LIVRE III

Keill et Lemonnier.

Jear Keiix était né à Edimbourg en 1671. Il fut l'nn des premiers disciples de Newton et l'un des plus ardeas à soutenir les droits de son maître dam la querelle entre les Anglais et Leibnitz. Outre le traité d'Astronomie dont nom allons parler, il avait publié en 1 700 une introduction à la Physique, qui fut réimprimée en 1705 et 1729. L'auteur était mort en 173 1 à Fige de5o ans environ.

An introduction to the true Astronomy, or astronomical lectures read in the astronomie»! school of itte university of Oxfordt by John Keill M. D. Fellow of the royal societj andprofessor of Astronomy. London, 1 >;3a.

La première édition anglaise est de 1731 ; elle avait élé précédée d'une édition latine en 17 18. La préface est nn éloge emphatique de l'Astronomie. On y lit que si les philosophes cbaldéens avaient acquis une si haute considération , c'est que les rois avaient été persuadés qu'il eût été absurde de donner le gouvernement du monde à des hommes qui n'auraient pas su ee qu'était véritablement le monde. Comme si le monde que les rois gouvernent, était celui dont les astronomes observent et calculent les mouvemens. L'auteur dit ensuite que l'Astronomie est la science qui approche le plus de la perfection , ce qui se pourrait soutenir; mais on pourrait lui contester la preuve qu'il en donne, ou l'exemple qu'il choisit. On connaît exactement les longitudes et les latitude* détoiles même assez petites; combien, au contraire, ne pourrait-on pas indiquer de villes dont on ne connaît pas aussi bien la position sur le globe? On ne connaît pas la position des villes qui n'ont été visitées par aucun astronome ; mais on connaît encore moins la position de ces millions d'étoiles , que jamais astronome n'a pris la peina d'observer. On connaîtra la position géographique de toutes les villes dès qu'on le voudra bien, et qu'on en aura un besoin quelconque , comme on saura celle des étoile» télesoopiques quand une comète, en passant près de et* étoiles, aura fait naître le besoin d'en déterminer l'ascension droite et la déchnaison. N'est-ce pas gastronome qui détermine les positions géogra-

KEILL. i5ç, pliiques aussi-bien que celles des astres? Ne pouvant tout tire, ui pour la terre ni pour le ciel, il fait tout ce dont il a besoin et dont il trouve l'occasion.

Dans son zèle , l'auteur recueille avec soin les traditions et le* contes populaires qu'il croit propres à prouver l'importance de la science qu'il professait. Elle est trop réellement utile pour avoir besoin d'être vantée dans des amplifications de collège. 11 annonce la publication prochaine des tables de Halle v. duquel il fait un éloge bien juste et bien mérité, mais qu'il termine maladroitement, en disant que ces tables surpasseront tout ce qu'on connaît, et peut-être tout ce ou on pourra faire par la suite. On risque toujours quand on hasarde une prophétie, et depuis long- temps les astronomes sont devenus plus réservés dans ces sortes de prédictions.

En rendant justice d'ailleurs au traité de Grégory , son premier maître , il avoue que son ouvrage est peu proportionné à la capacité des jeunes commençans. 11 se propose de suivre un plan tout différent , et nous verrons cependant que l'ordonnance du nouveau traité n'est pas ce qui le recommande le plus fortement. Ainsi, c'est à la 18* leçon qu'il pose les principes et les premières définitions de la doctrine sphérique. 11 semble que c'est par là qu'il aurait fallu commencer, si l'on voulait se proportionner à la capacité des commençai», auxquels on ne supposerait aucune instruction

Il transporte tout d'abord l'observateur au eentre du Soleil. Ses premières leçons ne sont que des discours sur l'Astronomie ; on y voit beaucoup d'assertions et pas la moindre preuve. A la cinquième , il nous ramène sur la Terre pour observer les taches du Soleil.

