OU I000X

1 000000 = 100 myriades = ioo',

800000 = 80 myriades = 80 ,

5oooo = 3 myriades = 3 ,

8000 = 8my

8e iâ 8° — .

yoilà l'explication de la première ligne, la seconde est toute pareille.

ARITHMÉTIQUE DES GRECS

5e Xiffl= Soy ou 800x1000 8 x8c= 64 ou 800X 800 8 x$d= 2 4mou.8oox 5o 8 x8° = 6m4cou 8oox 8

ou 800 x

Troisième ligne.

5rf Xi'

3y ou 3oX 1000 =

3 x8'= 2 4m ou 3ox 800

3 x3J= g' ou 3oX 3o

3 x8°= 2 4a ou 3oX 8

3 X— = -- ou 3ox —

3oooo

80 myriades = 8oy, 64 myriades = 64 ,

2myr.4mille=: 2 4m?

6' 5dA'-.

r xi

5 myriades = 3y,

2 myriades 4 mille =2'' 4m^

La quatrième ligne s'explique de même.

Xim=

Sx 3o =

Sx 8 =

Il nous reste enfin à prendre les du multiplicande.

o qooo

— X IOOO = -

JL x 3<* — IL- 11 n

Passons à l'addition. Nous aurons , en rassemblant les

myriades, une somme de 334'

Rassemblons de même touslesmille, nous en aurons 56 ou 3 6m

Tous les cents feront 4(JC ou 4 9e

Toutes les dixaines, qui feront 5od ou 3

Toutes les unite's , qui sont au nombre de 48, ou ^ 8°.. /\ 8*

Tous les 1 1 , qui feront 4f = 3 3

Re'unissant le tout et ajoutant la fraction carrée , nous aurons 338' im 2e 5d i° fr + ^rr 3381252^, ou 338? 1"* 2e 5d 20

Autre exemple tiré du même théorème., il est moins long, mais aussi curieux.

imoc o1' g0 g 1 0 0 9 ? -

ioo^9mic6<J6s { | 9 8* i° i°i

ioi'Sm4<id7°i &

im X 1" = 1000 X 1000 = IOOOOOO = 100y, 1 x 90 = 1000 x 9 = 9000 = g™,

Xi — 1000 « ' 6

= ic6d6° | =

Voilà pour la première ligne, on voit que les Grecs préféraient les fractions qui avaient l'unité pour numérateur, au lieu de £ = §-{-£ ils écrivaient f ,

9° x im= 9m

9 x 90 ou 9 X 9 = 81 9 x | ou § = i +

Voilà pour la seconde ligne.

| X i" ou ^ =

i'ô'ô0! ic6d6°i i

ioi>8" 4e ia70| j

ARITHMÉTIQUE DES GRECS. an L'addition montre qu'ils réduisaient les fractions à leurs plus simples termes; ainsi, au lieu de f ils ont écrit j.

Dans un autre exemple que nous ne rapporterons pas, dans une soustraction après une multiplication dénombres fractionnaires, Eulocius arrive au reste ai || qu'il change en 21 ^ tj à peu près, sans nous dire par quel moyen il a trouvé cette fraction approximative.

Dans un autre exemple Eutocius ayant à multiplier 3oi5 par Soi 3 laisse les deux fractions séparées au lieu de les réduire à f. On voit en effet que le procédé est plus facile, et voilà sans doute la raison pour laquelle ils ne voulaient guère d'autres fractions que celles qui avaient l'unité au numérateur. Cependant nous avons vu ci-dessus la fraction , mais elle n'était pas commode à décomposer.

J'ai refait de cette manière tous les calculs dont Eutocius ne donne que les types, et je n'y ai rien vu qui ne rentre dans ce qu'on vient de lire. Je ne rapporterai donc pas ces calculs, qui n'apprendraient rien de nouveau.

Eutocius ne rapporte aucun exemple de division ; souvent il aurait à faire des extractions de racines carrées ; mais alors il se contente toujours de dire quelle est à peu près cette racine, et pour le prouver il la multiplie par elle-même, et retrouve en effet à fort peu près le carré dont elle est le côté; ce qui porte à croire que le procédé pour l'extraction lui paraissait un tâtonnement trop long pour être rapporté.

Mais ces exemples qu'on chercherait inutilement dans Eutocius, je les ai rencontrés dans le Commentaire non encore traduit de Théon sur la Syntaxe mathématique de Ptolémée ( c'est l'ouvrage qui est plus connu par son nom arabe d'Almageste); mais toutes ces divisions et extractions sont en parties sexagésimales.

