté pour trouver les points A , B , C, d'après les mouvemens moyens d'anomalie qu'on suppose connus par les méthodes exposées ci-dessus.

Les points ABC de la Lune et le point D de la Terre formeront toujours un quadrilatère, et la distance entre la Terre et le point de l'épicycle qui sera vu entre les deux autres , c'est-à-dire DB dans notre figure, sera la diagonale du quadrilatère. Les deux excès étant positifs, le second lieu se trouvait entre les deux autres; mais il peut arriver que ce soit A qui paraisse tenir le milieu ; il peut arriver que ce soit C , ce qu'on reconnaîtra facilement par les signes et les quantités numériques de l'excès du mouvement apparent; nous en donnerons des exemples.

Cela posé , cherchons la valeur de la diagonale BD. Le triangle BAD donne

sin BAD : sinBDA :: DB : AB,

ou sin M : sin m :: DB : AB ,

i^x* AB sin M a sin M et DB = ; = — ;

sin m sin m '

en faisant a — i sin ~ arc AB et le rayon de l'épicycîe = ï, le triangle BCD donne de même

et DB =

sin BCD : sin BDC :: DB .: BC , sin N : sin n :: DB : BC ,

BC sin N b sin N 2 sin \ BC sin N

sin n

m est toujours l'angle géocentrique entre la position qui est à gauche et celle du milieu.

n est l'angle géocentrique eatre la position à droite et celle du milieu.

M l'angle à la gauche du quadrilatère , N l'angle à la droite. On aura donc

a sin M b sin N .