Leseur et Jacquier, dans leur commentaire sur Newton, ont dit que les taches du Soleil ne paraissent pas adhérentes au corps de cet astre, parce que leur révolution apparente étant de

27 jours, elles devraient être visibles i3± jours, et qu'on en a observé qui paraissent beaucoup moins de temps. Le raisonnement serait juste si les taches étaient dans l'équateur du Soleil; mais si elles ont une déclinaison de dénomination contraire à celle du pôle visible, elles doivent se montrer moins de i3| jours. Elles paraîtraient plus de i3~ jours si elles étaient entre l'équateur et le pôle élevé. Keifl assure qu'elles sont adhérentes, parce qu'elles paraissent pendant i3£ jours. Or, le fait est qu'il y en a très peu qui soient visibles pendant ce temps bien juste. Leur apparition dure plus ou moins, suivant leur position. On n'en a pas encore vu dont la. déclinaison fût ou absolument nulle , ou assez grande pour qu'on en p4t observer la révolution tout entière ; ce qui n'aurait lieu que

i6o ASTRONOMIE AU DIX-HUITIÈME SIÈCLE.

pour une tache très voisine du pôle. Reill a donc tort au fond tout autant' que Leseur et Jacquier; niais son assertion est plus vraie que celle des deux, commentateurs de Newton. A cette occasion, Keill rapporte ce qu'on savait alors des taches des planètes et de la durée de leur rotation.

A la fin de la leçon VI sur les étoiles , il rapporte ce passage de Montanari , tiré d'une lettre du 3o avril 1670. « Les étoiles j8 et y du navire ne se voient u plus; nous les avons observées en 1664, à l'occasion de la comète qui » était dans leur voisinage. Quelle est l'époque de leur disparition? je m l'ignore. En 1668, il n'en restait plus la moindre apparence. On retrouve » les étoiles de 3* et 4* grandeur dont elles étaient entourées. J'ai remarqué » bien des changemens dans les étoiles ; celui-ci est de tous le plus singulier » et le plus extraordinaire. »

Nous verrons plus loin queLemonnier révoque en doute cette disparition, et qu'il reproche à Bayer d'avoir mis ces deux étoiles sur sa carte à 3o* de leur lieu véritable. Bayer avait mis j3 et y au-dessus l'une de l'autre, et dans la direction de la rame qui, par l'autre bout, se termine à Canobus. Halley dit que fi ne se voit plus, que plusieurs étoiles de cette constellation ont été si mal placées dans les anciens catalogues, qu'il est très difficile de les reconnaître. Ainsi, il leur a assigné les noms nouveaux qu'il a jugés convenables. On croit que l'étoile /S de Bayer est celle du catalogue de Halley, qui est de a* grandeur, in seclione transtri. Long. nJ2 6*4o'.

Keill continue ses raisonnemens vagues; et, dans sa 1 1* leçon, où il préparc son lecteur à la théorie des éclipses , il donne pour l'angle au sommet , entre l'axe et la surface du cône, le demi-diamètre du Soleil tel qu'il est vu de la Terre, négligeant tout-à-fait la parallaxe du Soleil, qui doit se retrancher de ce demi-diamètre. On voit qu'il n'écrit pas pour les astronomes. 11 nous parle des éclipses sans avoir encore défini la parallaxe. Pour les éclipses de Soleil , il expose très sommairement la méthode des projections orthographiques d'après Flamsteed.

A l'article des planètes, il nous dit que pour Mercure, dont l'ellipticité est sensible, la plus grande digression n'arrive pas toujours daus la tangente à l'orbite. Morin l'avait remarqué depuis long-temps, mais sans le démontrer.

Soit M (fig. 24) Mercure sur son ellipse, TMT la tangente au point W , ST le rayon vecteur de la Terre ; nous aurons

ST : MS :: siu M : sin T = — s^-=^sm M.

^>ue Mercure avance en m vers l'aphélie , la Terre s'avancera en t , mais moin*

KEILL. 161

rapidement. L'angle in$t sera plus grand que MSTj le rayon recteur Sm sera plus grand que SM. •Nous aurons de même

. . v . tin t v' V sin m

sin t as ^7 sin m, et par stutc , -.^ = - . ^7

1/ V Il est clair que - est plus grand (pie l'unité, que ^7 ne diffère pas sensiblement de l'unité, et qu'ainsi ~ est plus grand que l'unité. Reill conclut de là que sin / > sin T, et que l'élongation augmente. 11 néglige doue le rapport ou Lien il le suppose plus grand que l'unité. Mais nous verrons

(me sin m sera souvent plus petit que sin M; ainsi, la démonstration de Keilî est fort incomplète.