Les astronomes avaient trouvé plus commode de diviser le rayon comme l'angle de l'hexagone en 60 parties ou 60', les primes se divisaient chacune en 60", les secondes en 60 tierces, et ainsi à l'infini.

Le rayon valait donc 6op= 36oo' = 216000", ce qui donnait une précision plus que double de celle que nous aurions en divisant le rayon en 100000, c'est-à-dire avec des sinus à cinq décimales. 11 est évident que cette précision était plus que suffisante pour les besoins de l'Astronomie ancienne;, ils se contentaient do<nc ordinairement des secondes,

Ce n'est que dans leurs Tables des moyens mouvemens des planèles

qu'ils poussaient la division beaucoup plus loin.

La raison qui a porté les Grecs à préférer cette division, est, d'après Ptolémée, la facilité qu'on y trouve pour les calculs (liv. I, chap. g, p. 8, édit. de Bàle). 11 dit encore au même endroit, qu'il emploiera partout la méthode sexagésimale à cause de l'incommodité des fractions ordinaires. Théon en commentant ce passage, dit que 6o est le plus commode de tous les nombres, en ce qu'étant assez petit il a un nombre considérable de diviseurs.

Pour nous donner un exemple de l'avantage de la division sexagésimale, il suppose que nous ayons à multiplier par elle-même la quantité 5" j T5 > dans ce cas il est bien plus court de changer ces fractions en 3o'-j- i5' + 3'= 48'; on pourrait ici répondre que 4$' = rs de partie = o.8, et que la multiplication par 8 suivie de la division par io est encore bien plus commode. (^)2 =^^=0.64 ; mais les Grecs n'avaient point de notation ni de moyen pour le calcul des fractions décimales.

Mais cette multiplication de /fî' par 4°".» ou plus généralement des fractions sexagésimales de différens ordres, exige quelques règles pour connaître la nature ou l'espèce des produits dans les différens cas. Tout ce que Théon expose à ce sujet et ce que Barlaam a dit d'une manière plus obscure et plus longue , peut s'exprimer par une formule générale.

Les fractions sexagésimales de différens ordres peuvent se représenter

par — , , ~ ; les Grecs remplaçaient, comme' nous, ces expressions par a'j b", c'"3 etc.

Soit les nombres pw et q00; y&(m) = , = ~y)J

? I — 6GO-+-") — "V Soit ?n = o, 7Z = 3, pWqW = pq^+V = pq'".

Ce théorème est au fond le même qu'Archimède a démontré pour

la progression 1 : 10 : 100 : 1000, etc. Réciproquement l~)={^j

Après ces préliminaires, Théon montre les règles à suivre dans la multiplication et la division des nombres sexagésimaux, et pour premier exemple il choisit le côté du décagone inscrit au cercle qui est de A£° cT' vî" ou 37° 4' 55'.

ARITHMÉTIQUE DES GRECS. k 23

Après avoir écrit le multiplicateur au-dessous du multiplicande, il faut, dit The'on, multiplier 57° X 37% ce qui donne 1369% puis 370 par 4' dont le produit est 148'; ensuite 37e X 55' qui donnent 2o35".

ar£69 f/uw'PAé"

yxt"

On voit que les ordres vont en décroissant uniformément , parce qu'aucun ordre ne manque. Les parties ou unités par les unités donnent des unités; les unités parles primes donnent des primes, par des secondes elles donnent des secondes, et ainsi à l'infini. Pour former la seconde ligne on multiplie tout par 4' et les produits des trois termes sont 148' 16" 220'".

Le multiplicande multiplié par 55* donne à la troisième ligne

2035" 220'" et 3o25IT.

Par ces réductions , continue Théon , la multiplication est plus facile ( en effet on a tout au plus 5g à multiplier par 5g , et il était aisé d'avoir une Table de ces produits. Théon n'en dit rien, mais Barlaam nous assure positivement qu'on avait une de ces Tables , et on la trouvera à la fin de cette Arithmétique).

On place les produits comme on voit ci-dessus , et pour les additionner il faut d'abord réduire 3025'* en divisant par 60, ce qui donne 5o"' 251T.

Les quartes ainsi divisées donnent 5o'"-}- , 25T.

• Ces 5o"', avec 44°'" que nous avons ensuite , font 49o"/=8"+ ... 1 o'". Les trois produits de secondes font une somme de 4°86,

ou avec les 8", 4094" = 68' + 14".

Mais nous avons 2 fois i48'=296', et 296'+ 68'=366'=6°-f-4' o. Or le premier de tous les produits est i369°; i569°-f-6°=i375°.