J'ai prouvé (Aslron., tome H, page 173) que pour l'angle compris entre

la tangente MT et le rayon vecteur SM, on a col SMT = 7^.""C"SM- Or,

pour Mercure, log. e = j),3 1 28^35 "s= cot 78°a3'ia"; supposez u = 270% vous aurez , cot SMT = e = cot 78e 23' 1 2", et MS = ± paramètre = a cos* t.

Soit V=V= 1, car V ou ST change très peu en quelques minutes de

temps , et l'excentricité de la Terre est peu de chose. Cherchons

sin T = MS.sin M.

logMS =aco»*i 9,5590791 M obtm sera ici*56'48*

^in(M = 78, a3' ia"). 9.9910171 T' ai. 17.40

ain(T=ai0i7'4o*). 9,550096a ; donc RIST'= 87. 5.3a;

donc S=i8o°— M— T =80.19. 8-

Mais prenons M aigu, pour que Set v augmentent à la fois. Nous négligerons la latitude de la planète , parce que cos A varie très peu ec quelques minutes , et que l'erreur sera la même dans les deux calculs, ainsi que celle de V. Au reste, l'anomalie de Mercure étant donnée, et la commutation calculée, on en déduirait facilement l'anomalie de la Terre et son rayon vecteur; car on sait que l'aphélie de la Terre est plus avancé de a5* que celui de Mercure.

Supposons maintenant que Mercure avance de 3o' sur sou orhite, nous aurons u= 270*30' o".

La Terre n'avancera que de 7'; l'angle S augmentera donc de 3o'— 7/=a3';

nous aurons ainsi S' = 8o*4a' 8". Cherchons le rayon vecteur /= ^~~e ^a • Jstr. au 18* siècle. 21

log e 9,3 1 a8435 1 — <f 9,98 19580

cos 2700 5o' 7,94084 19 a. . 9,58782 1 1

e cos u= 0,001793 7,a536854 C.(i — ccosm) 0,0007793

0,998207 =1— ccosu, logwS=t/ 9^705584

log MS ci- dessus 9,569079 t. .

Donc mS > MS. Avec mS, Si = 1 , et S'=8o# 42' 8".

Q-,)sinS'

Nous calculerons lang f = —7-

i-(f)cosS'

cos S'.... 9,2082973 sin S' 9,9942564

0,939903=1 1 — cosS',tang t= ai'ao' 8"|g,59i73i8

ci-dessus... : T= 21.17.40 S' = 80.42. 8

L'élongation aura donc augmenté de 2 . 28 t =s 2 1 . 20 . 8;

donc 771 = 77.57.44-

m est donc moindre que M, et t plus grand que T; mais cette élongation scra-t-elle la plus grande? Pour le voir , augmentons u de 1 *, et S de 46', nous aurons S'=8i,28'8''; logf'. . . 9,5713395. Le rayon vecteur est augmenté, ainsi que l'angle S'; mais cos S' est diminué, et nous aurons { = 21* i8'4a"> au lieu de 2i°i7/4o". La différence n'est que 62"; elle était de 148" dans le calcul précédent ; ainsi , l'on peut penser que la digression a dù arriver entre 370 et 271* d'anomalie, et la plus grande différence entre l'angle à la tangente, et l'angle à la digression est de 1' ± environ.

Si nous supposons u = 3i5, nous trouverons T = a5#ai'44" e* / = a5» 22'i 2" j différence 48" ;

Si nous supposons u = 225,' nous ne trouverons d'erreur que -f- 18" au lieudc-f-2'iJi

Si nous supposons u = 36o*, nous aurons — a" d'erreur.

Les formules du maximum conduisent à une formule trop compliquée.

11 parait donc que l'erreur nulle au périhélie et à l'aphélie , va de o à a'|» du périhélie à 90' d'anomalie , et diminue ensuite depuis le paramètre jusqu'à l'aphélie. Or, 2' ± sont le mouvement de Mercure eu i5'; on ne se tromperait

KEILL. iG3 donc jamais d'un quart d'heure, en supposant que la digression s'observe dans la tangente. Au reste, les observateurs n'ont jamais songé à la tangente de l'ellipse ; ils ont observé des élongations ; les digressions sont de l'ancienne Astronomie, qui supposait les orbites circulaires ; ainsi, l'assertion de Morin et celle de Keill ne sont que des remarques simplement curieuses, et si nous en avons donné le calcul, c'est qu'aucun astronome n'en avait indiqué les règles , et que très probablement ils n'y avaient jamais songé plus que nous ne l'avons fait nous- môme avant de lire Keill et Morin.

Jusqu'ici nous n'avons trouvé dans l'ouvrage de Keill que des discours sur l'Astronomie, destinés à des auditeurs qui n'ont aucune notion de Géométrie, et auxquels il est par conséquent impossible de donner une instruction tant soit peu solide ou détaillée. La i8* leçon roule sur les cercles de la sphère; on n'y voit, comme dans toutes les précédentes, que des définitions ou des raisonnemens vagues. Nous avons parlé à l'article de Nonius de l'espèce de commentaire de Keill sur la théorie des crépuscules. 11 y énonce quelques théorèmes; il forme des triangles sphériques rectangles, eu nous disant «pie la Trigonométrie donne des moyens pour les résoudre. 11 détermine la déclinaison qui donne le plus court crépuscule ; il calcule les angles -horaires du commencement et de la fin; ainsi, comme les analystes, il ne considère que la seconde partie du problème ; il néglige comme eux la partie principale, quoique susceptible d'une expression aussi simple et aussi élégante que k déclinaison.

Pour déterminer la parallaxe, il propose deux hauteurs correspondantes, .qui donneront deux distances polaires égales; le temps écoulé donnera J'angle au pôle; il suppose aussi qu'on ait mesuré l'azimut; on aura donc deux angles sur l'arc du méridien, qui mesure la distance du pôle au zénit; ou calculera la distance zénitale vraie, dont la différence à la distance observée sera la parallaxe. Ce procédé , l'un des plus simples de ce genre, n'est pas bien neuf; on n'y fait aucune mention des mouvemens de l'astre. U propose ensuite le moyen de Cassini , qui est de chercher la parallaxe d'ascension droite par des observations au réticule de 45*. Ici du moins il indique le moyen connu pour tenir compte du mouvement propre de la planète ; enfin , il propose les éclipses de Lune. Il s'étend avec complaisance sur la méthode des dichotomies d'Aristarquc; il veut même étendre celte méthode à une phase quelconque; ce qui ne ferait qu'ajouter à l'incertitude du procédé. 11 préfère avec raison Mars acronyque , et surtout les passages de Vénus. Tout cela était bien connu.

Dans la leçon du mouvement de la Terre, il rejette formellement l'hy-

i64 ASTRONOMIE AU DIX-HL1TIEME SIÈCLE,

potlièse de Seth-Wartl , pour s'en tenir à l'ellipse de Kepler. Cette admirable et divine invention, que nous devons priser d'autant plus , que c'est à Vaide île ces lois que ^incomparable philosophe sir Isaac Newton à découvert les lois universelles du mouvement, le système de t 'univers, le corps entier de la philosophie céleste, entièrement inconnu avant Képler, et qu'il a solidement démontré. De la loi de Kepler, Keill dérive cette autre expression inoins commode : En différentes ellipses, les aires décrites en même temps, sont comme les racines carrées des latera af.cta. On voit là cette préférence île quelques géomètres de ce temps pour le langage d'Apollonius.

11 rapporte ensuite avec leurs démonstrations deux théorèmes de Moine (Philos. Trans., n" 35a), la vitesse dune planète en un point quelconque P de son ellipse, est à sa vitesse quand elle est au sommet du petit axe, comme la racine carrée de la distance au foyer supérieur est à la racine carrée de la distance à tautie foyer. Le rayon est au sinus de l'angle que fait le rayon vecteur avec la tangente au point P, comme la moyenne proportion' nelle entre les distances aux deux foyers est au demi-petit axe. Ces théorèmes sont curieux sans doute, comme vérités géométriques, mais ils ne sont d'aucune utilité pour l'astronome. Voici une idée qu'on retrouve dans quelques écrits plus modernes, et qui se trouvait déjà dans Grégory, quoique avec moins de dévcloppcmens.