Total i375°4' i4"io";25"

Ptolémée, qui néglige les tierces, s'est borné à. . 1375 4 14.

Avec la Table de multiplication qu'on trouvera ci-après, les réductions seraient toutes faites et le calcul se ferait comme il suit :

O7 es 22.49 =

Total

i375° 4' i4"io'

Qu'il soit question maintenant , continue Théon , de diviser un nombre composé départies, de minutes et secondes, par un nombre de même genre.

Soit., par exemple, i5i5* 20' i5*à diviser par 25° 12' 10".

Je divise d'abord i5i5° par 60 pour lui donner une forme pareille, il viendra iS"x i5°, c'est-à-dire 25 soixantaines -f- i5 parties. Le dividende devient donc 2 55fir i5° 20' i5". Ces soixantaines ne se trouvent pas dans les écrits des Grecs, ou elles y sont rares , mais les astronomes du moyen âge en ont fait grand usage.

Je vois donc que le premier terme du quotient doit être 60, c;ir 61 donnerait un produit trop fort. Retranchons donc 60 fois 25° 12' 10* du dividende.

Et d'abord 60 X 25° = i5oo% qui, retranchés de i5i 5°, laisseront i5* pour reste.

Ce reste vaut 900'; ajoutons-y les 20' du dividende, nous aurons 920'; retranchons-en 60 X 12' =720', il restera 200'; retranchons de ce reste 60 X 10" = 600"= 10', il nous restera 190'.

Divisons maintenant ce reste par 25°, le quotient sera 7', car 8 donnerait à retrancher un produit trop fort. Or 25° X 7' = i75'. Je les retranche de 190', il reste i5', qui valent 900"; j'y ajoute les i5" du dividende , la somme est 9i5". J'en retranche 12' X 7' == 84" ; le reste est 83 1", dont il faut encore retrancher 10" X 7'=7o"=i' 10*. Il restera 829" 5o" à diviser par 25° 12' 10*.

ARITHMÉTIQUE DES GRECS

829' divisées par 25° donnent 35", car 25° X 35' = 825"; il resle donc 4' 5o'= 290*. J'en veux retrancher 12' X 33' = 396"; mais il s'en faut de 106' que cela ne se puisse. 33' sont donc un peu trop, et le quotient de i5i5° 20' i5', divise'es par 25° 12' 10*, ne sera pas tout-à-fait 6o° 7' 35'. C'est cependant le plus exact que l'on puisse avoir, en se bornant aux secondes. On en aura la preuve en multipliant le diviseur par le quotient;

Théon n'a pas donne' le type du calcul : je l'ajoute ici pour plus de clarté.

Dividende. i5i5' 20' i5" 25 X 60 i5oo

25° 12' 10" diviseur.

quotient.

reste i5

total des minutes = 920' 12' X 609 = 720'

reste. < 200

reste .

second quotient.

descendez les i5".

reste. 829 5o"'

33" 3e quotient, trop fort.

Celle opération ressemble tout-à-fait à nos divisions complexes ; elle est un peu plus longue, mais elle n'emploie jamais que de petits nombres.

La Table subsidiaire dont nous avons déjà parlé serait utile pour apercevoir d'abord le quotient le plus approché, et elle éviterait quelques tàtonnemens.

Cette marche nous fait voir assez clairement comment les Grecs pou- Hist. de l'Ast. anc. Tom. II. 4

vaient faire la division des nombres ordinaires. Un exemple va nous prouver combien elle serait plus embarrassante si les nombres étaient un peu grands.

Prenons tA/3.^txÔ à diviser par ctcùxy ,

ou 332 . 5329 = 332' 3m 5' 2* 90 et im 8e 2i 3*.

En 532^ combien de fois im 8e 2rf 3% ou 2ffl environ; on sait que jm X im = 100' ; donc 2m X 2m = 40°r; le quotient 2m paraît donc trop fort, il faut essayer ï*.

Multiplions le diviseur entier par im, nous aurons 182? 3'" à retrancher du dividende, et le reste sera i5oy om 3e 2d 90.

Je vois qu'en i5o myriades 2m serait plus de <j5o fois; im y serait plus de i5oo fois; j'entrevois que je puis essayer 800 ou 8e. Le produit du diviseur par 8'" sera i45y 8m 4% que je retranche du premier reste; le second reste sera 4y 1" 9' 2<i 9°-

En 4y ou 4myvi3L^esy ^m serait 2 dixaines de fois; je mets 2iau quotient pour troisième terme ; le produit à retrancher est 5y 6m 4e et le reste 5m 4e 6rf 90.