« Soit (fig- a5) AEBF l'ellipse de la planète , S le foyer occupé par le Soleil , AB le grand axe, OQ le petit axe , SE = \/AK . OK ; du rayon SE , décrivez le cercle CEGF. L'aire de ce cercle sera égale à celle «le l'ellipse. Supposons qu'un point se meuve uniformément de C en E, G, F, dans le même temps que la planète emploie à décrire son ellipse, et que la planète parte de A en même temps que le point part de C-, le mouvement, compté deC, sera le moyen mouvement de la planète, et le point décrira autour de S des aires proportionnelles aux temps, et ces aires seront égales aux aires elliptiques décrites parle rayon vecteur de la planète.

»Soit CM=CSM=anomalie moyenne; on aura secteur CSM=sect ASP, angle MSD = anomalie moyenne — anomalie vraie = prostaphérèse. L'aire ACDP=ASP— -CSD=CSM— CSD= aire DSM , etDSM sera proportionnel à la prostaphérèse- Ainsi, la prost aphérèse sera la plus grande possible quand ACDP aura la plus grande valeur; ce qui aura lieu au point E, intersection du cercle et de l'ellipse; car alors ACDP deviendra ACE = ASE — CSE. Si h planète descend plus bas, comme en R, l'équation deviendra proportionnelle à l'aire ntRBG = ACE — wER = BGE — roER. » En eflet, si la planète est en R, soit V le point dont le mouvement est

KEILL 16»

uniforme, on aura CSV sa ASR, ACE — REm = VSm = équation. » Cette construction est ingénieuse, mais un peu obscure. La formule

moderne du = qui devient du = dz quand ab = r», ou r — \'ab,

donne d'une manière bien plus claire et bien plus simple le lieu de la plus grande équation. (Aslr., tome H, page 54.)

Problème de Kepler.

Le problèmeest de mener SP (fig. 26) en sorte que ASP soit en raison donnée à la surface de la demi-ellipse. 11 se réduit , ainsi que l'a démontré Kepler, à mener SQ , qui coupe en même raison le demi-cercle AQB. Ce problème étant insoluble, quand on prend pour donnée le temps écoulé depuis l'aphélie ou l'anomalie moyenne, ou a objecté à Képler que sa solution n'était pas géométrique. Pour laver cette tache , Keill va nous donner line solution directe; mais, comme toutes celles qu'on a pu donner depuis, elle sera purement approximative; ce qui suffirait, au reste, si l'on pouvait en avoir une qui pût s'appliquer commodément à toutes les ellipses même les plus excentriques; et c'est ce que sans doute on n'obtiendra jamais.

Abaissons SF perpendiculaire sur QC ; AQ -f- SF, ou l'arc AQ de l'excentrique augmenté d'un arc égal à la droite SF, sera proportionnel au temps. Cest la formule fondamentale de Képler z = x -f- e sin x.

Soit donc AH = anomalie moyenne=x-r-SF,i/=QN=SF= esin x} ReiU fait sin AN = e', cos AN =/,

sin (AN-,) = e'-/, - g + Jgj + -gfcj, rayon : sin AQ :: SC : SF, ou 1 : sin AQ :: g \y\

Soit i+gf=a; l-ge'z=b, c = \gf, ot dss^ge'. En retournant la série, il trouve

Je n'ai pas refait les calculs du retournement de la série, et je ne réponds pas des fautes d'impression, s'il y en a (*). Les termes dans lesquels entre c changent de signe, quand l'anomalie moyenne est dans le second quart. Celte expression donne j en parties de l'unité.

J'ai donné pour ce niême problème trois solutions que j'ai éprouvées dans

(*) Les fautes d'impression ne sont pas d'une grande importance; mais la série retournée n'étant pas poussée assez loin , j'ai pensé qu'il serait convenable de reprendre entièrement le calcul.