En 5m on aurait 2^- fois 2"1, je hasarde 3; le produit est 5m 4' 6rf 9% égal au reste; le quotient exact est donc de im 8' 2d 3°.

Nous n'avons fait qu'indiquer les trois multiplications du diviseur qui allongeraient considérablement le calcul. L/exempIe choisi était l'un des plus faciles qu'on pût imaginer , en ce que le premier chiffre est l'unité.

La division des Grecs était donc toute pareille à notre division complexe; elle était seulement plus longue si, comme tout l'indique, ils commençaient leurs soustractions par la gauche; ainsi ils devaient dire : de i5o ôlez 1 45 , il restera 5; mais à cause de 8e qui suit i45y, ne niellez au reste que 4> il vous restera i7. Si de celte myriade vous

ARITHMÉTIQUE DES GRECS. a7

retranchez 8m, il restera 2m ; mais à cause des 4* ne mettez, que im, vous aurez un reste de i1" 5e = i5c; retranchez 4% il restera cf.

Le procédé n'était donc pas bien embarrassant, même en allant toujours de gauche à droite.

Théon se propose ensuite ce problème : Trouver d'une manière approchée le côté d'une surface carrée qui n'a point de racine exacte.

Il commence par rappeler le théorème IV du livre II des Elémens d'Euclide , qui est équivalent à notre formule (a-{- b)* = a? -\- 2ab-\-b3; il prend ensuite pour exemple le nombre 45ooa, dont la racine approchée, suivant Ptolémée, est 670 4' 55". Voici l'opération :

45oo°

i34°= double du icr terme.

ii°= 660'

Le plus grand carré contenu dans 45oo est 44^9» dont la racine est 670.

Je le retranche, il reste n" = 66o/ ; je double la racine et j'ai 1 34".

Je divise G60 par 1 34 î le quotient est 4'j 5 serait un peu trop fort.

Le produit de i54° par 4 est 556'; j'y ajoute le carré de 4' ou 16"; j'ai 536' 16" à retrancher de 66o', il me reste 125' 44" = 7424'-

Je double la racine 67°4', il me vient i54° 8'; je m'en sers pour diviser le reste, le quotient est 55".

Je multiplie i34° 8' 55" par 55"; je retranche les trois produits , du reste 7424; >1 me reste 45" 49W 551V. La racine 67° 4' 55" est donc trop faible; mais 56" serait trop fort.

J'ai fait quelques changemens au calcul de Théon, mais sans rien supposer qui ne fut bien connu des Grecs. Leur règle pour l'extraction de la racine carrée était donc celle dont nous nous servons encore au« jourd'hui : Théon la résume en ces termes :

Cherchez d'abord la racine du plus grand carré contenu dans le premier terme; retranchez ce carré, et doublant la racine carrée, servez- Yous-en pour diviser le reste transformé en secondes ; carrez la somme

des termes trouvés, retranchez ce carré, transformez le reste en secondes et divisez-le par le double de la racine déjà trouvée, vous aurez à peu près la racine demandée. Théon ne se sert pas du mot racine , mais du mot côté, ce qui est la même chose.

Résumé de ces recherches.

La notation des Grecs ressemblait à celle que nous employons pour les nombres complexes. Pour désigner les quantités des ordres supérieurs , ils se servaient de traits et de points, mais ils les plaçaient audessous de leurs chiffres, au lieu que nous plaçons ces signes caractéristiques à la droite et vers le haut de nos chiffres ; ils n'avaient pas besoin de ces signes pour les centaines, les dixaines et les unités, qui avaient des caractères qui leur étaient propres ; mais c'était un désavantage auquel ils avaient remédié, par l'emploi des fonds , c'est-à-dire des unités, qu'ils substituaient dans les opérations à leurs analogues, c'est-à-dire aux dixaines, centaines , mille, etc.

Leurs nombres complexes avaient un avantage sur les nôtres , dans l'uniformité de l'échelle, qui était ou toute décimale, ou toute sexagésimale.

Il paraît que le plus souvent ils faisaient leurs additions de gauche à droite, ce qui les rendait nécessairement plus longues. J'ai quelques raisons de soupçonner cependant qu'ils savaient les faire comme nous., en allant de droite à gauche , en réservant pour la colonne suivante les quantités qui surpassaient g dans leurs opérations décimales, ou 5g dans leurs opérations sexagésimales.

Je soupçonne également qu'ils savaient faire la soustraction comme nous, en allant de droite à gauche, en empruntant quand il en est besoin, mais je n'en ai pas de preuve directe, au lieu que nous en avons de très-concluantes pour démontrer qu'ils suivaient plus ordinairement la marche contraire de gauche à droite.

Ils allaient de gauche à droite dans leurs multiplications, qui ressemblaient fort à nos multiplications algébriques; ils écrivaient pêle-mêle, myriades, mille, centaines, dixaines, unités, fractions. Ce défaut d'ordre rendait seulement l'addition un peu plus pénible.

Daus les divisions,, ils procédaient comme nous, de gauche à droite,

ARITHMÉTIQUE DES GRECS. 29 mais leurs opérations étaient plus pénibles , et elles exigeaient qu'on fît à part des opérations partielles et subsidiaires; les tâtonnemens et les essais de quotiens étaient plus fréquens et plus longs.

L'extraction de la racine carrée était la même que la nôtre, au fond; mais les détails étaient plus longs et plus incommodes.

Les calculs trigonométriques ne se faisaient que par des analogies ou règles de trois, souvent composées, qui exigent une ou plusieurs multiplications et au moins une division ; et le rayon devant être de cent mille parties^ la multiplication des moyens aurait produit des nombres que ne savait pas exprimer l'Arithmétique vulgaire.

Si l'on commençait l'analogie par diviser l'un des moyens par le premier extrême, pour multiplier ensuite le quotient par l'autre extrême, on tombait dans l'inconvénient des fractions, et cet inconvénient était extrême pour les Grecs , qui ne pouvaient avoir de fractions décimales.

Pour évitera la fois ces deux inconvéniens , autant qu'il était possible, ils imaginèrent les fractions sexagésimales , ils divisèrent le rayon en 6o° =s 36oo' = 216000" ou 12960000"'. Mais ordinairement après avoir employé les tierces et les quartes dans le cours de l'opération , ils se bornaient aux secondes dans le résultat définitif.

De cette manière on n'opérait jamais que sur des nombres médiocres , et l'on pouvait abréger les multiplications par la Table que nous allons donner, où l'on trouve à vue tous les produits depuis 1 jusqu'à 59' x 59'; au lieu de minutes on peut lire degrés, secondes, tierces et tout ce qu'on veut. On trouve cette Table dans Lansberge , dans la Métrique astronomique de Maurice Bressius , Paris 1 5 1 4^ et probablement dans plusieurs autres ouvrages, surtout dans la grande Table sexagésimale de Taylor.

Les opérations expliquées ci-dessus sont les seules sur lesquelles j'aie pu me procurer des renseignemens, mais elles forment un corps complet d'Arithmétique. Héron dans son ouvrage intitulé, ta TécojueTfovfxeva,) dont la Bibliothèque du Roi possède un beau manuscrit donne une multitude dérègles pour l'arpentage, avec une foule d'exemples; mais il ne présente jamais que le résultat , sans aucun type et sans aucun détail.

J'ai feuilleté un grand nombre de manuscrits grecs sans aucun succès. Parmi ces manuscrits j'ai remarqué l'Arithmétique indienne de Planude "7

3o ASTRONOMIE ANCIENNE,

j'espérais y trouver quelques rapprochemens avec l'Arithmétique des Grecs, mais nous avons vu (tome I, pag. 5i8) que cet ouvrage ne contient rien de ce genre.

Le fragment du second livre de Pappus , publié par Wallis, ne contient que quelques théorèmes dont nous avons déjà parlé, et pour exemple de leur application , l'auteur se propose de trouver les produits des nombres renfermés dans ces deux vers grecs :

'AfTéf/.'l^QÇ JCÀê/Tê Zfdroç i£Q%OV \wiCL XOVfCtl.

En prenant ces lettres pour des chiffres, on devra faire le produit des nombres :

1 . 100. 5oo.5<4o. 10.4. 70.200.20. 3o. 5. io.5oo.5. 20. 100. 1 .300.70 200.5.60.70.600.70.50.5.50.50.5.1.20.70.400.100. 1 . 10.

4o.8. 5o. 10. 5o. 1 .5. io.4.5.g.5. 1 .4.8.4o.8.3oo.5. 100.70.200.1 .3 3o . 1 . 70 . 20 . i . 1 00 . 80 . 70 . 400.

En supprimant d'abord tous les zéros , multipliant ensuite tous les chiffres significatifs et rétablissant ensuite les zéros , ou faisant l'équivalent d'après ses théorèmes, il trouva

fl^. . £a> .(Mu)1',

1 96 . o368 . 4800 . (44 zéros) , et o-oi-cTii^dT. <rvç .(Mu)6,