Keill trouve d'abord, par des considérations géométriques, que l'anomalie moyenne AN (Eg. a6) égale l'anomalie excentrique AQ, augmentée de l'arc QN égal àSF. Il fait ensuite QN=y, sin AN =ze, coi AN z=.f, et l'excentricité SC=g. Cela posé, on a AQ = AN — y; sin AQ = ecosy — /siny, et en remplaçant cosy et sin y par leurs valeurs en série,

sin AQ = e -Û - SU + £L + SL AL

çy* fyi ""1.3.3.4.5.6 + i.9.3^.5.6^ + etc,;

mais le triangle rectangle SFC donne SF ou y = SC sin.C = gsin AQ; d'où l'on tira

Soit maintenant ge=zz, 1 + gfzs.a, ^=4; = e «t A, A, /, les coefficient des termes suivans , alors z — ay-\-byl — cy3 — dy* -j- &y*-f- fcy» — /y' + etc.

Le retournement de cette série donne

1 b , 9Ô*+oc , , a*d — hP—babc ., Mafrc—aïh—ea'bd+iAb* t y=a%-â>l+ —ÔT- * + ? *+ âV ~ *

* ^ii -£ ** + «te. ;

valeurs dans les différons coefiieiens et dans ceux de **, *» et*'°, que j'ai omis i cause de leur longueur , et en réduisant, je trouve enfin

z /i c\«' ,/iS 5jc\i» /54i 5,7ac\z>

DigitizecLby Çàpogle

keill.' ig7

les cas les plus défavorables, et pour une excentricité o,a5 , plus que double de celle de Mars , que Keill prend pour exemple. Calculons un de ces cas par la série de Keill.

Cette série donne y en partie du rayon ; il faut diviser chaque terme par sin i * pour l'avoir en secondes. Keill dit que le premier terme - est suffisant pour déterminer l'anomalie excentrique de presque toutes les planètes , qu'il est rare qu'on ait besoin de as

calculer le second ^y. Cependant , je trouve que pour Maïs à gS* d'anomalie moyenne

^=i'fl^4,etque le terme ^ vaut encore o", 8. Au reste, le peu de convergence

de cette série est bien sensible dans l'exemple choisi par M. Delambre. Soit excentricité g=o,a5, anomalie moyenne = 96°, j'aurai d'abord

a = 1 + o,a5 cos 96» ; c = cos 96e ; * = o,a5 sin gS»,

et ensuite

-rs i483/39'78 5 premier termes...i 4» 10' 5 1*97

,s —2 — — . |0 Qg

— a8.36,»6 7*oa' '9

fil l5 35 5'7aï - °& * a83*>

aoa a termes en i" .— o,t3

termes. .4.io.5.,97 >=3 14.10.41,68.

On voit par li que la série est bien loio d'être aussi convergente que Keill le suppose. Il faut , dans cet exemple , calculer au moins huit termes pour avoir la valeur de y à un ou deux dixièmes près ; et il suffit d'en calculer quatre par la formule que M. Delambre a donnée, tome H, pour l'avoir exactement. Cinq termes de Keill donnent 14° io'4a",6, parce que, par un hasard bien singulier, il y a presque compensation entre les termes

•uivans et la quantité j£j = 9*,3a, dont son 4* terme £ = g£ est trop petit.

Quand on a la valeur de y ou de ON, on la retranche de l'anomalie moyenne AN -, le reste AQ est l'anomalie excentrique. Alors dans le triangle CQS on connaît les côtés SC et CQ , et l'angle compris SCQ, supplément de AQ. On peut donc calculer l'angle QSC. Mais tong QSC : tangPSC :: QR : PR :: £ grand axe *. { petit axe. Il faut donc diminuer la tangente de QSC dans le rapport des demi-axes de l'ellipse pour avoir la tangente de l'anomalie vraie PSC. ( Note de t Editeur. )

i63 ASTRONOMIE AU DIX-HUITIÈME SIECLE,

s = excentricité sin anom. moy.j a= i -f- excentricité cos anom. moy.;

c = ^ ( exccn trie, cos anom. moy.), anomalie moyenne = 96*.

c.xcentric. = o,a5 9,3979400 9^9794 ">

SU1960 9,9976143 cos 96* — 9,0193346

log s 9,3955543 — 0,0261321 — 8,4 * 7 « 7 î >